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第六章 计数原理
第一步：单元学习目标整合
两个计数原理 （1）理解分类计数原理、分步计数原理及其意义. （2）会利用两个原理分析和解决一些简单的实际应用问题.
排列与组合 （1）理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. （2）能运用排列组合解决实际应用问题.
二项式定理 （1）能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. （2）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. （3）掌握二项式系数的性质及其应用，掌握“赋值法”并会灵活运用.
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重难知识
1.排列与排列数
（1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
（2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.
2.组合与组合数
（1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
（2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.
3.二项式定理
公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项.
4.二项展开式形式上的特点
（1）项数为.
（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.
（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.
（4）二项式系数为.
6.二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.
（2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和.
（3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即.
典型例题
1.某校高一年级有四个班，四位老师各教一个班的数学在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的安排监考的方法种数为( )
A.8 B.9 C.12 D.24
2.若一个三位正整数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”，现从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中“伞数”共有( )个.
A.60 B. C.20 D.
3.的展开式中的系数是( )
A. -35 B. 0 C. 35 D. 70
4.2022年9月3日贵阳市新冠疫情暴发以来，某住宿制中学为做好疫情防控工作，组织6名教师组成志愿者小组，分配到高中三个年级教学楼楼门口配合医生给学生做核酸.由于高三年级学生人数较多，要求高三教学楼志愿者人数均不少于另外两栋教学楼志愿者人数，若每栋教学楼门至少分配1名志愿者，每名志愿者只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为( )
A.240 B.150 C.690 D.180
5.在二项式的展开式中，各项的系数之和为512，则展开式中常数项的值为___________.
6.如图，节日花坛中有5个区域，现有4种不同颜色的花卉可供选择，要求相同颜色的花不能相邻栽种，则符合条件的种植方案有_____________种.
答案以及解析
1.答案：B
解析：设四个班分别是A、B、C、D，对应的数学老师分别是a、b、c、d.
让a老师先选，可从B、C、D班中选一个，有3种选法，
不妨假设a老师选的是B，则b老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法，剩下的两位老师都只有1种选法.
由分步乘法计数原理，知共有种不同的安排方法.故选B.
2.答案：C
解析：由题意得：十位数只能是3，4，5，
当十位数是3时，个位和百位只能是1，2，“伞数”共有个；
当十位数是4时，个位和百位只能是1，2，3，“伞数”共有个；
当十位数是5时，个位和百位只能是1，2，3，4，“伞数”共有个；
所以“伞数”共有20个，故选C.
3.答案：C
解析：的展开式的通项为，
其中项的系数为，项的系数为，
则的展开式中的系数为.故选C.
4.答案：A
解析：第一种：当高三的志愿者有3人时，其他两个年级有1个年级1人，有1个年级2人，则有种；第二种：当高三的志愿者有2人时，其他两个年级也分别有2人，则有种；第三种：当高三的志愿者有4人时，其他两个年级分别有1人，则有种，所以不同的分配方法有：种，故选A.
5.答案：135
解析：因为二项式的展开式中，各项的系数之和为512，所以令，得，解得.又因为的展开式的通项公式为，令，解得，所以展开式中常数项为.故答案为135.
6.答案：72
解析：如图，假设5个区域分别为1，2，3，4，5，
分2种情况讨论：①当选用3种颜色的花卉时，2，4同色且3，5同色，共有种植方案（种），②当4种不同颜色的花卉全选时，即2，4或3，5用同一种颜色，共有种植方案（种），则不同的种植方案共有（种）.
第四步：单元核心素养对接高考
核心素养
两个基本计数原理及排列与组合的综合应用有时单独考查，一般以小题的形式呈现；但更多地与概率知识相结合考查，此时，小题形式、解答题形式均有出现.题目主要以实际问题为背景，重点考查考生分析问题与解决问题的能力及逻辑推理素养.
二项式定理是高考常考内容，主要考查二项展开式的通项、二项式系数、二项展开式中项的系数等，难度为中低档，命题形式单一.主要以选择题、填空题的形式呈现，考查运算能力.
真题对接
1.【2022年 新高考Ⅰ卷，13】的展开式中的系数为________（用数字作答）.
2.【2020年 新高考Ⅱ卷，4】要安排3名学生到2个乡村做志愿者,每名学生只能选择去一个村,每个村里至少有一名志愿者,则不同的安排方法共有( )
A.2种 B.3种 C.6种 D.8种
3.【2020年 新高考Ⅰ卷，3】6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A.120种 B.90种 C.60种 D.30种
答案及解析
1.答案：-28
解析：展开式的通项，.令，得，令，得，所以的展开式中的系数为.
2.答案：C
解析：方法共有种.故选C.
3.答案：C
解析：第一步：安排甲场馆的志愿者，则甲场馆的安排方法有种，第二步：安排乙场馆的志愿者，则乙场馆的安排方法有种，第三步：安排丙场馆的志愿者，则丙场馆的安排方法有种.所以共有种不同的安排方法.故选C.

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