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2023年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列实数中，最小的是( )
A. B. C. D.
2. 在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3. 广东省市场监督管理出台了一系列政策促进广东餐饮行业的发展，据统计，年第一季度广东省餐饮主体营收达亿元，将“亿”用科学记数法表示是( )
A. B. C. D.
4. 下面的计算正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 如图，在中，点，分别为，上的点，若，，则下列结论错误的是( )
A. B.
C. ∽ D.
6. 若反比例函数的图象在第二、第四象限，常数和互为相反数，则一次函数在平面直角坐标系中的图象大致是( )
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，点是圆上的一点且，弦，则的直径长是( )
A.
B.
C.
D.
8. 若是关于一元二次方程的一个实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
9. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，，且那么点到轴的距离是( )
A. B. C. D.
10. 如图，在菱形中，，，点是边上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，当点从点运动到点时，点的运动路径长是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 实数的平方根是______．
12. 一次函数与轴的交点的坐标是______ ．
13. 某同学参加学校艺术节歌唱比赛，其中唱功、表情、动作三个方面的得分分别是，，，综合成绩中唱功、表情、动作分别占，，，则这位同学的综合成绩是______ ．
14. 直线，线段分别，交于点，，过点作，交直线于点，的平分线交直线于点若，则的度数是______ ．
15. 已知平面直角坐标系中，点，，将线段向正南方向平移个单位得到线段，将线段绕点按顺时针方向旋转后得到线段，则点的坐标是______ ．
16. 如图，矩形中，点是边的中点，将沿翻折得到，延长交于点，连接，．
，则的度数是______ 用含的代数式表示
：：，则的正切值是______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解一元一次方程：．
18. 本小题分
如图，，，．
求证：．
19. 本小题分
已知．
化简；
若是不等式组的整数解，选择一个合适的代入，并求出此时的值．
20. 本小题分
已知与成正比例，当时，．
求与的函数解析式：
若函数的图象与一次函数的图象相交于点，求点的坐标．
21. 本小题分
某中学为推进“中国传统文化进校园”，在本校组织开展中国传统文化知识竞赛，并随机抽取了部分学生的测试成绩成绩分为等，等，等，等为样本，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息，下列问题：
将表示成绩类别为“等”的条形统计图补充完整；
该校共有名学生参加了本次知识竞赛，试估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和；
该校按照竞赛成绩找出名同学组成两队每队两人参加市知识竞赛，名同学中有位男生和位女生若学校通过抽签随机组合，请用列举法表示这名同学的组队情况，并求出性别相同的同学在同一组的概率．
22. 本小题分
如图，在中，．
尺规作图：以为直径作，连接并延长，分别交于，两点点位于右侧，点位于左侧．
连接，，求证：；
若，，求的值．
23. 本小题分
古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻广州市南沙区是典型的“水乡”，万里珠江在此奔腾入海，辖域里已有的和正在建设的各式桥梁把南沙从曾经的“孤岛”连成了粤港澳大湾区的中心，助南沙货物流转、人才集聚、便民宜居中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县交河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥如图所示，赵州桥的主桥拱是圆弧形，它的跨度弧所对的弦长米，拱高拱顶点到弦的距离为米．
某桥主桥拱是圆弧形如图中已知跨度，拱高，则这条桥主桥拱的半径是______ ；
某桥的主桥拱是抛物线形如图若水面宽，拱顶抛物线顶点离水面，求桥拱抛物线的解析式；
如图，某时桥和桥的桥下水位均上升了，求此时两桥的水面宽度．
24. 本小题分
定义新概念：有一组邻边相等，且它们的夹角是直角的凸四边形叫做等腰直角四边形．
图，等腰直角四边形，，．
若，于点，求的长；
若，，求的长；
图，在矩形中，，点是对角线上的一点，且，过点作直线分别交边，于点，，要使四边形是等腰直角四边形，求的长．
25. 本小题分
抛物线的图象与轴交于点点，与轴交于点抛物线的对称轴与轴交于点．
求、的值；
点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线与抛物线相交于点，当四边形的面积取得最大值，求此时点的坐标；
点在的抛物线上，点在的抛物线的对称轴上，若直线垂直平分线段时，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意和实数大小比较法则，知：最小的数只能在和中找，
，
，
故选：．
根据实数大小比较法则“正数大于，负数小于，两个负数绝对值大的反而小”比较即可．
本题考查实数大小比较，解答时涉及无理数大小估计，熟练运用实数大小比较法则是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点的坐标是，
故选：．
根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得答案．
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
3.【答案】
【解析】解：亿．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
4.【答案】
【解析】解：、，原式计算错误，故选项不符合题意；
B、，原式计算错误，故选项不符合题意；
C、，原式计算错误，故选项不符合题意；
D、，原式计算正确，故选项符合题意．
故选：．
根据完全平方公式、合并同类项的法则、同底数幂乘法以及幂的乘方的法则计算即可判断．
本题考查了完全平方公式、合并同类项的法则、同底数幂乘法以及幂的乘方的法则，解题的关键是熟练掌握相关的公式和法则．
5.【答案】
【解析】解：，，
是的中位线，
，，
∽，
故B、、D正确；
∽，
，
，
故A错误．
故选：．
由三角形中位线定理，推出，，得到∽，由相似三角形的性质得到．
本题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握以上知识点是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：反比例函数的图象在第二、第四象限，
，
常数和互为相反数，
，
一次函数在平面直角坐标系中的图象在第二、三、四象限，
故选：．
根据反比例函数的性质确定的符号，然后根据一次函数的性质即可得到结论．
本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，熟练掌握反比例函数和一次函数的性质是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：延长交圆于，连接，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
是圆的直径，
，
，
，
的直径长是．
故选：．
延长交圆于，连接，由圆内接四边形的性质得到，求出的度数，应用锐角的正弦即可求出圆的直径长．
本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形，关键是通过作辅助线构造直角三角形，应用锐角的正弦进行计算．
8.【答案】
【解析】解：是关于一元二次方程的一个实数根，
，
，
．
故选：．
先根据一元二次方程的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
9.【答案】
【解析】解：如图，过点作轴于，过点作轴于，
点的坐标是，
，，
，
，且，
，
，
，
，
，
∽，
，
设，，
由勾股定理得：，
，
负值舍，
，
即点到轴的距离是．
故选：．
如图，过点作轴于，过点作轴于根据勾股定理计算，的长，证明∽，可得结论．
本题考查了坐标与图形的性质，三角形相似的性质和判定，勾股定理，作辅助线构建三角形相似是解本题的关键．
10.【答案】
【解析】解：如图，连接、交于点，连接．
，
，
点的运动轨迹在以边长为直径的上，
当点从点运动到点时，点的运动路径长为，
四边形是菱形，
，
，
，
，
的长，
故选：．
如图，连接、交于点，连接首先说明点从点运动到点时，点的运动路径长为，求出圆心角，半径即可解决问题．
本题考查菱形的性质、弧长公式、轨迹等知识，解题的关键是正确寻找点的运动轨迹，属于中考常考题型．
11.【答案】
【解析】解：，
的平方根是．
故答案为：
利用平方根定义计算即可．
此题考查了平方根，熟练掌握平方根的定义是解本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：把代入得，，
即一次函数与轴的交点坐标是．
故答案为：．
把代入求出的值，即可得出答案．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意：一次函数与轴的交点的纵坐标是．
13.【答案】分
【解析】解：该名同学综合成绩为：分，
故答案为：分．
根据加权平均数的定义列式计算即可．
本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．
14.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，
，
，
，
的平分线交直线于点．
，
，
．
故答案为：．
首先利用三角形的内角和定理求出，然后利用平行线的性质求出，最后利用平行线的性质及角平分线的性质即可求解．
此题主要考查了平行线的性质，同时也利用了三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握平行线的性质．
15.【答案】
【解析】解：如图，即为所求．．
故答案为：．
利用平移变换，旋转变换的性质作出图形，可得结论．
本题考查作图平移变换，旋转变换，解题关键是正确作出图形，属于中考常考题型．
16.【答案】
【解析】解：将沿翻折得到，
，，
，，
，
故答案为：；
在上取点，使，
则，
，
：：，
设，，，
则，
点为的中点，
，
在中，由勾股定理得，
，
解得，
，
，
故答案为：．
根据翻折的性质得，再利用四边形内角和为可得答案；
在上取点，使，则，求出的正切值即可．
本题主要考查了矩形的翻折，勾股定理，解直角三角形等知识，通过作辅助线将转化为是解题的关键．
17.【答案】解：，
，
，
，
．
【解析】按照解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为，进行计算即可解答．
本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
18.【答案】证明：在和中，
，
≌，
，
，
．
【解析】由，，，根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，根据等式的性质得，所以．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、等式的性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键．
19.【答案】解：
；
，
解不等式，得，
解不等式，得，
不等式组的解集为：，其中整数有，，，
由题意得：和，
当时，原式．
【解析】根据分式的减法法则、除法法则把原式化简；
解不等式组求出的范围，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．
本题考查的是分式的化简求值、一元一次不等式组的解法，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：设，
把，代入得，
解得，
所以与之间的函数关系式为；
由，解得，
点的坐标为．
【解析】利用正比例函数的定义，设，然后把已知的对应值代入求出即可；
解析式联立成方程组，解方程组即可求得的坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，两条直线相交问题，两条直线的交点就是两条直线解析式组成的方程组的解．
21.【答案】解：抽取的学生人数为：人，
“等”的人数为：人，
将条形统计图补充完整如下：
人，
答：估计本次知识竞赛中测试成绩为“等”和“等”的学生人数之和为人；
画树状图如下：
共有种等可能结果，其中性别相同的同学在同一组的结果有种，
性别相同的同学在同一组的概率为．
【解析】由成绩“等”的人数除以所占百分比得出抽取的学生人数，即可解决问题；
由该校共有参赛学生乘以测试成绩为“等”和“等”的学生人数所占的比例即可；
画树状图，共有种等可能结果，其中性别相同的同学在同一组的结果有种，再由概率公式求解即可．
本题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】解：图形如图所示：
证明：是直径，
，
，
，
，
．
，
，
；
解：，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
．
【解析】根据要求作出图形；
利用等角的余角相等证明即可；
解直角三角形求出，，可得结论．
本题考查作图复杂作图，勾股定理的逆定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
23.【答案】
【解析】解连接，延长，由垂径定理知延长线经过点，
设弧所在圆的半径为米，
由题意得：，，
则，；
由勾股定理得：，
解得：，
即弧所在圆的半径为．
故答案为：；
如图所示，以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，
依题意，，，
设抛物线解析式为，将点代入得，
，
解得：，
抛物线解析式为；
如图所示，依题意，，
则，
，
在中，
，
，
则水面宽度为米；
由可得抛物线解析式为，如图所示，
当水面上涨米时，
即当时，，
解得：，，
水面宽度为米．
连接，延长至点，在中，，代入数据即可求解；
以水面所在直线为轴，的中点为原点，建立平面直角坐标系，依题意，，，设抛物线解析式为，将点代入，待定系数法求解析式即可求解；
根据垂径定理，勾股定理，在中求得，即可得出；由可得抛物线解析式为，当时，解一元二次方程，即可求解．
本题考查二次函数的应用，关键是建立坐标系求出函数解析式．
24.【答案】解：如图，连接，
，，
，
，
；
如图，连接，过点作交于，
，，，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
若，则四边形是矩形，
，
，
，
，，
，
，
四边形表示等腰直角四边形，不符合条件．
若与不垂直，
当时，如图中，此时四边形是等腰直角四边形，
，
，
，
，，
，
此时点在的延长线上，不合题意，舍去；
当时，如图中，此时四边形是等腰直角四边形，
，
，
，
，
，
，
综上所述，满足条件的的长为．
【解析】由勾股定理可求，长；
由“”可证≌，可得，，由等腰直角三角形的性质可求解；
分三种情况讨论，由平行线分线段成比例可求解．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，作出辅助线，画出相应图形，数形结合，注意分类讨论．
25.【答案】解：由题意得：，
解得：，
则抛物线的表达式为：，
即，；
由抛物线的表达式知，其对称轴为，点的坐标为：，
则点，则，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
设点，则点，
则四边形的面积
，
当时，点的坐标为：；
设交于点，设点，点，
由的表达式知，，
当直线垂直平分线段时，则且点是的中点，
，
点的纵横的绝对值相等，
设直线的表达式为，
将点的坐标代入上式得：，则，
即点，
由中点坐标公式得，点的坐标为：，
当时，即，
解得：，
即点的坐标为：或．
【解析】用待定系数法即可求解；
由四边形的面积即可求解；
当直线垂直平分线段时，则且点是的中点，则直线的表达式为，将点的坐标代入上式得：，则，即点，进而求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数的图象和性质、中垂线的性质、面积的计算等，有一定的综合性，难度适中．
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