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理解公式之间的联系、区别，变机械记忆为理解记忆。
高考数学必背公式与知识点过关检测 3．函数的单调性：设 x1 ， x2 [a,b]，且 x1 x2 ，那么：
——决胜高考 数学基本公式、概念全掌握 f (x ) f (x )（1） (x1 x2 )[ f (x1) f (x )] 0 1 22 0 f (x)在 a,b 上是 函数；
x1 x2
第一部分：集合与常用逻辑用语
f (x1) f (x2 )
1．子集个数：含n个元素的集合有 个子集，有 个真子集，有 个非空子集， （2） (x1 x2 )[ f (x1) f (x2 )] 0 0 f (x)在 a,b 上是 函数；
x1 x2
有 个非空真子集
2．常见数集：自然数集： ； 正整数集： 或 ；整数集： ；有理数集： ；
（3）如果 f (x) 0，则 f (x) 为 函数； f (x) 0，则 f (x) 为 函数；
实数集：
3．空集： 是任何集合的 ，是任何非空集合的 . （4）复合函数的单调性：根据“同 异 ”来判断原函数在其定义域内的单调性.
4．元素特点： 、 、 确定性 4．函数的奇偶性: ⑴函数的定义域关于 对称是函数具有奇偶性的前．提．条．件．
5．集合的的运算： 集运算、 集运算、 集运算 ⑵ f (x) 是 函数 f ( x) f (x)； f (x) 是 函数 f ( x) f (x) .
6．四种命题：原命题：若 p ，则 q ；逆命题：若 ，则 ；否命题：若 ，则 ；逆否
命题：若 ，则 ； 原命题与逆命题，否命题与逆否命题互 ；原命题与否命题、逆命 ⑶奇函数 f (x) 在 0处有定义，则
题与逆否命题互 ；原命题与逆否命题、否命题与逆命题互为 。互为逆否的命题 ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有 的单调性，偶函数有 的单调性
7．充要条件的判断： p q， p 是 q 的 条件； p q， q 是 p 的 条件；
⑸偶函数图象关于 轴对称、奇函数图象关于坐标 对称
p q，p, q互为 条件；若命题 p 对应集合 A ，命题q 对应集合 B ，则 p q等
5．函数的周期性：
价于 ， p q等价于 周期有关的结论：(约定 a＞0)
注意区分：“甲是乙的充分条件（甲 乙）”与“甲的充分条件是乙（乙 甲）”；
（1） f (x) f (x a)，则 f (x) 的周期 T= ；
8．逻辑联结词：或命题： p q， p, q有一为真即为 ， p, q均为假时才为 ；
且命题： p q， p, q均为真时才为 ， p, q有一为假即为 ； 1 1
（2） f (x a) f (x)，或 f (x a) ( f (x) 0)，或 f (x a) ( f (x) 0) ,
非命题： p 和 p 为一真一假两个互为对立的命题 f (x) f (x)
9.全称量词与存在量词：
则 f (x) 的周期 T=
⑴全称量词-------“所有的”、“任意一个”等，用 表示；
（3） f (x a) f (x a) 或 f (x 2a) f (x)(a 0) f (x) 的周期为
全称命题 p： x M , p(x) ；全称命题 p的否定 p： ；
（4） f (x m) f (x n) f (x) 的周期为
⑵存在量词--------“存在一个”、“至少有一个”等，用 表示；
6．函数的对称性：
特称命题 p： x M , p(x)；特称命题 p的否定 p： ；
① y f (x) 的图象关于直线 对称 f (a x) f (a x) f (2a x) f (x)；
第二部分：函数与导数及其应用 ② y f (x) 的图象关于直线 对称 f (a x) f (b x) f (a b x) f (x) ；
1．函数的定义域：分母 0；偶次被开方数 0；0 次幂的底数 0 ； ③ y f (x) 的图象关于点 对称 f (a x) f (b x)
对数函数的真数 0；指数与对数函数的底数 0 且 1
a b
2．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论； *④ y f (x) 的图象关于点 ( ,c) 对称 f (a x) 2c f (b x)
2
分段函数是一个函数，其定义域是各段定义域的 、值域是各段值域的
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7.分数指数幂与根式的性质： x12.反函数：函数 y a 的反函数是____________,函数 y loga x 的反函数是____________.
m

（1） a n ________(a 0,m,n N ,且n 1）. 13．二次函数：
m
1 1 二次函数 y ax
2 bx c （a≠0）的图象的对称轴方程是 ，顶点坐标是
（2）a n （a 0,m,n N ,且n 1）.
m n
n a
m
a 判别式 b
2 4ac； 0时，图像与 x 轴有 个交点；
a,a 0
n n n n n n

（3） ( a) a . （4）当 n 为奇数时, a a ；当n 为偶数时, a | a | . 0时，图像与 x 轴有 个交点； 0时，图像与 x 轴没有交点；
a,a 0 14. 韦达定理：
8.指数性质：
x , x 2若 1 2 是一元二次方程ax bx c 0(a 0)的两个根，则：x1 x2 = ，x1x2 = .
(1)a p _____ ； (2) a0 mn_____（a 0）； (3)a _______ 15．零点存在定理：若 y f (x) 在[a,b]上满足 ,
m
(4)ar as ________ ； (5)a n ________ ； 则 y f (x) 在（a,b)内至少有一个零点
9.指数函数(如右图)：
16．常见函数的导数公式：
y
（1） y a
x (a 1) 在定义域内是单调_____函数； y=ax
① (C)' n ；② (x ）' ； (nx）'
x
（2） y a (____________)在定义域内是单调减函数. 01 ' ' x '
1 ③ (sin x） ； ④ (cos x） ；⑤ (e ） ；
注：指数函数图象都恒过定点______________. o x
10．对数运算规律： ⑥ (ln x）' x ' ' ； ⑦ (a ） ； ⑧(logx） .
（1）对数式与指数式的互化： log N b ____________a (a 0,a 1, N 0) . 17．导数运算法则：

（ ）对数恒等式： log 1 ， log a ， log ab ． lg 2+ lg5 ， lne （1） f x g x ； 2 a a a =
（3）对数的运算性质： f x
（2） ． M
①加法： loga M loga N ②减法： log
g x
a
N
n log N 18．曲线的切线方程：函数 y f (x) 在点 x 处的导数是曲线 y f (x) 在 P(x , f (x ))处的切线
③数乘： loga M (n R) ④恒等式：a
a 0 0 0
的斜率为 f (x0 ) ，相应的切线方程是 .
n log N
⑤ log m b ⑥换底公式： log
m
a N a logm a
第三部分：三角函数、三角恒等变换与解三角形
11.对数函数(如右图)：
y 1．角度制与弧度制互化：
(1) y loga x(a 1) 在定义域内是单调递增函数； y=logax 360°= rad，180°= rad，1°= ≈ rad，1rad= ≈
02．若扇形的圆心角为 ( 为弧度制)，半径为 r ，弧长为 l ，周长为C ，面积为S ，则
（2） y loga x(0 a 1)在定义域内是单调递减函数；
o x1
l ，C ，S= = ．
注： 对数函数图象都恒过点__________. a>1
2
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7．三角函数的图像与性质：
3.三角函数定义式：角 终边上任一点（非原点）P (x, y),设 | OP | r 则
sin ，cos ， tan y cos x y sin x y tan x
4．同角三角函数的基本关系：
（1）平方关系： （2）商数关系 ．
（3）三角不等式：
①sin x cos x与sin x cos x 的关系是_______________________________.
图象
②若 x (0, ),则sin x cos x 1. ③若 x ( ， ) ,则sin x cos x 1
2 2
④ | sin x | | cos x | 1.
5.函数的诱导公式：[口诀： 奇变偶不变，符号看象限.]
1 sin 2k sin
， ， ．（k∈Z） 定义域
值域
tan tan
（2） ， ， ． 周期
奇偶性
tan tan
(3) ， ， ．
tan tan
(4) ， , ．
单调性

5 sin cos
2 ， ．

cos sin
2
(6) ， ．
对称性
6．特殊角的三角函数值：
角α 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270°
角α的
弧度数
Sinα 8．几个常见三角函数的周期：
① y sin x 与 y cos x 的周期为 .
Cosα
② y sin( x )或 y cos( x ) （ 0）的周期为 .
x
tanα ③ y tan 的周期为 .
2
y cos x 的周期为
④
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9. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
设a (x1, y1)，b (x2 , y2 )；（b 0 ）
（1）cos ； （2）cos ；
▲
y
1/2
x = ；a b = ； a = .
y=|cos2x+1/2|图象
（3）sin ； （4）sin ；
a b （定义公式）= (坐标公式)．
（5）tan ; （6）tan .
a 在b 方向上的投影为. = (坐标公式)
10. 二倍角的正弦、余弦和正切公式：
sin2
a b （一般表示） （坐标表示） ．
cos2 = =
a ∥b （一般表示） （坐标表示）．
tan 2
降次公式： cos2 2 ，sin , sin cos 夹角公式： cos = (坐标公式).
11．引入辅助角公式： asin bcos .
2.若G 为 ABC的重心，则 = 0 ；
b
(其中,辅助角 所在象限由点 (a,b)所在的象限决定, tan ).
a
12. 正弦定理： . （ R 是 ABC外接圆直径） 且 G 点坐标为 ( ， )
注 ： ① a :b : c sin A : sinB : sinC ； ② a 2R sin A,b 2R sin B,c 2R sinC ； 3.三点共线的充要条件：P，A，B三点共线 OP xOA (1 x)OB
a b c a b c 4.三角形的四心
③ 重心：三角形三条 交点.
sin A sin B sinC sin A sin B sinC
外心：三角形三边 相交于一点.
13. 余弦定理： .（逆定理）
内心：三角形三 相交于一点.
（以 A 角和其对边来表示）
垂心：三角形三边上 的相交于一点.
14. 三角形面积公式： S ABC = = ．
5. 数列{ an }中 an 与 Sn 的关系 an （注：该公式对任意数列都适用）
（用边与角的正弦值来表示）
6. 数列相关知识
三角形面积导出公式：
★1.等差数列：
S ABC （ r 为 ABC内切圆半径）= （ R 外接圆半径）
通项公式：（1）an ,其中a 为首项,d为公差,n为项数,a 为末项. _______________ 1 n
15. 三角形内切圆半径 r= 外接圆直径 2R= = =
（2）推广： an _______________
第四部分：平面向量、数列与不等式
前 n项和： Sn ______________=__________________；其中a1为首项,n为项数,an 为末项.
1． 平面向量的基本运算：
常用性质：（1）若 m+n=p+q ,则有 ；
设 A (x , y ) ,B (x , y ) ,则 AB OB OA ___________. __________________1 1 2 2
注：若am是an ,ap 的等差中项,则有 2a a a n,m,p成等差数列. m n p
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2
（2）若 an 、 bn 为等差数列,则 an bn 为等差数列. ax bx c 0
(a 0)的解集
（3） an 为等差数列, Sn 为其前 n项和,则 Sm , S2m Sm , S3m S2m 也成等差数列.
ax2 bx c 0
则 （4）a q,a p, a 0 ； p q p q (a 0)的解集
★2.等比数列： 9. 重要不等式：
通项公式：（1） an ________ . ,其中 a1为首项,n为项数,q为公比. 基本不等式： 若a 0,b 0 则 ；
11．极值定理：已知 x, y 都是正数，则有：
（2）推广：an _________ .
(1)如果积 xy是定值 p ，那么当 x y 时和 x y有最小值 ；
前 n 项和： Sn __________ ________. (2)如果和 x y是定值 s ，那么当 x y 时积 xy有最大值 .
常用性质：（1）若 m+n=p+q,则有 ；
_______________________ 12.均值不等式链：
如果 a,b 都是正数，那么 （当仅当 a=b 时取等号）
是 2注：若am an ,ap 的等比中项,则有 a a a n、m、p成等比. 即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a、b 为正数） m n p
2
特别地， a b 2 a b
2 2 2
ab ( ) （当
a b a b
a = b 时， ( ) 2 ab）
（2）若 a 、 b 为等比数列,则 a b 为等比数列. 2 2 2 2n n n n
2 2a b2 c2 a b c
7.常见数列的和： (a,b,c R,a b c时取等)
3 3
①1+2+3+……+n=
2 2 2 1
幂平均不等式：a1 a2 ... an (a a ... a )
2
1 2 n
12② +22+32+……+n2= n
13.均值定理:已知 x, y 都是正数,则有
3
③1 +23+33+……+n3= （1）已知a,b, x, y R ,若ax by 1则有
8.一元二次不等式解的讨论. 1 1 1 1 by ax
(ax by)( ) a b a b 2 ab ( a b)2 .
0 0 0 x y x y x y
a b
（2）已知a,b, x, y R

,若 1则有
二次函数 x y
y ax2 bx c a b ay bx x y (x y)( ) a b a b 2 ab ( a b)
2
x y x y
（a 0）的图象
一元二次方程
2 ax bx c 0
a 0 的根
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(4)直线和平面垂直的判定定理
第五部分：立体几何与解析几何
三视图与直观图： 1.
原图形与直观图面积之比为
2. 常见几何体表面积公式：
圆柱的表面积 S= 圆锥的表面积 S= (5)平面和平面垂直的判断定理
圆台的表面积 S= 球的表面积 S=
3．常见几何体体积公式：
柱体的体积 V= 锥体的体积 V=
(6)平面和平面垂直的性质定理
台体的体积 V= 球体的体积 V=
4. 常见空间几何体的有关结论：
⑴棱锥的平行截面的性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，
截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ；相应小棱锥与小棱锥的侧
面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．
⑵长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 a ，b，c，则体对角线长为 ，全面 6．直线的斜率： k = =
积为 ，体积 V= （ 为直线的倾斜角， A(x1, y1) 、B(x2 , y2 )为直线上的两点）
⑶正方体的棱长为 a，则体对角线长为 ,全面积为 ，体积 V= 7. 直线方程的五种形式：
⑷球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径＝长方体的 长. 直线的点斜式方程： (直线 l 过点P1(x1, y1)，且斜率为 k )．
球与正方体的组合体:正方体的内切球的直径=正方体的 ,
直线的斜截式方程： (b 为直线 l 在 y 轴上的截距).
正方体的棱切球的直径=正方体的 长, 正方体的外接球的直径=正方体的体 长.
⑸正四面体的性质：设棱长为 a ，则正四面体的：
直线的两点式方程： (P1(x1, y1)、 P2 (x2 , y2 ) x1 x2 ， y1 y ). ① 高： ；②对棱间距离： ；③内切球半径： ；④外接球半径： 2
5.立体几何常用的六个定理(三种语言) 直线的截距式方程： (a 、b 分别为直线在 x 轴、y 轴上的截距，且a 0,b 0 ).
(1)直线和平面平行的判定定理
直线的一般式方程： Ax By C 0 (其中 A、B不同时为 0).
直线 Ax By C 0的法向量： l (A, B) ,方向向量： l (B, A)
8．两条直线的位置关系：
（1）若 l1 : y k1x b1， l2 : y k2x b2 ,则：
(2)直线和平面平行的性质定理
① l1 ∥ l2 且 ； .
（2）若 l1 : A1x B1y C1 0 , l2 : A2x B 2 y C2 0 ,则：
① l1 ∥ l2 且 ；②. l1 l2 .
(3)平面和平面平行的判定定理 9．距离公式：
（1）点P1(x1, y1)， P2 (x2 , y2 )之间的距离：
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16．抛物线的定义：
（2）点 P(x0 , y0 )到直线 Ax By C 0 的距离： （1）平面内与一个定点F 和一条定直线 l （点F 不在 l 上）的距离的 的点的轨迹叫做双
曲线.这个定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线.
（3）平行线间的距离： Ax By C1 0 与 Ax By C2 0的距离： （2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： .
（3）抛物线问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________.
10.圆的方程：
（1）圆的标准方程： 17．离心率：e= （椭圆的离心率 (0,1) ，双曲线的离心率 ，抛物线的离心
2 2
（2）圆的一般方程： （ D E 4F 0) 率 ）
（3）圆的参数方程： x2 y2 x2 y2
18．双曲线的渐近线： 1（a 0，b 0）的渐近线方程为 ，且与 1
11．直线与圆的位置关系：判断圆心到直线的距离 d 与半径 R 的大小关系 a2 b2 a2 b2
（1）当 时，直线和圆 （有两个交点）；
（2）当 时，直线和圆 （有且仅有一个交点）； x2 y2
具有相同渐近线的双曲线方程可设为 .
（3）当 时，直线和圆 （无交点）； a2 b2
12. 圆与圆的位置关系：判断圆心距 d 与两圆半径和 R1 R2 ，半径差 R1 R2（ R1 R2 ）的大小 19．过抛物线焦点的直线：
y2关系： 倾斜角为 的直线过抛物线 2 px 的焦点 F 且与抛物线交于 A(x1, y1) B(x2 , y2 ) 两点
（1）当 时，两圆 ，有 4 条公切线；
（2）当 时，两圆 ，有 3 条公切线； （ y1 0 ）：
（3）当 时，两圆 ，有 2 条公切线；
|AF|= |BF|= |AB|= =
（4）当 时，两圆 ，有 1 条公切线；
1 1
（5）当 时，两圆 ，没有公切线； x1x2= y1y2= + = |AF| |BF|
13. 直线与圆相交所得弦长|AB|= （d 为直线的距离 r 为半径）
20．焦点三角形的面积：（1）椭圆：S= ；（2）双曲线：S= （ F PF ）
若 A(x1, y1), B(x
1 2
2 , y2 )(y1 y2 ) ，则线段 AB的垂直平分线为：__________________.
21．几何距离：
已知两圆 x2 y2 D1x E1y F
2 2
1 0与x y D2x E2 y F2 0， （1）椭圆双曲线特有距离：①长轴（实轴）： ； ②短轴（虚轴）： ； ③焦距： .
（2）通径长：①椭圆、双曲线： ； ②抛物线： .
则这两个圆公共弦所在直线方程为_____________________________________.
14．椭圆的定义： 22．直线被曲线所截得的弦长公式：若弦端点为 A (x1, y1),B(x , y ) ,则 2 2
（1）平面内与两个定点 F1、F2 的距离和等于常数 的点的轨迹叫椭圆.这两个
2 2 2 |AB|= = =
定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（a b c ）
（2）标准方程：焦点在 x轴上： ；焦点在 y 轴上： . 23. 中点弦问题： 椭圆：kABkOP= 双曲线：kABkOP=
（3）椭圆问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________.
15．双曲线的定义： 第六部分：统计与概率
（1）平面内与两个定点F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数： 的点的轨迹叫
2 2 2 1. 总体特征数的估计：
双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.（c b a ）
（ ）标准方程：焦点在 x轴上： ⑴样本平均数 x= ； 2 ；焦点在 y 轴上： .
（3）双曲线问题隐含条件：（1）______________________,(2)_____________________. ⑵样本方差；S2= ；
⑶样本标准差 S= .
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2．概率公式：
第八部分：选修部分（极参与不等式）
⑴互斥事件：_________________;对立事件：_________________:
互斥事件的概率公式：P(A+B)= 2 2
x cos
x y
⑵古典概型：基本事件的总数数为 N ，随机事件 A 包含的基本事件个数为M ，则事件 A 1. 极坐标→直角坐标 直角坐标→极坐标
y sin
y
发生的概率为：P(A)=
tan (x 0)
x
2. 常见曲线的参数方程：
构成事件A的区域长度（面积或体积等）
⑶几何概型： P(A)
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
普通方程 参数方程
3.回归分析 过点 (x 0 , y0 ) 倾斜角为
(1)判断两个变量是正相关还是负相关可以用散点图;
直线 y y0 tan (x x0 ) （ t 为参数） (2)线性回归方程系数公式:其中 b 为斜率,a 纵截距
n n 或者 x x0
xi yi nx y (xi x)(yi y)
b i 1 i 1 ,a y bx 2 2 2
n n
2 圆 (x x ) (y y ) r
x 2
0 0
i nx (xi x)
2
i 1 i 1 常见曲线 （ 为参数）
的普通方
2 2
(3)相关系数的理解； 程与参数
x y
椭圆 1（a＞b＞0）
a 2 b2
4.独立性检验:判断两个变量的依赖关系 方程 （ 为参数）
2 2
P(K2≥k) 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.01 0.005 0.001 x y
双曲线 1（a＞0，b＞0）
2 2
k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 a b （ 为参数）
2
2 n(ad bc)k 2
(a b)(c d)(a c)(b d ) 抛物线 y 2 px （p＞0）
（ t 为参数）
第七部分：复数
3.不等式 | ax b | c(a 0,c 0) 的可转化为
1. 复数的基本概念： z a bi （a，b R）
（1）实部： ；虚部： ； 虚数单位：i2= 不等式 | ax b | c(a 0,c 0) 的可转化为
（2）模：|z|= =
4.绝对值三角不等式
（3）共轭复数：-z = （4）在复平面内对应的点为
柯西不等式： .（当且仅当 ad=bc 时取等号）
（5）复数相等：a+bi=c+di（a，b，c，d∈R）
2. 复数的基本运算： 5.解 | x a | | x b | c 型不等式的常用方法是___________________________________.
（1）加减法：（a+bi）＋（c+di）= （a+bi）－（c+di）=
（2）乘法：（a+bi）×（c+di）= 求 | x a | | x b |最值得常用方法是_______________________________________.
（3）除法：（a+bi）÷（c+di）=
求 | ax b | | cx d |最值得常用方法是_______________________________________.
4n 1
注：对虚数单位 i ,有 i i, i 4n 2 1, i 4n 3 i, i 4n 1.
8

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