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抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线（定点在定直线外）的距离的
点的轨迹，它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线，它只有一支（双曲线有两支），
只有一条对称轴，没有渐近线和对称中心，属于无心曲线．抛物线的焦半径、
焦点弦性质丰富多彩，此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨，
抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点，这里就它的一些性质加以归纳，
说明和证明，及其在历年高考和模拟考试出现的典例．
一、焦半径、焦点弦性质
如图，AB 是过抛物线 y2＝2px（p＞0）焦点 F 的弦，AD、BC 是准线的垂线，
垂足分别为 D、C，M 是 CD 的中点，N 是 AB 的中点．设点 A(x1，y1)、点 B(x2，
y2)，直线 AB 交 y 轴于点 K(0，y3)，则：
p2 1 1 1
⑴ ① y1y2＝－p
2；② x1x2＝ ；③ ＋ ＝ ；
4 y y1 y2 y3
2p D A(x y )
④ | AB ，|＝x1＋x2＋p＝ （ 为 AB的倾斜角）； 1 1
sin2 G
p2 2p2
⑤ S△OAB＝ ，S 梯形 ABCD
＝ ..
3 M Q N2sin sin

R O p
1 1 2 F( ，0)2 x
⑵ ＋ ＝ ；
| AF | | BF | p H
C B(x2，y2)
⑶ ∠AMB＝∠DFC＝Rt∠；
x p＝－
⑷ AM、BM 是抛物线的切线； 2 K(0，y3)
⑸ AM、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线；
⑹ AM、DF、y 轴三线共点，BM、CF、y 轴三线共点；
⑺ A、O、C三点共线，B、O、D三点共线；
1
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⑻ 若| AF |：| BF |＝m：n，点 A在第一象限，
m－n为直线 AB 的倾斜角. 则 cos ＝ ；
m＋n
⑼ 以 AF 为直径的圆与 y轴相切，以 BF为直径的圆与 y轴相切；
以 AB为直径的圆与准线相切.
⑽ MN 交抛物线于点 Q，则，Q 是 MN 的中点.
p2 1 1 1
⑴ ① y1y2＝－p
2；② x1x2＝ ；③ ＋ ＝
4 y1 y2 y3
2p 2
④ | AB |＝x1＋x2＋p＝ （
p
为 AB 的倾斜角）；⑤S
2 △OAB
＝ ，
sin 2sin
2p2
S 梯形 ABCD＝ .
sin3
p p
【证明】设过焦点 F( ，0)的 AB 的直线方程为 x＝my＋ ，代入抛物线方程 y2
2 2
＝2px 得
y2－2pmy－p2＝0，因此
y
① y 21y2＝－p，y1＋y2＝2pm.
D A(x1，y1)
另由⑶得在 Rt△CFD 中，FR⊥CD，
有| RF |2＝| DR |·| RC |，
R O F( p，0) x
2
C B(x2，y2)
图 1
而| DR |＝| y1 |，| RC |＝| y2 |，| RF |＝p，且 y1 y2＜0
∴y1y2＝－p
2.
2
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y 2 y 2
② 又点 A、B在抛物线上，有 x ＝ 1，x＝ 21 2 ，
2p 2p
2 2
y y (y y )2 p2
因此 x1x 1 22＝ · ＝
1 2 ＝ .
2
2p 2p 4p 4
1 1 y1＋y2 2pm 2m
③ ＋ ＝ ＝ ＝－ ，
y1 y2 y1y2 －p
2 p
p p 1 1 1
在直线 AB 方程 x＝my＋ 中令 x＝0，得 y3＝－ ，代入上式得 ＋ ＝
2 2m y1 y2 y3
p
④【证法一】根据抛物线的定义，| AF |＝| AD |＝x1＋ ，| BF |＝| BC |＝
2
p
x2＋ ，
2
| AB |＝| AF |＋| BF |＝x1＋x2＋p
又| AB |＝ (x 22－x1) ＋(y2－y
2 2
1) ＝ 1＋m | y2－y1 |
＝ 1＋m2 (y ＋y )21 2 －4y1y2
＝ 1＋m2 4m2p2＋4p2＝2p(1＋m2)
1 1 cos
当 m≠0时，m＝ ＝ ＝ ，有
k tan sin
cos2 1
1＋m2＝1＋ ＝ （k为直线 AB 的斜率）
sin2 sin2
当 m＝0 时，
1
＝90 ，1＋m2＝1也满足 1＋m2＝
sin2 y
D A(x
2p 1
，y1)
∴| AB |＝2p(1＋m2)＝ .
sin2
B1
R O F A1 x
C B(x2，y2)
图 2
3
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【证法二】如图 2，过 A、B引 x轴的垂线 AA1、BB1，垂足为
A1、B1，那么| RF |＝| AD |－| FA1 |＝| AF |－| AF |cos ，
| RF | p
∴| AF |＝ ＝
1－cos 1－cos
| RF | p
同理，| BF |＝ ＝
1＋cos 1＋cos
p p 2p
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ ＋ ＝ .
1－cos 1＋cos sin2
【证法三】极坐标法，设抛物线的极坐标方程为
p
＝ ，则
1－cos
p p p
| AF |＝ 1＝ ，| BF |＝ 2＝ ＝ .
1－cos 1－cos( ＋ ) 1＋cos
p p 2p
∴| AB |＝| AF |＋| BF |＝ ＋ ＝ .
1－cos 1＋cos sin2
1 1 1 p
⑤S△OAB＝S△OAF＋S△OBF＝ | OF || y1 |＋ | OF || y1 |＝ ··(| y1 |＋| y1 |)
2 2 2 2
∵y 21y2＝－p，则 y1、y2异号，因此，| y1 |＋| y1 |＝| y1－y2 |
p p 2 2
S y y (y ＋y )2
p 2 p p
∴ △OAB＝ | 1－ 2 |＝ 1 2 －4y1y2＝ 4m p
2＋4p2 2＝ 1＋m＝ .
4 4 4 2 2sin
2p 2p
又∵| CD |＝| AB |sin ＝ ，| AD |＋| BC |＝| AB |＝ .
sin sin2
1 1 2p 2p p2
∴S 梯形 ABCD＝ (| AD |＋| BC |)·| CD |＝ × × ＝ .
2 2 sin sin2 sin3
【例 1】设坐标原点为 O，抛物线 y2＝2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则
→OA ·→OB ＝······················································（ ）
3 3
A. B. － C. 3 D. －3
4 4
4
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→ → p
2
2 3【解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 OA · OB ＝x1x2＋y1y2＝ －p ＝－ ，故
4 4
选 B.
【例 2】过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于
A、B 两点，若线段 AB的长为 8，则 p＝ .
1
2p 2p 8×
【解】由性质⑴得| AB |＝ ＝ ＝8，∴p＝ 2＝4.
sin2 sin245 2
1 1 2
⑵ ＋ ＝
| AF | | BF | p
p2 p p
【证法一】由⑴x1x2＝ ，且| AF |＝x1＋ ，| BF |＝x2＋ .
4 2 2
1 1 1 1 x1＋x2＋p
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝
| AF | | BF | p p p px1＋ x2＋ (x1＋ )·(x2＋ )
2 2 2 2
x1＋x2＋p x1＋x2＋p x1＋x2＋p 2
p p2＝ p2 p p2 ＝ p ＝
x1x2＋ (x p1＋x2)＋ ＋ (x1＋x2)＋ (x1＋x2＋p)
2 4 4 2 4 2
p p p
【证法二】由| AF |＝ 1＝ ，| BF |＝ 2＝ ＝ .
1－cos 1－cos( ＋ ) 1＋cos
1 1 1 1 1－cos 1＋cos 2
∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ＝
| AF | | BF | 1 2 p p p
【例 3】过抛物线 y＝ax2（a＞0）的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q两点，若
1 1
线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q，则 ＋ 等于··················（ ）
p q
1 4
A. 2a B. C.4a D.
2a a
1 1 1 1
【解】由 y＝ax2得 x2＝ y，（抛物线焦点到准线的距离为 ），由此得 ＋ ＝4a，
a 2a p q
故选 C.
5
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⑶ ∠AMB＝∠DFC＝Rt∠，先证明：∠AMB＝Rt∠
y
D A(x ，y )
【证法一】延长 AM交 BC 的延长线于 E， 1 1
如图 3，则△ADM≌△ECM， M N
O
R F x
∴| AM |＝| EM |，| EC |＝| AD |
E C B(x2，y2)
∴| BE |＝| BC |＋| CE |＝| BC |＋| AD |
＝| BF |＋| AF |＝| AB | 图 3
∴△ABE 为等腰三角形，又 M 是 AE 的中点，
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠
【证法二】取 AB的中点 N，连结 MN，则
1 1 1
| MN |＝ (| AD |＋| BC |)＝ (| AF |＋| BF |)＝ | AB |，∴| MN |
2 2 2
＝| AN |＝| BN |
∴△ABM 为直角三角形，AB为斜边，故∠AMB＝Rt∠.
p p p y1＋y2
【证法三】由已知得 C(－ ，y2)、D(－ ，y1)，由此得 M(－ ， ).
2 2 2 2
－p2y1＋yy － 2 y1－y1 2 p(y1－y ) p(y1－ )2 22 y1 p p
∴kAM＝ ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ ，同理 kBM＝
p y 2 y1 y2
x ＋ 2· 1＋p y＋p1 1 y ＋p
2
2 2p 1
p p p2 p2
∴kAM·kBM＝ · ＝ ＝ ＝－1
y y y y －p21 2 1 2
∴BM⊥AE，即∠AMB＝Rt∠.
6
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p p p y1＋y2
【证法四】由已知得 C(－ ，y2)、D(－ ，y1)，由此得 M(－ ， ).
2 2 2 2
→ p y
y
MA x 1
－y2 → p y2－y1∴ ＝( 1＋ ， )， MB ＝(x3＋ ， )
2 2 2 2 D A
→ → p p (y －y )(y －y ) 1∴ MA · MB 1 2 2 1＝(x1＋ )(x M 22＋ )＋
2 2 4 4 3
R O F x
p p2 (y1－y )
2
＝x x 2＋ (x ＋x )＋ － C B1 2 1 2
2 4 4
图 4
2 2 2
2
p2 p y y p2 y ＋y2－2y1y2
＝ ＋ ( 1＋ 2)＋ － 1
4 2 2p 2p 4 4
p2 y1y2 p
2 －p2
＝ ＋ ＝ ＋ ＝0
2 2 2 2
∴→MA ⊥→MB ，故∠AMB＝Rt∠.
【证法五】由下面证得∠DFC＝90 ，连结 FM，则 FM＝DM.
又 AD＝AF，故△ADM≌△AFM，如图 4
∴∠1＝∠2，同理∠3＝∠4
1
∴∠2＋∠3＝ ×180 ＝90
2 y
D A(x1，y1)
∴∠AMB＝Rt∠.

接着证明：∠DFC＝Rt∠ O
R
p
F( ，0) x2

【证法一】如图 5，由于| AD |＝| AF |，AD∥RF， C B(x2，y2)
故可设∠AFD＝∠ADF＝∠DFR＝ ， 图 5
同理，设∠BFC＝∠BCF＝∠CFR＝ ，
而∠AFD＋∠DFR＋∠BFC＋∠CFR＝180
∴2( ＋ )＝180 ，即 ＋ ＝90 ，故∠DFC＝90
7
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p y1＋y2 y
【证法二】取 CD的中点 M，即 M(－ ， )
2 2 D1D A(x1，y1)
p －y2 －y p G
由前知 kAM＝ ，kCF＝
2
y p p
＝ ＝ M
1 ＋ ＋ p y1 O
2 2 R F xH
B(x2，y2)
∴kAM＝kCF，AM∥CF，同理，BM∥DF C
∴∠DFC＝∠AMB＝90 .
图 6
【证法三】∵→DF ＝(p，－y1)，
→CF ＝(p，－y2)，
∴→DF ·→CF ＝p2＋y1y2＝0
∴→DF ⊥→CF ，故∠DFC＝90 .
| DR | | RF |
【证法四】由于| RF |2＝p2＝－y1y2＝| DR |·| RC |，即 ＝ ，
| RF | | RC |
且∠DRF＝∠FRC＝90
∴ △DRF∽△FRC
∴∠DFR＝∠RCF，而∠RCF＋∠RFC＝90
∴∠DFR＋∠RFC＝90
∴∠DFC＝90
l y
M1
【例 4】如图 7，过抛物线 y2＝2px（P＞0）的焦点 F M
的直线与抛物线相交于 M、N 两点，自 M、N向准线
O F x
l 作垂线，垂足分别为 M1、N1，求证：FM1⊥FN1 N1 N
图 7
8
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⑷ AM、BM 是抛物线的切线 y
2 D1
D A(x1，y1)
p p y
【证法一】∵kAM＝ ，AM的直线方程为 y－y1＝ (x－ 1)
y1 y1 2p M
O
与抛物线方程 y2＝2px x联立消去 x得 R F
C B(x2，y2)2
2
p y2 y
y－y1＝ ( － 1)，整理得 y
2－2y1y＋y＝0
y 2p 2p 1 图 81
2
2
可见△＝(2y1) －4y ＝0，
1
故直线 AM与抛物线 y2＝2px 相切，
同理 BM也是抛物线的切线，如图 8.

2
【证法二】由抛物线方程 y＝2px x (y2，两边对 求导， ) ＝(2px) ，
x x
p
得 2y·y ＝2p，y ＝ ，故抛物线 y2＝2px 在点 A(x1，y1)处的切线的斜率
x x y
p
为 k 切＝y | y＝y1＝ .
x y1
p
又 kAM＝ ，∴k 切＝kAM，即 AM 是抛物线在点 A 处的切线，同理 BM也是抛
y1
物线的切线.
p y1＋y2
【证法三】∵过点 A(x1，y1)切线方程为 y1y＝p(x＋x1)，把 M(－ ， )代入
2 2
2
y ＋y y ＋y y 2 2
左边＝y · 1 2
1 2 2px －p p
＝ 11 ＝
1 ＝px1－ ，
2 2 2 2
p p2
右边＝p(－ ＋x1)＝－ ＋px1，左边＝右边，可见，过点 A 的切线经过点 M，
2 2
即 AM 是抛物线的切线，同理 BM也是抛物线的切线.
9
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⑸ AM、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线 y
D A(x1，y1)
【证法一】延长 AM交 BC 的延长线于 E，如图 9，
M
则△ADM≌△ECM，有 AD∥BC，AB＝BE， NO
R F x
∴∠DAM＝∠AEB＝∠BAM，
E C B(x2，y2)
即 AM平分∠DAB，同理 BM 平分∠CBA.
图 9
【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB的倾斜
角
p y1＋y2
是直线 AM的倾斜角 的 2倍即可，即 ＝2 . 且 M(－ ， )
2 2
y2－y1
y2－yk 1 2
2p
∵tan ＝ AB＝ ＝ ＝ .
x－x y 22 1 y y1＋y2
2－ 1
2p 2p
2
y1＋y －py － 2 y1－y2 p(y －y ) p(y1 1－ )
2
1 2
2 y1 p
tan ＝kAM＝ ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ .
p y 2 y1
x ＋ 2· 1＋p y＋p1 1 y ＋p
2
2 2p 1
2p
2py1 2py1
2tan y1 2p∴tan 2 ＝ ＝ ＝ 2 ＝ 2 ＝ ＝tan
1－tan2 p 2
1－( )2 y －p y ＋y y
y1＋y2
1 2
y 2 21
∴ ＝2 ，即 AM平分∠DAB，同理 BM 平分∠CBA.
⑹ AM、DF、y 轴三线共点，BM、CF、y 轴三线共点
【证法一】如图 10，设 AM 与 DF 相交于点 G1，
由以上证明知| AD |＝| AF |，AM 平分∠DAF，故 AG1也是 DF边上的中线，
∴G1是 DF的中点.
10
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设 AD与 y轴交于点 D1，DF与 y轴相交于点 G， y2
D1
D A(x1，y1)
易知，| DD1 |＝| OF |，DD1∥OF，
G
M
故△DD1G2≌△FOG2 O
R F xH
∴| DG2 |＝| FG2 |，则 G2也是 DF的中点.
C B(x2，y2)
图 10
∴G1与 G2重合（设为点 G），则 AM、DF、y 轴三线共点，
同理 BM、CF、y轴也三线共点.
2
p y
【证法二】AM的直线方程为 y－y1＝ (x－ 1)，
y1 2p
y1
令 x＝0得 AM 与 y轴交于点 G1(0， )，
2
y1 p y又 DF 的直线方程为 y＝－ (x－ )，令 x＝0得 DF 与 y轴交于点 G2(0，
1)
p 2 2
y
∴AM、DF y 1与 轴的相交同一点 G(0， )，则 AM、DF、y 轴三线共点，
2
同理 BM、CF、y轴也三线共点 H．由以上证明还可以得四边形 MHFG 是矩形.
⑺ A、O、C 三点共线，B、O、D 三点共线
y
y1
y1 2 2p
D A(x1，y1)
【证法一】如图 11，kOA＝ ＝ ＝ ，
x1 y y1
1
2p O
R F x
y2 2y2 2py2 2py2 2pkOC＝ p ＝－ ＝－ ＝－ ＝
C B(x2，y2)
2
－ p p －y1y2 y1
2
图 11
∴kOA＝kOC，则 A、O、C三点共线，
同理 D、O、B三点也共线.
11
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【证法二】设 AC与 x轴交于点 O ，∵AD∥RF∥BC
| RO | | CO | | BF | | O F | | CB |
∴ ＝ ＝ ， ＝ ，
| AD | | CA | | AB | | AF | | AB |
| RO | | O F |
又| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，∴ ＝
| AF | | AF |
∴| RO |＝| O F |，则 O 与 O 重合，即 C、O、A三点共线，同理 D、O、B 三点
也共线.
| O F | | AF |
【证法三】设 AC与 x轴交于点 O ，RF∥BC， ＝ ，
| CB | | AB |
| CB |·| AF | | BF |·| AF | 1 p
∴| O F |＝ ＝ ＝ ＝
| AB | | AF |＋| BF | 1 1＋ 2
| AF | | BF |
【见⑵证】
∴O 与 O 重合，则即 C、O、A 三点共线，同理 D、O、B 三点也共线.
p
【证法四】∵→OC ＝(－ ，y )，→2 OA ＝(x1，y1)，
2
2
p p y py y y y 2
∵－ ·y－x y ＝－ ·y－ 1 y ＝－ 1－ 1 2 1
py p y
1 1 2 1 2 ＝－
1＋ 1＝0
2 2 2p 2 2p 2 2p
∴→OC ∥→OA ，且都以 O为端点
∴A、O、C 三点共线，同理 B、O、D 三点共线.
【推广】过定点 P(m，0)的直线与抛物线 y2＝2px（p＞0）相交于点 A、B，过
A、B 两点分别作直线 l：x＝－m的垂线，垂足分别为 M、N，则 A、O、N 三点共
线，B、O、M三点也共线，如下图：
12
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【例 5】设抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F，经过点 F 的直线交抛物线于 A、
B 两点，点 C在抛物线的准线上，且 BC∥x 轴. 证明直线 AC 经过原点 O.
【证法一】因为抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点为 F(－
y
p
，0)，所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x A(x1，y1)
2
p
＝my＋ ； O
2 R F x
B(x2，y2)
代入抛物线方程得 y2－2pmy－p2＝0 C
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1，y2是该方程的两个根，
图 12
∴y1y2＝－p
2
p p
因为 BC∥x轴，且点 C 在准线 x＝－ 上，故 C(－ ，y2)，
2 2
y2 2p y1
∴直线 CO的斜率为 kOC＝ p ＝ ＝ ＝kOA.
－ y1 x1
2
y
∴直线 AC经过原点 O.
D A(x1，y1)
【证法二】如图 13，过 A作 AD⊥l，D 为垂足，则：
AD∥EF∥BC，连结 AC 与 EF 相交于点 N， O
E N F x
| EN | | CN | | BF | | NF | B(x2，y2)
则 ＝ ＝ ， ＝ C
| AD | | AC | | AB | | BC |
| AF | 图 13
| AB |
13
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由抛物线的定义可知：| AF |＝| AD |，| BF |＝| BC |
| AD |·| BF | | AF |·| BC |
∴| EN |＝ ＝ ＝| NF |.
| AB | | AB |
即 N是 EF 的中点，与抛物线的顶点 O 重合，所以直线 AC经过原点 O.
⑻ 若| AF |：| BF |＝m：n，点 A 在第一象限， 为直线 AB 的倾斜角. 则 cos
m－n＝ ；
m＋n
【证明】如图 14，过 A、B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 D，C，过 B 作
BE⊥AD 于 E，设| AF |＝mt，| AF |＝nt，则
| AD |＝| AF |，| BC |＝| BF |，| AE |＝| AD | y
E
D A
－| BC |＝(m－n)t
| AE | (m－n)t m－n
∴在 Rt△ABE 中，cos∠BAE＝ ＝ ＝ R O F x
| AB | (m＋n)t m＋n C B
m－n l 图 14
∴cos ＝cos∠BAE＝ .
m＋n
【例 6】设经过抛物线 y2＝2px 的焦点 F的直线与抛物线相交于两点 A、B，
且| AF |：| BF |＝3：1，则直线 AB 的倾斜角的大小为 .
【答案】60 或 120 .
⑼ 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切，以 BF 为直径的圆与 y 轴相切；以 AB 为直径
的圆与准线相切.
y
A
【说明】如图 15，设 E 是 AF 的中点， D
p E
＋x1 y1 N
则 E 的坐标为( 2 ， )， M
2 2 R O F x
p C
＋x B1 1
则点 E到 y 轴的距离为 d＝ 2 ＝ | AF | l
2 图 152
14
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故以 AF为直径的圆与 y轴相切，
同理以 BF为直径的圆与 y轴相切.
【说明】如图 15，设 M 是 AB 的中点，作 MN⊥准线 l于 N，则
1 1 1
| MN |＝ (| AD |＋| BC |)＝ (| AF |＋| BF |)＝ | AB |
2 2 2
1
则圆心 M到 l的距离| MN |＝ | AB |，
2
故以 AB 为直径的圆与准线相切.
⑽ MN 交抛物线于点 Q，则 Q 是 MN 的中点.
2 2
y y p
【证明】设 A( 1，y )，B( 21 ，y1)，则 C(－ ，y2)，
2p 2p 2 图 16
p
D(－ ，y1)，
2
2
2
p y ＋y y ＋y2 y ＋y
M(－ ， 1 2)，N( 1 ， 1 2)，
2 2 4p 2
2
2
p y ＋y2
－ ＋ 1 y ＋y
设 MN 的中点为 Q ，则 Q ( 2 4p ， 1 2)
2 2
2
2
p y ＋y
2 2
2 y 2
－ ＋ 1 2 2 2 1
＋y2
2 －2p ＋y＋yp 2
2y1y2＋y＋y2
∵ 4 ＝ 1 ＝ 1 ＝ 2
2 8p 8p 2p
∴点 Q 在抛物线 y2＝2px 上，即 Q是 MN 的中点.
15
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二、定点、定值、定直线问题（共 9个结论）
★⑴平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点，如
图 17.
【证明】如图 17，设抛物线方程为 y2＝2px（p＞0），直线 AB∥x 轴，
点 A 的坐标为(x0，y l0)，则过 A 点的切线方程
p A B
为 y0y＝p(x＋x0)，直线 l 的斜率为 k0＝ ，
y0
O F x
p直线 AB 到 l的角为 ，则 tan ＝ ， T
y0
图 17
y 2py0 0
设直线 AF的斜率为 k1，则 k ＝ ＝ 21 p ，
x0－ y －p2
2 0
2py0 p 2
2 －
2
k －k y －p2 y0 p(y ＋p ) p
设直线 l到 AF 的角为 ，则 tan ＝ 1 0 ＝ 00 ＝ ＝ .
1＋k0k 21 p 2py y0(y0＋p
2) y0
0
1＋ · 2
y0 y0－p
2
∴tan ＝tan ，又 、 ∈[0， )，则 ＝ ，
也就是说平行于抛物线对称轴的光线，被抛物面反射后会聚焦于抛物线的
焦点.
【例 7】如图 18，从点 M(x0，2)发出的光线沿平行 y
P
于抛物线y2＝4x的轴的方向射向抛物线的点P， M
F l x y O F反射后经焦点 又射向直线 ： －2 －7＝0 上 x
Q N M
的点 N，再反射后又设回点 M，则 x0＝ .
图 18
16
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【解】PM∥x 轴，点 P 在抛物线上，得 P的坐标为(1，2)，经过 F(1，0)点后
反射在 Q点，则 Q的坐标为(1，－2)，经 Q 反射后点 N 的坐标为(3，－2)，
设 M 关于 l 对称的点为 M ，依题意，Q、N、M 共线.
故可设 M (x1，－2)，
2＋2 1
· ＝－1
x0－x1 2
由此得 x0＋x1 2－2 ，解得 x＝6.―2· ―7＝0 0
2 2
【另解】若设 Q 关于直线 l 的对称点为 Q ，设 Q (a，b)，由于 Q、Q 关于直线
l 对称，由此得
b＋2 1 9
· ＝－1 a＝
a－1 2 5
9 18
a＋1 b－2 ，解得 18 则 Q 的坐标为( ，－ )，
―2· ―7＝0 b＝－ 5 5
2 2 5
18
－ ＋1
5 2＋2
又 M、N、Q 三点共线，kMN＝kNQ ，即 ＝ ，
9 x0－3
－3
5
∴x0＝6.
⑵若 C(x0，y0)是抛物线 y
2＝2px（p＞0）上的任一点，过 C 引两条互相垂直的
直线交抛物线于 A、B，则直线 AB 过定点(2p＋x0，－y0).
2
A( s ，s)
y 2p
s2 t2
【证明】设 A( ，s)、B( ，t)（s，t，y0互不相等）
2p 2p
C(x0，y0)
那么，由 AC⊥BC 得 O
x
y0－s y0－t
kAC·kBC＝ s2 · t2
x0－ x0－
2p 2p
t2
图 19 B( ，t)2p
17
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y0－s y0－t
4p22 2
＝ · ＝ ＝－1
y s2 y t2 (y0＋s)(y0＋t)
0－ 0－
2p 2p 2p 2p
∴4p2＝－(y0＋s)(y0＋t)
2
∴st 2＝－4p －(s＋t)y0－y ①
0
s2
x－
y－s 2p 2px＋st
又直线 AB 的方程为 ＝ ，整理得，y＝ ②
t－s t2 s2 s＋t
－
2p 2p
2
2px－4p2－(s＋t)y0－y 2px－4p2－2px0 2p把①代入②得 y＝ 0＝ －y0＝ (x－2p
s＋t s＋t s＋t
－x0)－y0
令 x－2p－x0＝0，即 x＝2p＋x0，得 y＝－y0.
故直线 AB 过定点(2p＋x0，－y0).
特别地，当 C 是抛物线的顶点时，定点 P 的坐标为(2p，0).
【拓展】C(x0，y0)是抛物线 y
2＝2px（p＞0）上的一定点，直线 AB 与抛物
线相交于 A、B 两点（都异于 C），若直线 CA、CB 的斜率 kCA、kCB的乘积为定值 m，
2p
那么，直线 AB 过定点(x0－ ，－y0).
m
18
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【例 8】如图 20，设点 A 和 B 为抛物线 y2＝4px（p＞0）上原点以外的两个动
点，已知 OA⊥OB，OM⊥AB，求点 M 的轨迹方程，
y A(xA，yA)
并说明它表示什么曲线．
O
P x
M
B(xB，yB)
图 20
【解法一】点 A，B 在抛物线 y2＝4px 上，
2 2
y y
设 A( A，yA)，B( B，yB)，OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB．
4p 4p
yA yB－yA
2 4p 4p 2 4p
∴kOA＝ ＝ ，kOA＝ ，kAB＝ ＝ .
y yA yB y 2y yA＋yB
A B－ A
4p 4p 4p
16p2
由 OA⊥OB，得 kOA·kOB＝ ＝－1 ·········①
yAyB
2 2
4p y y
∴直线 AB 方程为，y－yA＝ (x－ A)，即(yA＋yB)(y－yA)＝4p(x－ A) ②
yA＋yB 4p 4p
y ＋y
由 OM AB A B⊥ ，得直线 OM方程 y＝ ········· ③
4p
x
设点 M(x，y)，则 x，y 满足②、③两式，将②式两边同时乘以－ ，并利
4p
x
用③式整理得， y 2＋yy－(x2＋y2A A )＝0 ············· ④
4p
x
由③、④两式得－ ＋y 2 2ByA－(x ＋y )＝0，
4p
19
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由①式知，yAyB＝－16p
2， y A(xA，yA)
所以 x2＋y2－4px＝0．
因为 A、B是原点以外的两点，所以 x≠0． O
P x
M
所以点 M 的轨迹是以(2p，0)为圆心，
以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点． B(xB，yB)
图 21
【解法二】由性质(2)易知 AB 经过定点 P(4p，0)，由于 OM⊥AB，那么，M的轨
迹以(2p，0)为圆心，以 2p 为半径的圆，去掉坐标原点．其轨迹方程为
x2＋y2－4px＝0（x≠0）.
⑶抛物线 y2＝2px（p＞0）的弦 AB 的中点 D 恰好在定直线 l：x＝m（m＞0）上，
则线段 AB 的垂直平分线过定点 M(m＋p，0).
【证明】如图 22，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(m， y0)，
那么
2
y ＝2px1…………①
1
2
y2＝2px2…………②
2 2
①－②得y －y＝2p(x1－x2)
1 2
图 22
y1－y2 2p p
∴直线 AB 的斜率 kAB＝ ＝ ＝
x1－x2 y1＋y2 y0
1 y0
∴直线 DM的斜率 kDM＝－ ＝－
kAB p
y0
∴DM的直线方程为 y－y0＝－ (x－m)
p
令 y＝0，得 x＝m＋p
∴直线 AB 的垂直平分线恒过定点(m＋p，0).
20
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【例 9】若 A、B是抛物线 y2＝4x 上的不同两点，弦 AB（不平行于 y 轴）的垂
直平分线与 x 轴相交于点 P，则称弦 AB是点 P 的一条“相关弦”.已知当
x＞2时，点 P(x，0)存在无穷多条“相关弦”．给定 x0＞2．
⑴证明：点 P(x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；⑵（略）
【说明】应用性质⑶，由已知得 p＝2，由定点 P(x0，0)得 m＋p＝x0，故 m＝x0
－2
∴“相关弦”的中点的横坐标为 x0－2.
⑷设直线 l 与抛物线 y2＝2px（p＞0）相交于点 A(x1，y1)、B(x2，y2)，那么
①若直线 l 过抛物线对称轴的定点 M(a，0)，则 y1y2＝－2ap，x1x2＝a
2；
反之
k
②若 y1y2＝k（定值），则直线 l 恒过定点 N (－ ，0).
2p
1 1 1
③若直线 l 与 y 轴相交于点(0，y3)，则 ＋ ＝ .
y1 y2 y3
【证明】①设过点 M(a，0)的直线方程为 x＝my＋a，
y
A(x1，y1)
代入抛物线方程 y2＝2px 得 y2－2pmy－2pa＝0，因此
2 2
y y (y y )2 4a2p2
y1y2＝－2ap，x x ＝ 1· 2＝
1 2 2 O
1 2 ＝ ＝a .2 2 x
2p 2p 4p 4p
B(x2，y2)
②设直线 l 方程为 x＝my＋b，代入抛物线方程 y2＝2px
得 y2－2pmy－2pb＝0， 图 23
即方程的根 y1、y2是 P、Q 两点的纵坐标
∴y1y2＝－2pb，又 y1y2＝k.
k k
∴－2pb＝k，即 b＝－ ，则直线 l 方程为 x＝my－
2p 2p
21
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k k
令 y＝0，得 x＝－ ，则直线 l恒过定点 N(－ ，0).
2p 2p
a
③由 l 的方程 x＝my＋a 中，令 x＝0得 y3＝－ ，y1＋y2＝2pm
m
1 1 y1＋y2 2pm m 1
∴ ＋ ＝ ＝ ＝－ ＝ .
y1 y2 y1y2 －2ap a y3
【例 10】如图 24，O 为坐标原点，直线 l 在 x轴和 y轴 y
M(x1，y1)
上的截距分别为 a 和 b（a＞0，b≠0），且交抛物线
2 a xy ＝2px（p＞0）于 M(x1，y1)、N(x2，y2)两点.
O
N(x2，y2)
b
⑴写出直线 l 的截距式方程；
图 24
1 1 1
⑵证明： ＋ ＝ .
y1 y2 b
x y
⑴【解】直线 l 的截距式方程为 ＋ ＝1.
a b
1 1 1
⑵由上面性质⑶证明可得 ＋ ＝ .
y1 y2 b
⑸过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，且与
准线交于点 M，设→MA ＝ →AF ，→MB ＝ →BF ，则 ＋ ＝0.
p p
【证法一】设过点 F( ，0)的直线方程为 x＝my＋ ，
2 2 y
A(x1，y1)
代入抛物线方程 y2＝2px 得
y2－2pmy－p2＝0，因此 y y 21 2＝－p，y1＋y2＝2pm O F x
B(x2，y2)
p p
令 x＝－ ，得 yM＝－
2 m
M 图 25
→ p p p由 MA ＝ →AF得(x1＋ ，y1＋ )＝ ( －x1，－y1)
2 m 2
p p p
∴y1＋ ＝－ y1， ＝1＋ ，同理， ＝1＋
m my1 my2
22
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p p p(y1＋y2) p·2pm∴ ＋ ＝2＋ ＋ ＝2＋ ＝2＋ ＝2－2＝0.
my1 my2 my1 y2 m·(－p
2)
【证法二】由已知→MA ＝ →AF ，→MB ＝ →BF ，得 · ＜0．
|→MA | |→AF |
则 ＝－ ·········· ① y
|→MB | |→BF | A1 A(x1，y1)
过点 A，B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 A1，B1，
O F x
→ → → B1 B(x2，y2)| MA | | AA1 | | AF |
则有： ＝ ＝ ②
|→MB | |→BB →1 | | BF | M 图 26
|→AF | |→AF |
由①②得－ ＝ ，即 ＋ ＝0.
|→BF | |→BF |
【例 11】如图 27，已知点 F(1，0)，直线 l：x＝－1，P 为平面上的动点，过
P 作直线 l 的垂线，垂足为点 Q，且→QP ·→QF ＝ l y
→FP ·→FQ ．
F
⑴求动点 P的轨迹 C的方程； －1 O 1 x
⑵过点 F 的直线交轨迹 C于 A，B两点，交直线 l于
图 27
点 M，已知
→MA ＝ →AF ，→1 MB ＝ →2 BF ，求 1＋ 2的值；
【略解】⑴动点 P的轨迹 C的方程为：y2＝4x；⑵ 1＋ 2＝0.
23
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⑹定长为 l 的弦 AB 的两个端点在抛物线 y2＝2px 上，M 是 AB 的中点，M 到 y 轴
的距离为 d，那么，M 的轨迹方程为：4(y2＋p2)(2px－y2)＝p2l2，且
l2
①当 0＜l＜2p 时，d 的最小值为 ，此时，AB∥y 轴；
8p y
l－p A(x1，y1)
②当 l≥2p 时，d 的最小值为 ，此时，弦 AB 过焦点
2
M(x0，y0)
F. O F x
B(x2，y2)
【解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦 AB 的中点 M 的坐标为
(x0，y0)，
图 28
AB的直线方程为x＝my＋b，代入抛物线方程y2＝2px
得 y2－2pmy－2pb＝0. ∴y1＋y2＝2pm，y1y2＝－2pb.
又 AB 的中点为 M(x0，y0)，且点 M在直线 AB 上，
2
y y
∴y ＝ 1
＋y2 y
0 ＝pm，x0＝my0＋b，m＝
0，b＝x0－my0＝x 00－ .
2 p p
∴| AB |2＝l2＝(x1－x )
2
2 ＋(y－y )
2
1 2 ＝(my1＋b－my2－b)
2＋(y－y )21 2
＝(1＋m2)(y1－y )
2
2 ＝(1＋m
2)[(y 21＋y2) －4y1y2]
2 2 2
2 2
y y y
＝(1＋ 0)[4y ＋8pb]＝(1＋ 0)[4y ＋8p(x － 00 )]
p2 0 p2 0 p
2 2
y p2 px y p2l2 M y2 p2整理得，4( ＋ )(2 0－ )＝ . 故中点 的轨迹方程为：4( ＋ )(2px－
0 0
y2)＝p2l2.
pl2 y2
由上可知 d＝x＝ ＋ ，令 t＝y2＋p2≥p2，即 y2＝t－p2，则
8(y2＋p2) 2p
pl2 t－p2 pl2 t p pl2 t pl
d＝x＝ ＋ ＝ ＋ － （t≥p2）.令 ＝ ，得 t＝ .
8t 2p 8t 2p 2 8t 2p 2
24
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pl
①当 0＜l＜2p 时，p2＞ ，d在 t∈[ p2，＋∞)上是增函数，
2
pl2 p2 p l2
∴当 t＝p2，即 y＝0 时，dmin＝ ＋ － ＝ ，此时，m＝0，即 AB∥y
8p2 2p 2 8p
轴.
pl pl22 t p pl 2 t p l－p②当 l≥2p 时，p ≤ ，∴d＝ ＋ － ≥2 － ＝ .
2 8t 2p 2 8t 2p 2 2
pl2 t pl l－p
当且仅当 ＝ ，即 t＝ ≥p2时取等号，故 d 的最小值为 .
8t 2p 2 2
p
②【证法二】当 l≥2p 时，过 A、B、M作准线 x＝－ 的 y
2 A A
垂线，垂足为 A 、B 、M ，则 M
M
p 1 1
| MM |＝d＋ ＝ (| AA |＋| BB |)＝ (| AF |＋| BF |) O F x
2 2 2 B B
1 1
≥ | AB |＝ l.
2 2
图 29
上式当且仅当| AF |＋| BF |＝| AB |，即弦 AB 过抛
1 p l－p
物线的焦点 M 时取等号，则 d 的最小值为 l－ ＝ .
2 2 2
【说明】经过焦点 F 的最短弦是通经 2p，因此当弦 AB的长 l＜2p 时，不能用
l2
证法二证明 d的最小值为 .
8p
y
【例 12】长度为 a 的线段 AB 的两个端点在抛物线 x2
A
C
＝2py（a≥2p＞0）上运动，以 AB的中点 C为圆 F
B
心作圆与抛物线的准线相切，求圆 C 的最小半 O x
径. 图 30
25
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【解】依题意，问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上，弦的中点 C到 y
轴的距离的最值问题，由上面的性质可知当弦 AB经过焦点 F 时，点 C 到
准线的距离为最小值. 如图 30.
a
∴圆 C的最小半径为 r＝ .
2
⑺过抛物线 y2＝2px（p＞0）的对称轴上的定点 M(m，0)（m＞0），作直线 AB
与抛物线相交于 A，B 两点．点 N 是定直线 l：x＝－m 上的任一点，则直
线 AN，MN，BN 的斜率成等差数列.
【证明】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(－m，n)，
y
由性质⑶有 y1y2＝－2pm， N B
(－m，n)
y －n y －n
则直线 AN、BN 1 2的斜率为 kAN＝ ，kBN＝
x1＋m x2＋m
O xM(m，0)
y1－n y2－n
A
2 2
∴kAN＋kBN＝ ＋
y y
1 2 x＝－m 图 31＋m ＋m
2p 2p
2p(y1－n) 2p(y2－n) 2p(y1－n) 2p(y1－n)
＝ 2 ＋ 2 ＝ 2 ＋ 2
y ＋2pm y ＋2pm y －y1y2 y －y1y2
1 2 1 2
2p[y2(y1－n)－y1(y2－n)] 2pn(y1－y2) 2pn 2pn n
＝ ＝ ＝ ＝ ＝－
y1y2(y1－y2) y1y2(y1－y2) y1y2 －2pm m
n－0 n
又∵直线 MN 的斜率为 kMN＝ ＝－ .
－m－m 2m
∴kAN＋kBN＝2kMN
∴直线 AN，MN，BN 的斜率成等差数列.
26
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⑻抛物线的一组平行弦的中点共线，且所在直线平行于对称轴或与对称轴重
合.
【证明】设斜率为 k（k 为常数）的一组平行线与抛物线 y2＝2px（p＞0）交于
点 Ai、Bi（i＝1，2，…），弦 AiBi的中点为 Mi，（即 M1，M2，…，Mn），且 AiBi
的直线方程为 y＝kx＋bi（bi为直线 AiBi在 y轴上的截距），Ai(x1，y1)，Bi(x2，
y2)，Mi(xi，yi). y Ai
y2＝2px k
联立方程组 ，消去 x得 y2－y＋b ＝0 Miy＝kx＋b ii 2p O x
2p Bi
∴y1＋y2＝ ，又 Mi是 AiBi的中点
k 图 33
y1＋y2 p p
∴yi＝ ＝ ，则 M1，M2，…，Mn在平行于 x 轴的直线 y＝ 上.
2 k k
当直线 AiBi与 x 轴垂直（即直线 AiBi的斜率不存在时），易知 M1，M2，…，
Mn在 x 轴上.
【例 13】已知抛物线 C：y＝2x2，直线 y＝kx＋2 交 C 于 A，B 两点，M 是线段
AB 的中点，过 M作 x 轴的垂线交 C 于点 N．
y
⑴证明：抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB平行； A
M
2 2 2
【证明】如图 34，设 A(x1，2x )，B(x1，2x )， B 1
1 2
N x
把 y＝kx＋2 代入 y＝2x2得 2x2－kx－2＝0， O 1
图 34
k
由韦达定理得 x1＋x2＝ ，x1x2＝－1，
2
x ＋x k k k2
∴xN＝x
1 2
M＝ ＝ ，即 N 点的坐标为( ， )
2 4 4 8
k2 k
设抛物线在点 N 处的切线 l的方程为 y－ ＝m(x－ )，
8 4
27
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mk k2
将 y＝2x2代入上式得 2x2－mx＋ － ＝0，
4 8
∵直线 l 与抛物线 C相切，
2 mk k
2
∴ ＝m－8( － )＝0，
4 8
解得 m＝k，即 l∥AB.
【说明】其实，也就是与 AB平行的弦，它们的中点在过 AB中点且与对称轴（x
轴）平行的直线上，它与 C的交点 N，此时的切点就是这些弦的缩点，故
过 N 点的抛物线 C 的切线与 AB平行.
⑼过定点 P(x ，y )作任一直线 l 与抛物线 y20 0 ＝2px（p＞0）相交于 A、B 两点，
过 A、B 两点作抛物线的切线 l1、l2，设 l1，l2相交于点 Q，则点 Q 在定直线 px
－y0y＋px0＝0 上.
【证明】设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，因为过点 y
A
P 与 x 轴平行的直线与抛物线只有一个
Q
交点，所以直线 AB 与 x 轴不平行，故可 O
P x
设 AB的方程为 x－x0＝m(y－y0). B
y2＝2px
联立方程组 x x m y y ，消去 x得－ 0＝ ( － 图 350)
1
y2－my＋my0－x0＝0
2p
∴y1y2＝2p(my0－x0)
又过 A、B 两点的抛物线的切线方程为
y1y＝p(x＋x1)
y1y＝p(x＋x1)和 y2y＝p(x＋x2)，联立方程组 y2y＝p(x
解得
＋x2)
28
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y 2 2y
1·y－ 2x1y2－x2y 2
·y1
x 1 2p 2p
y1y2
Q＝ ＝－ ＝ ＝my0－x0 ①
y1－y2 y1－y
2p
2
x1－xy 2Q＝p· ＝pm ·······································②
y1－y2
yQ ym Q由②得 ＝ 代入①得xQ＝ y0－x0，∴点Q在直线px－y0y＋px0＝0上.
p p
【例 14】如图 36，对每个正整数 n，An(xn，yn)是抛物线 x
2＝4y上的点，过焦
点 F的直线 FAn交抛物线于另一点 Bn(sn，tn). y
⑴试证：xnsn＝－4（n≥1）；
An
⑵取 x nn＝2 ，并记 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为 A2
B1 F A1
B2
切点的两条切线的交点.试证：| FC1 |＋| FC | Bn2 O x
Cn
＋…＋| FCn |＝2
n－2－n＋1＋1. 图 36
【说明】本题第⑴小题就是抛物线的焦点弦的性质 y1y2=－p
2.
第⑵小题两条切线的交点 Cn就是上面抛物线的性质，即点 Cn必在直线 y＝
－1上.
【例 15】如图，设抛物线方程为 x2＝2py
y
（p＞0），M 为 直线 y＝－2p 上任意一点，
B
过 M 引抛物线的切线，切点分别为 A，B. A
x
O
⑴求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列； －2p
M
⑵⑶略. 图 37
2 2
x x
【证明】由题意设 A(x ， 1)，B(x ， 21 2 )，x1＜x2，
2p 2p
M(x0，－2p)
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x2 x
由 x2＝2py 得 y＝ ，y ＝
2p p
x
k 1
x2
所以， MA＝ ，kMB＝ ，
p p
x x
因此直线 MA 1 2的方程为 y＋2p＝ (x－x0)，直线 MB 的方程为 y＋2p＝ (x－
p p
x0)，
2
x x
所以， 1＋2p＝ 1(x1－x0)…………①，
2p p
2
x x
2＋2p＝ 2(x2－x0)…………②，
2p p
(x1＋x2)(x1－x2) (x1＋x2)(x1－x2) x0(x1－x2)
①－②得， ＝ －
2p p p
x1＋x2
∴ ＝x1＋x2－x0，即 2x0＝x1＋x2
2
所以 A，M，B三点的横坐标成等差数列.
⑽过抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点，线段
| AB |
AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M，则 ＝2.
| FM |
p
【证明】设过焦点 F( ，0)的直线 AB 的方程
2
p
为 x＝my＋ （m≠0），且 A(x1，y1)、B(x2，y2)，
2
p
把 x＝my＋ 代入 y2＝2px，得 y2＝2pmy＋p2，
2
即 y2－2pmy－p2＝0
∴y1＋y
2
2＝2pm，y1·y2＝－p
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∴x ＋x ＝m(y ＋y )＋p＝2pm21 2 1 2 ＋p，
p
∴AB 的中点 N 的坐标为(pm2＋ ，pm)
2
AB 的垂直平分线方程为 y－pm＝－m(x－pm2
p
－ )
2
3p
令 y＝0，得 M 的横坐标为 x＝pm2＋
2
p
∴| FM |＝| xM－ |＝pm
2＋p＝p(m2＋1)，又| AB |＝x1＋x
2
2＋p＝2p(m ＋1).
2
| AB | 2p(m2＋1)
∴ ＝ ＝2
| FM | p(m2＋1)
【证法二】设 A(x1，y1)、B(x2，y2)，过 A、B 分别作准线的垂线，
p
垂足分别为 C、D，则 C(－ ，y1)、
2
p p
D(－ ，y2)，则 CD 的中点 E 的坐标为(－ ，
2 2
y1＋y2
)，由证法一知 y1＋y2＝2pm，
2
p pm
∴E(－ ，pm)，所以 kEF＝ p p ＝－m2 － －
2 2
1 1
又 kAB＝ ，所以 kAB·kEF＝(－m)· ＝－1
m m
∴EF⊥AB，又 MN⊥AB，所以 EF∥MN
又 EN∥x轴，所以四边形 EFMN 为平行四边形
1 1
∴| FM |＝| EN |＝ (| AC |＋| BD |)＝ | AB |
2 2
| AB |
所以 ＝2
| FM |
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⑾P 是过抛物线 y2＝2px（p＞0）上的一定点，过 P 作与 x 轴平行的直线 m，过
OP 的直线为 n，直线 l⊥x 轴，l 与 m、n 分别相交于 A、B 两点，则 AB 的中点 M
在点 P 处的切线.
t2
【证明】设 P( ，t)，则 m 的方程为 y＝t，
2p
2p
直线 n（即 OP）的方程为 y＝ x，
t
t2
设直线 l的方程为 x＝s（s≠ ），那么
2p
2ps
A 的坐标为(s，t)，B的坐标为(s， )，
t
2ps
t＋ 2
AB 的中点 M的坐标为(t， t
2ps＋t
)，即(t， )
2 2t
t2 t2
又过点 P( ，t)的抛物线的切线方程为 yt＝p(x＋ )
2p 2p
p t2
∴y＝ (x＋ )
t 2p
p t2 ps t 2ps＋t2
当 x＝xM＝s时，y＝ (s＋ )＝ ＋ ＝ ＝yM
t 2p t 2 2t
可见点 M在点 P处的切线 n 上.
⑿点 P(a，0)（a≠0）是抛物线 y2＝2px（p＞0）的对称轴上的一点，过 P的直
线 l 与抛物线相交于两点 A、B，A 关于 x 轴的对称的点为 A ，又点 Q(－a，0)，
那么 A 、B、Q 三点共线.
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【证明】设直线 l 的方程为 x＝my＋a，A(x1，y1)，B(x2，y2)
则 A (x1，－y1)，联立方程组
y2＝2px
x＝my ，消去 x得＋a
y2
－my－a＝0，那么 y1 y2＝－2pa，
2p
又→QA ＝(x1＋a，－y →1)， QB ＝(x2＋a，y2)，
∵(x1＋a)y2＋(x2＋a)y1
2 2
y y
＝( 1＋a)y ＋( 22 ＋a)y1
2p 2p
2 2
y y2 y y1 y y (y ＋y ) y y
＝ 1 ＋ 2 ＋a(y1＋y2)＝
1 2 1 2 ＋a(y1＋y2)＝(y1＋y2)(
1 2＋a)＝(y1
2p 2p 2p 2p
－2pa
＋y2)( ＋a)＝0
2p
∴→QA ∥→QB
∴Q、A 、B 三点共线.
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【例 16】给出一个抛物线，根据其性质，用尺规作图求出该抛物线的对称轴、
顶点和焦点.
图 a 图 b
【作法】1.任意作两条平行弦 A1B1和 A2B2；
2.分别取 A1B1和 A2B2的中点 M、N，过 M、N作直线 m；
3.作直线 CD⊥m，交抛物线于 C、D；
4.取 CD 的中点 E；
5.过 E作直线 l∥m，交抛物线于点 O.
则直线 l 为抛物线的对称轴，O为抛物线的顶点，如图 a.
6.过顶点 O作两条互相垂直的弦 OP、OQ；
7.设 PQ 与对称轴 l 相交于点 G；
8.取 OG 的靠近 O的四等分点 F.
则 F为抛物线的焦点.
【说明】1.根据性质⑻，平行弦的中点共线，且与对称轴平行；
2.垂直于对称轴的弦 CD的中点在对称轴上，故 l为抛物线的对称轴；
3.根据性质⑵得 PQ过顶点(2p，0)，故 F为抛物线的焦点.
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