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第四十五讲 古典概率和几何概率
【考纲解读】
理解基本事件和古典概型的定义，掌握基本事件和古典概型的性质，能够正确分辨基本事件和古典概型；
理解古典概率的定义，掌握求古典概率的基本方法，能够熟练的求某个事件的古典概率；
理解几何概型和几何试验的定义，掌握几何概型和几何试验的性质，能够正确分辨几何概型和几何试验；
理解几何概率的定义，掌握求几何概率的基本方法，能够熟练地求某个事件的几何概率；
了解随机模拟的定义和随机模拟的基本方法。
【知识精讲】
一、古典概率：
1、古典概率的定义：
（1）基本事件的定义：一个随机事件如果具有：①任何两个随机事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个随机事件的和的特征，那么这个随机事件称为基本事件；
（2）基本事件的性质：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概型的定义：一个概型如果具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等两个特点，那么这个概型称为古典概率模型；
（4）古典概型的特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等；
（5）古典概率的定义：具有古典概型事件的概率，称为古典概率。
2、古典概率的计算：
（1）求古典概率的公式：P(A)= （这里n是试验中可能出现基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件数）；
（2）求古典概率的基本方法是：①求出试验中发生基本事件的总数（或一次试验中可能出现的结果总数）n；②确定某个事件在试验中出现基本事件的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P(A)= 求出某个事件发生的概率；
（3）求所有基本事件或所求事件包含的基本事件的个数的基本方法是：①列举法，把可能基本事件一一列出；②借助“树状图”来做到不遗漏，不重复。
二、几何概率：
1、几何概率的定义：
（1）几何概型的定义：如果某个事件发生可能性的大小只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样概率模型为几何概型；
（2）几何概型的特征：某个事件发生可能性的大小只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）相关；
（3）几何试验的定义：试验中，可能出现的结果有无限个，每个结果出现的可能性相等，这样的试验，称为几何试验；
（4）几何试验的特征：①无限性，在一次试验中，可能出现的结果有无限个；②等可能性，试验中，每个结果出现的可能性相等；
（5）几何概率的定义：如果某事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样的概率为几何概率；
（6）几何概率的实质：如果把几何概率概型中的基本事件抽象为点，那么这些点虽然是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，某个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与区域的位置和形状无关；
（7）几何概率模型与古典概率模型的关系：①相同点是基本事件发生的可能性相等；②
不同点是基本事件的个数一个是有限的，另一个是无限的。
2、几何概率的计算：
（1）几何概率计算的公式：P(A)= ；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出整体的几何度量；②求出某事件包含的几何度量；
③运用公式：P(A)= 求出结果。
【探导考点】
考点1基本事件与古典概型的判断：热点①基本事件的判断；热点②古典概型的判断；
考点2古典概率的求法：热点①直接运用古典概率计算公式求古典概率；热点②利用逆向思维，先求事件的对立事件的概率，再求所求事件的概率；
考点3古典概率与统计的综合问题：热点①古典概率与频率分布直方图的综合问题；热点②古典概率与统计指标的综合问题；
考点4与长度（或角度）相关的几何概率：热点①与长度相关的几何概率；热点②与角度相关的几何概率；
考点5与面积相关的几何概率：热点①与平面图形面积相关的几何概率；热点②与简单线性规划问题综合的几何概率；
考点6与体积相关的几何概率：热点①与规则图形体积相关的几何概率；热点②与不规则图形体积相关的几何概率。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（ ）
A （男，女），（男，男），（女，男） B （男，女），（女，男）
C （男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D （男，男），（女，女）
2、有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗正四面体玩具出现的点数，y表示第二颗正四面体玩具出现的点数，试写出：
（1）试验的基本事件；
（2）事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
（3）事件“出现点数相等”包含的基本事件。
3、袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球。
（1）有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看着一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典模型？
（2）若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典模型？
『思考问题1』
（1）【典例1】是与基本事件，古典概率的定义相关的问题，解答这类问题需要理解基本事件，古典概率的定义，掌握确定一个事件所含基本事件个数和判断一个概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何两个基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列试验中，古典概率的个数为（ ）
（1）向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
（2）向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰好与点C重合；
（3）从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
（4）在线段［0，5］上任取一点，求此点小于2的概率。
A 0 B 1 C 2 D 3
2、某校高一年级要组建数学，计算机，航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、对古典概型的说法，下列正确的是（ ）
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A包含k个基本事件则P（A）= 。
A ②④ B ①③④ C ①④ D ③④
【典例2】解答下列问题：
1、甲，乙，丙三人站成一排，甲站在中间的概率是（ ）
A B C D
2、集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两个数之和等于4的概率是（ ）
A B C D
3、从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ；
4、袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ；
5、在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支，问下列事件的概率有多大？
（1）恰有一支一等品；
（2）恰有两支一等品；
（3）没有三等品。
6、从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，求下列事件的概率：
（1）抽出的牌是7； （2）抽出的牌不是7；
（3）抽出的牌是方片； （4）抽出的牌是J或Q或K；
（5）抽出的牌既是红心又是草花； （6）抽出的牌比6大比9小；
（7）抽出的牌是红色； （8）抽出的牌是黑色。
7、袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：
（1）事件A取出的2个球都是白球；
（2）事件B取出的2个球中一个是白球，另一个是红球。
投掷两粒骰子，计算下列事件的概率：
（1）出现点数总和为7；
（1）出现点数为偶数；
（3）出现点数至少有一个是5或6。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求古典概率的问题，解答这类问题需要理解基本事件和古典概率的定义，掌握古典概率计算的公式和求古典概率的基本方法；
（2）求古典概率问题的关键是：①求出试验基本事件的总数，②求出某事件包含的基本事件数，都需要掌握基本事件数的求法；
（3）求基本事件数的基本方法是：①列举法，把所有的基本事件一一列举出来；②树状法，先找出主要元素作为树干，然后确定与它相关的元素作为树枝把所有的基本事件全部列出来；③若事件可以表示成有序实数对的形式，则可以把基本事件用平面直角坐标系中的点来表示。
〔练习2〕解答下列问题：
1、单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案；假设考生不会做，他随机地选择一个答案，求他答对的概率是多少？
2、同时抛掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？
3、假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，-----，9十个数字中的任意一个，如果一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，求他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？
4、某种饮料每箱装6听，如果其中2听不合格，求质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是多少？
5、A，B，C，D4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
（1）A在边上； （2）A和B都在边上；
（3）A或B在边上； （4）A和B都不在边上。
6、假设有5个条件类似的女孩，把她们分别记为A，C，J，K，S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用。如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
（1）女孩K得到一个职位；
（2）女孩K和S各自得到一个职位；
（3）女孩K或S得到一个职位。
7、将一枚质地均匀的硬币连掷三次，求下列事件的概率：
（1）2个正面朝上，一个反面朝上；
一个正面朝上，2个反面朝上。
8、盒中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球，求下列事件的概率：
（1）取出的球是黄球；
（2）取出的球是白球；
（3）取出的球是白球或黑球。
9、小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋，游戏规则为：以0为起点，再从，，，，，（如图）这6个点中任取 y
两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量 (-1，1)1
积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0
就去下棋。 -1 0 1 x
（1）写出数量积X的所有可能取值； -1 (1，-1)
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。
【典例3】解答下列问题：
经销商经销某种农产品，在一个经销季度内，每售出
1t该农产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300
元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分 0.030
布直方图如图所示，经销商为了下一个销售季度购进了130 0.025
t该农产品，以X（单位：t，100X150）表示下一个销 0.020
售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度0.015
内经销该农产品的利润。 0.010
（1）将T表示为X的函数； 需求量t
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率。 0 100 110 120 130 140 150
2、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为［40,50），
［50,60），------，［80,90），［90,100］。
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在［40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在［40,50）的概率。
『思考问题3』
（1）【典例3】是古典概率与统计的综合应用问题，解答这类问题需要理解统计的频率分布直方图中每个矩形面积的意义，注意所有矩形面积的和为1；
（2）求问题中的概率时，一般是首先把样本中的频率视为总体中的概率的估计值，再运用概率的相关知识来解答问题。
〔练习3〕解答下列问题：
1、海关同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。 地区 A B C
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； 数量 50 150 100
（2）若在这6件样品中随机抽取2件，送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。
2、某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40,50），［50,60），------，［90,100］后得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求图中实数a的值； a
（2）若该校高一年级共有640人，试估计 0.025
该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 0.020
分的人数； 0.015
（3）若从数学成绩在［40,50）与［90,100］ 0.010
两个分数段内的学生中随机抽取2名学生，求 0.005
这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。 0 405060708090100 分数
【典例4】解答下列问题：
1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A B C D
2、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率为 ；
3、在区间［-，］上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为 ；
『思考问题4』
（1）【典例4】是几何概率中与长度，角度相关的问题，解答这类问题需要理解几有关何概率的定义，注意几何概率的特征，明确几何概率只与几何的度量（这里是长度或角度）有关；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出问题总的几何度量（这里是长度或角度）；②求出所求事件包含的几何度量（这里是长度或角度）；③运用公式求出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为（ ）
A B C D
2、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（ ）
A B C D
3、某公司的班车在7.00,8.00,8.30发车，小明在7.30至8.30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时间是随机的，则他等车不超过10分钟的概率是（ ）
A B C D
4、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
（1）红灯； （2） 黄灯； （3） 不是红灯。
5、已知集合A=｛x|-1＜x＜5｝，B=｛x|＞0｝，在集合A中任取一个元素x，则事件“xAB”的概率是 。
【典例5】解答下列问题：
1、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
3、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
4、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。
『思考问题5』
（1）【典例5】是几何概率中与面积相关的问题，解答这类问题首先需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率的计算方法；
（2）几何概率中与面积相关的问题解答的基本方法是：①求出整体几何的面积；②求出某事件包含的几何面积； ③运用公式：P(A)= 求出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、如图在矩形区域ABCD的A、C两点处都有一个通信基地，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在该矩形区域内随机地选一点，则该地无信号的概率是（ ）
A 1- B -1 C 2- D
2、设不等式组 0≤x≤2,表示的平面区域为D, 在区域D内随机取一个点，则此点到坐标
0≤y≤2, 原点的距离大于2的概率是（ ）
A B C D
3、如图，假设你在每个图形上
随机撒一粒黄豆，分别计算它落到
阴影部分的概率；
4、如图（沿用第7小题的图），如
果你向靶子上射200镖，你期盼多少
个镖落在红色区域（颜色较深的区域） y
5、求图中阴影部分（y=1和y=所围成的部分）的面积； 1
6、一张桌面的图案如图所示，将一颗豆子随机的扔到 -1 0 1 x
桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：
（1）豆子落在红色区域； 黄 红 绿
（2）豆子落在绿色区域； 红 绿 红
（3）豆子落在红色或绿色区域； 黄 红 黄
（4）豆子落在黄色或绿色区域。7、一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在黑色靶心，也不会落在两种颜色之间，求飞镖落在下列区域的概率：
（1）编号为25的区域； （2）绿色区域（颜色较浅的区域）
（3）编号不小于24的区域； （4）编号在6号到9号之间的区域（按逆时针方向）；
（5）编号为奇数的区域； （6）红色（颜色较深）的编号为奇数的区域。
【典例6】解答下列问题：
1、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
2、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D
『思考问题6』
（1）【典例6】是几何概率中与体积相关的问题，解答这类问题首先需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率的计算方法；
（2）几何概率中与体积相关的问题解答的基本方法是：①求出整体几何体的体积；②求出某事件包含几何体的体积； ③运用公式：P(A)= 求出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、在体积为V的三棱锥S—ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S—APC的体积大于的概率是 ；
2、有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 。
【典例7】解答下列问题：
甲，乙两船驶向一个不能同时停泊两膄船的码头，它们在一昼夜内达到该码头的时刻是等可能的。如果甲船停泊的时间为1h，乙船停泊的时间为2h，求它们中任意一船都不需要等待码头空出的概率；
2、甲，乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
『思考问题7』
（1）【典例7】是与生活相关的几何概率，解答这类问题需要掌握几何概率的求法，同时还需要把生活中的问题与几何概率联系起来，看它和几何概率中的哪类问题相符，再按处理该类几何概率问题的基本方法进行解答；
（2）解答生活中的几何概率问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②抓住问题的特征寻找与几何概率相关的类型；③按照该类几何概率问题的解答方法去解答问题；④得出问题的解答结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早到5分钟的概率为 （用数字作答）
2、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这四个点在同一平面上的概率为 。
（文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率为（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
2、从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 （2022
全国高考乙卷）
3、从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A B C D
4、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
5、在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率为（ ）（成都市2019级二诊）
A B C D
6、在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D
7、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
8、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。（成都市2015高二期末考试）
『思考问题8』
【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末考试）试卷中关于古典概率和几何概率的问题，归结起来主要包括：①基本事件，古典概型的判断；②古典概率的求法；③古典概率与统计的综合问题；④与长度，角度相关的几何概率；⑤与面积相关的几何概率；⑥与体积相关的几何概率；⑦简单线性规划与几何概率的综合等几种类型；
解答古典概率和几何概率问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上购货业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决问题，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压300份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成30份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
2、利用随机模拟的方法计算图中阴影部分（抛物线y=2x-和X轴围成的部分）的面积S。
第一步，利用计算机产生两组0—1区间的均匀随机数：=RAND，=RAND；
第二步，进行伸缩变换a=2，b=2；
第三步，数出落在阴影内的样本点数，现作了100次试验，模拟得到=31，由此估计S= （2018—2019成都市高二上期调研考试）
3、已知函数f(x)= （x+3），若在［-2,5］上随机取一个实数，则f()1的概率为（ ）（2017—2018成都市高二上期调研考试）
A B C D
4、如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III。在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为，，，则（ ）（2018全国高考新课标I卷）
A = B = C = D =+
5、（理）小明在花店定了一束鲜花，花店承若将在第二天早上7:30—8:30之间将鲜花送到小明家，若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8:00—9:00之间，中小明在离开家之前能收到这束鲜花的概率是（ ）
A B C D
（文）在区间［-4,1］上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为，则实数a的值为（ ）（2018成都市高三零诊）
A B 1 C 2 D 3
在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
7、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
8、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
9、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D
第四十五讲 古典概率和几何概率
【考纲解读】
1.理解基本事件和古典概型的定义，掌握基本事件和古典概型的性质，能够正确分辨基本事件和古典概型；
2.理解古典概率的定义，掌握求古典概率的基本方法，能够熟练的求某个事件的古典概率；
3.理解几何概型和几何试验的定义，掌握几何概型和几何试验的性质，能够正确分辨几何概型和几何试验；
4.理解几何概率的定义，掌握求几何概率的基本方法，能够熟练地求某个事件的几何概率；
5.了解随机模拟的定义和随机模拟的基本方法。
【知识精讲】
一、古典概率：
1、古典概率的定义：
（1）基本事件的定义：一个随机事件如果具有：①任何两个随机事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个随机事件的和的特征，那么这个随机事件称为基本事件；
（2）基本事件的性质：①任何两个基本事件是互斥的；②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概型的定义：一个概型如果具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等两个特点，那么这个概型称为古典概率模型；
（4）古典概型的特点：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等；
（5）古典概率的定义：具有古典概型事件的概率，称为古典概率。
2、古典概率的计算：
（1）求古典概率的公式：P(A)= （这里n是试验中可能出现基本事件的总数，m是事件A包含的基本事件数）；
（2）求古典概率的基本方法是：①求出试验中发生基本事件的总数（或一次试验中可能出现的结果总数）n；②确定某个事件在试验中出现基本事件的次数（或在一次试验中某事件包含的结果数） m；③运用公式：P(A)= 求出某个事件发生的概率；
（3）求所有基本事件或所求事件包含的基本事件的个数的基本方法是：①列举法，把可能基本事件一一列出；②借助“树状图”来做到不遗漏，不重复。
二、几何概率：
1、几何概率的定义：
（1）几何概型的定义：如果某个事件发生可能性的大小只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样概率模型为几何概型；
（2）几何概型的特征：某个事件发生可能性的大小只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）相关；
（3）几何试验的定义：试验中，可能出现的结果有无限个，每个结果出现的可能性相等，这样的试验，称为几何试验；
（4）几何试验的特征：①无限性，在一次试验中，可能出现的结果有无限个；②等可能性，试验中，每个结果出现的可能性相等；
（5）几何概率的定义：如果某事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（或面积或体积）成比例，则称这样的概率为几何概率；
（6）几何概率的实质：如果把几何概率概型中的基本事件抽象为点，那么这些点虽然是无限的，但它们所占据的区域却是有限的，根据等可能性，某个点落在区域的概率与该区域的度量成正比，而与区域的位置和形状无关；
（7）几何概率模型与古典概率模型的关系：①相同点是基本事件发生的可能性相等；②
不同点是基本事件的个数一个是有限的，另一个是无限的。
2、几何概率的计算：
（1）几何概率计算的公式：P(A)= ；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出整体的几何度量；②求出某事件包含的几何度量；
③运用公式：P(A)= 求出结果。
【探导考点】
考点1基本事件与古典概型的判断：热点①基本事件的判断；热点②古典概型的判断；
考点2古典概率的求法：热点①直接运用古典概率计算公式求古典概率；热点②利用逆向思维，先求事件的对立事件的概率，再求所求事件的概率；
考点3古典概率与统计的综合问题：热点①古典概率与频率分布直方图的综合问题；热点②古典概率与统计指标的综合问题；
考点4与长度（或角度）相关的几何概率：热点①与长度相关的几何概率；热点②与角度相关的几何概率；
考点5与面积相关的几何概率：热点①与平面图形面积相关的几何概率；热点②与简单线性规划问题综合的几何概率；
考点6与体积相关的几何概率：热点①与规则图形体积相关的几何概率；热点②与不规则图形体积相关的几何概率。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（ ）
A （男，女），（男，男），（女，男） B （男，女），（女，男）
C （男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D （男，男），（女，女）
【解析】
【知识点】①基本事件的定义与性质；②确定一个事件包含基本事件数的基本方法。
【解题思路】运用确定一个事件包含基本事件数的基本方法求出一个家庭有两个小孩，所有可能的基本事件个数就可得出选项。
【详细解答】一个家庭有两个小孩，所有可能的基本事件有：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），C正确，选C。
2、有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1，2，3，4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验，用（x，y）表示结果，其中x表示第一颗正四面体玩具出现的点数，y表示第二颗正四面体玩具出现的点数，试写出：
（1）试验的基本事件；
（2）事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；
（3）事件“出现点数相等”包含的基本事件。
【解析】
【知识点】①基本事件的定义与性质；②确定一个事件包含基本事件数的基本方法。
【解题思路】（1）运用确定一个事件包含基本事件数的基本方法就可求出试验的基本事件；（2）由（1）就可得出“出现点数之和大于3”包含的基本事件；（3）由（1）就可得出“出现点数相等”包含的基本事件。
【详细解答】（1）投掷两个四个面上分别标有数字1，2，3，4的正四面体玩具的试验，用（x，y）表示结果，试验的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共16个；（2）“出现点数之和大于3”包含的基本事件有：（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共13个；（3）“出现点数相等”包含的基本事件有：（1，1），（2，2），（3，3），（4，4）共4个。
3、袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号，从中摸出一个球。
（1）有多少种不同的摸法？如果把每个球的编号看着一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典模型？
（2）若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件？以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典模型？
【解析】
【知识点】①基本事件的定义与性质；②确定一个事件包含基本事件数的基本方法；③古典概率的定义与性质；④判断概率是否是古典概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用确定一个事件包含基本事件数的基本方法就可求出从中摸出一个球，有多少种不同的摸法，根据判断概率是否是古典概率的基本方法就可得出结论；（2）运用判断概率是否是古典概率的基本方法就可得出结论。
【详细解答】（1）设5个白球分别为，，，，，3个黑球分别为，，，3个红球分别为 , , , 从中摸出一个球的基本事件有：，，，，，，，， , , 共11个，有11种不同的摸法，如果把每个球的编号看着一个基本事件建立概率模型，该模型是古典模型；（2）若按球的颜色为划分基本事件的依据，有3个基本事件，以这些基本事件建立概率模型，该模型不是古典模型。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与基本事件，古典概率的定义相关的问题，解答这类问题需要理解基本事件，古典概率的定义，掌握确定一个事件所含基本事件个数和判断一个概率模型是不是古典概率的基本方法；
（2）基本事件具有的特征是：①任何两个基本事件是互斥的，②任何事件（不可能事件除外）都可以表示成几个基本事件的和；
（3）古典概率具有的特征是：①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，②每个基本事件出现的可能性相等。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列试验中，古典概率的个数为（ ）（答案：B）
（1）向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
（2）向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰好与点C重合；
（3）从1，2，3，4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
（4）在线段［0，5］上任取一点，求此点小于2的概率。
A 0 B 1 C 2 D 3
2、某校高一年级要组建数学，计算机，航空模型三个兴趣小组，某学生只选报其中的2个，则基本事件共有（ ）（答案：C）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、对古典概型的说法，下列正确的是（ ）（答案：B）
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A包含k个基本事件则P（A）= 。
A ②④ B ①③④ C ①④ D ③④
【典例2】解答下列问题：
1、甲，乙，丙三人站成一排，甲站在中间的概率是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法。
【解题思路】运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件求出甲站在中间的概率，从而得出选项。
【详细解答】设甲，乙，丙三人站成一排，甲站在中间的事件为A，甲，乙，丙三人站成一排的基本事件有：甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，丙甲乙，乙丙甲，丙乙甲共6个，甲站在中间的基本事件有：乙甲丙，丙甲乙共2个，p（A）==，C正确，选C。
2、集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两个数之和等于4的概率是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法。
【解题思路】运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件求出两个数之和等于4的概率，从而得出选项。
【详细解答】设从A，B中各任意取一个数，两个数之和等于4的事件为C，从A，B中各任意取一个数得到两个数的基本事件有：（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）共6个，两个数之和等于4的基本事件有：（2，2），（3，1）两个，p（C）==，C正确，选C。
3、从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是 ；
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法。
【解题思路】运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出其中一个数是另一个数的两倍的概率。
【详细解答】设从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数，其中一个数是另一个数的两倍的事件为A，从1，2，3，4这四个数中一次随机地抽取两个数的基本事件有：1与2，1与3，1与4，2与3，2与4，3与4共6个，其中一个数是另一个数两倍的基本事件有：1与2，2与4共2个，p（A）==。
4、袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ；
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法。
【解题思路】运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出从中一次随机摸出2只球，2只球颜色不同的概率。
【详细解答】设白球为A，红球为B，2只黄球分别为 , , 从中一次随机摸出2只球，2只球颜色不同的事件为D，从中一次随机摸出2只球的基本事件有：AB，A ,A , B ,B , 共6个, 2只球颜色不同的基本事件有：AB，A ,A , B ,B 共5个, p（D）=。
5、在一个盒中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品，从中任取3支，问下列事件的概率有多大？
（1）恰有一支一等品；
（2）恰有两支一等品；
（3）没有三等品。
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出从中任取3支，恰有一支一等品的概率；（2）根据求古典概率的基本方法，由（1）就可求出从中任取3支，恰有两支一等品的概率；（3）根据求古典概率的基本方法，由（1）就可求出从中任取3支，没有三等品的概率。
【详细解答】（1）设三支一等品圆珠笔分别为，，，二支二等品圆珠笔分别为，，一支三等品圆珠笔为C， 从中任取3枝，恰有一支一等品的事件为D，从中任取3支的基本事件有：，，，C，，，C，，C，C，，，C，，C，C，，C，C，C共20个，恰有一支一等品的基本事件有：，C，C，，C，C，，C，C共9个，p（D）=；（2）设从中任取3枝，恰有二支一等品的事件为E，恰有二支一等品的基本事件有：，，C，，，C，，，C共9个，p（E）=；（3）设从中任取3支，没有三等品的事件为F，没有三等品的基本事件有：，，，，，，，，，共10个，p（F）==。
6、从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，求下列事件的概率：
（1）抽出的牌是7； （2）抽出的牌不是7；
（3）抽出的牌是方片； （4）抽出的牌是J或Q或K；
（5）抽出的牌既是红心又是草花； （6）抽出的牌比6大比9小；
（7）抽出的牌是红色； （8）抽出的牌是黑色。
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法；③对立事件的定义与性质；④对立事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是7的概率；（2）根据求对立事件概率的基本方法，由（1）就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌不是7的概率；（3）根据求古典概率的基本方法，由（1）就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌不是7的概率；（3）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是方片的概率；（4）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是J或Q或K的概率；（5）根据不可能事件的性质，结合问题条件就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌既是红心又是草花的概率；（6）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌比6大比9小的概率；（7）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是红色的概率；（8）根据求对立事件概率的基本方法，由（7）就可求出从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是黑色的概率。
【详细解答】（1）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是7的事件为A，从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌的基本事件共有52个，抽出的牌是7的基本事件是从4张7中随机抽出一张共有个，p（A）==；（2）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌不是7的事件为B，事件A与事件B是对立事件，p（A）=1-=；（3）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是方块的事件为C，抽出的牌是方块的基本事件为从13张方块中随机抽出一张牌共有13个，p（C）==；（4）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是J或Q或K的事件为D，抽出的牌是J或Q或K的基本事件为从12张J或Q或K中随机抽出一张牌共有12个，p（D）==；（5）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌既是红心又是草花的事件为E，抽出的牌既是红心又是草花是不可能事件，p（E）=0；（6）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌比6大比9小的事件为F，抽出的牌比6大比9小的基本事件为从8张7或8中随机抽出一张牌共有8个，p（F）= = ；（7）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌是红色的事件为G，抽出的牌是红色的基本事件为从26张红色中随机抽出一张牌共有26个p（G）= = ；（8）设从52张扑克牌（没有大小王）中随机抽出一张牌，抽出的牌为黑色的事件为H，事件G与事件H为对立事件， p（H）= 1 -=。
7、袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：
（1）事件A取出的2个球都是白球；
（2）事件B取出的2个球中一个是白球，另一个是红球。
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法。
【解题思路】（1）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出取出的2个球都是白球的概率；（2）根据求古典概率的基本方法，由（1）就可求出取出的2个球中一个是白球，另一个是红球的概率。
【详细解答】（1）设4个白球分别为，，，，2个红球分别为，，从袋中任意取出2个球的基本事件有：，，，，，，，，， ，，， ，，共15个，取出的2个球都是白球的基本事件有：，，，，，共6个，p（A）==；（2）取出的2个球中一个是白球，另一个是红球的基本事件有：，，，，，，，共8个，p（B）=。
8、投掷两粒骰子，计算下列事件的概率：
（1）出现点数总和为7；
（1）出现点数为偶数；
（3）出现点数至少有一个是5或6。
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法；③互斥事件的定义与性质；④互斥事件概率的定义与基本求法。
【解题思路】（1）运用古典概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出出现点数总和为7的概率；（2）根据求古典概率的基本方法，由（1）就可求出出现点数为偶数的概率；（3）运用古典概率和互斥事件概率的性质与基本求法，结合问题条件就可求出现点数至少有一个是5或6的概率。
【详细解答】（1）设投掷两粒骰子，出现点数总和为7的事件为A，投掷两粒骰子，出现点数的基本事件有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共36个，出现点数总和为7的基本事件有：（1，6），（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）共6个，p（A）==；（2）设投掷两粒骰子，出现点数为偶数的事件为B，出现点数为偶数的基本事件有：（2，2），（2，4），（2，6），（4，2），（4，4），（4，6），（6，2），（6，4），（6，6）共9个，p（B）==；（3）设投掷两粒骰子，出现点数至少有一个是5或6的事件为C，出现点数至少有一个是5或6的基本事件有：（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），
（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6）共20个，p（C）==。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求古典概率的问题，解答这类问题需要理解基本事件和古典概率的定义，掌握古典概率计算的公式和求古典概率的基本方法；
（2）求古典概率问题的关键是：①求出试验基本事件的总数，②求出某事件包含的基本事件数，都需要掌握基本事件数的求法；
（3）求基本事件数的基本方法是：①列举法，把所有的基本事件一一列举出来；②树状法，先找出主要元素作为树干，然后确定与它相关的元素作为树枝把所有的基本事件全部列出来；③若事件可以表示成有序实数对的形式，则可以把基本事件用平面直角坐标系中的点来表示。
〔练习2〕解答下列问题：
1、单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个正确答案。如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案；假设考生不会做，他随机地选择一个答案，求他答对的概率是多少？（答案：答对的概率是）
2、同时抛掷两个骰子，计算向上的点数之和是5的概率是多少？（答案：向上的点数之和是5的概率是）
3、假设储蓄卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，-----，9十个数字中的任意一个，如果一个人完全忘记了自己的储蓄卡密码，求他到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是多少？（答案：到自动取款机上随机试一次密码就能取到钱的概率是0.0001）
4、某种饮料每箱装6听，如果其中2听不合格，求质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是多少？（答案：从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是）
5、A，B，C，D4名学生按任意次序站成一排，试求下列事件的概率：
（1）A在边上； （2）A和B都在边上；
（3）A或B在边上； （4）A和B都不在边上。
（答案：（1）A在边上的概率是；（2）A和B都在边上的概率是；（3）A或B在边上的概率是；A和B都不在边上的概率是。）
6、假设有5个条件类似的女孩，把她们分别记为A，C，J，K，S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有3人被录用。如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率：
（1）女孩K得到一个职位；
（2）女孩K和S各自得到一个职位；
（3）女孩K或S得到一个职位。（答案：（1）女孩K得到一个职位的概率是；（2）女孩K和S各自得到一个职位的概率是；（3）女孩K或S得到一个职位的概率是。）
7、将一枚质地均匀的硬币连掷三次，求下列事件的概率：
（1）2个正面朝上，一个反面朝上；
（2）一个正面朝上，2个反面朝上。（答案：2个正面朝上，一个反面朝上的概率是；（2）一个正面朝上，2个反面朝上的概率是。）
8、盒中仅有4个白球和5个黑球，从中任意取出一个球，求下列事件的概率：
（1）取出的球是黄球；
（2）取出的球是白球；
（3）取出的球是白球或黑球。（答案：（1）取出的球是黄球的概率是0；（2）取出的球是白球的概率是；（3）取出的球是白球或黑球的概率是1.）
9、小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋，游戏规则为：以0为起点，再从，，，，，（如图）这6个点中任取 y
两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量 (-1，1)1
积为X，若X＞0就去打球，若X=0就去唱歌，若X＜0
就去下棋。 -1 0 1 x
（1）写出数量积X的所有可能取值； -1 (1，-1)
（2）分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率。 （答案：（1）数量积X的所有可能取值为1，0，-1，-2；（2）小波去下棋的概率是，不去唱歌的概率是。）
【典例3】解答下列问题：
经销商经销某种农产品，在一个经销季度内，每售出
1t该农产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300
元，根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分 0.030
布直方图如图所示，经销商为了下一个销售季度购进了130 0.025
t该农产品，以X（单位：t，100X150）表示下一个销 0.020
售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度0.015
内经销该农产品的利润。 0.010
（1）将T表示为X的函数； 需求量t
（2）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率。 0 100 110 120 130 140 150
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法；③频率分布直方图的定义与性质；④求销售利润的基本求法。
【解题思路】（1）根据频率分布直方图和求销售利润的基本求法，分别求出销售利润就可得到T表示为X的函数；（2）根据频率分布直方图和求古典概率的基本方法，由（1）求出利润T不少于57000元的频率，利用统计估计的基本方法就可估计利润T不少于57000元的概率。
【详细解答】（1）①当100X＜130时，T=500X-300（130 -X）=800X-39000；②当130X150时，T=500130=65000， T= 800X-39000，100X＜130，
65000，130X150；
（2）由（1）知利润T不少于57000元，当且仅当120X150，根据频率分布直方图得需求量X[120，150]的频率为0.7，下一个销售季度内经销该农产品的利润T不少于57000元的概率估计值为0.7。
2、某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图如图所示，其中样本数据分组区间为［40,50），
［50,60），------，［80,90），［90,100］。
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（3）从评分在［40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在［40,50）的概率。
【解析】
【知识点】①古典概率的定义与性质；②求古典概率的基本方法；③频率分布直方图的定义与性质；④互斥事件的定义与性质；⑤互斥事件概率的定义与基本求法；⑥统计估计的基本方法。
【解题思路】（1）根据频率分布直方图的性质得到关于参数a的方程，求解方程就可求出a的值；（2）运用求古典概率和互斥事件概率的基本方法，结合频率分布直方图求出该企业的职工对该部门评分不低于80的频率，利用统计估计的基本方法就可估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）根据频率分布直方图分别求出评分在［40,60），评分在［40,50）的职工人数，运用古典概率的性质与基本求法，结合问题条件就可求出从评分在［40,60）的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在［40,50）的概率。
【详细解答】（1）10 （0.004+a+0.018+0.0222+0.028）=1, a=0.1-0.094=0.006；（2）由频率分布直方图可得，该企业的职工对该部门评分不低于80的频率=10 （0.022+0.018
）=0.4，估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率为0.4；（3）由频率分布直方图可得，评分在［40,60）的职工人数为500 （0.004+0.006）=5人，评分在［40,50）的职工人数为500 0.004=2人，设评分在［40,50）的2人分别为，，评分在［50,60）的三人分别为，，，从评分在［40,60）的受访职工中，随机抽取2人，此2人评分都在［40,50）的事件为C，从评分在［40,60）的受访职工中，随机抽取2人的基本事件有：，，，，，，，，，共10个，2人评分都在［40,50）的基本事件有：共1个， p（C）=。
『思考问题3』
（1）【典例3】是古典概率与统计的综合应用问题，解答这类问题需要理解统计的频率分布直方图中每个矩形面积的意义，注意所有矩形面积的和为1；
（2）求问题中的概率时，一般是首先把样本中的频率视为总体中的概率的估计值，再运用概率的相关知识来解答问题。
〔练习3〕解答下列问题：
1、海关同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，各地区进口此种商品的数量（单位：件）如下表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。 地区 A B C
（1）求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量； 数量 50 150 100
（2）若在这6件样品中随机抽取2件，送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。（答案：这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量分别时1件，3件，2件；（2）这2件商品来自相同地区的概率是）
2、某校从高一年级学生中随机抽取40名学生，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：［40,50），［50,60），------，［90,100］后得到如图所示的频率分布直方图。
（1）求图中实数a的值； a
（2）若该校高一年级共有640人，试估计 0.025
该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 0.020
分的人数； 0.015
（3）若从数学成绩在［40,50）与［90,100］ 0.010
两个分数段内的学生中随机抽取2名学生，求 0.005
这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率。 0 405060708090100 分数
（答案：中实数a的值为0.03；（2）估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60 分的人数为544人；（3）这2名学生的数学成绩之差的绝对值不大于10的概率）
【典例4】解答下列问题：
1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒，若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出至少需要等待15秒才出现绿灯的概率，从而得出选项。
【详细解答】设至少需要等待15秒才出现绿灯的事件为A，红灯持续时间为40秒，p（A）==，B正确，选B。
2、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的，则乘客候车不超过3分钟的概率为 ；
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出乘客候车不超过3分钟的概率。
【详细解答】设乘客候车不超过3分钟的事件为A，公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过，p（A）=。
3、在区间［-，］上随机取一个数x，则cosx的值介于0到之间的概率为 ；
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出乘客候车不超过3分钟的概率。
【详细解答】设cosx的值介于0到之间的事件为A，在区间［-，］上随机取一
个数x，p（A）==。
『思考问题4』
（1）【典例4】是几何概率中与长度，角度相关的问题，解答这类问题需要理解几有关何概率的定义，注意几何概率的特征，明确几何概率只与几何的度量（这里是长度或角度）有关；
（2）求几何概率的基本方法是：①求出问题总的几何度量（这里是长度或角度）；②求出所求事件包含的几何度量（这里是长度或角度）；③运用公式求出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、在长为12cm的线段AB上任取一点C，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm的概率为（ ）（答案：C）
A B C D
2、平面上有一组平行线，且相邻平行线间的距离为3cm，把一枚半径为1cm的硬币任意平掷在这个平面上，则硬币不与任何一条平行线相碰的概率是（ ）（答案：B）
A B C D
3、某公司的班车在7.00,8.00,8.30发车，小明在7.30至8.30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时间是随机的，则他等车不超过10分钟的概率是（ ）（答案：B）
A B C D
4、一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒。当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
（1）红灯； （2） 黄灯； （3） 不是红灯。（答案：（1）看见红灯的概率是；（1）看见黄灯的概率是；（1）看见绿灯的概率是；）
5、已知集合A=｛x|-1＜x＜5｝，B=｛x|＞0｝，在集合A中任取一个元素x，则事件“xAB”的概率是 。（答案：事件“xAB”的概率是）
【典例5】解答下列问题：
1、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出黄豆落在阴影部分的概率，从而得出阴影部分的面积就可得出选项。
【详细解答】设黄豆落在阴影部分的事件为A，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，p（A）==，=52=10， p（A）=，
=10=，A正确，选A。
2、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出父亲在离开家前能得到报纸的概率。
【详细解答】根据题意作出图像如图所示，图中 y
阴影部分的区域父亲在离开家前能得到报纸，空白 7.30
部分区域父亲在离开家前不能得到报纸，p（A） 7.00
=，即父亲在离开家前能得到报纸的概率是。 6.00 7..00 7.3.0 8.00 x
3、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出豆子落在正方形内切圆上的概率。
【详细解答】设豆子落正方形内切圆上的事件为A，正方形的边长为1，=11=1，
==，p（A）==。
4、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出该点恰好在内的概率。
【详细解答】设该点恰好在内的事件为A，作出平面 y
区域为，平面区域为如图所示， = 2 2
=2，= - =2-=，
p（A）===。
『思考问题5』
（1）【典例5】是几何概率中与面积相关的问题，解答这类问题首先需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率的计算方法；
（2）几何概率中与面积相关的问题解答的基本方法是：①求出整体几何的面积；②求出某事件包含的几何面积； ③运用公式：P(A)= 求出结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、如图在矩形区域ABCD的A、C两点处都有一个通信基地，假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)，若在该矩形区域内随机地选一点，则该地无信号的概率是（ ）（答案：A）
A 1- B -1 C 2- D
2、设不等式组 0≤x≤2,表示的平面区域为D, 在区域D内随机取一个点，则此点到坐标
0≤y≤2, 原点的距离大于2的概率是（ ）（答案：D）
A B C D
3、如图，假设你在每个图形上
随机撒一粒黄豆，分别计算它落到
阴影部分的概率；
（答案：第一个图形为；第二个
图形为）
4、如图（沿用第7小题的图），如
果你向靶子上射200镖，你期盼多少
个镖落在红色区域（颜色较深的区域）
（答案：100个镖落在红色区域（颜色较深的区域） y
5、求图中阴影部分（y=1和y=所围成的部分）的面积； 1
（答案：用随机模拟求得S=1.396）
6、一张桌面的图案如图所示，将一颗豆子随机的扔到 -1 0 1 x
桌面上，假设豆子不落在线上，求下列事件的概率：
（1）豆子落在红色区域； 黄 红 绿
（2）豆子落在绿色区域； 红 绿 红
（3）豆子落在红色或绿色区域； 黄 红 黄
（4）豆子落在黄色或绿色区域。（答案：（1）豆子落在红色区域的概率为；（2）豆子落在绿色区域的概率为；（3）豆子落在红色或绿色区域的概率为；（4）豆子落在黄色或绿色区域的概率为。）
7、一个靶子如图所示，随机地掷一个飞镖扎在靶子上，假设飞镖既不会落在黑色靶心，也不会落在两种颜色之间，求飞镖落在下列区域的概率：
（1）编号为25的区域； （2）绿色区域（颜色较浅的区域）
（3）编号不小于24的区域； （4）编号在6号到9号之间的区域（按逆时针方向）；
（5）编号为奇数的区域； （6）红色（颜色较深）的编号为奇数的区域。
（答案：（1）飞镖落在编号为25的区域的概率为；（2）飞镖落在绿色区域（颜色较浅的区域）的概率为；（3）飞镖落在编号不小于24的区域的概率为；（4）飞镖落在编号在6号到9号之间的区域（按逆时针方向）的概率为；（5）飞镖落在编号为奇数的区域的概率为；（6）飞镖落在红色（颜色较深）的编号为奇数的区域的概率为。）
【典例6】解答下列问题：
1、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率，从而得出选项。
【详细解答】设在正三棱锥内任取一点P，使得＜的事件为A， ＜，p（A）=＜，D正确，选D。
2、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出蜜蜂“安全飞行”的概率从而得出选项。
【详细解答】设蜜蜂“安全飞行”的事件为A， =333=27，=111=1，
p（A）==，C正确，选C。
『思考问题6』
（1）【典例6】是几何概率中与体积相关的问题，解答这类问题首先需要理解几何概率的定义，注意几何概率的特点，掌握几何概率的计算方法；
（2）几何概率中与体积相关的问题解答的基本方法是：①求出整体几何体的体积；②求出某事件包含几何体的体积； ③运用公式：P(A)= 求出结果。
〔练习6〕解答下列问题：
1、在体积为V的三棱锥S—ABC的棱AB上任取一点P，则三棱锥S—APC的体积大于的概率是 ；（答案：三棱锥S—APC的体积大于的概率是）
2、有一个底面圆的半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 。（答案：P到点O的距离大于1的概率为）
【典例7】解答下列问题：
甲，乙两船驶向一个不能同时停泊两膄船的码头，它们在一昼夜内达到该码头的时刻是等可能的。如果甲船停泊的时间为1h，乙船停泊的时间为2h，求它们中任意一船都不需要等待码头空出的概率； y 乙船
【解析】 24
【知识点】①几何概率的定义与性质； 20
②求几何概率的基本方法；③互斥事件 16
的定义与性质；④互斥事件概率的定义 12
与基本求法。 8
【解题思路】运用几何概率和互斥事件概 4
率的基本求法，结合问题条件就可求出它们 0 4 8 12 16 20 24 甲船 x
中任意一船都不需要等待码头空出的概率。
【详细解答】如图，设它们中任意一船都不需要等待码头空出的事件为A， 甲船到码头的时间为x，乙船到码头的时间为y，x，y满足：y-x≥1且x-y≥2（x[0，24]，y[0，24]）根据题意作出图像如图所示，空白部分区域表示船需要等待码头空出，阴影部分区域表示它们中任意一船都不需要等待码头空出，p（A）==。
2、甲，乙两人约定在6时到7时在某地会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率。
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】根据几何概率和简单线性规划的性质，运用求几何概率的基本求法，结合问题条件就可求出两人能会面的概率。 y
【详细解答】如图，设两人能会面的事件为A，甲 7.00
到达是时间为x， 乙到达的随机为y，x，y满足：6.45
|y-x|≤15（x[0，60]，y[0，60]），根据题意作出 6.30
图像如图所示，空白部分的区域，表示两人能会面，6.15
阴影部分的区域表示两人不能会面， 0 6.15 6.30 6.45 7.00 x
p（A）== = 。
『思考问题7』
（1）【典例7】是与生活相关的几何概率，解答这类问题需要掌握几何概率的求法，同时还需要把生活中的问题与几何概率联系起来，看它和几何概率中的哪类问题相符，再按处理该类几何概率问题的基本方法进行解答；
（2）解答生活中的几何概率问题的基本方法是：①认真读题，理解题意；②抓住问题的特征寻找与几何概率相关的类型；③按照该类几何概率问题的解答方法去解答问题；④得出问题的解答结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、某校早上8:00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早到5分钟的概率为 （用数字作答）（答案：小张比小王至少早到5分钟的概率为）
2、甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时，假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达，试求这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率。（答案：这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为）
【追踪考试】
【典例8】解答下列问题：
1、（理）从正方体的8个顶点中任选4个，则这四个点在同一平面上的概率为 。
（文）从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率为（ ）（2022全国高考甲卷）
A B C D
【解析】
【考点】①正方体定义与性质；②组合数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据正方体和古典概率的性质，运用组合数计算公式和求古典概率的基本方法，结合问题条件就可求出从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的概率。（文）根据古典概率的性质，运用求古典概率的基本方法，结合问题条件求出从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的概率就可得出选项。
【详细解答】（理）设从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的事件为A， 从正方体的8个顶点中任选4个的基本事件为
==70（个），这四个点在同一平面上的基本事件为12个，P（A）==，即从正方体的8个顶点中任选4个，这四个点在同一平面上的概率为。（文）设从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的事件为A，从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张的基本事件有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个，抽到的2张卡片的数字之积是4的倍数的基本事件有：（1，4），（2，4），（2，6），（3，4），（4，5），（4，6）共6个，p（A）==，C正确，选C。
2、从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲，乙都入选的概率为 （2022
全国高考乙卷）
【解析】
【考点】①组合定义与性质；②组合数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据组合的性质和组合数计算公式，结合问题条件分别求出从甲，乙等5名同学中随机选3名和选出的3名同学中包含甲，乙两同学的组合数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的概率，就可得出选项。（文）设5名同学分别为，，，，，根据古典概率的性质，运用求古典概率的基本方法，结合问题条件求出从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的概率，就可得出选项。
【详细解答】（理）设从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的事件为A， 从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作的基本事件为= =10，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的基本事件为=3，p（A）=。（文）设从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的事件为B，5名同学分别为，，，，，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作的基本事件有：，，，，，，，，，共10个，从甲，乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，甲，乙都入选的基本事件有：，，共3个，p（B）=。
3、从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A B C D
【解析】
【知识点】①两个数互质定义与性质；②组合定义与性质；③组合数计算公式及运用；④古典概率的定义与性质；⑤求古典概率的基本方法。
【解题思路】根据两个数互质的性质，确定出2，3，4，5，6，7，8中互质的数，运用组合的性质和求组合数的公式分别求出从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数和取出的2个数互质的基本事件个数，利用古典概率的性质和求古典概率的基本方法，求出从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，这2个数互质的概率就可得出选项。
【详细解答】设从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，这2个数互质的事件为A，
从2，3，4，5，6，7，8中随机取2个不同的数的基本事件为==21，取出的2个数互质的基本事件为+++++=3+4+2+3+1+1=14，p（A）==，D正确，选D。
4、（理）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A B C D
（文）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）（2021全国高考甲卷）
A 0.3 B 0.5 C 0.6 D 0.8
【解析】
【考点】①排列定义与性质；②排列数计算公式及运用；③古典概率定义与性质；④求古典概率的基本方法。
【解答思路】（理）根据排列的性质和排列数计算公式，结合问题条件分别求出4个1和2个0随机排成一行和4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。（文）根据排列的性质和排列的基本方法，结合问题条件排出将3个1和2个0排成一行的所有可能的排列，分别求出排列总数与3个1和2个0排成一行的排列中2个0不相邻的排列数，运用古典概率的性质和求古典概率基本方法求出将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的概率就可得出选项。
【详细解答】设将4个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将4个1和2个0随机排成一行的排列数为=654321=720，将4个1和2个0随机排成一行，且2个0不相邻的排列数为=43211021=480，p（A）==，C正确，选C。设将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的事件为A，将3个1和2个0随机排成一行有：11100，00111，10011，11001，01011，01101，01110，10101，10110，11010共10个，将3个1和2个0随机排成一行，2个0不相邻的排列有：01011，01101，01110，10101，10110，11010共6个， p（A）==0.6，C正确，选C。
5、在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率为（ ）（成都市2019级二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②数学换元法及运用；③求解一元二次不等式的基本方法；④几何概率定义与性质；④求几何概率的基本方法。
【解题思路】根据指数的性质和数学换元法，得到关于t的一元二次不等式，运用求解一元二次不等式的基本方法求出t的取值范围，从而得到x的取值范围，利用几何概率的性质和求几何概率的基本方法求出在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的概率就可得出选项。
【详细解答】设在区间（-2，4）内随机取一个数x，使得-5.+4<0成立的事件为A，t=，t（0,+ ）, -5.+4<0, -5t+4<0, 16、在区间（0，）随机取1个数，则取到的数小于的概率为（ ）（2021全国高考乙卷）
A B C D
【解析】
【考点】①几何概率定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解答思路】根据几何概率的性质，运用求几何概率的基本方法，结合问题条件求出在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的概率就可得出选项。
【详细解答】设在区间（0，）随机取1个数，取到的数小于的事件为A，区间（0，）的长度为个单位长度，取到的数小于的长度为个单位长度，p（A）==，B正确，选B。
7、如图所示的矩形长为5，宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数
得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积
为（ ）
A B C 10 D 不能估计
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件求出黄豆落在阴影部分的概率，从而得出阴影部分的面积就可得出选项。
【详细解答】设黄豆落在阴影部分的事件为A，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，p（A）==，=52=10， p（A）=，
=10=，A正确，选A。
8、由不等式组 x0，确定的平面区域为，由不等式组 x+y1确定的平面区域为， y0， x+y-2，若在中随机取
y-x-20，一点，则该点恰好在内的概率为 。（成都市2015高二期末考试）
【解析】
【知识点】①几何概率的定义与性质；②求几何概率的基本方法。
【解题思路】运用几何概率的性质和基本求法，结合问题条件就可求出该点恰好在内的概率。
【详细解答】设该点恰好在内的事件为A，作出平面 y
区域为，平面区域为如图所示， = 2 2
=2，= - =2-=，
p（A）===。
『思考问题8』
【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末考试）试卷中关于古典概率和几何概率的问题，归结起来主要包括：①基本事件，古典概型的判断；②古典概率的求法；③古典概率与统计的综合问题；④与长度，角度相关的几何概率；⑤与面积相关的几何概率；⑥与体积相关的几何概率；⑦简单线性规划与几何概率的综合等几种类型；
解答古典概率和几何概率问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上购货业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决问题，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压300份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成30份订单的配货，为使第二天积压订单及当日订单的配货概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：B）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
2、利用随机模拟的方法计算图中阴影部分（抛物线y=2x-和X轴围成的部分）的面积S。
第一步，利用计算机产生两组0—1区间的均匀随机数：=RAND，=RAND；
第二步，进行伸缩变换a=2，b=2；
第三步，数出落在阴影内的样本点数，现作了100次试验，模拟得到=31，由此估计S= （2018—2019成都市高二上期调研考试）（答案：S=1.24。）
3、已知函数f(x)= （x+3），若在［-2,5］上随机取一个实数，则f()1的概率为（ ）（2017—2018成都市高二上期调研考试）（答案：D）
A B C D
4、如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III。在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为，，，则（ ）（2018全国高考新课标I卷）（答案：A）
A = B = C = D =+
5、（理）小明在花店定了一束鲜花，花店承若将在第二天早上7:30—8:30之间将鲜花送到小明家，若小明第二天离开家去公司上班的时间在早上8:00—9:00之间，中小明在离开家之前能收到这束鲜花的概率是（ ）（答案：D）
A B C D
（文）在区间［-4,1］上随机地取一个实数x，若x满足|x|＜a的概率为，则实数a的值为（ ）（2018成都市高三零诊）（答案：D）
A B 1 C 2 D 3
6、在正方形中随机撒一把豆子，求豆子落在正方形内切圆上的概率；（答案：豆子落在正方形内切圆上的概率为）
7、假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6.30—7.30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7.00—8.00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？（答案：父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是）
8、已知正三棱锥S—ABC的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P，使得＜的概率是（ ）（答案：D）
A B C D
9、一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，则称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为（ ）
A B C D （答案：C）
部 分
阴
影
阴影
部分
部 分
阴
影
阴影
部分
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