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高中数学 130 个易错点
目 录
第一章 集合与常用逻辑用语
易错点 1．忽视（漏）空集致错
易错点 2．忽视最高项系数为 0时。
易错点 3．忽视集合元素的互异性
易错点 4．判断充分性必要性位置颠倒
易错点 5．分式不等式求补集不能直接改变不等号方向
第二章 一元二次函数、方程和不等式
易错点 1．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”
易错点 2．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”
易错点 3．解一元二次不等式忽视首项系数化正。
易错点 4．解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。
易错点 5．一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一” 法。
易错点 6．最高项系数含参数问题，经常忽略考虑系数 0。
第三章 函数概念与性质
易错点 1．忽视定义域表示的是谁的范围
易错点 2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为 0
易错点 3．忽视函数的定义域
易错点 4．根据函数奇偶性求解析式时忽视“ x ”的范围。
易错点 5．函数奇偶性忽略定义域。
易错点 6．忽视抽象函数的定义域。
第四章 指数函数与对数函数
易错点 1．分段函数单调性忽略分段点。
易错点 2．求单调区间时忽略函数定义域。
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第五章 三角函数
易错点 1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。
易错点 2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
易错点 3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）
易错点 4．图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个 x 平移。
易错点 5．三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。
易错点 6．忽视了 化正才能求三角函数的单调区间。
第六章 平面向量及其应用
易错点 1．忽视0
易错点 2．混淆向量模相等与向量相等
易错点 3．误把两向量平行当成两向量同向
易错点 4．混淆向量数量积运算和数乘运算的结果
易错点 5．向量求模忘记开根号
易错点 6．忽视两个向量成为基底的条件
易错点 7．记反了向量减法运算差向量的方向
易错点 8．错误使用a b的等价条件
易错点 9．忽视两向量夹角 a,b 的取值范围
易错点 10．混淆向量点乘运算和实数乘法运算
易错点 11．误把向量的投影当非负数
易错点 12．混淆向量的夹角定义
易错点 13．正弦定理边角互化时忽略2R
易错点 14．忽视锐角 ABC中，角的取值范围
易错点 15．在 ABC中忽视 cos A 0的解
第七章 复数
易错点 1．忽视复数 z a bi 是纯虚数的充要条件
易错点 2．错误的理解复数比大小
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易错点 3．错误的惯性思维理解复数的模
易错点 4．误把复数当实数代入计算
2
易错点 5．忽视了 i 1，习惯性的认为平方是正数
易错点 6．复数三角形式的标准形式理解错误
易错点 7．忽视复数 z r(cos isin )在复平面的位置而求错arg z.
易错点 8．忽视复数 z a bi 在复平面的位置在转化为复数三角形式时出错.
易错点 9．复数三角形式的除法没化标准就代入除法运算法则
第八章 立体几何初步
易错点 1．混淆斜二测画法中长度有变有不变
易错点 2．混淆直观图和原图
易错点 3．在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情况
易错点 4．错误认为，无数等于所有
易错点 5．证明线面平行时，忽略了平面外一条直线，平面内一条直线，而造成的书
写不规范
易错点 6．忽略异面直线所成角的范围
第九章 统计
易错点 1．随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过
易错点 2．忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错
易错点 3．样本数据变化时，混淆了方差，标准差的变化规律
频率
易错点 4．误把频率分布直方图的高 当频率
组距
易错点 5．总体百分位数忽略了将数据从小到大排序
易错点 6．频率分布直方图中，平均数估计值中，高和面积混淆错误
易错点 7．频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替
易错点 8．在选拔选手问题时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好
第十章 概率
易错点 1．误把频率当概率，混淆了频率与概率的概念
易错点 2．混淆了互斥事件与对立事件的区别
易错点 3．忽视了概率加法公式适用的前提条件
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易错点 4．基本事件列举时出现重复或者遗漏
易错点 5．混淆了有放回和无放回
第一章 空间向量与立体几何
易错点一：空间向量的加减运算
易错点二：空间向量的数量积
易错点三：用空间基底表示向量
易错点四：空间向量的坐标运算
易错点五：空间向量运算的坐标表示
易错点六：空间位置关系的向量证明
易错点七：异面直线夹角的向量求法
易错点八：线面角的向量求法
易错点九：面面角的向量求法
第二章 直线和圆的方程
易错点一：两条直线平行和垂直的判定
易错点二：直线的方程
易错点三：两条直线的交点坐标
易错点四：两点间的距离公式
易错点五：圆的方程
易错点六：直线与圆的位置关系
易错点七：圆与圆的位置关系
易错点九：求椭圆的焦点
第三章 圆锥曲线的方程
易错点一：利用椭圆定义求方程
易错点二：求椭圆的焦点
易错点三：求椭圆的长轴、短轴
易错点四：求椭圆的离心率或离心率的取值范围
易错点五：根据离心率求椭圆的标准方程
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易错点六：利用定义解决双曲线中焦点三角形问题
易错点七：根据方程表示双曲线求参数的范围
易错点八：根据 a,b,c求双曲线的标准方程
易错点九：求双曲线的焦点坐标
易错点十：根据焦点或准线写出抛物线的标准方程
第四章 数列
易错点一：判断或写出数列中的项
易错点二：判断等差数列
易错点三：等差数列通项公式的基本两计算
易错点四：利用等差数列的性质计算
易错点五：等差数列前 n项和的基本量计算
易错点六：等比数列通项公式的基本量计算
易错点七：求等比数列前 n项和
第五章 一元函数的导数及其应用
易错点一：平均变化率
易错点二：瞬时变化率的概率及辨析
易错点三：导数定义中极限的简单计算
易错点四：求曲线切线的斜率（倾斜角）
易错点五：基本初等函数的导数公式
易错点六：导数的运算
易错点七：用导数判断或证明已知函数的单调性
易错点八：求已知函数的极值
易错点九：由导数求函数的最值
第六章 计数原理
易错点 1：分步标准不清致错
易错点 2：忽视排列数公式的隐含条件致误
易错点 3：重复计数与遗漏计数致误
易错点 4：混淆“排列”与“组合”的概念致错
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易错点 5：计数时重复或遗漏致错
易错点 6：混淆项的系数与二项式系数
易错点 7：错用二项式系数的性质致误
第七章 随机变量及其分布列
易错点 1：误认为条件概率 P(B|A)与积事件的概率 P(AB)相同
易错点 2：概率计算公式理解不清而致误
易错点 3：离散型随机变量的可能取值搞错致误
易错点 4：对离散型随机变量均值的性质理解不清致误
易错点 5：要准确理解随机变量取值的含义
易错点 6：审题不清致误
易错点 7：对超几何分布的概念理解不透致错
易错点 8：对正态曲线的性质理解不准确致错
第八章 成对数据的统计分析
易错点 1：概念不清致误
易错点 2：生搬硬套求回归直线方程的步骤致错．
易错点 3：没有准确掌握公式中参数的含义致误
第一章 集合与常用逻辑用语典型易错题集
易错点 1．忽视（漏）空集致错
【典型例题 1】（2022·全国高一课时练习）已知集合 A x 1 x 1 ，B x a 1 x 2a 1 ，若B A，则实数a 的
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取值范围是（ ）
A．a 1 B．a 1
C．0 a 1 D．0 a 1
易错点 2．忽视最高项系数为 0 时。
2
【典型例题 2】（2022·安徽省蚌埠第三中学高一月考）已知集合M x x x 6 0 ，N x mx 1 0 ，若N M ，
则实数m 的取值构成的集合为___________.
易错点 3．忽视集合元素的互异性
2
【典型例题 3】（2022·浙江高一月考）已知集合 A a 2, a 1 ,a2 3a 3 ，若1 A，则实数a 的取值集合为（ ）
A． 1,0, 2 B． 0, 2 C． 1 D． 0
易错点 4．判断充分性必要性位置颠倒
【典型例题 4】（2022·安徽镜湖·芜湖一中高三月考（理））使得不等式 log1 x 5成立的一个充分不必要条件为（ ）
2
A． x 32 B．0 x 32
C．4 x 16 D． x 24
易错点 5．分式不等式求补集不能直接改变不等号方向
2x 1
【典型例题 5】（2022·西城·北京四中高三月考）已知集合 A x 1, x R ，集合B x 1 x a 1, x R .
x 1
若B R A B，求实数 a 的取值范围.
【练一练】
1．（2022·福建福州三中高一月考）已知集合 A x 2 x 5 ，B x m 1 x 2m 1 ，若B A ，则实数m 的取
值范围为___________.
2．（2022·上海复旦附中青浦分校高一月考）已知集合 A {x | 2 x 5}，B {x | m 1 x 2m 1}，若 A B A，则
实数m 的取值范围______________
2
3．（2022·新蔡县第一高级中学高一月考）设M x x 5x 6 0 ，N x ax 1 0 ，若M N ，则实数a 的值构
成的集合为________________________．
4．（2022·广东福田外国语高中高一月考）已知集合 A x∣ax2 2x 1 0 (a R) .若 A中只有一个元素，则 a 的值
___________.
2
5．（2022·江苏淮安·高一月考）已知集合 A x | ax 2x 1 0, x R 是单元素集，则a 的值为____.
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6．（2022·全国高一课时练习）已知集合 x mx2 2x 1 0 n ，则m n的值可能为（ ）
1
A．0 B．
2
C．1 D．2
2
7．（2022·福建三明一中高一月考）如果集合M x mx 4x 2 0 中只有一个元素，则实数m 的所有可能值的和为
（ ）
A．4 B．2 C．1 D．0
2
8．（2022·全国高一单元测试）若关于 x 的方程ax 2 a 1 x 4 0的解集为单元素集合，则（ ）
A．a 0 B．a 1
C．a 0或 a 1 D．a 0且 a 1
9．（2022·山东省潍坊第四中学高一开学考试）若集合 A {x | kx2 4x 4 0}中有且仅有一个元素，则实数 k 的值为（ ）
A． k {0} B． k {1} C．k {1,0} D．k {1, 1}
2
10．（2022·广东佛山·高一月考）已知，a A 1,3,a 则 a 的取值为___________.
11．（2022·重庆市第七中学校高三月考）“当 x [ 2,1]时，不等式ax3 x2 4x 3 0恒成立”的一个必要不充分条
件为（ ）
A．a [ 5, 1] B．a [ 7, 1]
C．a [ 6, 2] D．a [ 4, 3]
3
12．（2022·全国高三月考）设 x R ，则 x 2 3 的一个必要不充分条件是（ ）
x
A． x 0 B． x 0且 x 3 C． x 3 D．0 x 3
13．（2022·贵阳修文北大新世纪贵阳实验学校高三月考（文））二次函数 f (x) ax2 2x 1在区间 ( ,1)上单调递
增的一个充分不必要条件为（ ）
1
A． a 1 B． a 2 C． a 0 D．0 a 1
2
14．（2022·黑龙江佳木斯一中高三月考（理））设 x R ，则 x 2 的一个必要不充分条件为（ ）
A． x B． x C． x 1 D． x 1
2x 1
15．（2022·沭阳县修远中学高一月考）设全集U R，集合 A {x | 1}，B {x | x 1}，C {x | 2a x a 3}.
x 2
（1）求 U A和 A B ；
（2）若 A C A，求实数a 的取值范围.
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3x 1
16．（2022·渝中·重庆巴蜀中学高一月考）已知集合 A x 0 , B x 3x 2 3 ，
3x 1
（1）求 AR ；
（2）求 A B, A B ．
2 19
17．（2022·黑龙江大庆实验中学高一月考）已知全集U R，集合 A x x 3x 18 0 ，B x 1 .
x 14
（1）求 U B A；
（2）若集合C x 2a x a 1 ，且B C C ，求实数a 的取值范围.
第二章 一元二次函数、方程和不等式典型易错题集
易错点 1．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“一正”
1
【典型例题 1】（2022·全国高一专题练习）若 x 0 ，则 x （ ）
x
A．有最小值，且最小值为2 B．有最大值，且最大值为 2
C．有最小值，且最小值为 2 D．有最大值，且最大值为 2
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易错点 2．忽视基本不等式使用条件“一正，二定，三相等”中的“三相等”
1
【典型例题 2】（2022·海南昌茂花园学校高三月考）当 x 4时，不等式 x a恒成立，则实数a 的取值范围是
x 2
（ ）
9
A． ,4 B． 2, C． 4, D． ,
2
易错点 3．解一元二次不等式忽视首项系数化正。
【典型例题 3】（2020·云南·曲靖市关工委麒麟希望学校高一期中）不等式 (x 1)(2 x) 0的解集为（ ）
A． x | x 1或 x 2} B．{x | x 2或 x 1} C．{x | 2 x 1} D．{x | 1 x 2}
易错点 4．解分式不等式时错误的直接把分母就“相当然”当成正数乘到不等式右边。
3x
【典型例题 4】（2022·江苏·高一专题练习）不等式 2的解是（ ）
x 1
A． 2,1 B． 2,1
C． 2,1 D． , 2
易错点 5．一元二次不等式在区间D上恒成立错误的“统一” 法。
【典型例题 5】（2022·全国·高一课时练习）若不等式 x2 2x a 2 0对任意的 x 1,3 恒成立，则实数a 的取值
范围是（ ）
A． a | a 13 B． a a 1
C． a | a 3 D． a | a 1
易错点 6．最高项系数含参数问题，经常忽略考虑系数 0。
【典型例题 6】（2022·全国·高三专题练习）对 x R，不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0 恒成立，则a 的取值范围
是（ ）
A．﹣2 a 2 B．﹣2 a 2 C．a 2或a 2 D．a 2或a 2
【练一练】
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x2 3x 4
1．（2022·全国高一专题练习）已知 x 3，则 y 的最大值是（ ）
x 3
A． 1 B． 2 C．2 D．7
2．（2022·全国高一专题练习）下列不等式一定成立的是（ ）
3 x4 1
A． x 2 3 B． 2
x x2
2
x y y x
C． x2 y2 D．若 x 0 ， y 0，则 2
2 x y
3．（2022·全国高一专题练习）下列命题中错误的是（ ）
1 1
A．当 x 0时， x 2 B．当 x 2时， x 2
x x
3 4
C．当0 x 4时， x(4 x) 2 D．当 x 时，2x 1 2
2 2x 3
4．（2022·全国高一专题练习）下列函数中最小值为 2的函数是（ ）
1 1 x2 3 4
A． y x B． y x x 1 C． y D． y ex 2
2 ex
x x x 2
5．（2022·广东盐田·深圳外国语学校高三月考）在下列函数中，最小值为 2的是（ ）
1 1
A． y x B． y lg x (1 x 10)
x lg x
x2 2x 2 1
C． y (x 1) D． y sin x 0 x
x 1 sin x 2
6．（2022·吉林高三开学考试（文））下列函数中最小值为 4的是（ ）
4
A． y x2 2x 4 B． y sin x
sin x
4
C． y 2x 22 x D． y ln x
ln x
x2 2x 1 1
7．（2022·全国高三专题练习（理））已知 f (x) ，则 f (x)在 ,3 上的最小值为（ ）
x 2
1 4
A． B．
2 3
C．－1 D．0
x2 3
8．（2022·湖南高一月考）若 x 0 ，则 的最大值是（ ）
x 1
A．2 B． 2 C．4 D． 4
2
9．（2022·浙江南湖·高一期中）已知函数 f x x ax 1，若 f x 0在 0，2 上恒 a．成．立．，则实数 的取值范围是（ ）
A． ,2 B． ,1 C． 0,2 D． 0,1
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10．（2022·吉林·东北师大附中高一月考）对于任意实数 x ，不等式 a 2 x2 2 a 2 x 4 0恒成立，则实数a 的
取值范围是（ ）
A． a a 2 B． a a 2 C． a 2 a 2 D． a 2 a 2
11．（2022·宁夏·六盘山高级中学高二月考（文））已知关于 x 的不等式ax2 ax 2 0在 R 上恒成立，则实数a 的
取值范围是（ ）
A． ,0 8, B． ,0 8,
C． 0,8 D． 0,8
2
12．（2022·河南·高一月考）若不等式 a 2 x 2 a 2 x 4 0 对一切 x R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A． 2 a 2 B．a 2
C． 2 a 2 D．a 2或a 2
2
13．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二月考（文））若不等式 (a 3)x 2(a 2)x 4 0对于一切 x R 恒
成立，则a 的取值范围是（ ）
A． ( ,2] B．[ 2,2] C． ( 2 2,2 2) D． ( ,2)
x 1
14．（2020·福建省厦门第六中学高一月考）不等式 2的解集是（ ）
x 2
A． ( ,2) 5, B． ,2 5, C． 2,5 D． (2,5)
1 x
15．（2022·江苏省天一中学高二月考）不等式 0的解集为（ ）
1 x
A．{x | x 1或 x 1} B． x∣ 1 x 1 C．{x | x 1或 x 1} D．{x | 1 x 1}
x 3
16．（2022·全国·高一课时练习）与不等式 0同解的不等式是（ ）
2 x
A． x 3 2 x 0 B．0 x 2 1
2 x
C． 0 D． x 3 2 x 0
x 3
2 x
17．（2022·全国·高一课时练习）不等式 0的解集为（ ）
x
A． x | 0 x 2 B． x | 0 x 2 C． x | x 0或 x 2 D． x | x 0或 x 2
1
18．（2022·江西·上高二中高二月考）不等式 1的解集为（ ）
x 1
A． ,0 B． ,0 1,
C． 0,1 1, D． 0,
19．（2022·全国·高一单元测试）要使函数 y mx2 mx (m 1)的值恒为负值，m 的取值范围为（ ）
4 4
A．m 0 B．m 0或m C．m 0或m D．m 0
3 3
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1
20．（2022·浙江·高三专题练习）若不等式 x2 ax 1 0对一切 x 0, 恒成立，则a 的取值范围是（ ）
2
5
A．a 0 B．a 2 C．a D．a 3
2
第三章 函数的概念与性质典型易错题集
易错点 1．忽视定义域表示的是谁的范围
【典型例题 1】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）已知函数 y f x 的定义域为 1,2 ，则函数 y f x 2
的定义域为（ ）
A． 3,0 B． 1,4 C． 3,0 D． 1,4
易错点 2．解不等式问题时忽略讨论最高项系数是否为 0
x 1
【典型例题 2】（2022·黑龙江让胡路·大庆中学高一月考）若函数 f (x) 的定义域为 R ，则实数m 的
mx2 2mx 4
取值范围是（ ）
A． 0,4 B． 0,4
C． 0,4 D． ,0 4,
易错点 3．忽视函数的定义域
【典型例题 3】（2022·全国高一单元测试）若 f ( x 1) x x ，则 f (x) 的解析式为（ ）
A． f (x) x2 x B． f (x) x2 x(x 0)
C． f (x) x
2 x x 1 D． f (x) x2 x
易错点 4．根据函数奇偶性求解析式时忽视“ x ”的范围。
x
【典型例题 4】（2022·全国高三专题练习）设 f (x) 为奇函数，且当 x 0 时， f (x) e 1，则当 x 0 时， f (x) =
易错点 5．函数奇偶性忽略定义域。
1
【典型例题 5】（2022·全国高一课时练习）判断函数是否具有奇偶性: f (x) , x [ 1,2]2 . x 1
易错点 6．忽视抽象函数的定义域。
【典型例题 6】（2022·广东高一单元测试）已知 f x 是定义在 2，2 上的单调递减函数，且 f 2a 3 f a 2 ，
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则实数 a 的取值范围是（ ）
1 5 5
A． 0，4 B． 1， C． ， D． 1，
2 2 2
【练一练】
f 2x 1
1.（2022·沙坪坝·重庆一中高一月考）已知函数 f x 的定义域是 1,3 ，则函数 g x 的定义域是( )
1 x
A． 3,1 B． 0,1 C． 0,1 D． 3,1
2．（2022·四川射洪中学高一月考）已知函数 f (x) 的定义域为 1,2 ，则函数 f ( x 1)的定义域为（ ）
A．[ 2, 1] B．[1,2] C．[0,1] D．[ 1,0]
3 1 3x
3．（2022·抚顺市第二中学高二期末）已知函数 f (x) 的定义域是 R ，则实数a 的取值范围是（ ）
ax2 ax 3
A．a 0或a 12 B． 12 a 0
C． 12 a 0 D．a 0或a 12
1
4．（2022·全国高一专题练习）已知函数 f x 的定义域为 R ，则实数m 的取值范围是（ ）
mx2 mx 1
A．0 m 4 B．0 m 4 C．0 m 4 D．0 m 4
1 x 1
5．（2022·黑龙江铁锋·齐齐哈尔中学高一期中）若 f 2 ，则有（ ）
x x
A． f x x2 1 B． f x x2 x
C． f x x2 x x 0 D． f x x2 1 x 0
6．（2022·山东牟平一中高一月考）已知函数 f (x2 1) x4 ，则函数 y f (x)的解析式是（ ）
2 2
A． f x x 1 , x 0 B． f x x 1 , x 1
2 2
C． f x x 1 , x 0 D． f x x 1 , x 1
7.（2022·天津市武清区杨村第一中学高二月考）设 f x 为偶函数，且当 x 0时， f x 1 lnx，则当 x 0 时，f x
（ ）
A． 1 ln x B． 1 ln x C． l ln x D．1 ln x
8．（2012·河北石家庄·高一月考）已知 是 R上的奇函数，且当 时， ，求 的解析
式．
9．（2020·黔西南州同源中学高一期中）已知函数 f (x) 是定义在 上的奇函数，当 x 时， f (x) x2R 0 2x .
（1）画出当 x 0 时， f (x) 函数图象；
（2）求出 f (x) 解析式.
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10.（2020·全国高一专题练习）判断函数的奇偶性： f (x) 1 x2 x2 1；
11．（2020·海原县第一中学高一月考）求函数的奇偶性： f x x 2 2 x ；
12．（2020·全国高一课时练习）判断函数 y lg(x x2 1)的奇偶性，并证明
1
13．（2022·新余市第一中学高二月考（文））设奇函数 f x 在定义域 2,2 上单调递减，则不等式 f 2x f 1 x 0
4
的解集为（ ）
3
A． 2,2 B． ,
4

7 3 7 3
C． , D． , ,
8 4 8 4
14．（2022·全国高一课时练习）奇函数 f x 在定义域 1,1 上是减函数，若 f 2m 1 f m 0，则m 的取值范围
是（ ）
1 1 1 1
A． , 0 B． ,1 C． 1, D． ,
3 3 3 3
15（．2022·江苏高一专题练习）已知定义域为[ 1,1]的奇函数 f (x) x3 x b 1，则 f (2x b) f (x) 0的解集为（ ）
1 1
A．[1,3] B． , 2 C．[1,2] D．3
,1
3

16．（2022·江苏高一）已知函数 f x 是定义在区间 2,2 上的偶函数，当 x 0,2 时， f x 是减函数，如果不等式
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f 1 m f 1 m 成立，则实数m 的取值范围（ ）
A． 1,0 B． 0,1 C． ,0 D． 1,1
17．（2022·福建省永泰县第二中学高一期末）已知 f (x) 是定义在 ( 2,2) 上的奇函数且单调递增，f (a 4) f (2a 5) 0，
则 a 的取值范围是（ ）
7
A． (2,3) B． (3, ) C． (1,4) D． (4,6)
2
第四章 指数函数与对数函数典型易错题集
易错点 1．分段函数单调性忽略分段点。
a 2 x 1, x 1,
【典型例题 1】（2022·河南信阳·高三月考（文））已知函数 f x 若 f x 在 , 上单调递增，
loga x, x 1
则实数 a 的取值范围为（ ）
A． 0,1 B． 2,3 C． 1,2 D． 2,
易错点 2．求单调区间时忽略函数定义域。
【典型例题 2】（2022·重庆北碚·西南大学附中高一期末）函数 f (x) lg (x2 2x 8) 的单调递增区间是（ ）
A． ( ， 2) B． ( ，1) C． (1， ) D． (4， )
【练一练】
2 a
1.（2022·庆阳第六中学高一期末）若函数 f (x) lg(ax 2x ) 的定义域为R ，则a 的取值范围是（ ）
4
A． (- ，-2) B． (- ，2) C． (2， ) D． (-2， )
2．（2022·云南省云天化中学高一开学考试）函数 y x2 4x 12 的单调递减区间为（ ）
A． ,2 B． 2, C． 2,6 D． 2,2
2
3．（2022·巴楚县第一中学高三月考（文））函数 y log1 ( x x 6)的单调递增区间为（ ）
2
1 1 1
A． ( 2,3) B． ( 2, ) C． ( ,3) D． ( , )
2 2 2
2
4．（2022·海南昌茂花园学校高三月考）函数 f x log1 x 4x 的单调递减区间为（ ）
3
A． , 2 B． 2, C． ,0 D． 4,
5．（2022·贵州贵阳一中高三月考（理））函数 f (x) ln(2x2 3x 1)的单调递减区间为（ ）
6．（2022·陕西渭滨·高二期末（文））函数 f (x) 3 2x x2 的单调递增区间是（ ）
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A． ( ,1] B．[1, ) C．[1,3] D．[ 1,1]
7．（2022·江西省乐平中学高一开学考试）函数 f (x) ln(4 3x x2 )的单调递减区间是（ ）
3 3 3 3
A． ( ， ] B．[ ， ) C． ( 1， ] D．[ ，4)
2 2 2 2
(1 3a)x 10a, (x 7)
8．（2022·陕西·咸阳市高新一中高一期中）已知函数 f (x) x x (x x )
ax 7
，且对于定义域内的 1， 2 1 2
, (x 7)
f (x1) f (x2 )
都满足 0，则实数a 的取值范围是（ ）
x1 x2
1 1 1 2 1 6 1 6
A． , B． , C． , D． ,
3 2

2 3 3 11 2 11
x2 3a 1 x 2, x 1
9．（2022·湖北·高三月考）已知函数 f x x ，若函数 f x 在 R 上为减函数，则实数a 的取
a , x 1
值范围为（ ）
1 1 1 1 1
A． ,1 B．3
, C． 0, D． ,1
3 2 3 2
3a 1 x 4a, x 1
10．（2022·重庆·西南大学附中高一月考）已知函数 f x ，对任意实数 x1、 x2 x1 x2 都满足
x 1, x 1
f x1 f x2
0，则实数a 的取值范围是（ ）
x1 x2
1 1 1 1 1
A． , B． , C． , D． ,
7 7 3 3 3
3 a x 4a, x 1
11．（2022·四川·射洪中学高一月考）已知函数 f (x) 2 是 R 上的增函数，则实数a 的取值范围是
x , x 1
（ ）
2 2 2 2
A． ,3 B． ,35 5
C． ,3 D． ,3
5 5
x2 ax 7, x 1

12．（2020·广东·东莞市东莞中学高一月考）已知函数 f (x) a 是 ( , )上的增函数，则a 的取
, x 1
x
值范围是（ ）
A．[ 4,0) B．[ 4, 2] C． ( , 2] D． ( ,0)
第五章 三角函数典型易错题集
易错点 1．忽略顺时针旋转为负角，逆时针旋转为正角。
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【典型例题 1】（2022·全国·高一专题练习）将手表的分针拨快10分钟，则分针在旋转过程中形成的角的弧度数是
（ ）

A． B． C． D．
6 3 6 3
易错点 2．在三角函数定义中，忽略点坐标值的正负。
1
【典型例题 2】（2022·湖北襄阳·高一期中）设 是第三象限角，P x, 4 为其终边上的一点，且cos x，则 tan
5
（ ）
4 4 3 4 3
A． 或 B． C． D．
3 3 4 3 4
易错点 3．分数的分子分母同乘或者同除一个数，分数的值不变（分数基本性质）
【典型例题 3】（2022·安徽省五河第一中学高二月考）已知 tan 2则 sin2 sin cos 2cos2 的值为________．
易错点 4．图象平移原函数与目标倒置或者左右平移将整个 x 平移。

【典型例题 4】（2022·全国·高一单元测试）为了得到函数 y sin 2x 的图象，可以将函数 y sin2x的图象（ ）
6

A．向左平移 个单位 B．向右平移 个单位 C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
6 6 12 12
易错点 5．三角函数图象平移函数名“相当然”已经统一了。

【典型例题 5】（2022·辽宁·抚顺县高级中学校高三月考）要得到函数 y 3cos(2x ) 的图象，只需将 y 3sin 2x 的
4
图象（ ）
3
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
8 8
3 3
C．向左平移 个单位 D．向右平移 个单位
4 4
易错点 6．忽视了 化正才能求三角函数的单调区间。

【典型例题 5】2022·四川省新津中学高一开学考试）已知函数 f (x) 2sin( x)（ 0 ）的最小正周期 .求函数
6
f (x) 单调递增区间.
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【练一练】
1．（2022·全国·高二课时练习）钟表的分针在 1.5小时内转了（ ）
A．180° B．-180° C．540° D．-540°
2．（2022·陕西·咸阳百灵学校高一月考）若将钟表调快 5分钟，则分针转动角为（ ）
π π π π
A． B． C． D．
3 6 6 3
3．（2022·江苏宿迁·高一期末）小亮发现时钟显示时间比北京时间慢了一个小时，他需要将时钟的时针旋转（ ）

A． rad B． rad C． rad D． rad
3 6 6 3
sin 2 sin2
4．（2022·江苏·泰州中学高一期末）已知点 A(3m, m) 是角 a 的终边上的一点，则 的值为（ ）
1 cos2
7 5 5 7
A． B． C． D．
18 18 2 2
5．（2022·北京八中高一期中）设角 终边上一点P( 4a,3a)(a 0) ，则 2sin cos 的值为（ ）
3 2 2
A． B． C． D．与 有关
5 5 5
1
6．（2022·上海市奉贤中学高一期中）已知0 ，将角 的终边逆时针旋转 ，所得的角的终边交单位圆于P , y ，
2 6 3
则 sin 的值为（ ）
2 2 3 2 2 3 2 6 1 2 6 1
A． B． C． D．
6 6 6 6
7．（2022·江西·新余四中高一月考）若 tan 3，则cos2 sin 2 的值为（ ）
sin 3cos 1
8．（2022·江苏·南京市金陵中学河西分校高一期中）已知 5，那么cos
2 sin2 __________.
3cos 5sin 2

9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高三期中）为了得到函数 y sin 2x 的图象，需要把函数 y sin 2x 的图象（ ）
3

A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
3 3

C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
6 6

10．（2022·江苏·高一课时练习）要得到函数 y 3sin 2x 的图象，只需将函数 y 3sin 2x 的图象（ ）.
4
π π
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
4 4
π π
C．向左平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
8 8

11．（2022·北京·北理工附中高三月考）要得到函数 y=cos2x的图象，只要将函数 y cos(2x ) 的图象（ ）
3

A．向右平移 个单位 B．向左平移 个单位
3 3
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C．向右平移 个单位 D．向左平移 个单位
6 6

12．（2022·四川·高三月考（理））将函数 y cos2x图象上所有的点向右平移 个单位长度，得到函数 y f (x)的图
8
象，则（ ）
A． f x 的最小正周期为2

B． f x 的图象关于点 , 0 对称
8
5
C． f x 的图象关于直线 x 对称
8

D． f x 在 0, 上单调递增
4

13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 f (x) 2sin 2x ，求： f (x) 的单调递增区间；
4

14．（2022·陕西省黄陵县中学高一期中（理））已知函数 y sin 2x ．求：函数 y sin 2x 的单调递减
8 8
区间，对称轴，对称中心；
第六章 平面向量及其应用 典型易错题集
易错点 1．忽视0
例题 1．（2021·全国·高一课时练习）给出下列命题：①若 a b ，则 | a | | b | ；②若 | a | | b |，则a b ；③若a b ，
则 a / /b；④若 a //b,b // c ，则a / /c .其中正确说法的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【常见错解】D
解：因为a b ，则向量 a,b互为相反向量，所以 | a | | b | ，故①正确；
因为向量不能比较大小，故②错误；
若 a b，则向量a,b方向相同，故③正确；
若 a //b,b // c ，由平行的传递性，则a / /c ，故④正确.
所以正确说法的个数是 3个.
故选：D.
【动手实战】
1．（2021·上海·）判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若a//b ，则a 与b 的方
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向相同或相反；③若a//b ，且b//c，则a//c ；④若a b，则a 2b．其中，正确的命题个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2020·宁夏育才中学）有下列命题：


①若 a b ，则 a b ；

②若 AB DC ，则四边形 ABCD是平行四边形；

③若m n ， n k ，则m k ；

④若 a // b ， b // c ，则 a // c .
其中，假命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
易错点 2．混淆向量模相等与向量相等
例题 1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）若向量 a b ，则a b ( )
【常见错解】正确
【错因分析】未能正确理解向量模与向量的关系，向量既有大小，又有方向，a b | a | | b |且a,b同向.本例
中 a b ，仅仅只是说明a,b模相等，对于方向，无限可能，所以无法由 a b 得到a b .
【动手实战】
1．（2021·全国·高一课时练习）命题“若m n ，n k ，则m k ” 的真假性为( )
2．（2021·全国·高一课时练习）若a 与b 都是单位向量，则a b .( )
易错点 3．误把两向量平行当成两向量同向
例题 1．（2021·云南·昆明二十三中高一期中）下列命题正确的是（ ）
A． a b a b B． a b a b
C． a//b a，b =0 D． a 0 a 0
【常见错解】C
【错因分析】对于向量平行问题， a//b ，很多同学总是当做直线平行记忆，认为直线平行那不是成0 角，想当然
认为向量的平行也是成0 ，在刚学习向量时，特别要注意向量，直线的区别.
【动手实战】
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1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量a ，b 为非零向量，则“向量a ，b 的夹角为 180°”是“ a / /b ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·内蒙古·赤峰学院附属中学高一期末）下列说法正确的是（ ）
A．方向相同的向量叫做相等向量
B．共线向量是在同一条直线上的向量
C．零向量的长度等于 0
D． AB//CD就是 AB 所在的直线平行于CD所在的直线
易错点 4．混淆向量数量积运算和数乘运算的结果
例题 1．（2021·全国·）设 a ，b ， c 是三个向量，以下四个选项正确的是（ ）
A．若a 0，b 0，c 0，则 a b c a b c
B．若a b 0，a 0，则b 0
C．若 a b b c ，且b 0 ，则a c
D．a b b a
【常见错解】A
【错因分析】很同学看到 A中 a 0，b 0，c 0，再看结论 a b c a b c 直接把向量的点乘和数乘，当做实数乘
法运算了， (ab)c a(bc)，混淆了向量的点乘结果，数乘结果.事实上对于 a b c a b c ，左边的本质是： c ，右
边的本质是： a，无法得到 c a .
【动手实战】
1．（2022·浙江·模拟预测）已知平面非零向量a,b,c ，则“ a b c a c b ”是“ b c ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2021·海南·海口一中高三阶段练习）已知a,b,c为非零平面向量，则下列说法正确的是（ ）
A． (a b) c a (b c) B．若a c b c ，则a b
C．若a / /b ，则 R,b a D． | a b | | a | | b |
3．（2020·河南·南阳中学（文））由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“ mn nm ”类比得到“ a b b a ”；
②“ m n t mt nt ”类比得到“ a b c a c b c ”；
③“ m n t m n t ”类比得到“ a b c a b c ”；
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④“ t 0，mt xt m x”类比得到“ p 0，a p x p a x ”；
⑤“ m n m n ”类比得到 a b a b ；
ac a a c a
⑥“ ”类比得到“ ”．
bc b b c b
以上式子中，类比得到的结论正确的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
易错点 5．向量求模忘记开根号
1
例题 1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知向量a,b,| a | 6,b ( 3,4)，若a 在b 的投影为 ，则 | 3a 2b | （ ）
4
A．169 B．13 C．196 D．14
【常见错解】A
a b 1
2 1 1 5
解：因为b ( 3,4)，所以 b 3 42 5，因为a 在b 的投影为 ，所以 ，所以a b b ，所以
4 b 4 4 4
2 2 5
(3a 2b)2 9a 12a b 4b 9 ( 6)2 12 ( ) 4 52 169
4
故选：A
【错因分析】典型的解题时忘记求模开根号，习惯没有养成要，先求 (3a 2b)2 ，再开根号为答案，往往学生求出
2 2 2
(3a 2b)2 就忘记开根号，养成好的习惯对于求模问题 | 3a 2b | 3a 2b 9a 12a b 4b ，在平时训练时就注
意开根号.
【动手实战】

1．（2022·广东·信宜市第二中学高三开学考试）已知非零向量 a, b 满足 | a 2 b | | a b |，且 a b 3，则向量 b 的模长
为_________．

2．（2022·湖南·高一课时练习）已知 a 2， b 3， a 与b 的夹角为 ，试求：
3
(1) a b ；(2) a b ．
易错点 6．忽视两个向量成为基底的条件

1．（多选）（2022·全国·高一）在下列向量组中，可以把向量 a 3,2 表示出来的是（ ）
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A．e1 0,0 ,e 1,2 B．2 e1 1,2 ,e2 5, 2

C．e 3,5 ,e 6,10 D．1 2 e1 2, 3 ,e2 2,3
【常见错解】BCD

选项 A： e1 0,0 ，不能作为基底，对于 BCD 都不含0 ，可以作为基底表示其它向量
【错因分析】对基底的概念理解不够透彻，两个向量能否作为一组基底表示其它向量，判断的标准是这两个向量是否

共线，对于选项 C．e1 3,5 ,e 6,10 ，显然 e 2e ,说明2 2 1 e1,e 共线，不能用来做基底. 2
【动手实战】
1．（多选）（2021·河北·大名县第一中学高一阶段练习）已知 e1 ，e2 是不共线的非零向量，则以下向量不可以作为基
底的是（ ）
A．a 0，b e1 e 2
B．a 3e1 3e2 ，b e1 e 2
C．a e 2e ，b e 1 2 1 e2
D．a e 2e ，b 2e1 4e 1 2 2
2．（多选）（2021·浙江·高二期末）设e1,e2 是平面内两个不共线的向量，则以下a,b可作为该平面内一组基底的（ ）
1 1
A．a e e ,b e B．a 2e1 e2 ,b e e1 2 1 1 2
2 4
C．a e e ,b e e D．a e1 2e2,b e1 4e1 2 1 2 2
易错点 7．记反了向量减法运算差向量的方向
例题 1．（2021·全国·高三专题练习）正三角形 ABC 边长为 2，设BC 2BD， AC 3AE ，则 AD·BE _____.
1
【常见错解】因为BC 2BD，所以点D是 BC 的中点，所以 AD AB AC ，
2
1
AC 3AE ，所以 BE AB AE AB AC ,所以
3
1 1 1 2 1 1 2
AD·BE AB AC AB AC (AB AB AC AB AC AC )
2 3 2 3 3
1 2 4
(4 2 2 cos60 ) 2
2 3 3
1
【错因分析】本题选定了 AB, AC 作为基底，在用基底 AB, AC 表示向量 BE AB AE AB AC 时，向量减法运
3
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1
算错误，a b最后的结果应该指向 a 向量，所以正确的表示应该是 BE AE AB AC AB .
3
【动手实战】
1．（2021·云南省泸西县第一中学高二期中）已知 M，N 分别是线段OA,OB上的点，且OM MA,ON 2NB ，若
MN OA OB，则 ___________.
2．（2021·全国·高一课时练习）在三角形 ABC 中，若 AB AC 3AP ，且CP xAB yAC，则 x y _______
3．（2022·浙江·高三专题练习）设 O 为四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 的交点，若 AB a ，AD b，OD c ，则OB
___________.
易错点 8．错误使用a b的等价条件


例题 1．（2022·全国·高三专题练习（文））已知向量 a 2,1 ，b 1,k ，若 a 2 b // k a ，则实数 k ___________.

4 1 2k 1
【常见错解】 a 2b 4,1 2k ， k a 2k,k ，若 a 2 b / / k a ，则 k
2k k 2
【错因分析】错误的运用向量平行的等价条件，对于m (x1, y ，1) n (x2 , y )，2 m n x1y2 x2 y1 0，而本题错
x1 y
误的运用为m n
1
，此时容易忽略 0这个解.
x2 y2
【动手实战】
1．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知向量a （2，1），b （1，k）（k 0），若 a 2b ∥ ka ，则非零
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实数 k=________．
2．（2021·全国·高一课时练习）已知向量a ＝（m，1），b ＝（m﹣6，m﹣4），若 a∥ b ，则 m 的值为__．
易错点 9．忽视两向量夹角 a,b 的取值范围
例题 1．（2021·重庆·临江中学高三阶段练习）已知 a 1,2 ，b ,3 ，向量a 与向量b 夹角为锐角，则 的取值范围
为________．
【常见错解】因为 a 1,2 ，b ,3 ，且向量 a 与向量b 夹角为锐角，所以a b 0
所以：1 2 3 0 6
【错因分析】错误的认为向量 a 与向量b 夹角为锐角 a b 0，事实上a b 0 向量a 与向量b 夹角为锐角或0
角，本题错解忽略了0 的情况.
【动手实战】
1．（2021·上海·高一课时练习）设a =（2，x），b =（-4，5），若a 与b 的夹角 θ为钝角，则 x 的取值范围是___________.
2．（2021·云南·昆明市外国语学校高一阶段练习）向量a (2,t) ，b ( 1,3)，若a,b 的夹角为钝角，则 t 的范围是________．
3．（2022·全国·高三专题练习（文））已知 a = 1,2 ,b 1,1 ，且a 与a λb的夹角为锐角，则实数 的取值范围为
___________.
易错点 10．混淆向量点乘运算和实数乘法运算
例题 1．（2021·福建龙岩·高三期中）已知 a 4，b 6，且a 与 0b 的夹角为60 ，则 2a b ___________
2
【常见错解】由题意可知， a 4，b 6， 2a b = 2a b = 4a2 4a b b 2 4 16 4 4 6 36 2
【错因分析】本题错例是考试中常见的一种错误，混淆了向量a b 和实数 ab 相乘得运算法则.
【动手实战】
1．（2021·北京十五中高一期中）已知非零向量a,b夹角为45 ，且 a 2, a b 2 .则 b 等于_________.
2．（2020·江苏·淮阴中学三模）已知向量a 与向量b 的夹角为60 ， a | b | 1，则 a b ______．
易错点 11．误把向量的投影当非负数
2π
1．（2022·黑龙江·哈师大附中高三期末（理））已知向量 a 与b 的夹角为 ，a 2 ，则a 在b 方向上的投影为（ ）
3
6 2 6 2
A． B． C． D．
2 2 2 2
【常见错解】B
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2π
向量 a 与b 的夹角为 ， a 2
3
2π 1 2
a 在b 方向上的投影为 | a cos | | 2 |
3 2 2
【错因分析】未能正确理解向量的投影，习惯性认为投影是一个非负数，所以在求投影时，考生自己加了绝对值符号
上去.特别提醒，向量的投影，可正可负可为零.
【动手实战】
1．（2022·四川叙州·高三期末（文））若向量a,b 满足 a 2, a 2b a 6，则b 在 a 方向上的投影为（ ）
1 1
A．1 B．-1 C． D．
2 2
2．（2021·四川·宁南中学高一开学考试）已知向量a ，b 的夹角为 120°，a 4，b 1，则a 在b 方向上的投影为（ ）
1 3
A． 2 B． C． 1 D．
2 2
3．（2021·全国·高一课时练习）已知 a 1， b 2，且a a b ，则a 在b 上的投影向量为（ ）
1 1
A． b B．b C． b D． b
4 4
易错点 12．混淆向量的夹角定义
例题 1．（2021·全国·高一课时练习）在边长为2的正三角形中，设BC a，CA b，AB c，则a b b c c a ______．
【常见错解】6
因为 ABC是边长为2的等边三角形，所以 a b c 2，
1
所以 a b b c c a 2 2 2，
2
所以a b b c c a 2 2 2 6
【错因分析】错误理解向量的夹角，在使用a b | a || b | cos a,b 求解时，特别注意 a,b ，要共起点才能找夹
角，否则使用的可能是其补角造成错误。
【动手实战】
1．（2021·河北石家庄·）已知等腰三角形 ABC 的顶角 A 120 ，BC 3 ，AB a ，BC b，AC c，则a b b c a c
___________.
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2．（2021·天津市实验中学滨海学校（理））已知在 ABC中，AB 3, AC 1, BAC , BD DC, AE 2ED ，则CE BC
3
___________.
易错点 13．正弦定理边角互化时忽略2R
例题 1．（2021·贵州·高三阶段练习（文）） ABC的内角A ，B，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 3，a sin B 3bcos A .
(1)求角A 的大小；
(2)求 ABC周长的取值范围.
【常见错解】(1)解：因为a sin B 3bcos A，所以 sin Asin B 3 sin B cos A .
又 sin B 0，所以 tan A 3 .

因为0 A ，所以 A .
3
2 2
(2)由（1）知 B C ，a b c 3 (sin B sinC) 3 sin B sin B 3 3
3 1 3 3
3 sin B cos B sin B 3 sin B cos B 3 3 sin B
2 2 2 2 6
2 5 1
因为 0 B ，所以 B ，则 sin B 1，
3 6 6 6 2 6
3 3
所以3 a b c 3 3 ，即 ABC周长的取值范围是 3 ,3 3 . 2 2
a b c
【错因分析】错误的原因在于习惯，对于正弦定理 2R，在边角互化时，a 2Rsin A，
sin A sin B sin C
b 2Rsin B，c 2RsinC ，解题时，学生总是习惯的认为最后2R都会被约去，所以可有可无，就是个形式，本题
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注意，首先求a b c 它并不是一个方程，所以无法约去2R，特别提醒在利用a 2Rsin A，b 2Rsin B ，
c 2RsinC 解题时，不可随意扔掉2R .该约去约去，该提取提取.
【动手实战】
1．（2021·安徽·高三阶段练习（理））若 ABC的内角 A、B、C的对边分别为 a、b、c，a b，且asin A bsin B 3sin A B .
(1)求 c；
(2)若b 2a，过点 C 作CH AB，垂足为 H，若 AH 4，求 ABC的面积 S.
易错点 14．忽视锐角 ABC中，角的取值范围
1．（2021·河南驻马店·高二期中（理））锐角 ABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c，且满足
a 2,c sinC sinB bsinB asinA .
(1)求角A 的大小；
(2)求 ABC周长的范围.
【常见错解】
(1)∵ c sinC sinB bsinB asinA，
∴ c c b b2 a2 ，即c2 b2 a2 bc，
c2 b2 a2 bc 1
∴ cos A ，又0 A ，
2bc 2bc 2

∴ A .
3
b c
(2)由（1）知 A ，利用余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A b2 c2 bc (b c)2 3bc ，又因为bc ( )
2
，所
3 2
3(b c)2 3(b c)2 3(b c)2
以3bc 3bc (b c)2 3bc (b c)2 ，即：
4 4 4
2 1a (b c)2 b c 4，又由两边之和大于第三边，所以2 b c 4 4 a b c 6 ,所以 ABC周长的范
4
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围为 (4,6] .
【错因分析】本题如果是求 ABC周长的最大值，利用均值不等式是可以求解的，或者拿去限制条件锐角 ABC中的
锐角，该解法也是合理的，但是，从本题来看，考生完全忽略了锐角这个条件，由两边之和大于第三边，得到2 b c，
只能说 ABC成立，构成一个三角形，但是无法说明是锐角三角形，说明 2 b c不适用本题的最后结论.特别提醒，
如果涉及到锐角三角形求周长取值范围，最通用的解法，就是边化角，利用正弦定理求解.
【动手实战】
1．（2021·广东·深圳市龙岗区德琳学校高一阶段练习）在锐角 ABC中，向量m (a, 3b)与n (cos A,sin B) 平行.
(1)求角 A；
(2)若 a=2，求 ABC周长的取值范围.
2．（2021·四川省资中县第二中学高三阶段练习（理））在 ABC中，内角A ， B，C 所对的边分别是a ，b ， c ，且
B
a cos bsin A．
2
(1)求B；
(2)若 ABC为锐角三角形，且b 3 ，求 ABC周长的取值范围．
3．（2021·广西·桂林市国龙外国语学校高三阶段练习（文））在锐角 ABC中，三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，且c b acos B bcos A .
(1)求角 A 的大小；
(2)若a 1，求 ABC周长的范围.
易错点 15．在 ABC中忽视cos A 0的解
例题 1．（2022·福建福州·高三期末）记 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知c acos B ccos A .
(1)试判断 ABC的形状，并说明理由；
a
(2)设点 D 在边 AC 上，若 AD BD， sin ADB sin ABC ，求 的值.
b
【常见错解】对于第一问，常见错解如下：
(1)解：由已知条件，利用正弦定理可得sinC sin(A B) sin Acos B sinC cos A，
即 sin Acos B cos Asin B sin Acos B sin C cos A，
所以 cos Asin B sinC cos A，
所以 sin B sin C ，
所以 B=C，
所以 ABC为等腰三角形.
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【错因分析】学生习惯性约去相同的项，没有注意到约分的条件，当ab ac(a 0)此时，可以左右两边约去a ，从
而造成漏解，所以考生在平时解题养成习惯，什么时候可以约，要牢记，本题错误的把cos Asin B sinC cos A该式中
左右两边cos A约去，造成漏解.
第七章 复数 典型易错题集
易错点 1．忽视复数 z a bi 是纯虚数的充要条件
m z m2例题 1．（2022·湖南·高一课时练习）求 为何实数时，复数 m 6 m2 2m 15 i是纯虚数；
【常见错解】若复数 z 为纯虚数，则m2 m 6 0解得m 2 或者m 3
a 0
【错因分析】对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数 z a bi 为纯虚数 ，在本题中，
b 0
z m2 m 6 m2 2m 15 i，错解只考虑了实部m2 m 6 0，而忽略了考虑虚部m2 2m 15 0而造成错解.
【动手实战】
2 2
1．（2022·湖南·高一课时练习）若复数 z a 2a a a 2 i 对应的点在虚轴上，求实数a 应满足的条件．
2
2．（2022·湖南·高一课时练习）当实数a 为何值时，复数 z a 2a 3 a 3 i 为纯虚数？
m2 m 6
3．（2019·贵州·沿河民族中学高二开学考试（理））已知复数 z (m2 2m 15)i （i 是虚数单位），复数 z
m 2
是纯虚数，求实数 m 的值.
易错点 2．错误的理解复数比大小
2 2 2
例题 1．（2022·湖南·高一课时练习）求使不等式 3 i 4 3 i 10成立的实数 的取值范围．
2 2 2【常见错解】因为不等式 3 i 4 3 i 10成立，
2
10 1
所以 解得： 10 或
2 3 10
( 3 )
2 4 3 2
a c
【错因分析】对于复数a bi c di 错误的理解两个复数比大小，a bi c di ，而造成错误，事实上，
b d
a c
两个复数不能直接比大小，但如果a bi c di 成立，等价于 ，本题是实数比较大小的惯性思维导致的错
b d 0
误.
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【动手实战】
1．（2021·全国·）设 z1 m
2 1 (m2 m 2)i ， z2 4m 2 (m
2 5m 4)i，若 z1 z2 ，求实数m 的取值范围．
2．（2021·重庆市万州沙河中学）已知复数 z (m2 8m 15) (m2 7m 12)i （其中 i 为虚数单位），当实数m 为何值
时.复数 z 0 .
2 2
3．（2021·上海师范大学第二附属中学）已知复数 z m 5m 6 m m 2 i（ i 为虚数单位）．若z 0，求实数m
的值．
易错点 3．错误的惯性思维理解复数的模
例题 1．（2022·福建宁德·模拟预测）复数 z1 cos x i sin x, z2 sin x i cos x ，则 z1 z2 _________．
【常见错解】 z1 cos x isin x | z1 | cos
2 x ( sin x)2 1，同样， z2 sin x icos x | z2|= sin
2 x ( cos x)2 1，所
以 z1 z2 | z1 | | z2 | 1
【错因分析】错误的理解两个复数乘积的模等于两个复数模的积 z1 z2 | z1 | | z2 | 而造成错解.
例题 2．（2022·山东潍坊·高三期末）复数 z 满足 zi 2 i（其中 i 为虚数单位），则 z ______．
2 i
【常见错解】 zi 2 i z= 1 2i ，所以 | z | | 1| | 2 | 3
i
【错因分析】错误的理解复数 z a bi 的模 | z | | a | | b |.
【动手实战】
2
1．（2022·北京师大附中高二期末）已知复数 z ，则 z __________．
1 i
易错点 4．误把复数当实数代入计算
例题 1．（2021·全国·高一课时练习）已知 z∈C，且 z 2 2i 13 ，（i 为虚数单位），则 | z |max =______.
2
【常见错解】因为 z 2 2i 13 ，所以 (z 2) 4 13解得： z 5或 z 1，所以 | z |max 5 .
【错因分析】本题是极易出错的题目，本题中，由题意知 z∈C，而错解中，把 z 直接当实数参与了复数模的运算，而
造成错解，特别题型同学们，当题意出现 z∈C，应首先设出复数 z 的代数形式： z a bi ，再代入运算求解.
【动手实战】
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a i
1．（2022·全国·高三专题练习）设 a∈C，a≠0，化简： =______ .
1 ai
z 2 3 4i
2．（2021·全国·高三专题练习）设 z C ，且 i，其中 i 为虚数单位，则 的模为___________.
z 2 z
3．（2021·全国·高二课时练习）设a,b C，则“ a b 0 ”是“ a b ”的______条件.
2
易错点 5．忽视了 i 1，习惯性的认为平方是正数
2 i
例题 1．（2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（理））复数 的共轭复数是__________．
2i 1
2 i 2 i 2i 1 2i2 2 5i 4 5i 2 i 4 5i
【常见错解】由题意得， ＝ 2 ，所以 的共轭复数为
2i 1 2i 1 2i 1 4i 1 3 2i 1 3
【错因分析】本题错解在于把 i2 1代入计算了。
【动手实战】
3 i
1．（2022·北京密云·高三期末）在复平面内，复数 对应的点为Z ，则点Z 的坐标为________．
2 i
1 2i
2．（2021·天津红桥·高三期中）若 i 是虚数单位，则 的虚部为___________.
2 i
2 i
3．（2021·天津实验中学高三阶段练习）已知复数 z ，则复数 z 的虚部为________
1 i
易错点 6．复数三角形式的标准形式理解错误
例题 1．（2021·全国·高一课时练习）下列各式中已表示成三角形式的复数是（ ）.
π π π π
A． 2 cos isin B． 2 cos i sin
6 6 6 6
π π π π
C． 2 sin i cos D． 2 cos i sin
6 6 6 6
【常见错解】C
【错因分析】忽略了复数三角表示的标准形式： r(cos i sin )，考生往往只注意到 r 0，没有注意其它要求，复数
三角形式的特点口诀：“模非负，角相同，余弦前，加号连”
【动手实战】
1．（2021·全国·高一课时练习）复数 sin30 icos30 的三角形式为（ ）
A．sin30 isin30 B．cos240 isin 240
C．cos30 isin30 D．sin 240 icos240

2．（2021·上海·高一课时练习）复数 z 3 cos i sin 的三角形式为（ ）
5 5
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A．3 cos isin B．3 cos i sin
5 5 5 5
4 4 6 6
C．3 cos i sin D．3 cos i sin
5 5 5 5
3．（2021·上海·高一单元测试）复数 z i sin10 的三角形式为（ ）
A．cos10 i sin10 B． i sin10
C．sin10 cos90 isin90 D．sin10 cos0 isin 0
易错点 7．忽视复数 z r(cos isin )在复平面的位置而求错arg z.
2
1
例题 1．（2021·全国·高一课时练习）设 z1 1 3i ， z z ，则arg z2 （ ） 2 1
2
4 11 5
A． B． C． D．
3 3 6 3
3

1 1 2 b
【常见错解】A z z2 1 3i 1 3 ， tan 2 i 3，所以 arg z2 1 1 2 . 4 4 2 2 a 3
2
b 1 3
【错因分析】本题在求辐角的主值时，直接利用公式 tan 3 ，忽略了，复数对应的点 , 在第三象a 2 2
限，而造成错解.
【动手实战】
1．（2021·福建安溪·高三期中）任意复数 z a bi（a 、b R，i 为虚数单位）都可以写成 z r cos isin 的形式，
2 2 3 1其中 r a b 0 2 该形式为复数的三角形式，其中 称为复数的辐角主值.若复数 z i ，则 z 的辐角主
2 2
值为（ ）
2 5
A． B． C． D．
6 3 3 6
3 1
2．（2021·山西怀仁·高一期中）已知复数 z i .则argz （ ）
2 2
5 2
A． B． C． D．
6 3 6 3
3．（2021·重庆巴蜀中学高一期中）复数 z sin50 icos50 的辐角主值是（ ）
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A．50 B．220 C．310 D．320
易错点 8．忽视复数 z a bi 在复平面的位置在转化为复数三角形式时出错.
例题 1．（2021·上海市延安中学高一期末） 1 3i的三角形式是（ ）
π π 2π 2π
A．2 cos i sin B．2 cos i sin
3 3 3 3
7π 7π 7π 7π
C．2 sin i cos D．2 cos i sin
6 6 6 6
b 3
【常见错解】错解 1：选 A，由 1 3i得： r 2， tan 3 ，根据复数三角形式的标准形式得：
a 1 3
π π
z r cos isin ，所以 1 3i的三角形式是2 cos i sin ；
3 3
1 3 7π 7π
错解 2：选 D 1 3i 2 i 2 cos i sin .
2 2 6 6
b 3 4
【错因分析】错解 1中忽略了复数 1 3i对应点Z( 1, 3) 在第三象限，所以由 tan 3 ，错
a 1 3
1 3 7π 7π
解 1 错在忽视了复数对应点的位置；错解 2 1 3i 2 i 2 cos i sin ，记错了常见角三角函数值，注意
2 2 6 6
7 3 7 1
cos ， sin .
6 2 6 2
【动手实战】

1．（2021·全国·高一课时练习）下列表示复数1 i的三角形式中① 2 cos isin ；② 2 cos isin ；
4 4 4 4
9 9 3
③ 2 cos isin ；④ 2 cos isin ；正确的个数是（ ）
4 4 4 4
A．1 B．2 C．3 D．4
3 1
2．（2021·全国·高一课时练习）复数 i化成三角形式，正确的是（ ）
2 2

A．cos i sin B．cos isin
3 3 6 6
2 2 11 11
C．cos i sin D．cos i sin
3 3 6 6
3．（2021·上海·高一课时练习）复数 1 3i的三角形式是
2 2 5 5
A．2 cos i sin B．2 cos i sin
3 3 6 6
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5 5 11 11
C．2 cos i sin D．2 cos isin
3 3 6 6
1 3
4．（2021·陕西·西安市第八十九中学高二阶段练习（文））设复数 z i （i 是虚数单位），则
2 2
z 2z2 3z3 4z4 5z5 6z6 （ ）
A．6z B．6z2 C．6z D． 6z
易错点 9．复数三角形式的除法没化标准就代入除法运算法则
1．（2022·湖南·高一课时练习）计算：
8 cos240 isin 240 2 cos150 isin150 ．
4(cos 240 i sin 240 )
【常见错解】8(cos 240 i sin 240 ) 2(cos150 i sin150 )
cos150 i sin150
4(cos90 isin90 ) 4i
【错因分析】本题错解在于分母复数的三角形式没有化成标准形式：2 cos150 isin150 ，所以首先要将该式化成标
准式为：2 cos( 150 ) isin( 150 ) ，特别注意复数三角形式的标准形式特点：“模非负，角相同，余弦前，加号连”
【动手实战】
1．（2021·全国·高一课时练习）计算：
π π π π
(1)3 cos isin 2 cos i sin
6 6 6 6
π π π π
(2) 6 cos isin 3 cos isin
3 3 6 6
1 3 π π
(3) i cos isin
2 2 6 6
π π
(4) 1 i cos i sin
6 6
第八章 立体几何初步 典型易错题集
易错点 1．混淆斜二测画法中长度有变有不变
例题 1．（2021·上海市嘉定区安亭高级中学高二阶段练习）如图，若三角形 A'B'C ' 是用斜二测画法画出的水平放置的
平面图形 ABC 的直观图.已知 A'B ' 4， C ' A'B' 45 ，三角形 A'B'C ' 的面积为2 2 .则原平面图形 ABC 中 BC 的长度为
_________ .
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【常见错解】2 5
1
因为 A B 4， C A B 45 ，且三角形 A B C 的面积为2 2 ，所以 S ' ' ' A B A C sin B A C 2 2 ，所以 A C 2，A B C 2
三角形 A B C 的原平面图形如下所示：
所以 AC A C 2， AB 4且 AC AB，所以BC AC2 AB2 2 5 ；
故答案为：2 5
【错因分析】直观图还原原图时注意长度有变有不变：与 x 轴平行（重合）的线段长度不变；与 y 轴平行（重合）的
线段长度直观图是原图的一半.本题考生忽略了 AC 2A C 4，长度应该变为原来的 2 倍.
【动手实战】
1．（2021·江西赣州·高二阶段练习（文））一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好
是一个边长为 2 的正方形，则原平面图形的面积_____
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2．（2021·全国·高一课时练习）如图，△A'O'B'表示水平放置的△AOB 的直观图，B'在 x'轴上，A'O'和 x'轴垂直，且 A'O'=2，
则△AOB 的边 OB 上的高为____
易错点 2．混淆直观图和原图
例题 1．（2021·江西·南昌市豫章中学高二开学考试（文））如下图，
A B C 是 ABC用“斜二测画法”画出的直观图，其中O B O C 1，
3
O A ，那么 ABC的周长是________．
2
3
【常见错解】在 O A C 中，O C 1,O A , A O C 45 ,
2
由余弦定理得：
6 1 6 1
A C 2 O C 2 O A 2 2O C O A cos45 ,得 A C ；同理 A B ;
2 2
6 1 6 1
所以周长为： 2 6 2
2 2
【错因分析】错把直观图直接当原图了，在遇到斜二测画法画出的直观图中，一定要注意题目问的是原图，还是直观
图，如果是原图，要先还原，再求解.
【动手实战】
1．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）如图所示，Rt△A'B'C' 为水平放置的 ABC的直观图，其中 A C B C ，B O 3，
O C 4，则 ABC的面积是______．
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2．（2021·全国·高一课时练习）如图所示，已知斜二测画法画出的 ABC的直观图 A B C 是边长为a 的正三角形，则
原 ABC的面积为____________．
3．（2022·全国·高一）如图所示， A B C 表示水平放置的 ABC的斜二测画法下的直观图，A B 在 x 轴上，B C 与 x 轴
垂直，且B C 3，则 ABC的边 AB 上的高为______．
易错点 3．在直线与平面平行中，忽视直线是否在平面内的多种情况
例题 1．（2021·全国·高一课前预习）若直线 l 与平面 内的一条直线平行，则 l 和 的位置关系是（ ）
A． l B． l / / C． l 或 l / / D．l 和 相交
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【常见错解】A
【错因分析】直线与平面平行的判定定理中：平面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行，忽略
了平面外这个重要条件，本题中直线 l与平面 内的一条直线平行，也可能 l .
【动手实战】
1．（2022·黑龙江·牡丹江市第三高级中学高三阶段练习（文））下列结论错误的个数是（ ）
（1）若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行；
（2）若直线 a∥ 平面 α，P∈α，则过点 P 且平行于直线 a 的直线有无数条；
（3）如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
（4）如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.
A．0 B．1 C．3 D．2
2．（2021·全国·高一课时练习）如果两直线 a∥ b，且 a∥ α，则 b 与 α的位置关系是（ ）
A．相交 B．b∥ α C．b α D．b∥ α或 b α
易错点 4．错误认为，无数等于所有
例题 1．（2021·四川恩阳·高二期中）下列命题正确的是（ ）
A．与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直
B．过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行
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C．各面都是正三角形的四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合
D．各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥
【常见错解】A
【错因分析】错误的认为与平面内无数条直线垂直，无数条，那不就是这个平面的所有直线，错误的认为无数等于所
有.
【动手实战】
1．（2022·山西太原·高三期末（文））设 , 为两个不同的平面，则 ∥ 的充要条件是（ ）
A． 内有无数条直线与 平行
B． , 垂直于同一平面
C． , 平行于同一条直线
D． 内的任何直线都与 平行
2．（2022·全国·高三专题练习）下列命题中正确的个数是（ ）
①若直线 a 上有无数个点不在平面 α内，则 a∥ α；
②若直线 a∥平面 α，则直线 a 与平面 α内的任意一条直线都平行；
③若直线 a∥直线 b，直线 b∥平面 α，则直线 a∥平面 α；
④若直线 a∥平面 α，则直线 a 与平面 α内的任意一条直线都没有公共点.
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2022·上海长宁·高二期末）已知直线a,b和平面 ，且b 在 上，a 不在 上，则下列判断错误的是（ ）
A．若 a ∥ ，则存在无数条直线b ，使得 a ∥ b
B．若a ，则存在无数条直线b ，使得a b
C．若存在无数条直线b ，使得 a ∥ b ，则a ∥
D．若存在无数条直线b ，使得 a b，则a
易错点 5．证明线面平行时，忽略了平面外一条直线，平面内一条直线，而造成的书写不
规范
例题 1．（2022·四川省广安代市中学校高三阶段练习（文））如图，四棱锥P ABCD 中，四边形 ABCD 是矩形，AB 3 ，
AD＝2，△PAD为正三角形，且平面 PAD⊥平面 ABCD，E、F 分别为 PC、PB 的中点．
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(1)证明：EF∥平面 PAD；
【常见错解】
∵ E，F 分别为 PC，PB 的中点，∴ EF∥BC ．
AD∥BC ，所以EF∥AD，
∴ EF∥平面 PAD；
【错因分析】证明过程中，只说明了EF∥AD，为能正确理解定理，在证明过程中一定要写明 AD 平面 PAD，EF
平面 PAD 这两句话，证明过程才完整.
【动手实战】
1．（2022·山西·临县第一中学高三开学考试（文））如图，四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，四边形 A1ADD1为矩形，且平
1
面 A1ADD1 平面 ABCD， AB//CD， AB AD A A CD， DAB ，M，E 分别为 AD1 ，B1C1 的中点．
2 2
(1)证明：ME // 平面DCC1D1；
2．（2020·四川恩阳·高二期中（文））如图，四边形 ABCD 为正方形，PD 平面 ABCD，PD DC ，点 E、F 分别为
AD、PC 的中点.
(1)证明：DF∥平面 PBE；
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3．（2021·内蒙古·高三阶段练习）如图，在四棱锥P ABCD 中，△PAB是边长为 2 的等边三角形，梯形 ABCD满足
BC CD 1， AB∥CD ， AB BC，M 为 AP 的中点.
(1)求证：DM ∥平面PBC ；
易错点 6．忽略异面直线所成角的范围
例题 1．（2021·四川省宜宾市第三中学校高二期中（理））直三棱柱 ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ ACB＝120°，
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E 为 BB′的中点，异面直线 CE 与 C′A 所成角的余弦值是（ ）
10 10 10 10
A． B． C． D．
5 5 10 10
【常见错解】 A 如图所示，直三棱柱 ABC A B C 向上方补形为直三棱柱 ABC A B C ，其中 A ，B ，C 分别为
各棱的中点，取B B 的中点D ，可知CE//C D ，异面直线CE与C A所成角即为C D 与C A所成角.设CB 2，则C D 5 ，
8 5 21 10
C A 2 2 ， AD 21， cos AC D
2 2 2 5 5

【错因分析】忽略了异面直线所成角的范围 (0, ]，所以两条异面直线所成角的余弦值一定是正数.
2
【动手实战】
1．（2021·四川·泸县五中高二期中（文））空间四边形 ABCD 中，AB、BC、CD 的中点分别是 P、Q、R，且 PQ=3，QR=5，
PR=7，那么异面直线 AC 和 BD 所成的角是（ ）
A．30 B．60 C．120 D．150
2．（2020·江苏如东·高一期中）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1 AB AC BC ，则异面直线 AB1和BC1所成角
的余弦值为（ ）
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1 1 1 1
A． B． C． D．
2 2 4 4
3．（2020·内蒙古呼和浩特·一模（文））如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1的侧棱长为底面边长的 2 倍，M 是侧棱CC1
的中点，则异面直线 AB1和BM 所成的角的余弦值为（ ）
3 10 3 3 10 3
A． B． C． D．
20 16 20 16
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第九章 统计 典型易错题集
易错点 1．随机数表法取数时忽略了重复数字需跳过
例题 1．（2022·江西·景德镇一中高一期末）总体由编号 01，02，…，29，30 的 30 个个体组成.利用下面的
随机数表选取 6 个个体，选取方法是从如下随机数表的第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始由左到右依次选
取两个数字，则选出来的第 5 个个体的编号为（ ）
第 1 行 78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98
第 2 行 32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81
A．19 B．25 C．26 D．27
【常见错解】C 按题意从第 1 行的第 6 列和第 7 列数字 23 开始，23,20,26,24,26，所以选 C.
【错因分析】第三个选出来的编号 26，第 5 次又重复选出该编号，造成的错误，正确的做法是第 5 次读到
26 与前面编号重复，应该跳过，继续往右读，正确的第 5 个编号为 25.
【动手实战】
1．（2021·江西景德镇·高一期末）总体编号为 01，02，…，29，30 的 30 个个体组成.利用下面的随机数表
选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则
选出来的第 5 个个体的编号为（ ）
7816 1572 0802 6315 0216 4319 9714 0198
3204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 7181
A．08 B．15 C．16 D．19
2．（2022·江西赣州·高三期末（文））某工厂利用随机数表对生产的 600 个零件进行抽样测试，先将 600
个零件进行 001，002，…，599，600.从中抽取 60 个样本，下图提供随机数表的第 4 行到第 6 行，若从表
中第 5 行第 6 列开始向右读取数据，则得到的第 6 个样本编号是（ ）
A．457 B．328 C．253 D．072
3．（2022·陕西榆林·高二期末（理））某班对期中成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将 60 个
同学的成绩按 01，02，03，……，60 进行编号，然后从随机数表第 9 行第 5 列的数 1 开始向右读，则选出
的第 6 个个体是（ ）
（注：如下为随机数表的第 8 行和第 9 行）
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13
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A．07 B．25 C．42 D．52
4．（2022·全国·高一）国家高度重视青少年视力健康问题，指出要“共同呵护好孩子的眼睛，让他们拥有一
个光明的末来”.某校为了调查学生的视力健康状况，决定从每班随机抽取 5 名学生进行调查.若某班有 50 名
学生，将每一学生从 01 到 50 编号，从下面所给的随机数表的第 2 行第 4 列的数开始，每次从左向右选取
两个数字，则选取的第三个号码为（ ）
随机数表如下：
0154 3287 6595 4287 5346
7953 2586 5741 3369 8324
4597 7386 5244 3578 6241
A．13 B．24 C．33 D．36
易错点 2．忽视中位数需先从小到大排序，而是直接找中间的数而致错
例题 1．（2022·福建漳州·一模）某校体育节 10 名旗手的身高分别为
175.0 178.0 176.0 180.0 179.0 175.0 176.0 179.0 180.0 179.0则中位数为___________.
179.0 175.0
【常见错解】 177
2
【错因分析】直接在数据中取中间的两个数求平均值，忽略了中位数要从小到大排序，再求解.
【动手实战】
1．（2020·上海市沪新中学高三阶段练习）1、1、5、 2、 2这五个数的中位数是__________
2．（2021·上海·闵行中学高二期末）已知 1、2、a 、b 的中位数为 3，平均数为 3.5，则a b __________.
3．（2022·上海·高三专题练习）数组“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位数为______.
易错点 3．样本数据变化时，混淆了方差，标准差的变化规律
例题 1．（2021·上海交大附中高三开学考试）若 x1、x2、x3、 、x314 的标准差为 2，那么
3 x1 5 、3 x2 5 、 、3 x314 5 的标准差为（ ）
A．18 B．14 C．6 D．3
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【常见错解】A
【错因分析】混淆方差和标准差，方差标准差变化规律如下：
x1 x2 x3 xn 平均数 方差 S
2
x 标准差 S
ax1 b ax2 b ax b ax b a
2 2
3 n ax b S aS
显然错选 A 混淆了标准差和方差的变化规律.
【动手实战】
1．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知一组数据为：2，4，6，8，这 4 个数的方差为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2021·山东·广饶一中高一阶段练习）如果数据 x ，x 21 2，…，xn 的平均值为 x ，方差为 s ，则 3x1+2、3x2+2、…、
3xn+2 的平均值和方差分别是（ ）
A． x 和 s2 B．3 2x +2 和 9s
C．3 x +2 和 3s2 D．3 2x +2 和 9s +2
3．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一阶段练习）若样本数据 x1，x2，…，x10的平均数和标准差分别为
70，2，则数据 2x1-1，2x2-1，…，2x10-1 的平均数和标准差分别为（ ）
A．139，2 B．139，4 C．140，2 D．139，3
4．（2020·新疆·乌市八中高二阶段练习）若数据 x1, x2 , xn的平均数为 x ，方差为 s
2 ，则
4x1 3,4x2 3, ,4xn 3 的平均数和标准差分别为（ ）
A． x ，s B．4 x -3，s C．4 x -3，4s D．4 x -3， 16s2 24s 9
频率
易错点 4．误把频率分布直方图的高 当频率
组距
例题 1．（2022·河南驻马店·高一期末）高三年级的一次模拟考试中，经统计某校重点班 30 名学生的数学成
绩均在[100，150]（单位：分）内，根据统计的数据制作出频率分布直方图如右图所示，则图中的实数
a=__________
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【常见错解】2a 3a 7a 6a 2a 1 a 0.05
【错因分析】忽略了在频率分布直方图中，高代表的意义，频率分布直方图中，每个矩形的面积之和等于 1
【动手实战】
1．（2022·江西赣州·高三期末（理））某校为了了解全校高中学生五一参加劳动实践活动的情况，随机抽
查了 100 名学生，统计他们假期参加劳动实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图，估计这 100 名学
生参加劳动实践活动的时间的中位数是_________.
2．（2021·河南南阳·高一阶段练习）某蔬菜批发市场对该市场近 100 天的蔬菜销售量进行统计，制成的频
数分布条形图如下：
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(1)估计该市场近 100 天蔬菜销售量的平均值；
(2)按各销量对应的天数用分层随机抽样选出 20 天作进一步研究，求各销售量中相应取出的天数.
3．（2022·北京平谷·高二期末）某部门计划对某路段进行限速，为调查限速 60 km/h 是否合理，对通过该
路段的 300 辆汽车的车速进行检测，将所得数据按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80]分组，绘制成如图
所示频率分布直方图.则a ________；这 300 辆汽车中车速低于限速 60 km/h 的汽车有______辆.
易错点 5．总体百分位数忽略了将数据从小到大排序
例题 1．（2021·云南·无高二阶段练习（文））数据8、6、5、2、7 、9、12、4 、12的第40 百分位数是
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________．
【常见错解】因为9 0.4 3.6，故这组数据的第40百分位数是2 .
【错因分析】未将原始数据从小到大排序而造成错误
【动手实战】
1．（2021·重庆复旦中学高二开学考试）已知一组数据 4.7，6.1，4.2，5.0，5.3，5.5，则该组数据的第 75
百分位数是_____．
2．（2021·天津市蓟州区擂鼓台中学高一阶段练习）某车间的工人某月生产某种产品质量(单位:kg)分别为
13，13.5，13.8，13.9，14，14.6，14.8，15，15.2，15.4，则第 75 百分位数为 _____________
3．（2021·江苏·金陵中学高一阶段练习）甲、乙两名篮球运动员在随机抽取的 12 场比赛中的得分情况如下：
甲：12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49．
乙：8，13，14，16，23，26，28，29，31，38，39，51．
则运动员甲得分的 25 百分位数与运动员乙得分的 80 百分位数的和为______．
4．（2021·浙江台州·高一期末）某小区 12 户居民四月份月用水呈(单位： t )分别为：
5.4 13.6 6.8 7.7 16.8 3.5
10.5 7.1 20.5 4.9 15.2 11.1
则所给数据的第 75 百分位数是__________.
易错点 6．频率分布直方图中，平均数估计值中，高和面积混淆错误
例题 1．（2022·北京昌平·高一期末）某高中校为了减轻学生过重的课业负担，提高育人质量，在全校所有
的1000名高中学生中随机抽取了100名学生，了解他们完成作业所需要的时间（单位：h），将数据按照 0.5,1 ，
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1,1.5 ， 1.5,2 ， 2,2.5 ， 2.5,3 ， 3,3.5 ，分成 6 组，并将所得的数据绘制成频率分布直方图（如图所示）.
由图中数据可知a ________；估计全校高中学生中完成作业的平均时间__________.
【常见错解】求平均数0.75 0.1 1.25 0.4 1.75 0.5 2.25 0.6 2.75 0.3 3.25 0.1 3.95
【错因分析】错误理解平均数估计值，每个矩形中点横坐标乘以频率（小矩形面积）之和，错解中，将高
理解成频率.
【动手实战】
1．（2021·四川德阳·一模（文））随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或
者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习.某大学通过对本校准备保研或者考研的本科生每天课余学
习时间的调查，得到如图所示的频率分布直方图，通过该图的信息，我们可以得到被调查学生课余平均学
习时间为（ ）
A．7.38 小时 B．7.28 小时 C．8.23 小时 D．8.12 小时
2．（2022·四川省绵阳南山中学高二开学考试）某校统计了高二年级 1000 名学生的数学期末考试成绩，已
知这 1000 名学生的成绩均在 50 分到 150 分之间，其频率分布直方图如图所示，则这 1000 名学生期末成绩
的平均分估计值为______（精确到整数）
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3．（2022·河北·模拟预测）中国共产党建党 100 周年华诞之际，某社区响应党和国家的号召，通过“增强防
疫意识，激发爱国情怀”知识宣讲活动，来回顾中国共产党从成立到发展壮大的心路历程，表达对建党 100
周年以来的丰功伟绩的传颂.现从参与宣讲者中随机选出 200 人，并将这 200 人按年龄分组，得到的频率分
布直方图如图所示，则估计参与者的平均年龄为___________岁.（每组数据以区间的中点值为代表）
易错点 7．频率分布直方图中，中位数估计值错误的用中点代替
例题 1．（2018·四川·模拟预测（理））交通部门利用测速仪测得成绵高速公路绵阳段 2018 年元旦期间某时
段车速的数据（单位：km/h），从中随机抽取 2000 个样本，作出如图所示的频率分布直方图，则绵阳段车
速的中位数的估计值为_____．（精确到个位）
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【常见错解】第一个矩形面积 S1 0.1，第二个矩形面积 S2 0.3，第三个矩形面积 S3 0.35，
S1 S2 0.1 0.3 0.5，S1 S2 S3 0.1 0.3 0.35 0.5，所以中位数估计值在第三个矩形中，中位
数估计值为95 .
【错因分析】错解中能正确判断中位数估计值在第三个矩形中，但是错误的理解为用矩形中点横坐标估计
中位数.
【动手实战】
1．（2020·湖北·二模（理））自湖北武汉爆发新冠肺炎疫情以来，武汉市医护人员和医疗、生活物资严重
短缺，其他兄弟省市纷纷驰援武汉等地.某运输队 50 辆汽车载满物资急赴武汉，如图是汽车经过某地时速度
的频率分布直方图，则这 50 辆汽车速度中位数的估计值是_______________.
2（2021·全国·高一单元测试）如图是我市某小区 100 户居民 2015 年月平均用水量（单位： t ）的频率分布
直方图的一部分，则该小区 2015 年的月平均用水量的中位数的估计值为 ___________．
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3．（2022·四川省通江中学高二开学考试（文））2020 年 12 月 31 日，国务院联防联控机制发布，国药集
团中国生物的新冠病毒灭活疫苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关
标准要求，现已对 18 至 59 岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种
年龄的中位数为________．
易错点 8．在选拔选手问题时，习惯性的认为方差越小，越稳定，越好
例题 1．（2015·福建龙岩·高三阶段练习（文））某校高一数学兴趣小组开展竞赛前摸底考试．甲、乙两人
参加了 5 次考试，成绩如下：
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第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲的成绩 82 87 86 80 90
乙的成绩 75 90 91 74 95
（Ⅰ）若从甲、乙两人中选出 1 人参加比赛，从最终能拿奖（90 分以上，含 90 分）的角度看，你认为选谁
合适？
【常见错解】 x甲 x乙 85，s
2
甲 s
2
乙 ，从稳定性角度选甲合适
82 87 86 80 90
依题意有 x甲 85
5
75 90 91 74 95
x乙 85 2 分
5
2 1 64s （ 甲 82 85）
2 （87 85）2 （86 85）2 （80 85）2 （90 85）2 5 5

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