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23 个典型的数列专题 (修正版)
数列的重要公式：
1、等差数列通项： a a (n 1)d
n 1
(a a )n
2、等差数列求和： S 1 n
n
2
3、等比数列通项： n 1a a q
n 1
n1 q
4、等比数列求和： S a
n 1
1 q
5、求和与通项的关系： a S S
n 1 n 1 n
1 5 1
例 1、等差数列 an 中，前三项依次为 , , ，求： a105
x 1 6 x x
例 2、前 100 个自然数（ 1 到 100 ）中，除以 7 余 2 的所有数之和 S
例 3、在等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn . 若 a1 0 ， S16 0 ， S17 0 ，则 Sn 最大时，
n
1
例 4、数列 an 的通项公式 an ，若它的前 n 项和 Sn 9 ，求： n
n 1 n
例 5、等差数列 an ，其公差 d 0 ，其中，a2 、a3 、a6 依次构成等比数列，求公比 q
a
1 n
例 6、已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，且 a1 1 , S11 33 . 设 bn ，求证： bn
2
是等比数列，并求其前 n 项和 Tn .
a x
例 7、若 x y ，且两个数列： x,a 11 ,a2 , y 和 x,b1,b2 .b3 , y 均为等差数列，求：
y b3
例 8、已知正项数列 an 的前 n 项和 Sn 满足： 10Sn
2
an 5an 6 ，且 a1 、 a3 、 a15 成
等比数列，求数列 an 的通项 an
1 1
例 9、已知数列 an 的前 n 项和 Sn n(n 1)(n 2) ,试求数列 的前 n 项和 Tn
3 an
例 10、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，其首项 a1 1，且满足 3Sn (n 2)an ，求通项
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an
例 11、如果数列 an 中 ,相邻两项 an 和 an 1 是二次方程
2
xn 3nxn cn 0 (n 1,2,3, ...)
的两个根 ,当 a1 2 时 ,试求 c100
例 12、有两个无穷的等比数列 an 和 bn ,其公比的绝对值都小于 1 ,其各项和分别是

Sn ak 1和 Tn bk 2 ,对一切自然数都有：
2
an bn ，求这两个数列的首
k 1 k 1
项和公比 .
1
例 13、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 ，当 n 2 时，满足： an 2SnSn 1 0 ；
2
1
求证：数列 为等差数列；并求 Sn 的通项公式 Sn
Sn
1
例 14、已知等比数列 an 的首项 a1 ，且满足：
10 102 S30 (2 1)S20 S10 0 .
2
（1）求 an 的通项；（2）求 nSn 的前 n 项和 Tn .
例 15、若等差数列 log2 xn 的第 m 项等于 k ，第 k 项等于 m (其中 m k )，求数列 xn
的前 m k 项的和 .
n 1
5 1 1
例 16、如果数列 an 中 , a1 ， an 1 an ，求通项 an
6 3 2
例 17、设数列 an ， a1 4 ，且当 n 2 时满足： an 3an 1 2n 1，求通项 an
例 18、设数列 an ，a1 1，a2 2 ，且满足：a
*
n 2 3an 1 2an ，(n N ) ，求通项 an
1
例 19、已知正项数列 an ， a1 1，且满足： an 1 an(4 an ) ，求通项 an
2
2a 1
例 20、已知数列 an 中， a1 2 ，且满足： an 1
n ， *(n N ) ，求通项 an
4an 6
4a 2
例 21、已知数列 an 中， a1 3 ，且满足： a
n
n 1 ，求通项 an
an 1
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2a 3
例 22、已知数列 an 中， a1 5 ，且满足： an 1
n ，求通项 an
an
2
a a 2
例 23、已知数列 an 中， a1 4 ，且满足： a
n ， b nn 1 n ，求通项 bn
2(an 1) an
23 个典型的数列专题 (修正版)解答
1 5 1
例 1、等差数列 an 中，前三项依次为 , , ，求： a105
x 1 6 x x
解析 ：由等差数列 中项公式 得： 2a a a
n n k n k
5 1 1 5 1 1
即： 2 ，即：
6 x x x 1 3x x x 1
2 1 2 3
即： ，即： ，则： x 2 .
3x x 1 x x 1
1 1 1 5 1 1
故首项为： a ，公差为： d ；
1
x 1 3 x 6 x 6 x 12
1 n 1 n 3
则 数列通项 为： a a (n 1)d .
n 1
3 12 12
105 3
故： a 9 .
105
12
求等差数列通项公式就可以通解 .
例 2、前 100 个自然数（ 1 到 100 ）中，除以 7 余 2 的所有数之和 S
解析 ：由题意，这是一个首项为 a 2 ，公差为 d 7 的等差数列 .
1
故，这些数构成的数列为： a 2 7(n 1) 7n 5 ；
n
在 100 之内，设 n 的最大数 m ，则： 100 7m 5 ，即： m 15 ;
(a a ) 15
1 15 (2 100) 15这些数之和 S 为： S 765
2 2
余数是常数的问题要转化为等差数列问题 .
例 3、在等差数列 an 中，前 n 项和为 Sn . 若 a1 0 ， S16 0 ， S17 0 ，则 Sn 最大时，
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n
解析 ： 等差数列通项 为： a a (n 1)dn 1
(a a )n
其 求和公式 为： S 1 n
n(n 1)
na d ；
n 1
2 2
16 15
则依题意： S16 0 ，即： S 16a d 0 ， 16 1
2
15
即： a d 0 ①
1
2
d d d
由①： a 7d 0 ，即： a 0 ，即： a ②
1 8 8
2 2 2
d d
由①： a 8d 0 ，即： a ③
1 9
2 2
17 16
以及： S17 0 ，即： S 17a d 0 ， 17 1
2
即： a 8d 0 ，即：
1 a 0 ④ 9
d
由③④得： a ( ,0) ，即： d 0 ⑤
9
2
d
将⑤代入②得： a 0 ⑥
8
2
故由④⑥知， S 求和累加时，加到 a 时 S 在增加；加到 a 时 S 开始减小，则最n 8 n 9 n
大时， n 8 .
通项公式和求和公式都要很熟啊 .
1
例 4、数列 an 的通项公式 an ，若它的前 n 项和 Sn 9 ，求： n
n 1 n
1
解析 ： 数列通项 ： a n 1 n ；
n
n 1 n
n
则： S k 1 k n 1 1 9 n
k 1
即： n 1 10 ，即： n 1 100 ，于是： n 99
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本法相当于裂项法 .
例 5、等差数列 an ，其公差 d 0 ，其中，a2 、a3 、a6 依次构成等比数列，求公比 q
解析 ：由 等差数列通项 ： a a (n 1)d ，得： a a d ， a a 4d ，
n 1 3 2 6 2
因为 a2 、 a3 、 a6 依次构成 等比数列 ， a3 是 比例中项
则由 比例中项公式 得： 2 2a a a ，即： (a d) a (a 4d) ；
3 2 6 2 2 2
即： 2a 2 22a d d a 4a d ，即： 2d 2a d
2 2 2 2 2
因为 d 0 ，故上式得： d 2a ；
2
a a d 3a
所以 公比 q ： q 3 2 2 3 .
a a a
2 2 2
由比例中项直接列式，导出 d 与 a2 的关系 .
a
1 n
例 6、已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn ，且 a1 1 , S11 33 . 设 bn ，
2
求证： bn 是等比数列，并求其前 n 项和 Tn .
n(n 1)
证明 ：等差数列通项： a a (n 1)d ，求和公式： S na d ；
n 1 n 1
2
11 10 2
则： S 11 d 33 ，即： 11 55d 33 ，故： d .
11
2 5
2 2 2n 3
于是，将 a1 1， d 带入 通项公式 得： a 1 (n 1) n
5 5 5
2n 3 2(n 1) 3
a a
1 n 1 5 1 n 1 1 5
则： bn ， bn 1
2 2 2 2
2(n 1) 3 2n 3 2

b
n 1 1 5 5 1 5故： q
b 2 2n
a
1 1 1
当 n 1时，数列首项 b1
2 2
2
1 1 5
故 bn 是首项为 b ，公比为 q 1 的等比数列，
2 2
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2n 3
1 5
其通项为： b
n . 证毕 .
2
2
n
1 5
n 1 1 q 1 2 1
其求和公式 ： T b 1 . n 1 2n
1 q 2 11 2 5
2
a x
例 7、若 x y ，且两个数列： x,a1 ,a2 , y 和 x,b1,b2 ,b3 , y 均为等差数列，求：
1
y b3
解析 ：设两个等差数列的 公差 分别为： d1 和 d2 ，
y x y x
则 : a x d , y b d .
1 1 3 2
3 4
1
( y x)
a x 4
故： 1 3
y b 1 3
3 ( y x)
4
利用等差数列的等差性质来求本题 .
例 8、已知正项数列 an 的前 n 项和 Sn 满足：
2
10Sn an 5an 6 ，且 a1 、 a3 、 a15 成
等比数列，求数列 an 的通项 an
解析 ：由已知： 210Sn an 5an 6 ①
2
10S a 5a 6 ②
n 1 n 1 n 1
由②-①： 210a (a 2a ) 5(a a )
n 1 n 1 n n 1 n
移项合并： 2(a 2a ) 5(a a ) 0 ，即： (a a )(a a 5) 0
n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n
由于正项数列 (a a ) 0 ，所以： a a 5 0 ，即： a a 5
n 1 n n 1 n n 1 n
由此得到 an 是公差为 d 5 的 等差数列 .
设：等差数列 a a 5(n 1)，则： a a 10 ， a a 70
n 1 3 1 15 1
由 a1 、 a3 、 a15 成 等比数列 得：
2
a 2a a ，即： (a 10) a (a 70)
3 1 15 1 1 1
即： 2a 20a 2100 a 70a ，故： a 2 .
1 1 1 1 1
所以： a 2 5(n 1) 5n 3
n
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本题由等式条件得出公差是 d 5 ，由等比条件确定首项 .
1 1
例 9、已知数列 an 的前 n 项和 Sn n(n 1)(n 2) ,试求数列 的前 n 项和 Tn
3 an
解析 ：由已知：
1 1 1 1
S n(n 1)(n 2)= n(n 1)(2n 4)= n(n 1)(2n 1) n(n 1)
n
3 6 6 2
n n
2 1 1及： k n(n 1)(2n 1) 和： k n(n 1)
k 1 6 k 1 2
得到上面 求和公式 可分成两部分，一个 2a n 求和，一个 a n 求和
n n
即： 2 2
1
1 2 2... n n(n 1)(2n 1)
6
1
1 2 ... n n(n 1)
2
1 1
故由 2S = n(n 1)(2n 1) n(n 1)得： a n n n(n 1)
n n
6 2
1 1 1 1
那么： ；
a n(n 1) n n 1
n
n 1 1 1 n
所以： T ( ) 1 . n
k 1 k k 1 n 1 n 1
要熟悉一些基本的求和公式，还有裂项求和方法 .
例 10、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ，其首项 a1 1，且满足 3Sn (n 2)an ，求通项
an
解析 ：由已知： 3S (n 2)a ①
n n
3S (n 1)a ②
n 1 n 1
由①－②： 3a (n 2)a (n 1)a
n n n 1
a n 1
移项合并： (n 1)a (n 1)a ，即： n ③
n n 1
a n 1
n 1
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由此递推得：
a a a
n n 1 2 n 1 n n 1 1 2 a ... a
n 1 ... a1
a a a n 1 n 2n 1 n 2 1 n 3 1
n (n 1) n(n 1)
即： a a .
n 1
2 1 2
得到③式是关键 ！
例 11、如果数列 an 中 ,相邻两项 an 和 an 1 是二次方程
2
xn 3nxn cn 0 (n 1,2,3, ...)
的两个根 ,当 a1 2 时 ,试求 c100
解析 ：由 韦达定理 ： a a 3nn n 1 ①
a a c
n n 1 n ②
由①式得： a a 3(n+1)n+1 n 2 ③
由③-①得： (a a ) (a a ) 3 a a 3n 1 n 2 n n 1 ，即： n 2 n ④
④式表明： a ,a ,a , ...,a 和 a ,a ,a , ...,a 都是公差为 3 的 等差数列 .
1 3 5 2k 1 2 4 6 2k
又因 a 2 ，代入①式可得： a a 31 2 ，即： a 51 2
于是得到等差数列为：
a a (k 1)( 3) 2 3k 3 5 3k
2k 1 1 ⑤
a a (k 1)( 3) 5 3k 3 2 3k
2k 2 ⑥
那么由⑥得： a 2 3 50 152100
由⑤得： a 5 3 51 148101
代入②式得： c a a ( 152) ( 148) 22496100 100 101
本题由韦达定理得出 a 为等差数列，算出首项得到 a ，再计算出 c . n n n
例 12、有两个无穷的等比数列 an 和 bn ,其公比的绝对值都小于 1 ,其各项和分别是

S ak 1 和 T bk 2 ,对一切自然数都有：
2
an bn ，求这两个数列的首项和
k 1 k 1
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公比 .
a b
解析 ：由 S 1 1 和 T 1 2 得 数列的首项 ：
1 q 1 r
a 1 q ，及 b 2(1 r) .
1 1
设这两个等比数列的通项公式分别为：
n 1a a q n 1(1 q)q ①
n 1
n 1 n 1b b r 2(1 r)r ②
n 1
将①②两式代入 2a b ，并采用赋值法，分别令 n 1和 n 2 得：
n n
2 ，即： 2a b (1 q) 2(1 r) ③
1 1
2
a b ，即： (1 2 2q) q 2(1 r)r ④
2 2
由③④得： r 2q ⑤
将⑤式代入③式得： 2 2(1 q) 2(1 q )
因为： q 1 （已知 q 1 ），则上式化简为：
1
1 q 2(1 q) ，即： q ⑥
3
1
将⑥代入⑤式得： r ⑦
9
4 16
则： a 1 q ， b 2a ⑧
1 1 1
3 9
将⑥和⑦分别代入①式和②式得：
n 1 n
n 1 4 1 1 n 1 4
a (1 q)q 4 1 ； n n
3 3 3 3
n 1
n 1 8 1 16
b 2(1 r)r 2
n n
9 9 9
4 16 1 1
故本题答案 : a ， b ， q ， r .
1 1
3 9 3 9
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本题采用赋值法求解 .
1
例 13、已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ， a1 ，当 n 2 时，满足： an 2SnSn 1 0 ；
2
1
求证：数列 为等差数列；并求 Sn 的通项公式 Sn
Sn
解析 ：将 a S S 代入 a 2S S 0 得： S S 2S S 0
n n n 1 n n n 1 n n 1 n n 1
1 1 1 1
在同除以 S S 得： 2 0 ，则： 2 ①
n n 1
S S S S
n 1 n n n 1
1 1
且 2 ②
S a
1 1
1 1 1 1
由①②式表明： 是一个首项为 2 ，公差为 2 的等差数列 .
S S S Sn 1 n n 1
1
则： 2 2(n 1) 2n ③
S
n
1 1
故： S ， S
n n 1
2n 2(n 1)
1 1 1
于是： a S S
n n n 1
2n 2(n 1) 2n(n 1)
1
(n 1) 2
故： a
n 1
(n 2)
2n(n 1)
注意求和化通项的方法，即： a S S .
n n n 1
1
例 14、已知等比数列 an 的首项 a1 ，且满足：
10 102 S30 (2 1)S20 S10 0 .
2
（1）求 an 的通项；（2）求 nSn 的前 n 项和 Tn .
解析 ：（1）求 an 的通项
n
1 q
由于 an 为 等比数列 ，所以其前 n 项的求和为： S a ①n 1
1 q
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1 30 20 10q 1 q 1 q
由①则： S a 、 S a 、 S a
30 1 20 1 10 1
1 q 1 q 1 q
代入 10 102 S30 (2 1)S20 S10 0 得：
30 20 10
10 a (1 q )1 10
a (1 q ) a (1 q )
2 (2 1) 1 1 0
1 q 1 q 1 q
即： 10 30 10 20 102 (1 q ) (2 1)(1 q ) (1 q ) 0
除以 10 10 10 20 10(1 q )得： 2 (1 q q ) (2 101)(1 q ) 1 0
即： 10 10 10 20 10 10 102 (1 q ) 2 q 2 (1 q ) (1 q ) 1 0
即： 10 20 10 ，即： 10 20 102 q (1 q ) 1 0 2 q q 0
即： 10 20 10
1
2 q q ，即： 2 10 10 2(2q ) q ，即： 2q q ，即： q
2
n 1
1 1 1
则： a n 1a q n 1 n
2 2 2
n 1
1 1
或 n 1 n 1
1
a a q ( 1)n 1 n
2 2 2
注意求和化通项的方法 .
第 14 题第(2)问解答：（2）求 nSn 的前 n 项和 Tn
1
1
1 n 1
A.对于 等比数列 ： 1a ，其求和公式为： S 2 1
n n n 1 n2 2 2
1
2
n n 1 n n k
故： T (kS ) k(1 ) k n k k ( ) k
k 1 k 1 2 k 1 k 1 2
n n(n 1)
1> k ②
k 1 2
n k 1 2 3 n
2> R ( ) ... ③ n k 2 3 n
k 1 2 2 2 2 2
n k 2 3 4 n
则： 2R 2 ( ) 1 ... ④n k 2 3 n 1
k 1 2 2 2 2 2
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由④-③得：
2 1 3 2 4 3 n n 1 n
R 1 ( ) ( ) ( ) ... ( )
n 2 2 3 3 n 1 n 1 n
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 n
1 ...
2 3 n 1 n
2 2 2 2 2
1
1
n n 1 n 2 n
2 2(1 ) 2
1 n n n n2 2 2 2
1
2
n n k n(n 1) 2 n
综合 1>和 2>得： T k ( ) 2 n k n
k 1 k 1 2 2 2
B.对于 等比数列 ： 1a ( n 11)
n n
2
1
n1 ( )
n1 1 1 1 1 ( 1)
其求和公式为： S 2 n[1 ( 1) ]
n
2 1
n n
3 2 3 3 2
1 ( )
2
n n k 1 nk k 1
n
k
故： T k(kS ) [1 ( 1) ] ( ) ( 1)n k k k
k 1 k 1 3 2 k 1 3 3 k 1 2
n k n(n 1)
1> ( )
k 1 3 6
1 n k k 1 1 2 3 n 2> U ( n1) ... ( 1) ③ n k 2 3 n3 k 1 2 3 2 2 2 2
1 1 2 3 n
则： 2U
n
... ( 1) ④
n 1 2 n 1
3 1 2 2 2


由③+④得：
1 2 1 3 2 n n n 1 n n
3U 1 ( ) ( ) ... ( 1) ( ) ( 1)n 1 2 2 n 1 n 1 n3 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1
n
1 n
1 ... ( 1)
n
( 1)
2 n 1 n
3 2 2 2 2


1 1 1 1 1 n
1
n n
... ( 1) ( 1)
2 n 1 n
3 2 2 2

3 2
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n
( 1)
1
1 n 1 n
2 n( 1)
3 1
n
3 2
1 ( )
2
n
2 ( 1) 1 n
n[1 ] ( 1)
n n
9 2 3 2
n n2 ( 1) 1 ( 1) n
故： U [1 ]
n n n
27 2 9 2
n k 1 n k k n(n
n n
1) 2 ( 1) 1 ( 1) n
于是： T ( ) ( 1) [1 ] . n k n n
k 1 3 3 k 1 2 6 27 2 9 2
例 15、若等差数列 log2 xn 的第 m 项等于 k ，第 k 项等于 m (其中 m k )，求数列 xn
的前 m k 项的和 .
解析 ： 等差数列通项 为： log x =log x +(n 1)d ；
2 n 2 1
则： log x k log x (m 1)d ①
2 m 2 1
log x m log x (k 1)d ②
2 k 2 1
由①-②得： k m (m k)d ，故 公差 ： d 1 ③
将③代入①得： k log x (m 1)
2 1
故首项为： log x =m k 1 ④
2 1
故 log x 通项为： log x =m k 1 (n 1) m k n ⑤ 2 n 2 n
则 x 的通项为： m k nx 2 ⑥ n n
1
由⑥式得： x 是 首项 为 m k 1 m kx 2 2 ⑦ n 1
2
1
公比 为 q 的 等比数列
2
m k
1
1
m k 1 2 m k 1 前 m k 项求和： S 2 m k2 1 2 1 m k
2 1 2m k

1
2
求公差③式和求首项⑦是求通项的关键 .
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n 1
5 1 1
例 16、如果数列 an 中 , a1 ， an 1 an ，求通项 an
6 3 2
解析 ：整式递推数列用 待定系数法 .
1
令： n 1
1 1 n
a ( ) [a ( ) ] ①
n 1 n
2 3 2
1 1 1 1 1
则： a na ( ) n n( ) a ( ) ②
n 1 n n
3 3 2 2 2 3 6 2
n 1 n
1 1 1 1 1
与已知 a a a 比较得： 3
n 1 n n
3 2 3 2 2
1 n 1 1由①令： nb a 3( ) ，则： b a 3( ) ③
n 1 n 1 n n
2 2
1 5 3 2
则： b a 13 ( ) ④
1 1
2 6 2 3
b
于是由①得： n 1
1
⑤
b 3
n
2 1
故： b 是首项为 b ，公比为 q 的 等比数列 . n 1
3 3
2 1
其通项为： n 1
2
b ( ) ( ) ⑥
n n
3 3 3
1 2 3
由③得 a 的通项为： na b 3 ( ) n n n n n
2 3 2
待定系数法确定新构建的等比数列 b 通项 .
n
例 17、设数列 an ， a1 4 ，且当 n 2 时满足： an 3an 1 2n 1，求通项 an
解析 ：整式递推数列用 待定系数法 .
令： a n c 3[a (n 1) c] ①
n n 1
则： a 3a 3 n 3 3c n c 3a 2 n 3 2c
n n 1 n 1
与已知 a 3a 2n 1比较得： 2 =2 ， 3 2c 1
n n 1
即： 1， c 1 .
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则令： b a n c a n 1 ②
n n n
则： b a n ③
n 1 n 1
b a 1 1 6 ④
1 1
b
将②③代入①得： b 3b ，即： n 3 ⑤
n n 1
b
n 1
故由④⑤得： b 是首项为 b 6 ，公比为 q 3 的 等比数列 . n 1
故： n 1 n 1 nb b q 6 3 2 3 ⑥
n 1
于是由②得： a nb n 1 2 3 n 1
n n
待定系数法是如何构造等比数列 bn 的 ？
例 18、设数列 an ，a1 1，a2 2 ，且满足：an 2 3an 1 2an ，(n
*
N ) ，求通项 an
解析 ：本题是二阶递推数列，且看如何解：
待定系数法 ：令： a a (a a ) ①
n 2 n 1 n 1 n
则： a a a a ( )a a
n 2 n 1 n 1 n n 1 n
3
与已知 a 3a 2a 比较系数得：
n 2 n 1 n
2
若将 、 看成是一元二次方程的两个根，则又韦达定理得到这个方程为：
2
x 3x 2 0 ，而这正是采用特征根法的 特征方程 .
上述方程的解为： =1， =2 ，或 =2 ， =1 ，这两组解推出的数列通项的结果
是一样的 . 取 =2 ， =1 ②
令： b a a ③
n n 1 n
则 b a a 1 ， b a a ④
1 2 1 n 1 n 2 n 1
b
将③④代入①得： n 1 2 ⑤
b
n
则 b 是首项为 b 1 ，公比为 2 的 等比数列 n 1
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其通项为： n 1b b n 12
n 1
故由③得： n 1 n 1a a b 2 ，即： a a 2 ⑥
n 1 n n n 1 n
再用 待定系数法 ，令： a r n 1 n2 p(a r 2 ) ⑦
n 1 n
则： a pa pr n2 2r n2 pa (2 pr 4r) n 12
n 1 n n
1
与⑥式比较得： p 1 ， 2 pr 4r 1，即： r
2
令： c na r 2 ⑧
n n
则： c a r n 12 ，代入⑦式得： c pc ⑨
n 1 n 1 n 1 n
由⑧得： 1 1c a 2 0
1 1
由于 p 1 ，于是由⑨式得： c c c ... c 0
n 1 n n 1 1
代入⑧式得： a n 12 c 0 ，故： a n 12 .
n n n
这就是采用二次 待定系数法 解得的数列的通项 .
另解 ：用 特征根法 求解：
前面由 an 2 3an 1 2an 得 an 2 3an 1 2an 0
即 特征方程 ： 2x 3x 2 0 ，其两个根为： x 1 ， x 2
1 2
代入特征根法的 二异根 解得： a n n nc x c x c c 2
n 1 1 2 2 1 2
用 a 1， a 2 代入上式，以确定 c 、 c
1 2 1 2
1
则： a 1 c c 2 ， 2a 2 c c 2 ，解得： c ， c 0
1 1 2 2 1 2 2 1
2
故： n na c x c x c n n 1c 2 2
n 1 1 2 2 1 2
这就是采用 特征根法 解得的数列的通项 .
对于二阶递推数列，采用特征根法比较简洁 .
1
例 19、已知正项数列 an ， a1 1，且满足： an 1 an(4 an ) ，求通项 an
2
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1
解析 ：由已知 a a (4 a ) 得：
n 1 n n
2
1 2 1
a 2 2(a 4a ) 2 (a 2) ①
n 1 n n n
2 2
令： b a 2 ，则： b a 2 ， b a 2 1， 2b 1
n 1 n 1 n n 1 1 1
1
代入①式得： 2b b ②
n 1 n
2
于是： b 1 ；
1
1 2 1
b b ； 2 1
2 2
3
1 1 1
b
2
b ； 3 2 3
2 2 2
6 7
1 1 1 1 1
b
2
b 4 3 ； 7
2 2 2 2 2
……；
2n 1 1
1 2 1 1
b
n b n 1 n 1
2 2 2 12
1
故： a b 2 2
n n n 12 1
2
这是递推数列的递推法 .
2a 1
例 20、已知数列 an 中， a1 2 ，且满足： a
n
n 1 ， (n
*
N ) ，求通项 an
4an 6
2a 1
解析：将 a n 化简为： 4a a 6a 2a 1 0
n 1 n n 1 n 1 n
4a 6
n
3 1 1
即： a a a a 0 ①
n n 1 n 1 n
2 2 4
2a 1 2x 1
不动点法 a n 的不动点方程： x ；
n 1
4a 6 4x 6
n
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即： 2
1
4x 4x 1 0 ，方程的根为二重根： x x ；
1 2
2
结合不动点法解方程，我们采用待定系数法.
1 1
设： c ②
a x a x
n 1 1 n 2
通分化简得： c a x a x a x a xn 2 n 1 1 n 2 n 1 1
即： ca a cx a cx a cx x a x a x
n 1 n 1 n 2 n 1 1 2 n 2 n 1 1
cx 1 cx 1 x x
即： a a ( 2 )a ( 1 )a x x 1 2 0
n 1 n n 1 n 1 2
c c c
1 1 x x
即： a a ( x )a (x )a x x 1 2 0 ③
n 1 n 2 n 1 1 n 1 2
c c c
1 3 1 1
对比③①得： x ， x ，
2 1
c 2 c 2
x x
x x 1 2
1
④
1 2
c 4
1 1 1 3
即： x ， x ⑤
1 2
2 c c 2
1 1 1 3 2 3 1
x x ( )( )
1 2 2
2 c c 2 c 4 c
2 3 1 1 1 1 3 c
代入④得： c( ) ( ) ( )
2
c 4 c 2 c c 2 4
3c 1 1 2 3 c 1
即： 2 ，即： c
4 c 2 c 2 4 c
故： c 1 ⑥
1 1 1 1 3 1
取 c 1，则： x ， x
1 2
2 c 2 c 2 2
1 1
代入②式得： 1 ⑦
1 1
a a
n 1 n
2 2
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3 1 1
化简⑦式可得： a a a a 0 ，故⑦式与①式等价.
n n 1 n 1 n
2 2 4
1 1 3 1 3 5
取 c 1，则： x ， x
1 2
2 c 2 c 2 2
1 1
代入②式得： 1 ⑧
3 5
a a
n 1 n
2 2
3 1 1
化简⑧式得： a a a a 0 ，故⑧式与①式等价.
n n 1 n 1 n
2 2 4
由此可见，⑦⑧两式是等价的.
1 1 2 1
令： b ，则： b ， b
n 1 1 1 n 15 1
a a a
n 1 n 1
2 2 2
代入⑦式得： b b 1
n 1 n
2 2
由 b 和 b b 1 可得： b 是首项为 ，公差为 1 的等差数列. 1 n 1 n n
5 5
2 3 5n 3
故： b (n 1) n
n
5 5 5
1 1
则： a ，
n
2 b
n
1 1 5 1 10 5n 3 13 5n
故： a
n
b 2 5n 3 2 10n 6 10n 6 10n 6
n
另解：采用不动点法
2a 1
将 a n 化简为： 4a a 6a 2a 1 0 ①
n 1 n n 1 n 1 n
4a 6
n
2a 1
n 2x 1不动点法 a 的不动点方程： x ；
n 1
4a 6 4x 6
n
1
即： 24x 4x 1 0 ，方程的根为二重根： x x ；
1 2
2
那么，二重根的不动点解为：
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1 1
c （ c 为待定常数） ②
a x a x
n 1 1 n 2
通分化简得： a xn 2 a x cn 1 1 a x a xn 2 n 1 1
1 1 1 1
即： a a cn n 1 a a n n 1 ；
2 2 2 2
即： 4ca a 2c 4 a 2c 4 a c 0 ③ n n 1 n 1 n
将③式与①式对比得： c 1 .
1 1 1 1 1 2
令： b ，则： b ， b
n 1 n
a x 1 a x 1
1 1 5
n 1 1 a n 2 a a
n 1 n 1
2 2 2
代入②式得： b b 1
n 1 n
2
即： b 是一个首项为 、公差为 1 的等差数列. n
5
2 5n 3
故： b (n 1) .
n
5 5
1 1 1 5 1 10 5n 3 13 5n
代入： b ，即： a
n 1 n b 2 5n 3 2 10n 6 10n 6
a n
n
2
不动点法根为二重根时，可构造等差数列解之.
4a 2
例 21、已知数列 an 中， a 3 ，且满足： a
n
1 n 1 ，求通项 an
an 1
4a 2
解析 ：将 a n 化简为： a a a 4a 2 0 ①
n 1 n n 1 n 1 n
a 1
n
4x 2
用不动点法解不动点方程： x ；
x 1
即： 2x -3x 2 0 ，方程的根为二异根： x 1 ， x 2 ；
1 2
结合不动点法解方程，我们采用待定系数法.
a x a x
设： n 1 1 n 1 ②
a x a x
n 1 2 n 2
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化简： (a x )(a x ) (a x )(a x )
n 1 1 n 2 n 1 n 1 2
即： a a x a x a x x a a x a x a x x
n n 1 1 n 2 n 1 1 2 n n 1 1 n 1 2 n 1 2
即： ( 1)a a (x x )a ( x x )a ( 1)x x 0
n n 1 2 1 n 1 2 1 n 1 2
x x x x
即： a a ( 2 1 )a ( 2 1 )a x x 0 ③
n n 1 n 1 n 1 2
1 1
x x x x
比较①③可得： 2 1 1 ， 2 1 4 ， x x 2
1 2
1 1
x x 12 1
即： （ 1）
x x 4 42 1
即： 2 2 2( 1)x 4 4 5 4
1
2 5 4 4
即： x ，即： x ④
1 1
2 1 1
和： 2( 21)x 4 4 21 4 5 1
2
24 5 1 4 1
即： x ，即： x ⑤
2
2
2
1 1
4 4 1
代入 x x 2 得： ( )( ) 2
1 2
1 1
即： 4 2 16 24 2( 2 1) 0
即： 26 13 6 0
2 2 2
13 13 4 6 6 13 13 12 13 5
则：
12 12 12
13 5 3 13 5 2
故： ，
1 2
12 2 12 3
3 4 4 1
将 代入④⑤式得： x 1 ， x 2 ；
1 1 2
2 1 1
2 4 4 1
将 代入④⑤式得： x 2 ， x 1 .
2 1 2
3 1 1
由此可见， 的两个值对应的是 x 相同的两个值 .
第 21 页
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3
取 ，则 x 1 ， x 2
1 2
2
a 1
n 1 3 a 1代入②式得： n ⑥
a 2 2 a 2
n 1 n
a 1 a 1
n 1 3 1 a 1令： b ，则： b 2 ， b n 1
n 1 n 1
a 2 a 2 3 2 a 2
n 1 n 1
3
代入⑥式得： b b
n 1 n
2
b 3
即： b 是首项 b 2 ，公比 q n 1 的 等比数列 . n 1
b 2
n
故： n 1
3 n 1
b b q 2 ( ) ⑦
n 1
2
a 1
由 b n
1
得： b 1
n n
a 2 a 2
n n
1 1 2b 1
即： a 2 ，即： a 2 n
n n
b 1 b 1 b 1
n n n
将⑦式代入上式得：
3
n 14 ( ) 1
2b 1 n 1 n 1 n 1 n 2n 2 4 3 2 2 3 2a
n
3 n 1 n 1 n 1 n 2b 1 n 1 2 3 2 3 2n 2 ( ) 1
2
本题将二异根化为等比数列形式 .
另解 ： 不动点法
4a
由 a n
2
n 1 化简为： a a a 4a 2 0 ① n n 1 n 1 n
an 1
4an 2 4x 2由 an 1 得不动点方程： x
an 1 x 1
即： 2x -3x 2 0 ，方程的根为二异根： x 1 ， x 2 ；
1 2
a x a x a 1 a 1
设二异根解式满足： n 1 1 n 1 ，即： n 1 n ②
a x a x a 2 a 2
n 1 2 n 2 n 1 n
第 22 页
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化简： 1 a a 2 a 2 1 a 2 1 0 ； n n 1 n 1 n
2 2 1
即： a a a a 2 0 ③
n n 1 n 1 n
1 1
3
比较①③两式得：
2
a x a 1 a 1 a 1
令： b n 1 1 n 1 ，则： b n ， b 1 2
n 1 n 1
a x a 2 a 2 a 2
n 1 2 n 1 n 1
3
代入②式得： b b
n 1 n
2
3
于是： b 是首项为 b 2 、公比为 的 等比数列 . n 1
2
n 1 n 1
3 3
即： b 2 . n n 2
2 2
a 1 2b 1 n 1 n 22 3 2
代入 b n 得： a n
n n
n 1 n 2a 2 b 1 3 2
n n
不动点法根为二异根时，可构造等比数列求之 .
2a 3
例 22、已知数列 an 中， a1 5 ，且满足： a
n
n 1 ，求通项 an
an
2a 3
解析 ：将 a n 化简为： a a 2a 3 0 ①
n 1 n n 1 n
a
n
2x 3
用不动点法解不动点方程： x ；
x
即： 2x 2x 3 0 ，方程的二异根为： x 1， x 3
1 2
a x a x a 1 a 1
设二异根解式满足： n 1 1 n 1 ，即： n 1 n ②
a x a x a 3 a 3
n 1 2 n 2 n 1 n
3 3 1
化简： a a a a 3 0 ③
n n 1 n 1 n
1 1
比较①③两式得 : 3
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a 1 a 1 a 1 5 1
令： b n 1 ，则： b n ， b 1 3
n 1 n 1
a 3 a 3 a 3 5 3
n 1 n 1
代入②式得： b 3b
n 1 n
于是： b 是首项为 b 3、公比 3 的等比数列 .n 1
n 1 n 1
故： b 3
n 3 1
n
3
a 1 3b 1
代入 b n ，即： a n 得：
n n
a 3 b 1
n n
n 1 n 1
1 n 1 n 13 1 3 1
a 或 a
n n 1
n
n n n 1
1 3 1 3 1
不动点法为二异根时，可构造等比数列求之 .
2
a a 2
例 23、已知数列 an 中， a1 4 ，且满足： a
n
n 1 ， bn
n ，求通项 bn
2(an 1) an
a 2 2 1 1 b 2
解析 ：由 b n 1 得： n 或 a
n n
a a a 2 1 b
n n n n
2
a
代入 a n 得：
n 1
2(a 1)
n
2
2 4
2
2 1 b 1 bn n 2 2

21 b 2 1 b 1 b 1 b 1 bn 1 n n n
2 1
n
2
1 bn 1 bn
即： 2b b
n 1 n
a 2
则： b 1
4 2 1

1
a 4 2
1
2
2 1
b b
2 1
2
4
2 1
b b
3 2
2
……
第 24 页
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2n 1
1 1
b 2b
n n 1 n 1
2 22
递推下去找规律 .
第 25 页

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