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2.4.2　圆的一般方程
第二章 直线和圆的方程
学习目标
学习目标
1．了解圆的一般方程的特点，会由一般方程求圆心和半径．(重点)
2．会根据给定的条件求圆的一般方程，并能用圆的一般方程解决简单问题．(重点)
3．灵活选取恰当的方法求圆的方程．(难点)
核心素养
1．通过圆的一般方程的学习，培养数学抽象的核心素养．
2．借助圆的一般方程的求解及其应用，培养数学运算的数学核心素养．
问题引入
圆的一般方程
我们已经学习了曲线与方程的关系,也已经认识了直线方程的多种形式,刚刚学习了圆的标准方程,现给出一个二元二次方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D,E,F为常数),请问这个方程在什么条件下是一个圆的方程
新知探索
圆的一般方程
1.圆的一般方程
一般地,如果平面直角坐标系中☉C的圆心为C(a,b),半径为r(r>0),则圆的标准方程为
展开化简:
即
令
则
这就是圆的一般方程，满足的条件为：
新知探索
圆的一般方程
圆的标准方程为：
即：
化为标准方程：
所以必须满足：
圆的方程为 时，它的圆心：
半径为：
新知探索
圆的一般方程的说明
方程 条件 图形
x2＋y2+Dx+Ey+F=0 D2＋E2-4F<0 没有图形
D2＋E2-4F=0 表示一个点
D2＋E2-4F>0 表示圆
对方程 的说明：
新知探索
圆的一般方程的特征
思考1：圆的标准方程与圆的一般方程有什么不同？
思考2：求圆的一般方程实质上是求圆的一般方程中的哪些量？
只要求出一般方程中的D、E、F圆的方程就确定了．
圆的一般方程是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显．圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征明显．
思考3：所有二元二次方程均表示圆吗？
不是，Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0，只有在A＝C≠0，B＝0且D2＋E2－4AF＞0时才表示圆.
[答案]　(1)√　(2)√　(3)×
小试身手
1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任何一个圆的方程都能写为一个二元二次方程． (　　)
(2)圆的一般方程和标准方程可以互化． (　　)
(3)方程 表示圆心为 ，半径
为 的圆．
(1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程．
(2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的．
(3)错误．当 ，即 时才表示圆．
典例精析
题型一：圆的一般方程的概念
例1.若方程x2＋y2+2mx-2y＋m2+5m=0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
写成(x+m)2＋(y-1)2＝1-5m.
(2)将方程x2＋y2+2mx-2y＋m2+5m=0
解：(1)据题意知
即
解得：
故m的取值范围为
故圆心坐标为(－m,1)，半径
规律方法
题型一：圆的一般方程的判断
形如 的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：
1．由圆的一般方程的定义令 ，成立则表示圆，否则不表示圆．
2．将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解．
典例精析
题型二：求圆的一般方程
例2 .圆C过点A(1,2)，B(3,4)，且在x轴上截得的弦长为6，求圆C的方程．
解：设所求圆的方程为
∵圆过A(1,2)，B(3,4)，
∴D＋2E＋F＝－5，①
3D＋4E＋F＝－25.②
令y＝0，得
设圆C与x轴的两个交点的横坐标为
则
即D2－4F＝36.③
由 ①②③得D＝12，E＝－22，F＝27，
或D＝－8，E＝－2，F＝7.
故所求圆的方程为x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或x2＋y2－8x－2y＋7＝0.
规律方法
应用待定系数法求圆的方程
1．如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；
2．如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.
题型二：待定系数法求圆的方程
典例精析
例3 .过点A(8,0)的直线与圆x2＋y2＝4交于点B，则AB中点P的轨迹方程为________.
题型三：与圆有关求动点的轨迹方程
解：设点P的坐标为(x，y)，点B为 ，
由题意，结合中点坐标公式可得 ，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化简得(x－4)2＋y2＝1，则AB中点P的轨迹方程为(x－4)2＋y2＝1．
典例精析
例4 .已知Rt△ABC中，A(－1,0)，B(3,0)．求：直角顶点C的轨迹方程．
题型三：与圆有关求动点的轨迹方程
解：(1)方法一：(直接法)设C(x，y)，
则
因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
即
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
由于A、B、C不共线，所以y≠0.
故顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二：(定义法)设线段AB的中点为D，则D(1,0)．
由题意知 .
所以点C的轨迹是以D为圆心，以2为半径的圆，其方程为(x－1)2＋y2＝4.
由于直角顶点C不在直线AB上，
所以y≠0.
故顶点C的轨迹方程为
x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
规律方法
题型三：求与圆有关的轨迹方法
求与圆有关的轨迹的方法
1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；
2．定义法：根据圆、直线等定义列方程；
3．几何法：利用圆的几何性质列方程．
跟踪练习
解：圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝5，
则圆心坐标为(1，－2)，
∵直线2x＋y＋m＝0过x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心．
∴2－2＋m＝0得m＝0．故选D.
1.若直线2x＋y＋m＝0过圆x2＋y2－2x＋4y＝0的圆心，则m的值为(　　)
A．2 B．－1 C．－2 D．0
跟踪练习
2.(1)若方程x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,则实数k的取值范围是(　　)
A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,0) D.(-∞,1]
解析:(1)因为x2+y2-4x+2y+5k=0表示圆,
则16+4-4×5k>0,所以k<1.故选A.
(2)当圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0的面积最小时,m的取值是(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
(2)∵圆C:x2+y2-4x-2my+2m=0,
∴圆C的标准方程为
(x-2)2+(y-m)2=m2-2m+4,
从而对于圆C的半径r有
r2=m2-2m+4=(m-1)2+3≥3,
所以当m=1时,r2取得最小值,
从而圆C的面积πr2在m=1时取得最小值.故选D.
跟踪练习
3.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
解:(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意,得
解得
∴△ABC外接圆的一般方程为
x2+y2-8x-2y+12=0,
跟踪练习
3.已知A(2,2),B(5,3),C(3,-1).
(1)求△ABC的外接圆的一般方程;
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上,求a的值.
解:(2)由(1)知,△ABC的外接圆的方程为x2+y2-8x-2y+12=0,
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上,
∴a2+22-8a-2×2+12=0,
即a2-8a+12=0,
解得a=2或6.
跟踪练习
4.已知点P在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上运动,求线段OP的中点M的轨迹方程.
解：设点M(x,y),点P(x0,y0),
则
所以，
所以(2x)2+(2y)2-8·(2x)-6·(2y)+21=0,
因为点P(x0,y0)在圆C:x2+y2-8x-6y+21=0上,
∴
即点M的轨迹方程为
课堂小结
本
课
结
束

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