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2023 年新高一知识点集锦（数学）
第一章 集合与常用逻辑用语
1.1 集合的概念
1.集合的描述：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称为集.
2.集合的三个特性：
（1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样，
都只是描述性地说明.
（2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，
这个集合就是这些对象的总体.
（3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等.
3.集合中元素的三个特性：
（1）确定性：对于给定的集合，它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准（不能是模棱两可的）判断
给定的元素，或者在这个集合里，或者不在这个集合里，二者必居其一.
（2）互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的.
（3）无序性：集合中的元素排列无先后顺序，任意调换集合中的元素位置，集合不变.
4.集合的符号表示
通常用大写的字母 A， B，C，…表示集合，用小写的字母 a，b， c表示集合中的元素.
5.集合的相等
当两个集合的元素是一样时，就说这两个集合相等.集合 A与集合 B相等记作 A B .
6.元素与集合之间的关系
（1）属于：如果a是集合 A中的元素，就说a属于集合 A，记作a A，读作a属于 A .
（2）不属于:如果a不是集合 A中的元素，就说a不属于集合 A，记作 a A，读作a不属于 A .
7.集合的分类
（1）有限集：含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程 x2 1的实数根组成的集合.
（2）无限集：含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式 x 1 0的解组成的集合.
8.常用数集及其记法
（1）正整数集：全体正整数组成的集合叫做正整数集，记作 N *或 N .
（2）自然数集：全体非负整数组成的集合叫做自然数集，记作 N .
（3）整数集：全体整数组成的集合叫做整数集，记作 Z .
（4）有理数集：全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q .
（5）实数集：全体实数组成的集合叫做实数集，记作 R .
9.集合表示的方法
（1）自然语言：用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合，所有实数组成的集合.例如，
三角形的集合.
（2）列举法：把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来
并用逗号隔开，然后用花括号括起来.例如，我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋，
大西洋，印度洋，北冰洋}，把“方程 (x 1)(x 2) 0的所有实数根”组成的集合表示为{1, 2} .
（3）描述法：通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{x p(x)}，其中 x
是集合中的元素代表， p(x)则表示集合中的元素所具有的共同特征.
例如，不等式 x 7 3的解集可以表示为
{x R x 7 3} {x R x 10} .
1.2 集合间的基本关系
1. 子集
一般地，对于两个集合 A , B ,如果集合 A中任意一个元素都是集合 B中的元素，我们就说这两个集合有包
含关系，称集合 A为集合 B的子集，记为
A B或（ B A）
读作集合 A包含于集合B（或集合B包含集合 A）.
集合 A是集合B的子集可用Venn图表示如下：
或
关于子集有下面的两个性质：
（1）反身性： A A；
（2）传递性：如果 A B，且 B C，那么 A C .
2.真子集
如果集合 A B，但存在元素 x B，且 x A，我们称集合 A
是集合B的真子集，记为
A B（或 B A），
读作集合 A真包含于集合 B（或集合 B真包含集合 A）.
集合 A是集合B的真子集可用Venn图表示如右.
3.集合的相等
如果集合 A B，且B A，此时集合 A与集合 B的元素是
一样的，我们就称集合 A与集合B相等，记为
A B .
集合 A与集合B相等可用Venn图表示如右.
4.空集
我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为 .我们规定空集是任何一个集合的子集，空集是任何一个非空
集合的真子集，即
（1） A（ A是任意一个集合）；
（2） A（ A ）.
1.3 集合的运算
1.并集
自然语言：一般地，由所有属于集合 A或属于集合 B的元素组成的集合，称为集合 A与 B的并集，记作
A B（读作“ A并B”）.
符号语言： A B {x x A,或x B}.
图形语言：
理解： x A或 x B包括三种情况： x A且 x B； x B且 x A； x A且 x B .
并集的性质：
（1） A B B A；
（2） A A A；
（3） A A；
（4） (A B) C A (B C)；
（5） A A B，B A B；
（6） A B B A B .
2.交集
自然语言：一般地，由属于集合 A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为 A与B的交集，记作 A B
（读作“ A交B”）.
符号语言： A B {x x A,且x B} .
图形语言：
理解：当 A与B没有公共元素时，不能说 A与B没有交集，只能说 A与 B的交集是 .
交集的性质：
（1） A B B A；
（2） A A A；
（3） A ；
（4） (A B) C A (B C)；
（5） A B A， A B B；
（6） A B A A B .
3.补集
（1）全集的概念：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全
集，通常记作U .
（2）补集的概念
自然语言：对于一个集合 A，由属于全集U 且不属于集合 A的所有元素组成的集合称为集合 A相对于全集
U 的补集，记为 UA .
符号语言： UA {x x U ,且x A}
图形语言：
补集的性质
（1） A ( UA) ；
（2） A ( UA) U ；
（3） (痧UA) ( UB) U (A B)；
（4） (痧UA) ( UB) U (A B) .
1.4 充分条件与必要条件
1.充分条件与必要条件
一般地，“若 p，则 q”为真命题，是指由 p通过推理可以得出 q .这时，我们就说，由 p可推出 q，记作
p q，
并且说 p是 q的充分条件， q是 p的必要条件.
在生活中， q是 p成立的必要条件也可以说成是: q p（ q表示 q不成立），其实，这与 p q是
等价的.但是，在数学中，我们宁愿采用第一种说法.
如果“若 p，则 q”为假命题，那么由 p推不出 q，记作 p / q .此时，我们就说 p不是 q的充分条件，q
不是 p的必要条件.
2.充要条件
如果“若 p，则 q”和它的逆命题“若 q则 p”均是真命题，即既有 p q，又有 q p就记作
p q .
此时，我们就说 p是 q的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果 p是 q的充要条件，那么 q也是 p的
充要条件.概括地说，如果 p q，那么 p与q互为充要条件.
“ p是 q的充要条件”,也说成“ p等价于 q”或“ q当且仅当 p”等.
1.5 全称量词与存在量词
1.全称量词与存在量词
（1）全称量词
短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“" ”表示.常见的全称量词还有“一
切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等.含有全称量词的命题，叫做全称量词命题.
全称量词命题“对M 中的任意一个 x，有 p(x)成立”可用符号简记为
" x M ， p(x)，
读作“对任意 x属于M ，有 p(x)成立”.
（2）存在量词
短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“$ ”表示.常见的存在量词还有
“有些”，“有一个”，“对某个”，“有的”等.
含有存在量词的命题，叫做存在量词命题.
存在量词命题“存在M 中的元素 x，使 p(x)成立”可用符号简记为
x M ， p(x)，
读作“存在M 中的元素 x，使 p(x)成立”.
2.全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题的否定
全称量词命题：
" x M ， p(x)，
它的否定：
x M ， p(x) .
全称量词命题的否定是存在量词命题.
（2）存在量词命题的否定
存在量词命题：
x M ， p(x)，
它的否定：
" x M ， p(x) .
存在量词命题的否定是全称量词命题.
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
1.比较原理
a b a b 0；
a b a b 0；
a b a b 0 .
2.等式的基本性质
性质 1 如果 a b，那么b a；
性质 2 如果 a b，b c，那么 a c；
性质 3 如果 a b，那么 a c b c；
性质 4 如果 a b，那么 ac bc；
a b
性质 5 如果 a b， c 0，那么 .
c c
3.不等式的基本性质
性质 1 如果 a b，那么b a；如果b a，那么 a b .即
a b b a
性质 2 如果 a b，b c，那么 a c .即
a b，b c a c .
性质 3 如果 a b，那么 a c b c .
由性质 3 可得，
a b c a b ( b) c ( b) a c b .
这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边.
性质 4 如果 a b， c 0，那么 ac bc；如果 a b， c 0，那么 ac bc .
性质 5 如果 a b， c d，那么 a c b d .
性质 6 如果 a b 0， c d 0，那么 ac bd .
n n
性质 7 如果 a b 0，那么 a b （ n N， n 2）.
2.2 基本不等式
1.重要不等式
a ,b R，有
a2 b2 2ab，
当且仅当 a b时，等号成立.
2.基本不等式
如果 a 0，b 0，则
ab a b ，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
a b
叫做正数a，b的算术平均数， ab 叫做正数 a，b的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算
2
术平均数不小于它们的几何平均数.
3.与基本不等式相关的不等式
（1）当a ,b R时，有
ab a b
2
，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
（2）当 a 0，b 0时，有
2
1 1 ab，
a b
当且仅当 a b时，等号成立.
（3）当a ,b R时，有
a b
2
a2 b2
2
，
2
当且仅当 a b时，等号成立.
4.利用基本不等式求最值
已知 x 0， y 0，那么
（1）如果积 xy等于定值 P，那么当 x y时，和 x y有最小值 2 P；
1
（2）如果和 x y等于定值 S，那么当 x y时，积 xy有最大值 S 2 .
4
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式，称为一元二次不等式.
2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
(a 0) 0 0 0
二次函数
y ax 2 bx c
（a 0）的图象
一元二次方程
有两相异实根 有两相等实根
ax 2 bx c 0 无实根
x1, x2 (x1 x2 ) x x
b

a 0 1 2的根 2a
ax2 bx c 0 x x x x x x x b 1或 2 R(a 0)的解集 2a
ax 2 bx c 0 x x
(a 0) 1
x x2
的解集
第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示
1.函数的概念
设 A , B是非空的实数集，如果对于集合 A中的任意一个数 x，按照某种确定的对应关系 f ，在集合 B中
都有唯一确定的的数 y和它对应，那么就称 f : A B为从集合 A到集合 B的一个函数，记作
y f (x) , x A.
其中， x叫做自变量， x的取值范围 A叫做函数的定义域，与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的
集合{ f (x) | x A}叫做函数的值域，显然，值域是集合B的子集.
2.区间：
设a ,b是两个实数，而且 a b，我们规定：
（1）满足不等式 a x b的实数 x的集合叫做闭区间，表示为[a,b]；
（2）满足不等式 a x b的实数 x的集合叫做开区间，表示为 (a,b)；
（3）满足不等式a x b或 a x b的实数 x的集合叫做半开半闭区间，分别表示为：[a,b) , (a,b] .
这里的实数a，b都叫做相应区间的端点.
这些区间的几何表示如下表所示.
定义 名称 符号 数轴表示
{x a x b} 闭 区 间 [a,b]
{x a x b} 开 区 间 (a,b)
{x a x b} 半开半闭区间 [a,b)
{x a x b} 半开半闭区间 (a,b]
（4）实数集 R可以表示为 ( , ) ,“ ”读作“无穷大”，“ ”读作“负无穷大”，“ ”
读作“正无穷大”.
满足 x a， x a， x b， x b的实数 x的集合，用区间分别表示为[a, ) ， (a, )
( ,b]， ( ,b) .
这些区间的几何表示如下表所示.
定义 符号 数轴表示
{x x } ( , )
{x x a} [a, )
{x x a} (a, )
{x x b} ( ,b]
{x x b} ( ,b)
注意：
（1）“ ”是一个趋向符号，表示无限接近，却永远达不到，不是一个数.
（2）以“ ”或“ ”为区间的一端时，这一端点必须用小括号.
3.函数的三要素
（1）定义域；
（2）对应关系；
（3）值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.
4.函数的相等
如果两个函数的定义域和对应关系分别相同，那么就说这两个函数是同一个函数.
5.函数的表示方法
（1）解析法
用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.
解析法是表示函数的一种重要的方法，这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关
系.
（2）图象法
用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.
图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势，从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系.
说明：将自变量的一个值 x0作为横坐标，相应的函数值 f (x0 )作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点
(x0 , f (x0 )) .当自变量取遍函数的定义域 A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的图
形就是函数 y f (x)的图象.函数 y f (x)的图象在 x轴上的射影构成的集合就是函数的定义域，在 y轴
上的射影构成的集合就是函数的值域.
函数的图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点，等等.
（3）列表法
通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如，初中学习过的平方表、立方表都是表示
函数关系的.
6.分段函数
（1）分段函数的概念
有些函数在其定义域内，对于自变量 x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数.
如
x, x 0, x2 , x 0,
（1） f (x) x ， （2） f (x) .
x, x 0
2
x , x 0
说明：①分段函数是一个函数，而不是几个函数.处理分段函数问题时，要先确定自变量的取值在哪个区间，
从而选取相应的对应关系.
②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值
范围.
③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集，分段函数的定义域只能写成一个集合的形式，不能分
开写成几个集合的形式.
④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.
（2）分段函数的图象
分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图
象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分
段函数的图象.
3.2 函数的基本性质
函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性.
1.单调性与最大（小）值
（1）增函数
设函数 f (x)的定义域为 I,区间 D I.如果 x1， x2 D，当 x1 x2时，都有 f (x1) f (x2 ) ,那么就称函
数 f (x)在区间 D上单调递增.
特别地，当函数 f (x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
（2）减函数
设函数 f (x)的定义域为 I，区间 D I.如果 x1， x2 D，当 x1 x2时，都有 f (x1) f (x2 ) ,那么就称函
数 f (x)在区间 D上单调递增.
特别地，当函数 f (x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.
（3）单调性、单调区间、单调函数
如果函数 y f (x)在区间 D上单调递增或单调递减，那么就说函数 y f (x)在区间 D上具有（严格的）
单调性，区间 D叫做 y f (x)的单调区间.
如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.
（4）证明函数 f (x)在区间 D 上单调递增或单调递减，基本步骤如下：
①设值：设 x1, x2 D，且 x1 x2；
②作差： f (x1) f (x2 ) ；
③变形：对 f (x1) f (x2 )变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心 ，要注意变形到底；
④判断符号，得出函数的单调性.
（5）函数的最大值与最小值
①最大值：设函数 y f (x)的定义域为 I，如果存在实数M满足:
（1）对于任意的 x I ，都有 f (x) M ；
（2）存在 x0 I，使得 f (x0 ) M .
那么我们称M是函数 y f (x)的最大值.
②最小值：设函数 y f (x)的定义域为 I，如果存在实数 m满足:
（1）对于任意的 x I ，都有 f (x) m；
（2）存在 x0 I，使得 f (x0 ) m .
那么我们称m 是函数 y f (x)的最小值.
2.奇偶性
（1）偶函数
设函数 f (x)的定义域为 I ，如果 x I ，都有 x I ，且 f ( x) f (x)，那么函数 f (x)就叫做偶函数.
关于偶函数有下面的结论：
①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；
②偶函数的图象关于 y轴对称.反之也成立；
③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.
（2）奇函数
设函数 f (x)的定义域为 I ，如果 x I ，都有 x I ，且 f ( x) f (x)，那么函数 f (x)就叫做奇函
数.
关于奇函数有下面的结论：
①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；
②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；
③如果奇函数当 x 0时有意义，那么 f (0) 0 .即当 x 0有意义时，奇函数的图象过坐标原点；
④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.
3.3 幂函数
1.幂函数的概念
一般地，形如 y x （ R， 为常数）的函数称为幂函数.
1
对于幂函数，我们只研究 1， 2，3， ， 1时的图象与性质.
2
2.五个幂函数的图象和性质
1
y x y x 2 y x3 y x 2 y x
1
定义域 R R R [0,+ ) ( ,0) (0,+ )
值域 R [0,+ ) R [0,+ ) ( ,0) (0,+ )
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
在 ( , 0] 上递减 在 ( , 0），（0, + ) 上
单调性 增函数 增函数 增函数
在 [ 0 , + ) 上递增 递减
定点 (1,1)
3.4 函数的应用（一）
略.
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
1.n 次方根与分数指数幂
（1）方根
如果 xn a，那么 x叫做 a的 n次方根，其中 n 1，且 n N * .
①当 n是奇数时，正数的 n次方根是正数，负数的 n方根是负数.这时， a的 n方根用符号 n a表示.
②当 n是偶数时，正数的 n次方根有两个，这两个数互为相反数.这时，正数 a的正的 n次方根用符号 n a表
示，负的 n次方根用符号 n a 表示. 正的 n次方根与负的 n次方根可以合并写成 n a（ a 0）.
负数没有偶次方根.
0 的任何次方根都是 0，记作 n 0 0 .
式子 n a叫做根式，这里 n叫做根指数， a叫做被开方数.
关于根式有下面两个等式：
( n a)n a；
n a, n为奇数an .
a ,n为偶数.
2.分数指数幂
（1）正分数指数幂
m
a n n am （ a 0，m， n N *， n 1）.
0的正分数指数幂等于 0 .
（2）负分数指数幂
m
a n 1 1 m = （ a 0，m， n N *， n 1）.
a n n am
0的负分数指数幂没有意义.
（3）有理数指数幂的运算性质
r s r s
①a a a （ a 0， r， s Q）；
(ar )s ars② （ a 0， r， s Q）；
(ab)r ar③ br （ a 0，b 0， r Q）.
3. 无理数指数幂及其运算性质
（1）无理数指数幂的概念
x ax当 是无理数时， 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当 x的不足近似值
m n x am an ax x和过剩近似值 逐渐逼近 时， 和 都趋向于同一个数，这个数就是 .所以无理数指数幂 a
（ a 0， x是无理数）是一个确定的数.
（2）实数指数幂的运算性质
整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 r， s，均有下面的运算性质.
r
① a as ar s（ a 0， r， s R）；
② (ar )s ars（ a 0， r， s R）；
r r r
③ (ab) a b （ a 0，b 0， r R）.
4.2 指数函数
1.指数函数的概念
函数 y a x（ a 0，且 a 1）叫做指数函数，其中指数 x是自变量，定义域是 R .
2.指数函数的图象和性质
x
一般地，指数函数 y a （ a 0，且 a 1）的图象和性质如下表所示：
0 a 1 a 1
图 象
定义域 R
值 域 (0, )
（1）过定点 (0,1)，即 x 0时， y 1
性 质
（2）在 R上是减函数 （2）在 R上是增函数
4.3 对数
1.对数的概念
x
一般地，如果 a N (a 0,a 1)，那么数 x叫做以a为底 N 的对数，记作
x loga N .
其中 a叫做对数的底数， N 叫做真数.
当 a 0，且 a 1 x时， a N x logaN .
2. 两个重要的对数
（1）常用对数：以 10 为底的对数叫做常用对数，并把 log10 N记为 lg N .
（2）自然对数：以 e（ e是无理数， e 2.71828…）为底的对数叫做自然对数，并把 loge N记作 ln N .
3. 关于对数的几个结论
（1）负数和 0 没有对数；
（2） loga1 0；
（3） loga a 1 .
4. 对数的运算
如果 a 0，且 a 1，M 0，N 0，那么
（1） loga (MN) loga M loga N ；
（2） log Ma N loga M loga N ；
（3） log na M n loga M （ n R）.
5. 换底公式
log b logc ba log a （ a 0，且 a 1，b 0， c 0， c 1）.c
4.4 对数函数
1. 对数函数的概念
一般地，函数 y loga x（ a 0，且 a 1）叫做对数函数，其中 x是自变量，定义域是 (0, ) .
2.对数函数的图象和性质
0 a 1 a 1
图
象
定
义 (0, )
域
值
R
域
（1）过定点 (1,0)，即当 x 1时， y 0 .
性
质
（2）增函数 （2）减函数
3. 反函数
指数函数 y a x（ a 0，且 a 1）与对数函数 y loga x（ a 0，且 a 1）互为反函数，它们的定义
域与值域正好互换.
互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x对称.
4. 不同函数增长的差异
x
对于对数函数 y loga x（a 1）、一次函数 y kx（ k 0）、指数函数 y b （b 1）来说，尽管它们
在 (0, )上都是增函数，但是随着 x的增大，它们增长的速度是不相同的.其中对数函数 y loga x（ a 1）
x
的增长速度越来越慢；一次函数 y kx（ k 0）增长的速度始终不变；指数函数 y b （b 1）增长的
速度越来越快.总之来说，不管 a（ a 1）， k（ k 0），b（b 1 x）的大小关系如何， y b （b 1）
的增长速度最终都会大大超过 y kx（ k 0）的增长速度； y kx（ k 0）的增长速度最终都会大大超
过 y loga x（ a 1）的增长速度.因此，总会存在一个 x0，当 x x0时，恒有
bx kx loga x .
4.5 函数的应用（二）
1. 函数的零点与方程的解
（1）函数零点的概念
对于函数 y f (x)，我们把使 f (x) 0的实数 x叫做函数 y f (x)的零点.
函数 y f (x)的零点就是方程 f (x) 0的实数解，也是函数 y f (x)的图象与 x轴的公共点的横坐标.所
以
方程 f (x) 0有实数解
函数 y f (x)有零点
函数 y f (x)的图象与 x轴有公共点.
（2）函数零点存在定理
如果函数 y f (x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)
在区间 (a,b)内至少有一个零点，即存在 c (a,b)，使得 f (c) 0，这个 c也就是方程 f (x) 0的解.
2. 用二分法求方程的近似解
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 f (a) f (b) 0的函数 y f (x)，通过不断地把它的零点所在区间一分
为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
给定精确度 ，用二分法求函数 y f (x)零点 x0的近似值的一般步骤如下：
（1）确定零点 x0的初始区间[a,b]，验证 f (a) f (b) 0 .
（2）求区间 (a,b)的中点 c .
（3）计算 f (c)，并进一步确定零点所在的区间：
①若 f (c) 0（此时 x0 c），则 c就是函数的零点；
②若 f (a) f (c) 0（此时 x0 (a,c)），则令b c；
③若 f (c) f (b) 0（此时 x0 (c,b)），则令 a c .
（4）判断是否达到精确度 ：若 a b ，则得到零点的近似值 a（或b）；否则重复步骤（2）~（4）.
由函数零点与相应方程解的关系，我们可以用二分法来求方程的近似解.
3. 函数模型的应用
用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况（是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”）；根据增长
情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；通过运算、推理、求解函数模型；用得到
的函数模型描述实际问题的变化规律，解决有关问题.在这一过程中，往往需要利用信息技术帮助画图、运
算等.
第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
1.任意角
（1）角的概念
角可以看成平面内一条射线绕着端点从
一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
射线的端点叫做角的顶点，射线在起始
位置和终止位置分别叫做角的始边和终边.
（2）正角、负角、零角
按逆时针方向旋转所成的角叫正角；
按顺时针方向旋转所成的角叫负角；
一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角.
这样，我们就把角的概念推广到了任意角.
（3）象限角
当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与 x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就
说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上，这时这个角不属于任何象限.
（4）终边相同的角
所有与角 终边相同的角，连同角 在内，可构成一个集合
S | k 360 ,k Z
即任一与角 终边相同的角，都可以表示成角 与整数个周角的和.
终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同；
终边相同的角有无数多个，它们相差360 的整数倍；
象限角的表示：
第一象限角的集合
| k 360 90 k 360 ,k Z
第二象限角的集合
| 90 k 360 180 k 360 ,k Z
第三象限角的集合
|180 k 360 270 k 360 ,k Z
第四象限角的集合
| 270 k 360 360 k 360 ,k Z
终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要，它们的表示如下表.
位 置 表 示
终边在 x轴非负半轴 { k 360 ,k Z}
终边在 x轴非正半轴 { 180 +k 360 ,k Z}
终边在 x轴 { k 180 ,k Z}
终边在 y 轴非负半轴 { 90 +k 360 ,k Z}
终边在 y 轴非正半轴 { 270 +k 360 ,k Z}
终边在 y 轴 { 90 k 180 ,k Z}
终边在坐标轴 { k 90 ,k Z}
2. 弧度制
（1）弧度的概念
长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角.
在半径为 r的圆中，弧长为 l的弧所对的圆心角为 rad ，那么
lr .
正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0.
（2）弧度与角度的换算
（3）关于扇形的几个公式
设扇形的圆心角为 （ rad ），半径为 R，弧长为 l，则有
① l R 1； ② S R2； ③ S 1 lR .
2 2
5.2 三角函数的概念
1. 三角函数的概念
（1）三角函数的定义
一般地，任意给定一个角 R，它的终边OP
与单位圆相交于点 P(x, y) .
把点 P的纵坐标 y叫做 的正弦函数，记作
sin ，即
y sin ；
把点 P的横坐标 x叫做 的余弦函数，记作
cos ，即
x cos ；
把点 P y的纵坐标与横坐标的比值 叫做 的正切函数，记作
x tan
，即
y
tan （ x 0）.x
正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：
正弦函数 y sin ， x R；
余弦函数 y cos ， x R；

正切函数 y tan ， x k （ k Z ）.
2
设 是一个任意角，它的终边上任意一点 P（不与原点
2 2
重合）的坐标为 (x, y)，点 P与原点的距离为 r x y .
可以证明：
sin y ；
r
cos x ；r
tan y .x
（2）几个特殊角的三角函数值
0 3 ， ， ， 的三角函数值如下表所示：
2 2
3
0
函 数 2 2
sin 0 1 0 1
cos 1 0 1 0
tan 0 不存在 0 不存在
（3）三角函数值的符号
（4）诱导公式（一）
终边相同的角的同一三角函数值相等.
sin( k 2 ) sin ，
cos( k 2 ) cos ，
tan( k 2 ) tan ，
其中 k Z .
2. 同角三角函数间的基本关系
（1）平方关系
sin2 cos2 1 .
（2）商数关系
tan sin cos .
作用：
（1）已知 的某一个三角函数值，求其余的两个三角函数值；
（2）化简三角函数式；
（3）证明三角函数恒等式.
5.3 诱导公式
1. 公式二
sin( ) sin ，
cos( ) cos ，
tan( ) tan .
2. 公式三
sin( ) sin ，
cos( ) cos ，
tan( ) tan .
3. 公式四
sin( ) sin ，
cos( ) cos ，
tan( ) tan .
小结：
（1） k 2 （ k Z ）， ， ， 的三角函数，等于 的同名函数，前面加上把 看成锐
角时原三角函数值的符号.
（2）利用公式一 公式四，可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，一般可按下面步骤进行：
4. 公式五
sin( ) cos ，
2
cos( ) sin .
2
5. 公式六
sin( ) cos ，
2
cos( ) sin .
2
小结：
， 的正弦（余弦），等于 的余弦（正弦），前面加上把 看成锐角时原三角函数值的符号.
2 2
5.4 三角函数的图象与性质
1.正弦函数、余弦函数的图象
（1）正弦函数 y sin x的图象.
①画点T (x0 ,sin x0 )
在直角坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆， O与 x轴正半轴的交点为 A(1,0) .在单位圆上，将点 A绕
着点O旋转 x0弧度至点 B，根据正弦函数的定义，点 B的纵坐标 y0 sin x0 .由此，以 x0为横坐标， y0为
纵坐标画点，即得到函数图象上的点T (x0 ,sin x0 ) .
② 画 y = sin x（ x [0,2 ]）的图象
把 x轴上从0 2 到 这一段分成12等份，使 x0的值分别为0， ， ， ，…，2 ，它们所对应的角的6 3 2
终边与单位圆的交点将圆周12等份，再按上述画点T (x0 ,sin x0 )的方法，就可画出自变量取这些值时对应
的函数图象上的点.然后将这些点用光滑的曲线连接起来，即得 y = sin x（ x [0,2 ]）的图象.
③ y = sin x（ x R）的图象
由诱导公式一可知，函数 y = sin x， x [2kp , 2(k +1)p )， k Z 且 k 0的图象，与函数 y = sin x，
x [0,2p )的图象形状完全一样.因此将函数 y = sin x， x [0,2p )的图象不断向左、向右平行移动（每次
2p 个单位长度），就可以得到正弦函数 y = sin x， x R的图象（如下图）.
正弦函数的图象叫做正弦曲线.
④五点作图法
在函数 y sin x， x [0,2 ]的图象上，有以下五个关键点：
(0,0)， ( ,1)， ( ,0)， (3 , 1)， (2 ,0) .
2 2
画出这五个关键点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，可得到正弦函数的简图.这种作图的方法称为”五
点作图法”.
（2）余弦函数的图象
因为 y cos x sin(x )，所以可将正弦函数 y sin x， x R 的图象向左平移 个单位长度即得余弦
2 2
函数 y cos x， x R的图象.
余弦函数 y cos x， x R的图象叫做余弦曲线.
余弦函数 y cos x，x [ , ] 的图象上五个关键点是：( , 1)，( , 0)，(0,1)，( , 0)，( , 1) .
2 2
2. 正弦函数、余弦函数的性质
（1）周期性
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有
f (x T ) f (x)，
那么函数 f (x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
如果在周期函数 f (x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f (x)的最小正周期.
正弦函数是周期函数， 2k （ k Z 且 k 0）都是它的周期，最小正周期是 2 .
余弦函数也是周期函数， 2k （ k Z 且 k 0）都是它的周期，最小正周期是 2 .
（2） 奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
（3）单调性

正弦函数 y = sin x， x R在每一个闭区间[ 2k ， 2k ]（ k Z ）上都单调递增，其值从 1增
2 2
3
大到1；在每一个闭区间[ 2k ， 2k ]（ k Z ）上都单调递减，其值从1减小到 1.
2 2
余弦函数 y cos x，x R在每一个闭区间[ 2k , 2k ]（ k Z ）上都单调递增，其值从 1增大到1；
在每一个闭区间[2k , 2k ]（ k Z ）上都单调递减，其值从1减小到 1.
（4）最大值与最小值
正弦函数当且仅当 x 2k （ k 3 Z ）时取得最大值1，当且仅当 x 2k （ k Z ）时取得最小
2 2
值 1 .
余弦函数当且仅当 x 2k （ k Z ）时取得最大值1，当且仅当 x 2k （ k Z ）时取得最小值 1.
3.正切函数的图象
正切函数的图象叫做正切曲线.
4.正切函数的性质
（1）定义域
正切函数的定义域为{x x 2 k ,k Z}
（2）周期性
正切函数是周期函数，最小正周期是 .
（3）奇偶性
正切函数是奇函数.
（4）单调性

正切函数在每一个开区间 ( k , 2 2 k ) （ k Z ）上都单调递增.
（5）值域
正切函数的值域是实数集R .
5.5 三角恒等变换
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）和角公式
sin( ) sin cos cos sin （ S( )），
cos( ) cos cos sin sin （C( )），
tan( ) tan tan （T ）.
1 tan tan ( )
（2）差角公式
sin( ) sin cos cos sin （ S ），
( )
cos( ) cos cos sin sin （C ），
( )
tan( ) tan tan （T
1 tan tan ( )
）.
2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2 2sin cos （ S2 ），
cos2 cos2 sin2
1 2sin2
2cos2 1（C2 ），
tan 2 2 tan 2 （T1 tan 2
）
3. 降幂公式
sin2 1 cos 2 ，
2
cos2 1 cos 2 ，
2
sin cos 1 sin 2 .
2
4. 半角公式
sin 1 cos ，
2 2
cos 1 cos ，
2 2
tan 1 cos .
2 1 cos

其中，符号由 所在象限决定.
2
5. 辅助角公式
asin x bcos x a2 b2 sin(x )，
其中
cos a ，
a2 b2
sin b .
a2 b2
叫做辅助角， 的终边过点P(a,b) .
5.6 函数 y Asin( x )
1. y Asin( x )（ A 0， 0）的图象
（1）变换法作 y Asin( x )（ A 0， 0）的图象
y Asin( x )（ A 0， 0）的图象，可以用下面的方法得到：
①画出函数 y sin x的图象；
②把 y sin x的图象向左（ 0）或向右（ 0）平移 个单位长度，得到函数 y sin(x )的图象；
1
③把 y sin(x )图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），得到函数 y sin( x )的图象；

④把 y sin( x )图象上各点的纵坐标变为原来的 A倍（横坐标不变），得到函数 y Asin( x )的
图象.
（2）“五点作图法”作 y Asin( x )（ A 0， 0）的图象

例题：用“五点作图法”画函数 y 2sin(3x )在一个周期内的图象.
6
X 1 解：令 3x ，则 x (X ) .
6 3 6
①列表：

X 0
3
2
2 2
x 2 7 5 13
18 9 18 9 18
y 0 2 0 2 0
( ,0) (2 , 2) (7 ②描点： ， ， , 0) 5 13 ，( , 2)，( ,0) .
18 9 18 9 18
③连线：用光滑的曲线把上面的五个点连接起来，即得函数
y 2sin(3x )在一个周期内的简图.
6
2. y Asin( x )（ A 0， 0）的性质
（1）周期性
y Asin( x ) 2 是周期函数，最小正周期为T .

（2）奇偶性

当 k （ k Z ）时， y Asin( x )是奇函数；当 k （ k Z ）时 y Asin( x )是
2
k k Z 偶函数；当 （ ）且 k （ k Z ）时， y Asin( x )既不是奇函数也不是偶函
2
数.
（3）单调性
[ 2k
2k ] [ 2k 3 2k 在每一个区间 2 ，2 （ k Z ）上都单调递增；在每一个区间 2 2 ， ]
（ k Z ）上都单调递减.
（4）最大值与最小值
2k 3 2k
当 x 2 （ k Z ）时取得最大值 A；当 x
2
（ k Z ）时取得最小值 A .
（5）对称轴
k
x 2 （ k Z ）.
（6）对称中心
(k ,0)（ k Z ）.
5.7 三角函数的应用
在物理中， y Asin( x )（ A 0， 0， x [0, )）可以表示一个简谐运动.
A是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
T 2 是这个简谐运动的周期，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需的时间；

f 1 是这个简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
T 2
x 称为相位； x 0时的相位 称为初相.

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