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抛物线性质归纳、证明和应用
抛物线是平面内到定点的距离等于到定直线(定点在定直线外)的距离的
点的轨迹,它是椭圆过渡到双曲线的瞬间曲线,它只有一支(双曲线有两支),
只有一条对称轴,没有渐近线和对称中心,属于无心曲线.抛物线的焦半径、
焦点弦性质丰富多彩,此外还有定点、定值、定弦、最值等问题也值得探讨,
抛物线的许多性质也是历年高考的重点和热点,这里就它的一些性质加以归纳,
说明和证明,及其在历年高考和模拟考试出现的典例.
一、焦半径、焦点弦性质
如图,AB 是过抛物线 y2=2px(p>0)焦点 F 的弦,AD、BC 是准线的垂线,
垂足分别为 D、C,M 是 CD 的中点,N 是 AB 的中点.设点 A(x1,y1)、点 B(x2,
y2),直线 AB 交 y 轴于点 K(0,y3),则:
p2 1 1 1
⑴ ① y1y2=-p
2;② x1x2= ;③ + = ;
4 y y1 y2 y3
2p D A(x y )
④ | AB ,|=x1+x2+p= ( 为 AB的倾斜角); 1 1
sin2 G
p2 2p2
⑤ S△OAB= ,S 梯形 ABCD
= ..
3 M Q N2sin sin
R O p
1 1 2 F( ,0)2 x
⑵ + = ;
| AF | | BF | p H
C B(x2,y2)
⑶ ∠AMB=∠DFC=Rt∠;
x p=-
⑷ AM、BM 是抛物线的切线; 2 K(0,y3)
⑸ AM、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线;
⑹ AM、DF、y 轴三线共点,BM、CF、y 轴三线共点;
⑺ A、O、C三点共线,B、O、D三点共线;
1
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⑻ 若| AF |:| BF |=m:n,点 A在第一象限,
m-n为直线 AB 的倾斜角. 则 cos = ;
m+n
⑼ 以 AF 为直径的圆与 y轴相切,以 BF为直径的圆与 y轴相切;
以 AB为直径的圆与准线相切.
⑽ MN 交抛物线于点 Q,则,Q 是 MN 的中点.
p2 1 1 1
⑴ ① y1y2=-p
2;② x1x2= ;③ + =
4 y1 y2 y3
2p 2
④ | AB |=x1+x2+p= (
p
为 AB 的倾斜角);⑤S
2 △OAB
= ,
sin 2sin
2p2
S 梯形 ABCD= .
sin3
p p
【证明】设过焦点 F( ,0)的 AB 的直线方程为 x=my+ ,代入抛物线方程 y2
2 2
=2px 得
y2-2pmy-p2=0,因此
y
① y 21y2=-p,y1+y2=2pm.
D A(x1,y1)
另由⑶得在 Rt△CFD 中,FR⊥CD,
有| RF |2=| DR |·| RC |,
R O F( p,0) x
2
C B(x2,y2)
图 1
而| DR |=| y1 |,| RC |=| y2 |,| RF |=p,且 y1 y2<0
∴y1y2=-p
2.
2
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y 2 y 2
② 又点 A、B在抛物线上,有 x = 1,x= 21 2 ,
2p 2p
2 2
y y (y y )2 p2
因此 x1x 1 22= · =
1 2 = .
2
2p 2p 4p 4
1 1 y1+y2 2pm 2m
③ + = = =- ,
y1 y2 y1y2 -p
2 p
p p 1 1 1
在直线 AB 方程 x=my+ 中令 x=0,得 y3=- ,代入上式得 + =
2 2m y1 y2 y3
p
④【证法一】根据抛物线的定义,| AF |=| AD |=x1+ ,| BF |=| BC |=
2
p
x2+ ,
2
| AB |=| AF |+| BF |=x1+x2+p
又| AB |= (x 22-x1) +(y2-y
2 2
1) = 1+m | y2-y1 |
= 1+m2 (y +y )21 2 -4y1y2
= 1+m2 4m2p2+4p2=2p(1+m2)
1 1 cos
当 m≠0时,m= = = ,有
k tan sin
cos2 1
1+m2=1+ = (k为直线 AB 的斜率)
sin2 sin2
当 m=0 时,
1
=90 ,1+m2=1也满足 1+m2=
sin2 y
D A(x
2p 1
,y1)
∴| AB |=2p(1+m2)= .
sin2
B1
R O F A1 x
C B(x2,y2)
图 2
3
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【证法二】如图 2,过 A、B引 x轴的垂线 AA1、BB1,垂足为
A1、B1,那么| RF |=| AD |-| FA1 |=| AF |-| AF |cos ,
| RF | p
∴| AF |= =
1-cos 1-cos
| RF | p
同理,| BF |= =
1+cos 1+cos
p p 2p
∴| AB |=| AF |+| BF |= + = .
1-cos 1+cos sin2
【证法三】极坐标法,设抛物线的极坐标方程为
p
= ,则
1-cos
p p p
| AF |= 1= ,| BF |= 2= = .
1-cos 1-cos( + ) 1+cos
p p 2p
∴| AB |=| AF |+| BF |= + = .
1-cos 1+cos sin2
1 1 1 p
⑤S△OAB=S△OAF+S△OBF= | OF || y1 |+ | OF || y1 |= ··(| y1 |+| y1 |)
2 2 2 2
∵y 21y2=-p,则 y1、y2异号,因此,| y1 |+| y1 |=| y1-y2 |
p p 2 2
S y y (y +y )2
p 2 p p
∴ △OAB= | 1- 2 |= 1 2 -4y1y2= 4m p
2+4p2 2= 1+m= .
4 4 4 2 2sin
2p 2p
又∵| CD |=| AB |sin = ,| AD |+| BC |=| AB |= .
sin sin2
1 1 2p 2p p2
∴S 梯形 ABCD= (| AD |+| BC |)·| CD |= × × = .
2 2 sin sin2 sin3
【例 1】设坐标原点为 O,抛物线 y2=2x 与过焦点的直线交于 A、B 两点,则
→OA ·→OB =······················································( )
3 3
A. B. - C. 3 D. -3
4 4
4
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→ → p
2
2 3【解】设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 OA · OB =x1x2+y1y2= -p =- ,故
4 4
选 B.
【例 2】过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作倾斜角为 45 的直线交抛物线于
A、B 两点,若线段 AB的长为 8,则 p= .
1
2p 2p 8×
【解】由性质⑴得| AB |= = =8,∴p= 2=4.
sin2 sin245 2
1 1 2
⑵ + =
| AF | | BF | p
p2 p p
【证法一】由⑴x1x2= ,且| AF |=x1+ ,| BF |=x2+ .
4 2 2
1 1 1 1 x1+x2+p
∴ + = + = =
| AF | | BF | p p p px1+ x2+ (x1+ )·(x2+ )
2 2 2 2
x1+x2+p x1+x2+p x1+x2+p 2
p p2= p2 p p2 = p =
x1x2+ (x p1+x2)+ + (x1+x2)+ (x1+x2+p)
2 4 4 2 4 2
p p p
【证法二】由| AF |= 1= ,| BF |= 2= = .
1-cos 1-cos( + ) 1+cos
1 1 1 1 1-cos 1+cos 2
∴ + = + = + =
| AF | | BF | 1 2 p p p
【例 3】过抛物线 y=ax2(a>0)的焦点 F 用一直线交抛物线于 P、Q两点,若
1 1
线段 PF 与 FQ 的长分别是 p、q,则 + 等于··················( )
p q
1 4
A. 2a B. C.4a D.
2a a
1 1 1 1
【解】由 y=ax2得 x2= y,(抛物线焦点到准线的距离为 ),由此得 + =4a,
a 2a p q
故选 C.
5
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⑶ ∠AMB=∠DFC=Rt∠,先证明:∠AMB=Rt∠
y
D A(x ,y )
【证法一】延长 AM交 BC 的延长线于 E, 1 1
如图 3,则△ADM≌△ECM, M N
O
R F x
∴| AM |=| EM |,| EC |=| AD |
E C B(x2,y2)
∴| BE |=| BC |+| CE |=| BC |+| AD |
=| BF |+| AF |=| AB | 图 3
∴△ABE 为等腰三角形,又 M 是 AE 的中点,
∴BM⊥AE,即∠AMB=Rt∠
【证法二】取 AB的中点 N,连结 MN,则
1 1 1
| MN |= (| AD |+| BC |)= (| AF |+| BF |)= | AB |,∴| MN |
2 2 2
=| AN |=| BN |
∴△ABM 为直角三角形,AB为斜边,故∠AMB=Rt∠.
p p p y1+y2
【证法三】由已知得 C(- ,y2)、D(- ,y1),由此得 M(- , ).
2 2 2 2
-p2y1+yy - 2 y1-y1 2 p(y1-y ) p(y1- )2 22 y1 p p
∴kAM= = = 2 = 2 = ,同理 kBM=
p y 2 y1 y2
x + 2· 1+p y+p1 1 y +p
2
2 2p 1
p p p2 p2
∴kAM·kBM= · = = =-1
y y y y -p21 2 1 2
∴BM⊥AE,即∠AMB=Rt∠.
6
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p p p y1+y2
【证法四】由已知得 C(- ,y2)、D(- ,y1),由此得 M(- , ).
2 2 2 2
→ p y
y
MA x 1
-y2 → p y2-y1∴ =( 1+ , ), MB =(x3+ , )
2 2 2 2 D A
→ → p p (y -y )(y -y ) 1∴ MA · MB 1 2 2 1=(x1+ )(x M 22+ )+
2 2 4 4 3
R O F x
p p2 (y1-y )
2
=x x 2+ (x +x )+ - C B1 2 1 2
2 4 4
图 4
2 2 2
2
p2 p y y p2 y +y2-2y1y2
= + ( 1+ 2)+ - 1
4 2 2p 2p 4 4
p2 y1y2 p
2 -p2
= + = + =0
2 2 2 2
∴→MA ⊥→MB ,故∠AMB=Rt∠.
【证法五】由下面证得∠DFC=90 ,连结 FM,则 FM=DM.
又 AD=AF,故△ADM≌△AFM,如图 4
∴∠1=∠2,同理∠3=∠4
1
∴∠2+∠3= ×180 =90
2 y
D A(x1,y1)
∴∠AMB=Rt∠.
接着证明:∠DFC=Rt∠ O
R
p
F( ,0) x2
【证法一】如图 5,由于| AD |=| AF |,AD∥RF, C B(x2,y2)
故可设∠AFD=∠ADF=∠DFR= , 图 5
同理,设∠BFC=∠BCF=∠CFR= ,
而∠AFD+∠DFR+∠BFC+∠CFR=180
∴2( + )=180 ,即 + =90 ,故∠DFC=90
7
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p y1+y2 y
【证法二】取 CD的中点 M,即 M(- , )
2 2 D1D A(x1,y1)
p -y2 -y p G
由前知 kAM= ,kCF=
2
y p p
= = M
1 + + p y1 O
2 2 R F xH
B(x2,y2)
∴kAM=kCF,AM∥CF,同理,BM∥DF C
∴∠DFC=∠AMB=90 .
图 6
【证法三】∵→DF =(p,-y1),
→CF =(p,-y2),
∴→DF ·→CF =p2+y1y2=0
∴→DF ⊥→CF ,故∠DFC=90 .
| DR | | RF |
【证法四】由于| RF |2=p2=-y1y2=| DR |·| RC |,即 = ,
| RF | | RC |
且∠DRF=∠FRC=90
∴ △DRF∽△FRC
∴∠DFR=∠RCF,而∠RCF+∠RFC=90
∴∠DFR+∠RFC=90
∴∠DFC=90
l y
M1
【例 4】如图 7,过抛物线 y2=2px(P>0)的焦点 F M
的直线与抛物线相交于 M、N 两点,自 M、N向准线
O F x
l 作垂线,垂足分别为 M1、N1,求证:FM1⊥FN1 N1 N
图 7
8
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⑷ AM、BM 是抛物线的切线 y
2 D1
D A(x1,y1)
p p y
【证法一】∵kAM= ,AM的直线方程为 y-y1= (x- 1)
y1 y1 2p M
O
与抛物线方程 y2=2px x联立消去 x得 R F
C B(x2,y2)2
2
p y2 y
y-y1= ( - 1),整理得 y
2-2y1y+y=0
y 2p 2p 1 图 81
2
2
可见△=(2y1) -4y =0,
1
故直线 AM与抛物线 y2=2px 相切,
同理 BM也是抛物线的切线,如图 8.
2
【证法二】由抛物线方程 y=2px x (y2,两边对 求导, ) =(2px) ,
x x
p
得 2y·y =2p,y = ,故抛物线 y2=2px 在点 A(x1,y1)处的切线的斜率
x x y
p
为 k 切=y | y=y1= .
x y1
p
又 kAM= ,∴k 切=kAM,即 AM 是抛物线在点 A 处的切线,同理 BM也是抛
y1
物线的切线.
p y1+y2
【证法三】∵过点 A(x1,y1)切线方程为 y1y=p(x+x1),把 M(- , )代入
2 2
2
y +y y +y y 2 2
左边=y · 1 2
1 2 2px -p p
= 11 =
1 =px1- ,
2 2 2 2
p p2
右边=p(- +x1)=- +px1,左边=右边,可见,过点 A 的切线经过点 M,
2 2
即 AM 是抛物线的切线,同理 BM也是抛物线的切线.
9
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⑸ AM、BM 分别是∠DAB 和∠CBA 的平分线 y
D A(x1,y1)
【证法一】延长 AM交 BC 的延长线于 E,如图 9,
M
则△ADM≌△ECM,有 AD∥BC,AB=BE, NO
R F x
∴∠DAM=∠AEB=∠BAM,
E C B(x2,y2)
即 AM平分∠DAB,同理 BM 平分∠CBA.
图 9
【证法二】由图 9可知只须证明直线 AB的倾斜
角
p y1+y2
是直线 AM的倾斜角 的 2倍即可,即 =2 . 且 M(- , )
2 2
y2-y1
y2-yk 1 2
2p
∵tan = AB= = = .
x-x y 22 1 y y1+y2
2- 1
2p 2p
2
y1+y -py - 2 y1-y2 p(y -y ) p(y1 1- )
2
1 2
2 y1 p
tan =kAM= = = 2 = 2 = .
p y 2 y1
x + 2· 1+p y+p1 1 y +p
2
2 2p 1
2p
2py1 2py1
2tan y1 2p∴tan 2 = = = 2 = 2 = =tan
1-tan2 p 2
1-( )2 y -p y +y y
y1+y2
1 2
y 2 21
∴ =2 ,即 AM平分∠DAB,同理 BM 平分∠CBA.
⑹ AM、DF、y 轴三线共点,BM、CF、y 轴三线共点
【证法一】如图 10,设 AM 与 DF 相交于点 G1,
由以上证明知| AD |=| AF |,AM 平分∠DAF,故 AG1也是 DF边上的中线,
∴G1是 DF的中点.
10
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设 AD与 y轴交于点 D1,DF与 y轴相交于点 G, y2
D1
D A(x1,y1)
易知,| DD1 |=| OF |,DD1∥OF,
G
M
故△DD1G2≌△FOG2 O
R F xH
∴| DG2 |=| FG2 |,则 G2也是 DF的中点.
C B(x2,y2)
图 10
∴G1与 G2重合(设为点 G),则 AM、DF、y 轴三线共点,
同理 BM、CF、y轴也三线共点.
2
p y
【证法二】AM的直线方程为 y-y1= (x- 1),
y1 2p
y1
令 x=0得 AM 与 y轴交于点 G1(0, ),
2
y1 p y又 DF 的直线方程为 y=- (x- ),令 x=0得 DF 与 y轴交于点 G2(0,
1)
p 2 2
y
∴AM、DF y 1与 轴的相交同一点 G(0, ),则 AM、DF、y 轴三线共点,
2
同理 BM、CF、y轴也三线共点 H.由以上证明还可以得四边形 MHFG 是矩形.
⑺ A、O、C 三点共线,B、O、D 三点共线
y
y1
y1 2 2p
D A(x1,y1)
【证法一】如图 11,kOA= = = ,
x1 y y1
1
2p O
R F x
y2 2y2 2py2 2py2 2pkOC= p =- =- =- =
C B(x2,y2)
2
- p p -y1y2 y1
2
图 11
∴kOA=kOC,则 A、O、C三点共线,
同理 D、O、B三点也共线.
11
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【证法二】设 AC与 x轴交于点 O ,∵AD∥RF∥BC
| RO | | CO | | BF | | O F | | CB |
∴ = = , = ,
| AD | | CA | | AB | | AF | | AB |
| RO | | O F |
又| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,∴ =
| AF | | AF |
∴| RO |=| O F |,则 O 与 O 重合,即 C、O、A三点共线,同理 D、O、B 三点
也共线.
| O F | | AF |
【证法三】设 AC与 x轴交于点 O ,RF∥BC, = ,
| CB | | AB |
| CB |·| AF | | BF |·| AF | 1 p
∴| O F |= = = =
| AB | | AF |+| BF | 1 1+ 2
| AF | | BF |
【见⑵证】
∴O 与 O 重合,则即 C、O、A 三点共线,同理 D、O、B 三点也共线.
p
【证法四】∵→OC =(- ,y ),→2 OA =(x1,y1),
2
2
p p y py y y y 2
∵- ·y-x y =- ·y- 1 y =- 1- 1 2 1
py p y
1 1 2 1 2 =-
1+ 1=0
2 2 2p 2 2p 2 2p
∴→OC ∥→OA ,且都以 O为端点
∴A、O、C 三点共线,同理 B、O、D 三点共线.
【推广】过定点 P(m,0)的直线与抛物线 y2=2px(p>0)相交于点 A、B,过
A、B 两点分别作直线 l:x=-m的垂线,垂足分别为 M、N,则 A、O、N 三点共
线,B、O、M三点也共线,如下图:
12
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【例 5】设抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、
B 两点,点 C在抛物线的准线上,且 BC∥x 轴. 证明直线 AC 经过原点 O.
【证法一】因为抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F(-
y
p
,0),所以经过点 F 的直线 AB 的方程可设为 x A(x1,y1)
2
p
=my+ ; O
2 R F x
B(x2,y2)
代入抛物线方程得 y2-2pmy-p2=0 C
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1,y2是该方程的两个根,
图 12
∴y1y2=-p
2
p p
因为 BC∥x轴,且点 C 在准线 x=- 上,故 C(- ,y2),
2 2
y2 2p y1
∴直线 CO的斜率为 kOC= p = = =kOA.
- y1 x1
2
y
∴直线 AC经过原点 O.
D A(x1,y1)
【证法二】如图 13,过 A作 AD⊥l,D 为垂足,则:
AD∥EF∥BC,连结 AC 与 EF 相交于点 N, O
E N F x
| EN | | CN | | BF | | NF | B(x2,y2)
则 = = , = C
| AD | | AC | | AB | | BC |
| AF | 图 13
| AB |
13
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由抛物线的定义可知:| AF |=| AD |,| BF |=| BC |
| AD |·| BF | | AF |·| BC |
∴| EN |= = =| NF |.
| AB | | AB |
即 N是 EF 的中点,与抛物线的顶点 O 重合,所以直线 AC经过原点 O.
⑻ 若| AF |:| BF |=m:n,点 A 在第一象限, 为直线 AB 的倾斜角. 则 cos
m-n= ;
m+n
【证明】如图 14,过 A、B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 D,C,过 B 作
BE⊥AD 于 E,设| AF |=mt,| AF |=nt,则
| AD |=| AF |,| BC |=| BF |,| AE |=| AD | y
E
D A
-| BC |=(m-n)t
| AE | (m-n)t m-n
∴在 Rt△ABE 中,cos∠BAE= = = R O F x
| AB | (m+n)t m+n C B
m-n l 图 14
∴cos =cos∠BAE= .
m+n
【例 6】设经过抛物线 y2=2px 的焦点 F的直线与抛物线相交于两点 A、B,
且| AF |:| BF |=3:1,则直线 AB 的倾斜角的大小为 .
【答案】60 或 120 .
⑼ 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切,以 BF 为直径的圆与 y 轴相切;以 AB 为直径
的圆与准线相切.
y
A
【说明】如图 15,设 E 是 AF 的中点, D
p E
+x1 y1 N
则 E 的坐标为( 2 , ), M
2 2 R O F x
p C
+x B1 1
则点 E到 y 轴的距离为 d= 2 = | AF | l
2 图 152
14
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故以 AF为直径的圆与 y轴相切,
同理以 BF为直径的圆与 y轴相切.
【说明】如图 15,设 M 是 AB 的中点,作 MN⊥准线 l于 N,则
1 1 1
| MN |= (| AD |+| BC |)= (| AF |+| BF |)= | AB |
2 2 2
1
则圆心 M到 l的距离| MN |= | AB |,
2
故以 AB 为直径的圆与准线相切.
⑽ MN 交抛物线于点 Q,则 Q 是 MN 的中点.
2 2
y y p
【证明】设 A( 1,y ),B( 21 ,y1),则 C(- ,y2),
2p 2p 2 图 16
p
D(- ,y1),
2
2
2
p y +y y +y2 y +y
M(- , 1 2),N( 1 , 1 2),
2 2 4p 2
2
2
p y +y2
- + 1 y +y
设 MN 的中点为 Q ,则 Q ( 2 4p , 1 2)
2 2
2
2
p y +y
2 2
2 y 2
- + 1 2 2 2 1
+y2
2 -2p +y+yp 2
2y1y2+y+y2
∵ 4 = 1 = 1 = 2
2 8p 8p 2p
∴点 Q 在抛物线 y2=2px 上,即 Q是 MN 的中点.
15
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二、定点、定值、定直线问题(共 9个结论)
★⑴平行于抛物线对称轴的光线,被抛物面反射后会聚焦于抛物线的焦点,如
图 17.
【证明】如图 17,设抛物线方程为 y2=2px(p>0),直线 AB∥x 轴,
点 A 的坐标为(x0,y l0),则过 A 点的切线方程
p A B
为 y0y=p(x+x0),直线 l 的斜率为 k0= ,
y0
O F x
p直线 AB 到 l的角为 ,则 tan = , T
y0
图 17
y 2py0 0
设直线 AF的斜率为 k1,则 k = = 21 p ,
x0- y -p2
2 0
2py0 p 2
2 -
2
k -k y -p2 y0 p(y +p ) p
设直线 l到 AF 的角为 ,则 tan = 1 0 = 00 = = .
1+k0k 21 p 2py y0(y0+p
2) y0
0
1+ · 2
y0 y0-p
2
∴tan =tan ,又 、 ∈[0, ),则 = ,
也就是说平行于抛物线对称轴的光线,被抛物面反射后会聚焦于抛物线的
焦点.
【例 7】如图 18,从点 M(x0,2)发出的光线沿平行 y
P
于抛物线y2=4x的轴的方向射向抛物线的点P, M
F l x y O F反射后经焦点 又射向直线 : -2 -7=0 上 x
Q N M
的点 N,再反射后又设回点 M,则 x0= .
图 18
16
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【解】PM∥x 轴,点 P 在抛物线上,得 P的坐标为(1,2),经过 F(1,0)点后
反射在 Q点,则 Q的坐标为(1,-2),经 Q 反射后点 N 的坐标为(3,-2),
设 M 关于 l 对称的点为 M ,依题意,Q、N、M 共线.
故可设 M (x1,-2),
2+2 1
· =-1
x0-x1 2
由此得 x0+x1 2-2 ,解得 x=6.―2· ―7=0 0
2 2
【另解】若设 Q 关于直线 l 的对称点为 Q ,设 Q (a,b),由于 Q、Q 关于直线
l 对称,由此得
b+2 1 9
· =-1 a=
a-1 2 5
9 18
a+1 b-2 ,解得 18 则 Q 的坐标为( ,- ),
―2· ―7=0 b=- 5 5
2 2 5
18
- +1
5 2+2
又 M、N、Q 三点共线,kMN=kNQ ,即 = ,
9 x0-3
-3
5
∴x0=6.
⑵若 C(x0,y0)是抛物线 y
2=2px(p>0)上的任一点,过 C 引两条互相垂直的
直线交抛物线于 A、B,则直线 AB 过定点(2p+x0,-y0).
2
A( s ,s)
y 2p
s2 t2
【证明】设 A( ,s)、B( ,t)(s,t,y0互不相等)
2p 2p
C(x0,y0)
那么,由 AC⊥BC 得 O
x
y0-s y0-t
kAC·kBC= s2 · t2
x0- x0-
2p 2p
t2
图 19 B( ,t)2p
17
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y0-s y0-t
4p22 2
= · = =-1
y s2 y t2 (y0+s)(y0+t)
0- 0-
2p 2p 2p 2p
∴4p2=-(y0+s)(y0+t)
2
∴st 2=-4p -(s+t)y0-y ①
0
s2
x-
y-s 2p 2px+st
又直线 AB 的方程为 = ,整理得,y= ②
t-s t2 s2 s+t
-
2p 2p
2
2px-4p2-(s+t)y0-y 2px-4p2-2px0 2p把①代入②得 y= 0= -y0= (x-2p
s+t s+t s+t
-x0)-y0
令 x-2p-x0=0,即 x=2p+x0,得 y=-y0.
故直线 AB 过定点(2p+x0,-y0).
特别地,当 C 是抛物线的顶点时,定点 P 的坐标为(2p,0).
【拓展】C(x0,y0)是抛物线 y
2=2px(p>0)上的一定点,直线 AB 与抛物
线相交于 A、B 两点(都异于 C),若直线 CA、CB 的斜率 kCA、kCB的乘积为定值 m,
2p
那么,直线 AB 过定点(x0- ,-y0).
m
18
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【例 8】如图 20,设点 A 和 B 为抛物线 y2=4px(p>0)上原点以外的两个动
点,已知 OA⊥OB,OM⊥AB,求点 M 的轨迹方程,
y A(xA,yA)
并说明它表示什么曲线.
O
P x
M
B(xB,yB)
图 20
【解法一】点 A,B 在抛物线 y2=4px 上,
2 2
y y
设 A( A,yA),B( B,yB),OA、OB 的斜率分别为 kOA、kOB.
4p 4p
yA yB-yA
2 4p 4p 2 4p
∴kOA= = ,kOA= ,kAB= = .
y yA yB y 2y yA+yB
A B- A
4p 4p 4p
16p2
由 OA⊥OB,得 kOA·kOB= =-1 ·········①
yAyB
2 2
4p y y
∴直线 AB 方程为,y-yA= (x- A),即(yA+yB)(y-yA)=4p(x- A) ②
yA+yB 4p 4p
y +y
由 OM AB A B⊥ ,得直线 OM方程 y= ········· ③
4p
x
设点 M(x,y),则 x,y 满足②、③两式,将②式两边同时乘以- ,并利
4p
x
用③式整理得, y 2+yy-(x2+y2A A )=0 ············· ④
4p
x
由③、④两式得- +y 2 2ByA-(x +y )=0,
4p
19
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由①式知,yAyB=-16p
2, y A(xA,yA)
所以 x2+y2-4px=0.
因为 A、B是原点以外的两点,所以 x≠0. O
P x
M
所以点 M 的轨迹是以(2p,0)为圆心,
以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点. B(xB,yB)
图 21
【解法二】由性质(2)易知 AB 经过定点 P(4p,0),由于 OM⊥AB,那么,M的轨
迹以(2p,0)为圆心,以 2p 为半径的圆,去掉坐标原点.其轨迹方程为
x2+y2-4px=0(x≠0).
⑶抛物线 y2=2px(p>0)的弦 AB 的中点 D 恰好在定直线 l:x=m(m>0)上,
则线段 AB 的垂直平分线过定点 M(m+p,0).
【证明】如图 22,设 A(x1,y1),B(x2,y2),D(m, y0),
那么
2
y =2px1…………①
1
2
y2=2px2…………②
2 2
①-②得y -y=2p(x1-x2)
1 2
图 22
y1-y2 2p p
∴直线 AB 的斜率 kAB= = =
x1-x2 y1+y2 y0
1 y0
∴直线 DM的斜率 kDM=- =-
kAB p
y0
∴DM的直线方程为 y-y0=- (x-m)
p
令 y=0,得 x=m+p
∴直线 AB 的垂直平分线恒过定点(m+p,0).
20
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【例 9】若 A、B是抛物线 y2=4x 上的不同两点,弦 AB(不平行于 y 轴)的垂
直平分线与 x 轴相交于点 P,则称弦 AB是点 P 的一条“相关弦”.已知当
x>2时,点 P(x,0)存在无穷多条“相关弦”.给定 x0>2.
⑴证明:点 P(x0,0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同;⑵(略)
【说明】应用性质⑶,由已知得 p=2,由定点 P(x0,0)得 m+p=x0,故 m=x0
-2
∴“相关弦”的中点的横坐标为 x0-2.
⑷设直线 l 与抛物线 y2=2px(p>0)相交于点 A(x1,y1)、B(x2,y2),那么
①若直线 l 过抛物线对称轴的定点 M(a,0),则 y1y2=-2ap,x1x2=a
2;
反之
k
②若 y1y2=k(定值),则直线 l 恒过定点 N (- ,0).
2p
1 1 1
③若直线 l 与 y 轴相交于点(0,y3),则 + = .
y1 y2 y3
【证明】①设过点 M(a,0)的直线方程为 x=my+a,
y
A(x1,y1)
代入抛物线方程 y2=2px 得 y2-2pmy-2pa=0,因此
2 2
y y (y y )2 4a2p2
y1y2=-2ap,x x = 1· 2=
1 2 2 O
1 2 = =a .2 2 x
2p 2p 4p 4p
B(x2,y2)
②设直线 l 方程为 x=my+b,代入抛物线方程 y2=2px
得 y2-2pmy-2pb=0, 图 23
即方程的根 y1、y2是 P、Q 两点的纵坐标
∴y1y2=-2pb,又 y1y2=k.
k k
∴-2pb=k,即 b=- ,则直线 l 方程为 x=my-
2p 2p
21
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k k
令 y=0,得 x=- ,则直线 l恒过定点 N(- ,0).
2p 2p
a
③由 l 的方程 x=my+a 中,令 x=0得 y3=- ,y1+y2=2pm
m
1 1 y1+y2 2pm m 1
∴ + = = =- = .
y1 y2 y1y2 -2ap a y3
【例 10】如图 24,O 为坐标原点,直线 l 在 x轴和 y轴 y
M(x1,y1)
上的截距分别为 a 和 b(a>0,b≠0),且交抛物线
2 a xy =2px(p>0)于 M(x1,y1)、N(x2,y2)两点.
O
N(x2,y2)
b
⑴写出直线 l 的截距式方程;
图 24
1 1 1
⑵证明: + = .
y1 y2 b
x y
⑴【解】直线 l 的截距式方程为 + =1.
a b
1 1 1
⑵由上面性质⑶证明可得 + = .
y1 y2 b
⑸过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 作直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且与
准线交于点 M,设→MA = →AF ,→MB = →BF ,则 + =0.
p p
【证法一】设过点 F( ,0)的直线方程为 x=my+ ,
2 2 y
A(x1,y1)
代入抛物线方程 y2=2px 得
y2-2pmy-p2=0,因此 y y 21 2=-p,y1+y2=2pm O F x
B(x2,y2)
p p
令 x=- ,得 yM=-
2 m
M 图 25
→ p p p由 MA = →AF得(x1+ ,y1+ )= ( -x1,-y1)
2 m 2
p p p
∴y1+ =- y1, =1+ ,同理, =1+
m my1 my2
22
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p p p(y1+y2) p·2pm∴ + =2+ + =2+ =2+ =2-2=0.
my1 my2 my1 y2 m·(-p
2)
【证法二】由已知→MA = →AF ,→MB = →BF ,得 · <0.
|→MA | |→AF |
则 =- ·········· ① y
|→MB | |→BF | A1 A(x1,y1)
过点 A,B 分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1,B1,
O F x
→ → → B1 B(x2,y2)| MA | | AA1 | | AF |
则有: = = ②
|→MB | |→BB →1 | | BF | M 图 26
|→AF | |→AF |
由①②得- = ,即 + =0.
|→BF | |→BF |
【例 11】如图 27,已知点 F(1,0),直线 l:x=-1,P 为平面上的动点,过
P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q,且→QP ·→QF = l y
→FP ·→FQ .
F
⑴求动点 P的轨迹 C的方程; -1 O 1 x
⑵过点 F 的直线交轨迹 C于 A,B两点,交直线 l于
图 27
点 M,已知
→MA = →AF ,→1 MB = →2 BF ,求 1+ 2的值;
【略解】⑴动点 P的轨迹 C的方程为:y2=4x;⑵ 1+ 2=0.
23
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⑹定长为 l 的弦 AB 的两个端点在抛物线 y2=2px 上,M 是 AB 的中点,M 到 y 轴
的距离为 d,那么,M 的轨迹方程为:4(y2+p2)(2px-y2)=p2l2,且
l2
①当 0<l<2p 时,d 的最小值为 ,此时,AB∥y 轴;
8p y
l-p A(x1,y1)
②当 l≥2p 时,d 的最小值为 ,此时,弦 AB 过焦点
2
M(x0,y0)
F. O F x
B(x2,y2)
【解】设 A(x1,y1),B(x2,y2),弦 AB 的中点 M 的坐标为
(x0,y0),
图 28
AB的直线方程为x=my+b,代入抛物线方程y2=2px
得 y2-2pmy-2pb=0. ∴y1+y2=2pm,y1y2=-2pb.
又 AB 的中点为 M(x0,y0),且点 M在直线 AB 上,
2
y y
∴y = 1
+y2 y
0 =pm,x0=my0+b,m=
0,b=x0-my0=x 00- .
2 p p
∴| AB |2=l2=(x1-x )
2
2 +(y-y )
2
1 2 =(my1+b-my2-b)
2+(y-y )21 2
=(1+m2)(y1-y )
2
2 =(1+m
2)[(y 21+y2) -4y1y2]
2 2 2
2 2
y y y
=(1+ 0)[4y +8pb]=(1+ 0)[4y +8p(x - 00 )]
p2 0 p2 0 p
2 2
y p2 px y p2l2 M y2 p2整理得,4( + )(2 0- )= . 故中点 的轨迹方程为:4( + )(2px-
0 0
y2)=p2l2.
pl2 y2
由上可知 d=x= + ,令 t=y2+p2≥p2,即 y2=t-p2,则
8(y2+p2) 2p
pl2 t-p2 pl2 t p pl2 t pl
d=x= + = + - (t≥p2).令 = ,得 t= .
8t 2p 8t 2p 2 8t 2p 2
24
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pl
①当 0<l<2p 时,p2> ,d在 t∈[ p2,+∞)上是增函数,
2
pl2 p2 p l2
∴当 t=p2,即 y=0 时,dmin= + - = ,此时,m=0,即 AB∥y
8p2 2p 2 8p
轴.
pl pl22 t p pl 2 t p l-p②当 l≥2p 时,p ≤ ,∴d= + - ≥2 - = .
2 8t 2p 2 8t 2p 2 2
pl2 t pl l-p
当且仅当 = ,即 t= ≥p2时取等号,故 d 的最小值为 .
8t 2p 2 2
p
②【证法二】当 l≥2p 时,过 A、B、M作准线 x=- 的 y
2 A A
垂线,垂足为 A 、B 、M ,则 M
M
p 1 1
| MM |=d+ = (| AA |+| BB |)= (| AF |+| BF |) O F x
2 2 2 B B
1 1
≥ | AB |= l.
2 2
图 29
上式当且仅当| AF |+| BF |=| AB |,即弦 AB 过抛
1 p l-p
物线的焦点 M 时取等号,则 d 的最小值为 l- = .
2 2 2
【说明】经过焦点 F 的最短弦是通经 2p,因此当弦 AB的长 l<2p 时,不能用
l2
证法二证明 d的最小值为 .
8p
y
【例 12】长度为 a 的线段 AB 的两个端点在抛物线 x2
A
C
=2py(a≥2p>0)上运动,以 AB的中点 C为圆 F
B
心作圆与抛物线的准线相切,求圆 C 的最小半 O x
径. 图 30
25
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【解】依题意,问题转化为定长的弦的两个端点在抛物线上,弦的中点 C到 y
轴的距离的最值问题,由上面的性质可知当弦 AB经过焦点 F 时,点 C 到
准线的距离为最小值. 如图 30.
a
∴圆 C的最小半径为 r= .
2
⑺过抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上的定点 M(m,0)(m>0),作直线 AB
与抛物线相交于 A,B 两点.点 N 是定直线 l:x=-m 上的任一点,则直
线 AN,MN,BN 的斜率成等差数列.
【证明】设 A(x1,y1),B(x2,y2),N(-m,n),
y
由性质⑶有 y1y2=-2pm, N B
(-m,n)
y -n y -n
则直线 AN、BN 1 2的斜率为 kAN= ,kBN=
x1+m x2+m
O xM(m,0)
y1-n y2-n
A
2 2
∴kAN+kBN= +
y y
1 2 x=-m 图 31+m +m
2p 2p
2p(y1-n) 2p(y2-n) 2p(y1-n) 2p(y1-n)
= 2 + 2 = 2 + 2
y +2pm y +2pm y -y1y2 y -y1y2
1 2 1 2
2p[y2(y1-n)-y1(y2-n)] 2pn(y1-y2) 2pn 2pn n
= = = = =-
y1y2(y1-y2) y1y2(y1-y2) y1y2 -2pm m
n-0 n
又∵直线 MN 的斜率为 kMN= =- .
-m-m 2m
∴kAN+kBN=2kMN
∴直线 AN,MN,BN 的斜率成等差数列.
26
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⑻抛物线的一组平行弦的中点共线,且所在直线平行于对称轴或与对称轴重
合.
【证明】设斜率为 k(k 为常数)的一组平行线与抛物线 y2=2px(p>0)交于
点 Ai、Bi(i=1,2,…),弦 AiBi的中点为 Mi,(即 M1,M2,…,Mn),且 AiBi
的直线方程为 y=kx+bi(bi为直线 AiBi在 y轴上的截距),Ai(x1,y1),Bi(x2,
y2),Mi(xi,yi). y Ai
y2=2px k
联立方程组 ,消去 x得 y2-y+b =0 Miy=kx+b ii 2p O x
2p Bi
∴y1+y2= ,又 Mi是 AiBi的中点
k 图 33
y1+y2 p p
∴yi= = ,则 M1,M2,…,Mn在平行于 x 轴的直线 y= 上.
2 k k
当直线 AiBi与 x 轴垂直(即直线 AiBi的斜率不存在时),易知 M1,M2,…,
Mn在 x 轴上.
【例 13】已知抛物线 C:y=2x2,直线 y=kx+2 交 C 于 A,B 两点,M 是线段
AB 的中点,过 M作 x 轴的垂线交 C 于点 N.
y
⑴证明:抛物线 C 在点 N 处的切线与 AB平行; A
M
2 2 2
【证明】如图 34,设 A(x1,2x ),B(x1,2x ), B 1
1 2
N x
把 y=kx+2 代入 y=2x2得 2x2-kx-2=0, O 1
图 34
k
由韦达定理得 x1+x2= ,x1x2=-1,
2
x +x k k k2
∴xN=x
1 2
M= = ,即 N 点的坐标为( , )
2 4 4 8
k2 k
设抛物线在点 N 处的切线 l的方程为 y- =m(x- ),
8 4
27
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mk k2
将 y=2x2代入上式得 2x2-mx+ - =0,
4 8
∵直线 l 与抛物线 C相切,
2 mk k
2
∴ =m-8( - )=0,
4 8
解得 m=k,即 l∥AB.
【说明】其实,也就是与 AB平行的弦,它们的中点在过 AB中点且与对称轴(x
轴)平行的直线上,它与 C的交点 N,此时的切点就是这些弦的缩点,故
过 N 点的抛物线 C 的切线与 AB平行.
⑼过定点 P(x ,y )作任一直线 l 与抛物线 y20 0 =2px(p>0)相交于 A、B 两点,
过 A、B 两点作抛物线的切线 l1、l2,设 l1,l2相交于点 Q,则点 Q 在定直线 px
-y0y+px0=0 上.
【证明】设 A(x1,y1)、B(x2,y2),因为过点 y
A
P 与 x 轴平行的直线与抛物线只有一个
Q
交点,所以直线 AB 与 x 轴不平行,故可 O
P x
设 AB的方程为 x-x0=m(y-y0). B
y2=2px
联立方程组 x x m y y ,消去 x得- 0= ( - 图 350)
1
y2-my+my0-x0=0
2p
∴y1y2=2p(my0-x0)
又过 A、B 两点的抛物线的切线方程为
y1y=p(x+x1)
y1y=p(x+x1)和 y2y=p(x+x2),联立方程组 y2y=p(x
解得
+x2)
28
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y 2 2y
1·y- 2x1y2-x2y 2
·y1
x 1 2p 2p
y1y2
Q= =- = =my0-x0 ①
y1-y2 y1-y
2p
2
x1-xy 2Q=p· =pm ·······································②
y1-y2
yQ ym Q由②得 = 代入①得xQ= y0-x0,∴点Q在直线px-y0y+px0=0上.
p p
【例 14】如图 36,对每个正整数 n,An(xn,yn)是抛物线 x
2=4y上的点,过焦
点 F的直线 FAn交抛物线于另一点 Bn(sn,tn). y
⑴试证:xnsn=-4(n≥1);
An
⑵取 x nn=2 ,并记 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为 A2
B1 F A1
B2
切点的两条切线的交点.试证:| FC1 |+| FC | Bn2 O x
Cn
+…+| FCn |=2
n-2-n+1+1. 图 36
【说明】本题第⑴小题就是抛物线的焦点弦的性质 y1y2=-p
2.
第⑵小题两条切线的交点 Cn就是上面抛物线的性质,即点 Cn必在直线 y=
-1上.
【例 15】如图,设抛物线方程为 x2=2py
y
(p>0),M 为 直线 y=-2p 上任意一点,
B
过 M 引抛物线的切线,切点分别为 A,B. A
x
O
⑴求证:A,M,B三点的横坐标成等差数列; -2p
M
⑵⑶略. 图 37
2 2
x x
【证明】由题意设 A(x , 1),B(x , 21 2 ),x1<x2,
2p 2p
M(x0,-2p)
29
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x2 x
由 x2=2py 得 y= ,y =
2p p
x
k 1
x2
所以, MA= ,kMB= ,
p p
x x
因此直线 MA 1 2的方程为 y+2p= (x-x0),直线 MB 的方程为 y+2p= (x-
p p
x0),
2
x x
所以, 1+2p= 1(x1-x0)…………①,
2p p
2
x x
2+2p= 2(x2-x0)…………②,
2p p
(x1+x2)(x1-x2) (x1+x2)(x1-x2) x0(x1-x2)
①-②得, = -
2p p p
x1+x2
∴ =x1+x2-x0,即 2x0=x1+x2
2
所以 A,M,B三点的横坐标成等差数列.
⑽过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,线段
| AB |
AB 的垂直平分线交 x 轴于点 M,则 =2.
| FM |
p
【证明】设过焦点 F( ,0)的直线 AB 的方程
2
p
为 x=my+ (m≠0),且 A(x1,y1)、B(x2,y2),
2
p
把 x=my+ 代入 y2=2px,得 y2=2pmy+p2,
2
即 y2-2pmy-p2=0
∴y1+y
2
2=2pm,y1·y2=-p
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∴x +x =m(y +y )+p=2pm21 2 1 2 +p,
p
∴AB 的中点 N 的坐标为(pm2+ ,pm)
2
AB 的垂直平分线方程为 y-pm=-m(x-pm2
p
- )
2
3p
令 y=0,得 M 的横坐标为 x=pm2+
2
p
∴| FM |=| xM- |=pm
2+p=p(m2+1),又| AB |=x1+x
2
2+p=2p(m +1).
2
| AB | 2p(m2+1)
∴ = =2
| FM | p(m2+1)
【证法二】设 A(x1,y1)、B(x2,y2),过 A、B 分别作准线的垂线,
p
垂足分别为 C、D,则 C(- ,y1)、
2
p p
D(- ,y2),则 CD 的中点 E 的坐标为(- ,
2 2
y1+y2
),由证法一知 y1+y2=2pm,
2
p pm
∴E(- ,pm),所以 kEF= p p =-m2 - -
2 2
1 1
又 kAB= ,所以 kAB·kEF=(-m)· =-1
m m
∴EF⊥AB,又 MN⊥AB,所以 EF∥MN
又 EN∥x轴,所以四边形 EFMN 为平行四边形
1 1
∴| FM |=| EN |= (| AC |+| BD |)= | AB |
2 2
| AB |
所以 =2
| FM |
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⑾P 是过抛物线 y2=2px(p>0)上的一定点,过 P 作与 x 轴平行的直线 m,过
OP 的直线为 n,直线 l⊥x 轴,l 与 m、n 分别相交于 A、B 两点,则 AB 的中点 M
在点 P 处的切线.
t2
【证明】设 P( ,t),则 m 的方程为 y=t,
2p
2p
直线 n(即 OP)的方程为 y= x,
t
t2
设直线 l的方程为 x=s(s≠ ),那么
2p
2ps
A 的坐标为(s,t),B的坐标为(s, ),
t
2ps
t+ 2
AB 的中点 M的坐标为(t, t
2ps+t
),即(t, )
2 2t
t2 t2
又过点 P( ,t)的抛物线的切线方程为 yt=p(x+ )
2p 2p
p t2
∴y= (x+ )
t 2p
p t2 ps t 2ps+t2
当 x=xM=s时,y= (s+ )= + = =yM
t 2p t 2 2t
可见点 M在点 P处的切线 n 上.
⑿点 P(a,0)(a≠0)是抛物线 y2=2px(p>0)的对称轴上的一点,过 P的直
线 l 与抛物线相交于两点 A、B,A 关于 x 轴的对称的点为 A ,又点 Q(-a,0),
那么 A 、B、Q 三点共线.
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【证明】设直线 l 的方程为 x=my+a,A(x1,y1),B(x2,y2)
则 A (x1,-y1),联立方程组
y2=2px
x=my ,消去 x得+a
y2
-my-a=0,那么 y1 y2=-2pa,
2p
又→QA =(x1+a,-y →1), QB =(x2+a,y2),
∵(x1+a)y2+(x2+a)y1
2 2
y y
=( 1+a)y +( 22 +a)y1
2p 2p
2 2
y y2 y y1 y y (y +y ) y y
= 1 + 2 +a(y1+y2)=
1 2 1 2 +a(y1+y2)=(y1+y2)(
1 2+a)=(y1
2p 2p 2p 2p
-2pa
+y2)( +a)=0
2p
∴→QA ∥→QB
∴Q、A 、B 三点共线.
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【例 16】给出一个抛物线,根据其性质,用尺规作图求出该抛物线的对称轴、
顶点和焦点.
图 a 图 b
【作法】1.任意作两条平行弦 A1B1和 A2B2;
2.分别取 A1B1和 A2B2的中点 M、N,过 M、N作直线 m;
3.作直线 CD⊥m,交抛物线于 C、D;
4.取 CD 的中点 E;
5.过 E作直线 l∥m,交抛物线于点 O.
则直线 l 为抛物线的对称轴,O为抛物线的顶点,如图 a.
6.过顶点 O作两条互相垂直的弦 OP、OQ;
7.设 PQ 与对称轴 l 相交于点 G;
8.取 OG 的靠近 O的四等分点 F.
则 F为抛物线的焦点.
【说明】1.根据性质⑻,平行弦的中点共线,且与对称轴平行;
2.垂直于对称轴的弦 CD的中点在对称轴上,故 l为抛物线的对称轴;
3.根据性质⑵得 PQ过顶点(2p,0),故 F为抛物线的焦点.
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