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第六章 平面向量及其应用
第一步：单元学习目标整合
1.平面向量的概念 （1）了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. （2）理解平面向量的几何表示和基本要素.
2.平面向量的运算 （1）掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义. （2）掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义，理解两个平面向量共线的含义. （3）了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
3.平面向量的数量积 （1）理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积. （2）了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义. （3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
4.平面向量的基本定理及坐标运算 （1）理解平面向量的基本定理及其意义. （2）掌握平面向量的正交分解及坐标表示. （3）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算. （4）能用坐标表示平面向量的数量积，会表示两个平面向量的夹角. （5）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件.
5.解三角形 （1）掌握余弦定理、正弦定理. （2）能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.
第二步：单元思维导图回顾知识
第三步：单元重难知识易混易错
重难知识
1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则.
三角形法则 如图，已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做a与b的和，记作，即.
平行四边形法则 已知两个不共线向量a，b，作，，以，为邻边作，则对角线上的向量.
2.对于零向量与任意向量a，有.
3.向量加法的运算律：
交换律：；
结合律：.
4.向量形式的三角不等式：，当且仅当方向相同时等号成立.
5.相反向量：
①定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量.
②性质：零向量的相反向量仍是零向量；
和互为相反向量，于是；
若互为相反向量，则，，.
6.向量数乘的定义：规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.当或时，.
7.向量数乘的运算律：设为任意实数，则有：
①；
②；
③.
特别地，有；.
8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量，以及任意实数，恒有.
9.向量共线（平行）定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.
10.平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使.
11.基底：若不共线，则把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
12.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
13.平面向量的坐标运算：
设向量，则有下表：
运算 文字描述 符号表示
加法 两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和
减法 两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差
数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标
向量坐标公式 一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 已知， 则
14.平面向量共线的坐标表示
（1）设，其中共线的充要条件是存在实数，使.
（2）如果用坐标表示，向量共线的充要条件是.
15.向量的夹角：已知两个非零向量，如图，是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.记作.
当时，向量同向；当时，向量垂直，记作；当时，向量反向.
16.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.
17.投影向量：如图，设是两个非零向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，这种变换称为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
18.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是是与方向相同的单位向量，则
（1）；
（2）；
（3）当与同向时，；当与反向时，，特别地，或；
（4）由可得，；
（5）
19.向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘结合律：；
（3）分配律：.
20.平面向量数量积的坐标表示：设向量，则.
这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
21.向量模的坐标表示：
（1）若向量，则；
（2）若点，向量，则.
由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.
22.向量夹角的坐标表示：设都是非零向量，，是与的夹角，则.
23.向量垂直的坐标表示：设向量，则.
24.正弦定理：在中，角的对边分别为，则.在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.
25.正弦定理的常见变形：
（1）（边角互化）.
（2）.其中，为外接圆的半径.
（3）（边化角）.
（4）（角化边）.
26.余弦定理：在中，角的对边分别为，则
，，.
三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
27.余弦定理的推论：，，.
28.三角形的面积公式
（1）（为外接圆的半径）.
（2），其中为的一边长，而为该边上的高的长.
（3），其中分别为的内切圆半径及的周长.
（4）海伦公式：，其中.
典型例题
1.若非零向量与满足，且，则为( ).
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形
2.已知在中，，，，动点M位于线段BC上，则的最小值为( )
A.0 B. C. D.
3.（多选）已知向量，，则( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则a与b的夹角为
4.已知向量，. 若， 则 ________.
5.在中，，.设，且，则当取最小值时，_________.
6.记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b.
答案及解析
1.答案：D
解析：由，知，
中，的平分线与边BC垂直，.
又，.
，，为等边三角形，故选D.
2.答案：C
解析：在中，易知，所以，且，所以，所以当时，有最小值为.故选C.
3.答案：BC
解析：A项，若，则，即，故A项错误；B项，若，则，即，，故B项正确；C项，若，则，所以，故C项正确；D项，，则，，，
，所以a与b的夹角不是，故D项错误.
4.答案：-2
解析：因为向量，，，
所以，解得.
5.答案：7
解析：由已知，得点D是AC的中点.设，则由知.以C为原点，分别以CB，CA所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图，
则，，，，所以直线BD的方程为.易知点P在直线BD上运动.设，则，，
，所以，所以.故当时，取得最小值，此时，则，.由，得.
6.解析：（1）由，得，
即，
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则的面积.
（2）由，及正弦定理知
，
即，得.
第四步：单元核心素养对接高考
核心素养：
平面向量的概念及运算、平面向量基本定理及坐标运算，在高考中的考查突出向量的基本运算与工具性，命题重点为平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及平面向量共线的坐标表示，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度较低，要注重掌握向量的数与形的特征，同时要掌握用坐标法解决向量问题.
平面向量的数量积及应用是高考命题的热点，每年必考，主要考查平面向量的数量积运算，模、夹角问题的求解，平行或垂直问题的求解，有时也会与平面几何、三角函数、不等式、解析几何等内容综合考查，主要以选择题或填空题的形式出现，难度中等偏下，要掌握运用数形结合思想和函数与方程思想解决有关最值等综合问题.
解三角形是高考的重点和热点，主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，有时也与三角恒等变换、立体几何等进行综合命题，加强解三角形与其他章节知识的综合训练以及解三角形在生活、生产实践中的应用，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度属于中低档.
真题对接
1.【2022年 新高考Ⅱ卷，4】已知向量，，，若，则( )
A.-6 B.-5 C.5 D.6
2.【2022年 新高考Ⅰ卷，3】在中，点D在边AB上，，记，，则( )
A. B. C. D.
3.【2022年 新高考Ⅱ卷，15】已知向量，，，则____________.
4.【2022年 新高考Ⅰ卷，18】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）若，求B；
（2）求的最小值.
5.【2022年 新高考Ⅱ卷，18】记的三个内角分别为A，B，C，其对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，.
（1）求的面积；
（2）若，求b.
答案及解析
1.答案：C
解析：由题意，得，所以，.因为，所以，即，即，解得，故选C.
2.答案：B
解析：通解：因为，所以，所以.故选B.
光速解（作图法）：如图，利用平行四边形法则，合成出向量，由图易知（即向量m）的系数为负数，排除A，C，D，故选B.
3.答案：
解析：由，得，所以，所以，解得.由，得，所以，所以，解得.同理可得，所以.
4.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，所以.
（2）由（1）得，
所以，且，
所以，，
所以，解得，
由正弦定理得
，
当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
5.答案：（1）
（2）
解析：（1）由，得，即，
又，所以.
由，得或（舍去），
所以，
则的面积.
（2）由，及正弦定理知，
即，得.

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