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高中数学新教材考前回归知识必备全案
14 等差数列﹑等比数列
公式法 an a1 (n 1)d 或 an am (n m)d ；an a
n 1 或 n m
1q an amq
S ,(n 1)已知 S （即n a1 a a f (n) ）求 a ： an 1 . 2 n n Sn Sn 1,(n 2) 作差法
1 1 1 14,n 1如数列{an}满足 a1 a2 an 2n 5 ，求 a （答： a n 1 ） 2 22 n n n2 2 ,n 2
数 61
作商法 已知 a 求 如 对所有的 n 2 有1a2 an f (n) an a1 1, a1a2a3 an n
2 ，则 a a ___（答： ） 3 5
列 16
通 简 累加法 a a f (n)型 n 1 n
项 单
的 累乘法 a a f (n) 型 、 n 1 n
求 递 （构造等差、等比数列），递推式为 a qa q
n 1（q 为常数）时，可以将数列两边同时除以 qn 1 ，
n 1 n
推
和 构造法 a
数 得 n 1
a
n 1 .如已知 a1 1,an 3an 1 2
n ，求 a （答： a 5 3n 1 2n 1 ）
n 1 n n n
的 列 q q
常 解 若 an 1 can d(c 0,1,d 0) an 1 c(a ) .比较系数得出 ，转化为等比数列. n
见 法
已知数列{an}满足 a1=1,且 an+1 = 3a +2,求 .设n an an 1 t 3(a ，n t) an 2 3
n 1 1
方
法 若 a ， ； n 1 pan qn d an 1 a(n 1) b q(an an b)待定
已知数列{an}中，a1=1，且 an+1=3an+2n-1(n=1,2,…),求数列{an}的通项公式. 系数法
设 n 1an 1 p(n 1) q 3(an pn q) ， an 2 3 n .
若 a pa qn 1n 1 n （ p q ），设 a
n 1
n 1 q p(a q
n
n ) ；
已知数列{an}满足a1 1, an 3
n 2an 1(n 2). 求 an设 a
n
n 3 2(a
n 1
n 1 3 )
an 1 1
取倒数法 已知 a1 1,a ，求 a （答：n an ）
3an 1 1
n 3n 2
ｎ
等比数列 {an} 的前 n 项和 S ｎ＝2 －１，则 ① 1 1 1 ； ② 1 1 (1 1 )；
公式法 n(n 1) n n 1 n(n k) k n n k
4n 1
a2 a2 a21 2 3 a
2
n ＝_____（答： ）；
1 1 1 1 1
3 ③ ( ) ( ) ；2 2
k k 1 2 k 1 k 1
分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将
1 1 1 1 1 1 1“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法 ( ) ；
2
分组法 求和. 如求：Sn 1 3 5 7 ( 1)
n(2n 1)（答： k k 1 (k 1)k k (k 1)k k 1 k
1 1 1 1
( 1)
n n ）如an 2n 2
n
，an ( 1)
n n 2 . ④ [ ]；
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 1)(n 2)
如果数列通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项 ⑤ n 1 1常 ； 分裂后相关联，常选用裂项相消法求和.裂项形式：
裂项法 (n 1)! n! (n 1)!用 1
如在数列{a }中， a ，且 Sｎ
求 n n n n 1 ⑥ 2( n 1 n )
1 2( n n 1)；
n
和
方 设数列 为等比数列，数列 是等差数列，则数 ⑦ a S S (n≥ 2)； a b n n n 1n n
法 错位相 m 1 m m m m m 1 ⑧C C C C C C ；
n n n 1 n n 1 n
减法
列 anbn 的前 n 项和 Sn 求解，均可用错位相减法 ⑧ 1 1 ( a b) ；
a b a b
通项转 先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求 1 1 1 1
换法 1 1 1 ⑨ ( ) .
和法求和.求和：1
(An B)(An C) C B An B An C1 2 1 2 3 1 2 3 n
2
若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列 x
已知 f (x) ，
倒序 的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加 1 x2
相加法 法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和 1 1 1 7
则 f (1) f (2) f (3) f (4) f ( ) f ( ) f ( ) ＝_
公式的推导方法）. 2 3 4 2
注：表中n,k 均为正整数
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15 空间几何体（其中 r 为半径、 h为高、 l为母线等）
有两个面互相平行，其余每相邻两个面的 两个互相平行的面叫棱柱的底面(简称底)；
概念 交线互相平行，这样的多面体叫棱柱.两底 其余各面叫棱柱的侧面；
面所在平面的公垂线段叫棱柱的高 两侧面公共边叫棱柱的侧棱；
长方体 底面是矩形的直平行六面体是长方体； 长方体体对角线 a2 b2 c2 ，外接球2R a2 b2 c2 与三条
棱 正方体 棱长都相等的长方体叫正方体； 棱成角 cos2 +cos2 +cos2 =1，sin2 +sin2 +sin2 =2
柱 平行六面体 底面是平行四边形四棱柱叫平行六面体； 如下列关于四棱柱的四个命题：
概 侧棱不垂直于底面的棱柱叫斜棱柱； ①若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直棱柱；
侧棱垂直于底面的棱柱叫直棱柱；
念 ②若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则为直棱柱；
直棱柱 底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； ③若四个侧面两两全等，则该四棱柱为直棱柱；
④若四棱柱的四条对角线两两相等，则该四棱柱为直棱柱.
底面是正方形的直四棱柱叫正四棱柱；
其中真命题的为__（答：②④）
{平行六面体} {直平行六面体} {长方体} {正四棱柱} {正方体}；
概念 有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫棱锥；
如果一个棱锥底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样棱锥叫正棱锥；
正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；
正棱锥的相对的棱互相垂直；
正棱锥
①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等) 顶点在底上射影为底面外心；
棱 ②侧棱两两垂直(两对对棱垂直) 顶点在底上射影为底面垂心；
锥 ③斜高长相等且顶点在底上在底面内 顶点在底上射影为底面内心.
6
2 a 2 3
全面积 S 3a ；体积 2V a3 ；对棱间的距离 2d a ； 3
V a
12
12 2
正四面
外接球半径 6R a；内切球
6
r a
空 体 4 12
正四面体内任一点到各面距离之和为 6 3
间 h a
.
3 a
3 a a 6
3
几 表面积 体积
棱柱 S全 S侧 2S 何 底
V S底 h高
1 1
体 棱锥 S全 S侧 S 底 V S 底 h高 V锥 S h
表 3 3
表面积即
面 1棱台 S全 S侧 S上底 S下底 V (S ' S 'S S)h S S ' 空间几何 3
积 1
2
和 圆柱 S 2 r 2 rh
体暴露在 V r2h V台 (S ' S 'S S)h 全 3
外的所有
体 1
圆锥 S r
2
全 rl 面的面积 V r
2h S ' 0
积 3
之和. V柱 S h
1
圆台 S全 (r '
2 r2 r 'l rl) V (r '2 r 'r r2)h
3
4
球 S球 4 R
2 V球 R
3
3
棱柱：体积＝底面积×高，或体积V ＝直截面面积×侧棱长，特别地，直棱柱的体积＝底面积×侧棱长；
1
三棱柱的体积V Sd （其中 S 为三棱柱一个侧面的面积， d 为与此侧面平行的侧棱到此侧面的距离）.
2
1
棱锥：体积＝ ×底面积×高.注意：求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体）
3
求 i 补形：三棱锥 三棱柱；正四面体 正方体 球；
体 ii 分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥与三棱柱的体积关系和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等
积
(1)四面体 A－BCD 中，AC=BD= 13 , BC=AD= 21 , AB=CD=4，则四面体 A－BCD 外接球的面积为
(2)已知 PA，PB，PC 两两互相垂直，且△PAB、△PAC、△PBC 的面积分别为 1.5cm2，2cm2，6cm2，则过 P，A，B，C
四点的外接球的表面积为 cm2．答案：26π．答：5 2
(3) 三个平面两两垂直，它们的交线交于一点 O，P 到三个面的距离分别为 3、4、5，则 OP 的长为_
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16 空间点、直线、平面位置关系（大写字母表点、小写字母表直线、希腊字母表平面）：
公理 1 A l, B l, A , B l . 判断直线在平面内.
基
公理 2 A, B,C 不共线 A, B,C 确定平面 . 确定平面.
本
用途
公 确定两平面的交线 公理 3 P , P , l P l
理 两直线平行
公理 4 a∥ c ，b ∥ c a∥ b
位 线线 共面和异面.共面为相交和平行.不同在任何一个平面内的两条直线称为异面直线.
置 点线面 A l, B l ； A , B .
关 线面 l ,l A,l . .分别对应线面无公共点、一个公共点、无数个公共点.
系 面面 ∥ ， l .分别对应两平面无公共点、两平面有无数个公共点.
判定定理:如果 一条直线和 一条 性质定理:如果一直线和一个平面平行,经过这直线
直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 平 面 和 这 个 平 面 相 交 , 那 么 这 条 直 线 和
a ,b ,a //b a // 平行． a∥ ，a ， b a∥ b
线面 b
平

行 a
关 a b
系
空 判定定理: 如果一个平面内的两条 直 性质定理: 如果两个平行平面同时和第三个平面相
间 线平行于另一平面，那么这两个平面平行. 交，那么它们的交线 ．
点
a ,b ,a b P // , a, b a //b 、
// 直 a // ,b //
线
、 面面
平
面
的
位 b aO
置 a
关
系 判定定理: 如果一条直线和一个平面内的 性质定理: 垂直于同一平面的 平行，垂直于
两条 直线都垂直, 那么这条直线和这
同一条直线的 平行．
个平面垂直．
m ,n ,m n P a
a a ∥ b
a m,a n b
线面
l
b
a b 垂
O 直
关
系 平面和平面垂直:两个平面垂直的判定定
两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,
理 : 如 果 一 个 平 面 经 过 另 一 个 平 面
那么在一个平面内 直线垂直于另一个平面.
的 ,那么两个平面互相垂直.
l ,l , l,a ,a l a
面面
a

a

l
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17 直线与圆的方程
定义法：已知直线的倾斜角为 α，且 α≠90°，则斜率 k=tanα.；与 x 轴平行或重合时倾斜角为0
倾斜角 在平面直角坐标系中，对于一条与 x 轴相交的直线 l ，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线 l
重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角.
倾斜角为 ，倾斜角不是 90°的直线倾斜角的正切值叫这条直线的斜率 k ，即 k ＝tan ( ≠
90°)；倾斜角为 90°的直线没有斜率；
概
直线的倾斜角 的范
念 a直线方程法：ax+by+c=0 的斜率 k .
b 围是[0, ）
斜率 n
直线的方向向量法： a (1,k) 若 a=（m，n）为直线方向向量，则斜率 k= .
m
y y
过两点 (x1, y1)(x 的直线的斜率
2 1 ；
2, y2) k
x2 x1
x2 y2 b2x
点差法：如 1中,以 P(x0, y 为中点弦斜率
0 求导数；
0) k
a2 b2 a2 y0
点斜式 已知直线过点 (x , y ) 斜率为 k ，则直线方程为 y y k(x x ) ,它不包括垂直于 x 轴的直线. 0 0 0 0
斜截式 已知直线在 y 轴上的截距为b 和斜率 k ，则直线方程为 y kx b ,它不包括垂直于 x 轴直线.
y y x x
两点式 已知直线经过 P1(x1, y 、1) P2(x2 , y2) 两点,则直线方程为
1 1 ,它不包括垂直于坐标轴直线
y2 y1 x2 x1
x y
已知直线在 x 轴和 y 轴上的截距为 a,b ,则直线方程为 1,它不包括垂直于坐标轴的直线和过
截距式 a b
原点的直线.⑸一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0 ( A,B不同时为 0)的形式.
直
⑴直线方程的各种形式都有局限性.(如点斜式不适用于斜率不存在的直线,还有截距式呢？)
线
与 ⑵直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为 0 .直线两截距相等 直线的斜率为 1或直线过原点；
圆 直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为
的 直 1或直线过原点.
方 线 提醒 ⑶截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为
程 方 0.直线两截距相等 直线的斜率为 或直线过 ；直线两截距互为相反数 直线的
程 斜率为 或直线过 ；直线两截距绝对值相等 直线的斜率为 或直线
过 .
如： 已知在△ABC 中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，P 是 AB 上的点，则点 P 到 AC、BC 的距离
乘积的最大值是 3；过点 A(1,4)，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条 3
（1）知直线纵截距b ，常设其方程为 y kx b；
（2）知直线横截距 x0 ，常设其方程为 x my x0 (它不适用于斜率为 0 的直线)；
设 直 线
方 程 的 （3）知直线过点 (x0 , y0) ，当斜率 k 存在时，常设其方程为 y k(x x0) y ，当斜率 k 不存在时，0
一 些 常 则其方程为 x x0 ；
用技巧
（4）与直线 l : Ax By C 0平行的直线可表示为 Ax By C ； 1 0
（5）与直线 l : Ax By C 0垂直的直线可表示为 Bx Ay C1 0 .
提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解；
当不重合的两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时， l1 // l2 k1 k2 ；如果不重合直线 l1 和 l2 的斜率都
不存在，那么它们都与 x 轴垂直，则 l1 // l平行 2
．
位 平行 A1B2 A2B1 0 且 B1C2 B2C1 0 (在 y 轴上截距)
置 已知直线 l1 : x ay 6 和l2 : (a 2)x 3y 2a 0,则l // l 的充要条件是 （a=-1） 1 2
关
系 当两条直线 l1 和 l2 的斜率存在时，l1 l2 k1 k2 1；若两条直线 l1, l2 中的一条斜率不存在，垂直
则另一条斜率为0 时，它们垂直．
交点 两直线的交点就是由两直线方程组组成的方程组的解为坐标的点.
①过两直线交点的直线系方程可设为 A1x B1y C1 (A2x B2 y C2) 0；
直 线系 ②与直线 l : Ax By C 0 平行的直线系方程可设为 Ax By m 0(m c) ；
方程
③与直线 l : Ax By C 0 垂直的直线系方程可设为 Bx Ay n 0 .
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18 直线与圆的方程
点点距 P1(x1, y1), P2(x2 , y
2 2
2) 两点之间的距离 P1P2 (x2 x1) (y2 y1) .
距 Ax0 By0 C点线距 点 P(x , y )到直线 Ax By C 0距离公式0 0 d
2 2
离 A B
C1 C2
线线距 Ax By C 0与1 Ax By C 0平行线距离是 d 2
A2 B2
x x x y y y
点 重心 设三角形 ABC 三顶点 A(x , y ) , B(x , y ) ,C(x , y ) ,则重心G( 1 2 3 , 1 2 3 ； 1 1 2 2 3 3 )
点 3 3
与 点 A 关于直线 L 对称的点 B：1）AB 中点在 L 上；2）AB 垂直直线 L； y0 y B
线 点 关 于 如：点Ａ（４，５）关于直线 l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则 l 的方程是 _____； x0 x A
直 线 的
已知一束光线通过点Ａ（－３，５），经直线 l :3x－4y+4=0 反射.如果 x x0 y yA B 0对 称 点 C 0
反射光线通过点Ｂ（２，15），则反射光线所在直线的方程是 _ _ 2 2
对 的求法
点 (a,b)关于 x轴、 y 轴、原点、直线 y x 的对称点分别是 (a, b) , ( a,b) , ( a, b) , (b,a) .
称
①点 (a,b)： f (2a x,2b y) 0 ；② x轴： f (x, y) 0 ；③ y 轴： f ( x, y) 0 ；
对 称 的
曲 线 方 ④原点： f ( x, y) 0； ⑤直线 y x ： f (y, x) 0
程 ⑥直线 y x ： f ( y, x) 0； ⑦直线 x a ： f (2a x, y) 0 .
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹.定点叫做圆心、定长叫做半径.
(x a)2 (y b)2标准方程 r
2 . 提醒：只有当 D2 E2 4F 0 时 ,方程
2 2 2 2 x
2 y2 Dx Ey F 0 才表示圆心为
x y Dx Ey F 0 (D E 4AF 0)
D E 1 2 2
一般方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 表示圆 ( , ) ,半径为 D E 4F 的圆
2 2 2
直 A C 0 ,且 B 0, D2 E2 4AF 0 ).
线 圆 x a r cos 圆的参数方程主要应用是三角换元：
与 ( 为参数), 2 2 2参数方程 y b r sin x y r x rcos , y rsin ；
圆 其中圆心为 (a,b) ,半径为 r
的
直径方程 以 A(x , y ) 、 B(x , y ) 为直径的圆的方程1 1 2 2 (x x1)(x x2) (y y1)(y y2) 0 （ AP BP 0 ）
方
程 8 3 8 3
过(1,2)总能作出两条直线和已知圆 x2 y2 kx 2y k2 15 0 相切，求 k 的取值范围 k ( , 3) (2, )
3 3
① (x a)2点 0 (y0 b)
2 r2 点 P 在圆外；
位置关系 2
和 ② (x0 a) (y0 b)
2 r2 点 P 在圆内；
圆 的判断 圆 ③ (x a)2 (y b)2 r20 0 点 P 在圆上. 与
方 相交 相切 相离
程 线 代数法 方程组有两组解 方程组有一组解 方程组无解
与
几何法
圆 d r d r d r
圆 代数法 方程组有两解 方程组有一组解 方程组无解
与
几何法 r1 r2 d r1 r2 d r1 r 或d r r2 1 2 d r r 或d r1 r圆 1 2 2
点 在圆 x2
2
P(x , y ) y
2 r2
0 0 上,则过点 P 的切线方程为： x0x y0 y r
过圆 (x a)2 (y b)2 r2 上一点 P(x0, y0)切线方程为 (x0 a)(x a) (y0 b)(y b) r
2 .
圆上一点
切
的切线方 过圆外一点的切线方程可设为 y y k(x x )，再利用相切条件求 k，这时必有两条
线 0 0
程 切线，注意不要漏掉平行于 y 轴的切线．
斜率为 k 的切线方程可设为 y kx b，再利用相切条件求 b，必有两条切线．
弦 (x2 y2 相交弦 D1x E
2
1y F1) (x y
2 D2x E2 y F2) 0
圆
系切 点弦 以点 P 和圆心为直径构造一个圆，与原来的圆相交，制造相交弦事件
【注：标准d 根据上下文理解为圆心到直线的距离与两圆的圆心距】
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19 圆锥曲线的定义、方程与性质
几何性质
定义 标准方程 对称
范围 顶点 焦点 离心率
性
平面内与两个定点 F ，F 的 2 21 2 x y x a ( a,0)
1 ( c,0)
距离之和等于常数 2a （大于 a2 b2 y b (0, b)
F1F2 2c）的点的轨迹叫
2 2 y a (0, a) 椭圆中
做椭圆． y x 1 (0, c) a c
2 2
椭 b2 2
( b,0)
【 a c2 ，a b 】 a b x b 0 e 1
圆 椭圆焦点三角形：
共离心率的椭圆系的方程：方程 x 轴 i． 2S b tan ，（ F PF ）； c
PF1F
1 2 y 轴
2 2 x 2 y
2 e
ii．点M 是 PF F 内心， PM 交 F F 于
t(t 是大于 0 的参数，我们 坐标
2 2 a
1 2 1 2 a b 原点
点 N ，则 | PM | a ； 称为共离心率椭圆系方程．

| MN | c 双曲线
中
平面内与两个定点 F1 ，F2 的 x
2 y2 x a
( a,0) ( c,0) a c 1
距离之差的绝对值等于常数 a2 b2 y R e 1
2a （小于 F1F2 2c ）的
圆 y2 x2 y a
点的轨迹叫做双曲线．
锥 1 (0, a)
(0, c)
双 2 2
曲 【b
2 c2 a2 】 a b x R
曲
线 b
线 x
2 y2 求准线方程 双曲线焦点三角形： 渐近线方程 y x 或 0
的 a2 b2 a2a 2
x S ，（ F PF ）； 定 2 2 PF b cot 1 2y c 1
F2
共渐近线的双曲线系方程： x 2
义 ( 0)
的渐
a 2 b2
、 等轴双曲线：双曲线 x
2 y 2 a2 称为等轴双曲线，其渐近线
2
近线方程为 x y
2
方 0
a 2 b2 方程为 y x (渐近线互相垂直)，离心率 e 2
程
与 c b2 c b2
性 i 公式法；椭圆 e= 1 双曲线 e= 1 ,ii 方程法：建立关于 a,c 的齐次； a a2离 a a
2
质 2 2
心 如：已知点 F 是双曲线 x y 1(a 0 , b 0) 的左焦点，点 E 是该双曲线的右顶点，过点 F 且垂直于 x 轴的直
a 2 b2率
线与双曲线交于 A、B 两点，若△ ABF 是直角三角形，则该双曲线的离心率是 2;
以等边三角形顶点 AB 为焦点的椭圆经过两腰的中点，求其离心率： ； 3 1
2
焦半径：椭圆： 2bPF1 a ex0, PF2 a ex ； 抛物线焦点弦 AB ＝ 2 p0 x x p 通径 , 2p, 1 2
弦 sin2 a
长
弦长 1 1AB 1 k 2 x2 x1 (1 k
2)[(x1 x2)
2 4x1x2] 1 y2 y1 (1 ) [(y1 y
2
2 ) 4y
2 2 1
y2 ]
k k
2 x 0 py 2px ( ,0)
y R 2
平面内到一个定点 F 和一条 x 轴 e 1
定直线 l（定点 F 不在定直线 2 x 0 p
抛 y 2px ( ,0) 【离心率是
物 l ）距离相等的点的轨迹是抛 y R 2 曲线上的点(0,0)
线 物线. y 0 p 到焦点的距2
【焦点到准线的距离等于 x 2py (0, ) 离与到准线
x R 2 y 轴
p ， p 0，焦参数】 的距离之比】
y 0 p
x2 2py (0, )
x R 2
*1.用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后，注意用判别式、韦达定理、弦长公式；注意对参数
分类讨论和数形结合、设而不求思想的运用；注意焦点弦可用焦半径公式，其它用弦长公式.
提醒 *2.在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，常与“弦”相关，“平行弦”问题的关键是“斜率”、“中点弦”
问题关键是“韦达定理”或“小小直角三角形”或“点差法”、“长度(弦长)”问题关键是长度(弦长)公式
或“小小直角三角形”.
21
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20 圆锥曲线的热点问题
2 2
直 线 过 直 线 l : Ax By C 0 与 圆 C : x y Dx Ey F 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 是
圆 与 圆
相交 x
2 y2 Dx Ey F (Ax By C) 0 ,λ 是待定的系数．
系
方 过圆C ： x2 y2 D x E y F 0 , C ： x2 y2圆与 1 1 1 1 2 D2x E2 y F 0 交点的圆(相交弦)系方程为2
程
圆 (x
2 y2 D1x E1y F ) (x
2
1 y
2 D .2x E2 y F2) 0 1时为两圆相交弦所在直线方程
曲线C 上点的坐标都是方程 f (x, y) 0的解，以 f (x, y) 0的解为坐标的点都在曲线C
概念
上，则称曲线C 为方程 f (x, y) 0的曲线、方程 f (x, y) 0为曲线C 的方程.
直接法 直接通过建立 x、 y 之间的关系，构成F(x, y) 0 ，是求轨迹的最基本的方法
定义法 已知曲线类型，求出确定曲线的系数得出曲线方程的方法（待定系数法）.
曲 动点 P x, y 随动点Q x0 , y0 运动，Q 在曲线C : f x, y 0上，以 x, y表示
线 代入法
与 x , y ，代入曲线C 的方程得到动点轨迹方程的方法. 0 0
方 求法 参数法 把动点坐标 (x, y)用参数 t 进行表达的方法.此时 x (t), y (t)，消掉 t
程 交轨法 轨迹是由两动直线（或曲线）交点构成的，在两动直线（曲线）中消掉参数
确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.
曲 ①椭圆：第一定义：平面上一动点 P 到平面上两个定点 F1、F2 的距离和为定值，定义法
线 且|PF1|+|PF2|>|F1F2|,则 P 点轨迹为椭圆.双曲线：||PF1|-|PF2||=定值<｜F1F2|
方 ③ PA PB ,则动点 P 轨迹是圆
程 含义 含有可变参数的曲线系所经过的点中不随参数变化的某个或某几个点.
与 定点 把曲线系方程按照参数集项，使得方程对任意参数恒成立的方程组的解即为曲解法
圆 线系恒过的定点.
锥 热 含义 不随其它量的变化而发生数值发生变化的量. 定值
曲 点 解法 建立这个量关于其它量的关系式，最后的结果是与其它变化的量无关.
线 问 含义 一个量变化时的变化范围.
热 题 范围 建立这个量关于其它量的函数关系式或者不等式，求解这个函数的变化范围或
点 解法 者解不等式.
问 含义 一个量在变化时的最大值和最小值.
题 最值 解法 建立这个量的函数关系式，求解这个函数的最值.
①周长一定的三角形中，以正三角形的面积最大； ⑥在边长分别相等的多边形中，以圆
②周长一定的矩形中，以正方形面积最大； 内接多边形的面积最大；
几何
③面积一定的三角形中，以正三角形的周长最小； ⑦在等周长的边形中，以圆内接多边
极值
方 ④周长一定的平面曲线中，圆所围成的面积最大； 形的面积最大；
法 ⑤在面积一定的闭曲线中，圆的周长最小； ⑧面积一定边形中，正边形周长最小.
规
（1）利用综合法证明时，需要改变题目的形式，把一般定值题转化为特殊情况，因此，
律
定值 常作辅助图形；其次要明确图形中哪些元素是固定元素，哪些量是定量，分析问题时要围
问题 绕着固定元素和定量进行，把定值固定在已知量上；
处理 （2）利用参数法证明时，要根据题设的条件，选取适当的参数，然后将所要证明的定值
用参数表示出来，最后消去参数，便求得用常量表示的定值；
提 *3. 在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，涉及到“交点”时，转化为函数有解问题；先验证因所设直
醒 线斜率存在，造成交点漏解情况，接着联立方程组，然后考虑消元建立关于 x的方程还是 y 的方程，
接着讨论方程二次项系数为零的情况，再对二次方程判别式进行分析， 0时，直线与曲线相切，……
*4.求解直线与圆锥曲线的“弦长”、“交点”问题时，必要条件（注意判别式失控情况）是他们构成的方
程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必先有“ ≥0 ”. 求解直线与圆锥曲线的其它问题时，如
涉及到二次方程问题，必须优先考虑“二次项系数”与“判别式”问题.
*5.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成
直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
*6.韦达定理在解几中的应用：①求弦长②判定曲线交点的个数③求弦中点坐标④求曲线的方程.
22
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21 离散型随机变量及其分布
随着试验结果变化而变化的量叫做随机变量，所有取值可以一一列出的随机叫
概念
做离散型随机变量.
随机变
量及其 分布列 离散型随机变量的所有取值及取值的概率列成的表格 .
分布列
性质 （1） p 0(i 1，2，，n) ；（2） p1 p2 pn 1i .
P(AB)
概念：事件 A发生的条件下，事件B 发生的概率， P(B|A) .
P(A)
性质：0≤P(B|A)≤1． B,C 互斥， P(B C|A) P(B|A) P(C|A) ．
条件概率 全概率公式：一般地，设 A1，A2，…，An 是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An
事件的 n
独立性 ＝Ω，且 P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件 B Ω，有 P(B)＝ P(Ai)P(B|Ai)．
i＝1
独立事件 事件 A与事件 B 满足P(AB) P(A)P(B)，事件 A与事件B 相互独立.
只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进
n 重伯努
利试验 行 n 次所组成的随机试验称为 n 重伯努利试验．
一般地，假设一批产品共有 N 件，其中有 M 件次品．从 N 件产品中随机抽取 n
离
散 件(不放回)，用 X 表示抽取的 n 件产品中的次品数，则 X 的分布列为
型
Ck Cn
－k
M N－M
随 P(X＝k)＝ n ，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，CN
机
变 超几何 n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}．如果随机变量 X 的分布列具有上
量 分布 式的形式，那么称随机变量 X 服从超几何分布．
及
其 nM nM M超几何分布有时也记为 X～H(n，M，N)，其均值 E(X)＝ ，D(X)＝ 1－
分 N N N
布
n－1
1－ .
N－

1
一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0典型 －用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n k，k＝
分布
0,1,2，…，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从二
项分布，记作 X～B(n，p)．
两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若随机变量 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
二项分布
(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
“二项分布”与“超几何分布”的区别：有放回抽取问题对应二项分布，不放
回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分
布来处理．
在实际应用中，往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼，这表明试
验可视为 n 重伯努利试验，进而判定是否服从二项分布．
23
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2
x
1 - 2
若随机变量 X 的概率分布密度函数为 f(x)＝ ·e 2 ，x∈R，其中 μ∈R，σ>0
σ 2π
为参数，则称随机变量 X 服从正态分布，记为 X～N(μ，σ2)．
3σ原则
正态分布 (1)P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；
(2)P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；
(3)P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3.
正态分布的均值与方差
若 X～N(μ，σ2)，则 E(X)＝μ，D(X)＝σ2.
数学期望 EX x p x p 1 1 2 2 xi pi xn pn E(aX b) aEX b
数字 n
特征 方差和 DX (x EX )2方差： p ，标准差：i i X DX D(aX b) a2DX 标准差
i 1
22 计数原理与二项式定理
完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有m1 种不同的方法，在第2 类方案
分类加法
中有m2 种不同的方法，…，在第 n 类方案中有m计数原理 n
种不同的方法．那么完成这件
基本 事共有 N m1 m2 mn 种不同的方法．
原理 完成一件事情，需要分成n 个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2 步有m2
分步乘法
种不同的方法……做第 n 步有 mn 种不同的方法 .那么完成这件事共有计数原理
N m1 m2 mn 种不同的方法.
从 n 个不同元素中取出m(m n) 个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从从n
排 定义 个不同元素中取出m(m n) 个元素的一个排列，所有不同排列的个数，叫做从n
列 m排列 个不同元素中取出m(m n) 个元素的排列数，用符号 An 表示.
组
排列数 m n!
合 An n(n 1)(n 2) (n m 1) (n，m Ν，m n) ，规定0! 1． 公式
二 (n m)!
项 从 n 个不同元素中，任意取出m(m n) 个元素并成一组叫做从n 个不同元素中取
式 定义 出m(m n) 个元素的组合，所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出
定 m(m n) m个元素的组合数，用符号Cn 表示.
理 组合 m
组合数 m n(n 1) (n m 1) ACn ，C
m n
公式 n
．
m! Amm
性质 C
m
n C
n m
n ( m,n N,且m n
m m m 1
)；Cn 1 Cn Cn ( m,n N,且m n )．
n 0 n 1 n 1 r n r r n n r
定理 (a b) Cn a Cna b Cna b Cnb （Cn 叫做二项式系数）
二项 通项公式 T
r
r 1 Cna
n rbr （其中0 k n，k N，n N ）
式定
r r r r 0 1 2 r n n
理 系数和 Cr Cr 1 Cr 2 Cn C
r 1 ； C
n 1 n
Cn Cn Cn Cn 2 ；
公式 C1 C3 C5 C0 C2 C4 2n 1;C1 2C2 3C3 nCn n2n 1n n n n n n n n n n .
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23 成对数据的统计分析
变量 两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，
相关关系
的相 这种关系称为相关关系．相关关系的分类：正相关和负相关
关关 一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，
线性相关
系 我们称这两个变量线性相关．
n
xi－ x yi－ y
i＝1
r＝ .)当 r>0 时，称成对样本数据正相关；当 r<0 时，称成对
n n
xi－ x 2 y 2i－ y
i＝1 i＝1
样本
相关 样本数据负相关．|r|≤1；当|r|越接近 1 时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近 0
系数
时，成对样本数据的线性相关程度越弱．
样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系
1 1
r＝ x′·y′＝ |x′||y′|cos θ＝cos θ(其中 x′＝(x1′，x2′，…，xn′)，y′＝(y1′，y2′，…，yn′)，|x′|＝|y′|＝ n，n n
θ为向量 x′和向量 y′的夹角)．
^ ^ ^
(1)我们将y＝bx＋a称为 Y 关于 x 的经验回归方程，
n
成 xi－ x yi－ y
＝^ i 1对 b＝ ，
数 n其中 x－ x 2 (2)残差：观测值减去预测值，称为残差．
据 i一元 i＝1
的 线性
^ ^ 统 回归 a＝ y －b x .
计 模型
分
n
析 xiyi－n x y
＝
^ ^ i 1
1．经验回归直线过点( x ， y )．2．求b时，常用公式b＝ .
n
x2－n x 2i
i＝1
n ^
vi－v 2i
i＝1
决 定 决定系数：R2＝1－ . R2越大，残差平方和越小，回归模型拟合效果越好，R2越小，
n
系数 vi－ v 2
i＝1
残差平方和越大，回归模型拟合效果越差.
关于分类变量 X 和 Y 的抽样数据的 2×2 列联表：
Y
X 合计
独 立 Y＝0 Y＝1
性 检 列联表
X＝0
验 a b
a＋b
X＝1 c d c＋d
合计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
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n ad－bc 2
计算随机变量 χ2＝ ，利用 χ2 的取值推断分类变量 X
a＋b c＋d a＋c b＋d
和 Y 是否独立的方法称为 χ2 独立性检验．
χ2 独立性
检验
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
步骤 1：提出零假设为 H0：变量 A与变量 B无关（变量 A与变量 B相互独立）
步骤 2：根据列联表计算计算随机变量 χ2 的值（保留三位有效数字）
步骤 3：根据小概率 xα取相应值的独立性检验，对零假设 H0判定是否成立，
2
解题格式 当 x 时，我们就推断 H 不成立，即认为0 X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率
不超 α．
当 2 x 时，我们没有充分证据推断 H 不成立，可以认为 X 和Y 独立． 0
步骤 4：得出结论两个分类变量之间是否有关.
24 空间向量与立体几何
重要 共面向量 一组向量在一个平面内或者通过平移能够在同一个平面内.
空 概念 空间基底 空间任何三个不共面的向量a,b,c 都可做空间的一个基底.
间 共线定理 a,b（b 0 共线 存在唯一实数 ，a b .
向 基本
量 共面定理 p 与 a,b 、（a,b 不共线）共面 存在实数对 x, y ，使 p xa yb ． 定理
基本定理 a,b,c 不共面，空间任意向量 p 存在唯一的 (x, y, z) ，使 p xa yb zc .
线面 方向向量 所在直线与已知直线 l 平行或者重合的非零向量a 叫做直线 l 的方向向量.
标志 法向量 所在直线与已知平面 垂直的非零向量n 叫做平面 的法向量.
线线平行 方向向量共线.
线面平行 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量垂直；使用共面向量定理.
空
位置 面面平行 判定定理；两个平面的法向量平行. 间
向 关系
线线垂直 两直线的方向向量垂直.
量 立 线面垂直 判定定理；直线的方向向量与平面的法向量平行.
与 体 面面垂直 判定定理；两个平面的法向量垂直.
立 几
线线角 两直线方向向量为a,b， cos cos a,b .
体 何
几 中 空间
线面角 直线的方向向量为a ，平面的法向量为n ，sin cos a,n .
何 的 角
向
二面角 两平面的法向量分别为n1 和 n2 ，则cos cos n1,n2 . 量
方 已知直线 l 的单位方向向量为 u，A 是直线 l 上的定点，P
法
→ →
是直线 l 外一点，设AP＝a，则向量AP在直线 l 上的投影
空间 点到直线 →向量AQ＝(a·u)u，在 Rt△APQ 中，由勾 两平行线距离
距离 的距离 转化为点线距.
→ →
股 定 理 ， 得 PQ ＝ |AP|2－|AQ|2 ＝
a2－ a·u 2.
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已知平面 α的法向量为 n，A 是平面
α内的定点，P 是平面 α外一点．过
点 P 作平面 α的垂线 l，交平面 α于
点 Q，则 n 是直线 l 的方向向量，且
点到平面 线面距、面面距
的距离 → → 转化为点面距.
点 P 到平面 α 的距离就是AP在直线 l 上的投影向量QP的
→
→ n
→
长度，因此 PQ＝ AP· ＝ AP·n
|AP·n|
＝ . |n| |n| |n|
25 与方程思想,数学结合思想
函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用 函数与方程思想在
函
函数 联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立 一定的条件下是可以相
数
思想 各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的 互转化的，是相辅相成
与
函数与方 有关性质，使问题得到解决． 的，函数思想重在对问
方
程思想 方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，用它表 题进行动态的研究，方
程
方程 示问题中的其他各量，根据题中隐含的等量关系，列方程 程思想则是在动中求
思
思想 （组），通过解方程（组）或对方程（组）进行研究，以 静，研究运动中的等量
想
求得问题的解决． 关系．
、
数 以形 根据数与形之间的对应关系，通过把数转化为形，通
数形结合的重点是
研究“以形助数”，这在解
形 助数 过对形的研究解决数的问题、或者获得解决数的问题解决
选择题、填空题中更显
结 数形结合 思路解决数学问题的思想.
其优越，要注意培养这
合 思想
思 以数 根据数与形之间的对应关系，通过把形转化为数，通
种思想意识，做到心中
有图，见数想图，以开
想 助形 过数的计算、式子的变换等解决数学问题的数学方法.
拓自己的思维视野.
26 与整合思想,化归与转化思想
分类 解答数学问题，按照问题的不同发展方向分别进行解
分 分类 分类与整合思想的主要问题
思想
类 决的思想方法. 与 是“分”，解题的过程是“合
与 整合 整合 把一个问题中各个解决的部分，基本合并、提炼得出 —分—合”.
整 思想 整体结论的思想方法.
合 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把
、 化归 数学问题化生疏为熟练、化困难为容易、化整体为局部、 化归转化思想的实质是
化 思想 化归 化复杂为简单的解决问题的思想方法. “化不能为可能”，使用化归
归 与 转化思想需要有数学知识和
与 转化 根据熟知的数学结论和已知掌握的数学题目解法，把
转化 解题经验的积累. 转 数学问题化空间为平面、化高维为低维、化复杂为简单解
化 思想
决问题的思想方法.
27

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