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课件133张PPT。人教版义务教育教科书数学九年级上册介绍新中国教育出版事业从这里开始……人教版课标教材培训专家
湖北省襄阳市教研室 吴明龙《数学》九年级上册（一）内容安排
（二）编写时考虑的几个问题
（三）对教学的几个建议分章介绍第二十一章 一元二次方程21．1 一元二次方程 1课时
21．2 降次——解一元二次方程 7课时
21．3 实际问题与一元二次方程 3课时
数学活动
小结 2课时
（一）内容安排从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
二元、三元一次方程组可看成是对一元一次方程在“元”上的推广，一元二次方程是在次数上的推广。类比二（三）元一次方程组的解法，研究将“二次”降为“一次”的方法，是本章学习的另一条主线。
教科书着重介绍配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定在解数字系数的一元二次方程。
（一）内容安排（一）内容安排降次是解一元二次方程的基本策略，即通过配方、因式分解等，将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。根据平方根的意义，可得方程x2=p和(x+n)2=p的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公式，是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的．如能将ax2+bx+c分解为两个一次因式之积，则可令每个因式为0来解．（一）内容安排三种解法的地位：
配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根．因式分解法是解某些方程的简便方法。
配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法．
在推导求根公式的过程，体现了从特殊到一般的思想；求解方程的过程是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想。这个过程对培养推理能力、运算能力等都很有作用。（一）内容安排《课程标准（2011年版）》重新强调了一元二次方程根的判别式和韦达定理的重要性，要求能“用判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化。除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外，第三节安排三个“探究”，让学生建立一元二次方程模型解决实际问题，再一次经历如下过程：（一）内容安排（二）编写时考虑的几个问题1．注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识
利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，建立一元二次方程模型，引出本章内容；
通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示；安排“实际问题与一元二次方程”，使学生完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。
目的：使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要；体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识。2．重视联系性、逻辑性，突出基本策略采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，从方程x2=p出发，经不断推广而得到一般的ax2+bx+c=0；利用“配方法”，把“新方程”化归为已解决的形式而得解：
根据平方根的意义，通过直接开平方而得到方程x2=25的解，再推广到求方程x2=p的解，引导学生对p＞0，p＝0和p＜0三种情况进行详细讨论；然后，分析变式(x+3)2=5的解决过程，归纳出“把一个一元二次方程‘降次’，转化为两个一元一次方程”的思路，再给出(x+3)2=5的等价形式x2+6x+4=0，并用框图表示将x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的过程，最后归纳出“配方法”，并讨论通过配方将方程转化为(x+n)2=m的形式后的解，让学生再次经历分类讨论过程。再通过“探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？”让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经验，自主推导出求根公式。
上述过程，让学生反复经历了“具体——抽象”、“配方——分类讨论”的过程，不仅获得了求根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形式的一元二次方程的配方，分类讨论。
通过具体方程10x－4.9x2=0，得出针对某些方程的简便解法——因式分解法。
最后进行根与系数关系的研究。3．注重“四能”培养因为学生已经具备研究一元二次方程的概念、解法的知识基础，只要他们能把这些知识调动起来、应用到研究中去，他们就能独立地发现解法，所以教科书注重通过栏目和“边空设问”等方式启发学生的思维，为他们提供独立探究的机会。例 一元二次方程解法的探索教科书在讨论了“方程x2=p的解”以后，循序渐进地安排了如下栏目：在上述两个“探究”的基础上，得出：接着提出推导求根公式的任务：再通过实际问题得到：
上述过程中，教科书通过“一般化”、“推广”、“特殊化”等，引导学生不断地发现问题、解决问题。（三）对教学的几个建议1．为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程，可以按如下线索安排
实际背景引入→从已有经验中总结解方程的一般思想方法（化归为一元一次方程）→类比二元一次方程组的“消元”，得到解一元二次方程的思路“降次”→从简单、特殊的一元二次方程（如x2=25，x2=p；(x+3)2=5，x2+6x+4=0，(x+n)2=p等）探索“降次”的方法（直接开平方、配方法）→用配方法推导求根公式（公式法）→针对特殊一元二方程的特殊解法（因式分解法）。要让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，避免不同解法之间的割裂。方程x2=p的解具有奠基作用，特别是对p的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，所以一定要认真处理好；推广的方程(x+3)2=5与x2+6x+4=0是获得配方法的载体；配方法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。
获得一元二次方程解法的教学中，应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。2．注重模型思想、应用意识的培养让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，把模型思想、应用意识的培养落在实处。
用数学解决实际问题的难点在于数量关系的分析和数学模型的选择。教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程。要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等。3．注意控制教学要求学习韦达定理的目的在于使学生更深入地体会根与系数的确定关系，更全面地认识一元二次方程。
针对判别式、韦达定理等的形式化训练，对锻炼学生的思维有一定好处，但复杂的代数变形对提高学生的数学能力（特别是数学建模能力）没有多大帮助。因此，要注意把握好这些教学要求，控制好形式化训练的难度，特别是不要搞用韦达定理解决其他问题的训练。第二十二章 二次函数
22.1 二次函数 6课时
22.2 二次函数与一元二次方程 1课时
22.3 实际问题与二次函数 3课时
数学活动
小结 2课时（一）内容安排本章主要变化构建二次函数图象和性质的研究思路
通过图象理解二次函数的变化情况
调整第三节正文中的实际问题
用物理问题引入。


将原来的面积问题改为探究1。
将原来的探究1改为探究2。删去原来的探究2。更换数学活动
将数字问题、曲线问题作为数学活动的内容。
1.体现类比、数形结合和归纳的思想
类比思想在讨论过程中有多处体现。例如，在讨论二次函数 之前的一段话中指出，可以类比一次函数研究二次函数。又如，对于二次函数y＝ax2是分a>0和a<0两种情况讨论的，先讨论a>0的情况，这样，a<0的情况就可以类比a>0的情况进行讨论。
（二）编写时考虑的几个问题
数形结合地研究函数贯穿二次函数的讨论的始
终。对于最简单的二次函数 y＝x2的研究就是从
画这个函数的图象开始，然后通过图象了解它
的性质。其后的二次函数的研究，也都展现了
从解析式到图象，从图象到性质的过程。包括
第22.3节中，关于二次函数的最小（大）值的
结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点
获得的。从特殊例子归纳一般结论也是常用的。
2.重视知识之间的联系
学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题。
此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、比赛场次数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如，用关于y轴对称的点的坐标的关系说明y轴是抛物线 的对称轴。这样处理有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。
3.体现模型思想
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模来刻画，就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决。这一过程体现了模型思想。
例如，在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值。本章用第三节中的探究1和探究2举例说明此类问题的解决过程。
此外，在函数y=a(x－h) ＋k的讨论之后安排的修建喷水池时确定水管长度的问题，在第三节中安排的探究3（水位问题），也是运用二次函数解决实际问题的例子。
1．注意复习相关内容
二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级下册“一次函数”的学习到九年级上册
“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间。函
数的概念 ,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生
学好二次函数。
复习平移、对称，配方等内容，有助于学生
学习本章内容。
（三）对教学的几个建议2．关注数形结合的研究方法
二次函数的图象和性质的讨论运用了数形结合的研究方 法，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质。把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展。
图象可以直观展示函数的变化情况。函数图象从左向右上升（或下降）对应着函数随自变量增大而增大（或减
小）。3．加强对实际问题的分析
运用二次函数解决实际问题时，用二次函数表示问题中变量之间的关系是重要一环。要加强对实际问题的分析。例如，在22.3节的探究1中，用总长一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边长的变化而变化。场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积，用矩形一边长表示它的邻边长，从而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式。教学中，加强对实际问题的分析，有助于学生顺利解决实际问题。
4．重视信息技术的使用第二十三章 旋转23.1 图形的旋转 2课时
23.2 中心对称 3课时
23.3 课题学习 图案设计 1课时
数学活动
小结 1课时
（一）内容安排按照《义务教育数学课程标准》，在“图形的变化”部分要介绍平移、轴对称和旋转.本章介绍旋转。本章第一节学习图形旋转的基本概念和性质.在此基础上，第二节学习特殊的旋转——中心对称.第三节是课题学习，内容是综合运用平移、轴对称、旋转进行图案设计.23.1 图形的旋转
首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念.然后设置了一个“探究”栏目，让学生探索在旋转中对应点到旋转中心的距离相等、对应点和旋转中心连线所成的角彼此相等的性质. 接下来，安排了一个按要求画出简单平面图形旋转后的图形的例题.最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容.在本节中，旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣：由概念得出性质；由性质得出有关作图的方法.应关注这些内容之间的联系，使前一部分内容为后一部分内容作好准备，使后一部分内容复习巩固前一部分内容.23.2 中心对称
本节分三部分内容：中心对称的概念、性质和
有关画图；中心对称图形的概念；关于原点对称
的点的坐标的关系.对中心对称，课本首先通过具
体例子给出中心对称的概念，然后探究中心对称
的性质，最后说明画和已知图形中心对称的图形
的方法.对中心对称图形，主要让学生通过线段、
平行四边形加以认识，并了解中心对称和中心对
称图形的联系和区别.关于原点对称的点的坐标的
关系是很基本的坐标关系，教学中可以让学生自
行探究得出，由此得到利用这一关系画和已知图
形关于原点对称的图形的方法.
23.3 课题学习 图案设计
本节要求学生探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计.在本节中，首先通过一个例子让学生对此课题有所了解，然后让学生搜集图案，设计图案.搜集图案并加以分析，了解图形之间的变化关系有助于学生自己进行图案设计.在设计图案的过程中，应关注构思、实施、合作交流等环节.
（二）编写时考虑的几个问题
1. 注意揭示旋转概念的实际背景和广泛的应用
学数学的根本目的是用数学知识解决各种实际问题，这就决定了教材必须密切联系实际，揭示教学内容和实际的联系。本章的内容，主要包括旋转、中心对称、中心对称图形、图案设计，教科书在编写中重视揭示这些内容和实际的种种联系，让学生认识知识的实际背景和应用价值。本章各部分列举了许多旋转的实例，如水车、风力发电机、螺旋浆等等。
本次教材修订中还增写了“阅读与思考 旋转对称”,介绍了旋转对称性质的广泛应用。中心对称和中心对称图形在现实生活中也很常见，教科书介绍了雪花、工艺美术品、部分交通标志等图案，教学中还可以通过更多的具体实例加深学生对中心对称的认识。 许多美丽的图案可以借助旋转设计而成。让学生利用旋转进行图案设计，可以复习巩固所学的知识，调动学生学习的积极性。让学生运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计，可以进一步深化学生所学知识，加强图形变化与现实生活的联系。 2. 注意安排对重要结论的探究
本章着重介绍了旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的两点坐标间的关系等重要结论，在以上重要结论的教学中，教科书注意安排学生画图、分析、归纳等探究活动，帮助学生对于结论的理解和掌握。图23.1-3中，AˊBˊCˊ由ABC旋转而成，让学生结合此图探究旋转的性质。
对于中心对称的性质，应该与轴对称的性质作类比进行教学。学生已经知道，成轴对称的两点所连线段被对称轴垂直平分。在图23.2-3中，ABC与AˊBˊCˊ关于点O中心对称，应该引导学生从中心对称的概念出发进行思考，发现成中心对称的两点所连线段与对称中心的关系。对于在平面直角坐标系中两个关于原点对称的点的坐标间的关系，教科书首先安排了一个探究活动，让学生通过探究，归纳得到有关结论。
本章中，许多图形可以看成由基本图形经过旋转得到。为了更好地认识图形，本章在例题和习题中安排了许多探索和发现图形之间变化关系的问题。探索和发现图形之间的变化关系也有助于学生运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。 3. 完整介绍旋转作为一种图形的变换的教学内容
　 在学习本章前，学生已经学习了平移与轴对称，对于图形的变换已经有所认识。一般地，学习一种图形的变换大致包括以下内容：
（1）通过具体实例认识这种图形的变换；
（2）探索图形变换的性质；
（3）作出一个图形经过变换后的图形；
（4）利用图形的变换进行图案设计；
（5）用坐标表示图形的变换。本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的，即介绍旋转、中心对称的概念、性质，作出一个图形旋转（中心对称）后的图形，用旋转（中心对称）进行图案设计，用坐标表示图形旋转（中心对称）。当然，由于一般旋转的坐标表示比较难，本章正文中只涉及了一些特殊角的旋转用坐标表示的问题，如以原点为对称中心的中心对称的坐标表示，在数学活动和习题中则涉及用坐标表示以原点为旋转中心、旋转角为直角的旋转。（三） 对教学的几个建议
1. 注意相近概念间的联系与区别
与轴对称和轴对称图形间的关系类似，在这一章中的中心对称概念和中心对称图形概念既不相同又联系紧密。
中心对称和中心对称图形的区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心图形上所有点关于对称中心的对称点都仍在这个图形本身上。 中心对称和中心对称图形的联系：如果把关于某点中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，也可以看成是关于某点对称的两个图形。
教学中应帮助学生弄清这两个概念的区别和联系，获得正确的认识，能够正确地使用这两个概念。 2. 适当借助计算机画图软件进行教学
目前，计算机画图软件的功能已经很强大，应该结合教学内容，适当借助计算机画图软件来辅助教学。对本章，着重在两方面考虑软件的应用：发现有关的几何结论、图案设计。 借助计算机画图软件（如几何画板软件），可以容易地作出图形绕某一点O旋转一个角度后的图形，因而可以容易地作出一个图形关于某点（如原点O）的中心对称图形。还可以借助软件的度量功能,发现对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。利用软件的度量功能，容易发现：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反。画图软件的功能常常很强大，对于图形性质的探究和发现会很有帮助。 利用计算机画图软件进行图案设计常常很有效，能够发挥软件的强大功能，有时即使从一个很简单的图案出发，经过旋转等进行图案的设计，往往能得到很漂亮、多样化的图案。有条件的话，可以让学生发挥自己的想象力，进行这方面的尝试，这对培养学生的审美意识，发挥数学教育的美育功能会起一定的作用。3. 注意知识的前后联系
同平移、轴对称一样，已知图形经过旋转得到一个新图形。平移、轴对称不改变图形的形状和大小，旋转也具有这样的性质，实际上，平移、轴对称和旋转都是全等变换。以后要学的相似则不具有这个性质。在本章的教学中，应该注意知识的前后联系，把旋转和以前所学的平移、轴对称作适当类比，帮助学生学习本章的知识。 在作已知图形平移后的简单几何图形，或作与已知简单几何图形成轴对称的图形时，只要先确定已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）的对应点，就可以画出整个图形经过平移或轴对称后的图形，这种方法对于作已知简单几何图形旋转后的图形也适用，教学中可以引导学生进行类比。 从坐标的关系来认识几何变换，对于更好地认识几何变换很有帮助，这在数学中是一个重要的课题，而在计算机技术广泛应用的现在，这方面的知识应用相当广泛。本章在这方面比较重视，安排了一些有关内容，如发现关于原点对称的点的坐标之间的关系，在本章的“数学活动”的两个活动内容都是这类问题，也增写了一些相关的习题。 本章的第2个数学活动就是从坐标的角度揭示了中心对称与轴对称的关系。一般地，点A（x，y）关于x轴的对称点B的坐标是（x，－y），点B（x，－y）关于y轴的对称点C的坐标是（－x，－y）。因为点A的坐标是（x，y），点C的坐标是（－x，－y），所以点A与点C关于原点对称。由此可知，将一点作上述两次轴对称相当于作出这个点关于原点的对称点。在教学中对图形作变换后点的坐标的变化规律问题要给以适当的重视。第二十四章 圆24.1 圆的有关性质 5课时
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 5课时
24.3 正多边形和圆 2课时
24.4 弧长和扇形的面积 2课时
数学活动
小结 2课时
（一）内容安排 　　 24.1 圆的有关性质

圆的概念（发生法、集合）
有关概念（圆心、半径、直径、弦、弧、等圆、
等弧）
垂径定理（证明选学），轴对称性
弧、弦、圆心角的关系，旋转对称性
圆周角定理、推论，圆内接四边形的性质
重点：垂径定理、弧弦圆心角的关系
圆周角定理
难点：对垂径定理的理解，圆周角定理证明 变化
按照“介绍概念——研究性质”的方式安排“垂径定理”“弧、弦、圆心角的关系”“圆周角定理”的内容，不追求联系实际的引入方式，体现几何问题的研究思路。发现轴对称性
证明轴对称性
证明垂径定理
解决赵州桥的问题（应用） 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

点和圆的位置关系 三种位置关系 数量表示
过三点的圆 反证法
三角形的外接圆
直线和圆的位置关系 三种位置关系 数量表示
切线的判定和性质 切线长
三角形的内切圆
重点：位置关系，切线的判定和性质
难点：反证法，切线的判定和性质变化
“圆和圆的位置关系”变为选学 24.3 正多边形和圆
正多边形和圆类似的性质 轴对称 中心对称
等分圆周?正多边形
正多边形的相关概念 中心、半径、
中心角、边心距
正多边形的计算
画正多边形 量角器 尺规
阅读与思考：圆周率π
重点：正多边形的有关计算
难点：对于 n 的理解 24.4 弧长和扇形的面积
弧长

扇形面积
圆锥的侧面积?扇形的面积

实验与探究 设计跑道变化
直接通过提问题进入弧长和扇形面积的学习增加数学活动：车轮做成圆形的数学道理二、编写时考虑的几个问题　1.突出图形性质的探索过程，突出直观感知、操作实验和逻辑推理的有机结合
轴对称性 → 垂径定理及其推论
旋转对称性 → 弧、弦、圆心角之间的关系
观察、度量 → 圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系
直观操作 → 点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系
观察、操作、探究→证明 2.注意联系实际，体现知识的背景和应用。帮助学生从生活中发现问题，利用所学知识解决生活中的问题。
联系实际引入概念
联系实际引入定理
所学知识的实际应用
例、习题中的实际例子 　3.渗透一般与特殊、未知与已知转化等数学思想方法
转化的思想
正多边形的有关计算→直角三角形
正多边形的画图→等分圆周
分类的方法
对圆周角定理的讨论
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系
辩证唯物主义观点
圆的性质的内在联系
一般与特殊 4．重视知识间的联系与综合，实现图形的性质、图形的变化和图形的证明的有机结合
圆和直线形的有关问题对照
“不在同一直线上的三个点确定一个圆”时，可以和“两点确定一条直线”对照，
加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用
小学学的圆定义 → 集合语言重新描述
圆及正多边形的计算 → 直角三角形的知识、圆的周长与面积的知识充分利用圆的对称性
轴对称性——垂径定理，切线长定理
旋转对称性——弧、弦、圆心角的关系三、对教学的几个建议　1.进一步培养推理论证能力
规范的证明方法（“推出”的形式）
探索的证明方法（切线长、垂径定理）
由定理得到退论
反证法（过三点的圆、切线的性质）
注意复习有关直线形的知识，加强解决问题思路的分析
圆周角定理证明思路的分析
　2.加强研究方法的引导，通过类比学习相关内容
圆的性质是通过与圆有关的线段（如直径、弦、切线等）和角（如圆心角、圆周角等）体现的
垂径定理建立了直径、弧、弦之间的关系
弧、弦、圆心角的定理建立了弧、弦、圆心角之间的关系
圆周角定理建立了圆周角与圆心角之间的关系，从而把圆周角与弧、弦联系起来
注意体现知识之间的联系，类比学习相关内容
类比圆心角的概念学习圆周角的概念，不仅有助于概念的理解，也有助于发现同弧所对的圆周角与圆心角的关系。
类比学习点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系
几何特征：交点的个数
代数特征：圆的半径和两个图形之间的距离之间的数量关系（如果把圆抽象成一个点，点和圆的距离就是点和圆心的距离；直线和圆的距离就是圆心到直线的距离；圆和圆的距离就是两个圆心之间的距离）。 3.　注意把握教学要求
知识内容
课标的变化
对于推理证明的要求
注意整套教科书的要求 反证法
对于圆的对称性
利用对称性发现性质，不要求证明4.重视现代信息技术工具的应用
利用软件的测量功能，在运动变化中发现图形的性质
垂径定理 切线长定理
弧、弦、圆心角的关系
圆周角定理
点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

?第二十五章 概率初步（一）内容安排本章主要变化
删除频率估计概率中的归纳，进一步明确频率估计概率作为除列举法外的另一种求概率的方法，而不是作为概率的频率定义。删除“25.4 课题学习 键盘上字母的排列规则”，主要是考虑到课题的易操作性以及键盘排列规则在历史上存在另外的说法。精简数学活动，删除活动1，减小活动3中的数字。
本章重点和难点

重点：了解概率的意义，用列举法求概率和用频率估计概率。
难点：了解概率的意义，了解频率和概率之间的关系。
二、编写时考虑的几个问题1．重视随机观念的培养
随机观念的培养是第三学段统计与概率学习的一项重要内容．在统计中，可以通过抽样体会样本及估计结果的随机性．在概率中，一方面可以列举大量实际例子，通过让学生判断是不是随机现象感受随机性；另一方面，在验证频率与概率之间关系的试验中，除了揭示大量重复试验中频率具有稳定性，还要让学生体会频率的随机性．
在相同的条件下，重复同一试验（或观察）时，会得到不同的结果，就一次或少数几次试验来看，其发生与否是不确定的．但当大量重复试验（或观察）时，事件发生的可能性就整体来说呈现出一定的规律，即统计规律．例如，将上述的抛硬币试验大量重复时，就可以发现“正面朝上”或“反面朝上”的频率大致相等．
2．加强概率意义的理解
对概率的古典定义学生比较容易接受，但容易把对概率的理解仅限于比值，造成对其意义缺乏认识．教材通过对试验的分析，引导学生从频率的角度进一步理解概率的意义，认识到概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在．从而使学生形成对概率意义的正确认识．
3．紧密联系实际
概率问题是日常生活中经常碰到的问题，人们都在自觉或不自觉地应用概率的思想．在教科书编写时，也充分注意到这一点．
除了前面提到的在引入随机事件的概念时，用的抽签、掷骰子、摸球等经典的随机试验，教科书还引入了转盘、扫雷游戏、中奖、掷硬币等实际应用的例子．通过这些具有实际背景问题的学习，有助于学生从实际生活中发现概率问题，体会概率的广泛应用性，并学会运用所学知识解释或解决简单实际问题．三、对教学的几个建议1．正确理解概率与频率的联系与区别
初学概率的学生容易混淆概率与频率两个概念．相同条件下，某一事件发生的概率是一个常数，是由事物固有的属性决定的．而相同条件下进行随机试验，即使是相同次数的重复试验，某一事件的频率也不一定相同，也即频率具有随机性．但随着试验次数的增加，一般来说频率会越来越稳定于某个常数附近，这个数就是概率．之所以说“一般”，是因为对任何给定的次数，频率都存在偏离概率较远的可能，只是随着试验次数的增多，这种可能性会越来越小，以至于当试验数次无穷大时，偏离的概率为0．也就是说用频率估计出来的概率有时是不精确的，会有误差，甚至出现较大误差的情况，这是由于频率的随机性造成的．我们只要增加试验次数，可以使出现较大误差的概率降低．
2．鼓励学生动手试验，并注意现代信息技术的应用
让学生通过具体的试验操作获得一定的活动经验，体会随机试验中频率的随机性以及大量重复试验中频率的稳定性，进而加强对概率意义的理解，教科书设置了一个投掷硬币的试验，为学生提供一个体验随机试验的机会．
为了提高频率估计概率精度和可靠性，更多的试验次数，可以通过现代信息技术来实现。3．教学中要把握重点，控制难度
随机观念的培养以及概率意义的理解是个长期的过程，贯穿统计与概率教学的始终。本学段的概率内容还处在一个比较初级的水平，教学重点是概率意义的理解和随机观念的培养．用列举法求概率，应该重视学生对古典模型两个前提条件的理解，不应在计算繁难上作高要求．理论上讲，只要试验的结果数有限，用列举法可以列举出所有的结果。但过大的结果数，除了增加列举的难度，对学生理解概率的意义没有什么帮助．另外，学生求概率的方法仅限于列举法（包括列表法和画树状图法）或用频率估计概率，不要对学生作额外的知识要求（如概率乘法等有关知识）．教师在教学中要注意把握重点，控制难度．
4．选取与实际生活密切联系的素材
概率与现实生活的联系越来越紧密，这一领域的内容对学生来说应该是充满趣味性和吸引力的．本套教科书编写时特别注意将概率的学习与实际问题紧密结合，选择典型的、学生感兴趣的和富有时代气息的现实问题作为例子，在解决这些实际问题的过程中学习计算概率的方法、理解概率的意义．尽管如此，教学时还需要结合当地的实际情况，挖掘身边的一些素材，使学生在解决实际问题的过程中，体会到概率与实际生活的密切联系，调动学生学习概率知识的积极性，提高他们应用知识解决问题的能力．
感谢聆听！课件67张PPT。加强知识内容的联系与综合，突出重要的数学概念和思想方法------《义务教育教科书·数学》九年级上册简介人教版课标教材培训专家
湖北省襄阳市教研室 吴明龙1. 教科书内容概述
2. 编写时考虑的问题
3. 教学建议
1. 教科书内容概述1.1 一元二次方程
1.2 二次函数
1.3 旋 转
1.4 圆
1.5 概率初步
第21章 一元二次方程 13课时
第22章 二次函数 12课时
第23章 旋转 7课时
第24章 圆 16课时
第25章 概率初步 9课时
合计 57课时结构体系二次根式，移至八上勾股定理前
二次函数，从九下移来
综合编排、分科编排
逻辑体系，联系与综合
没有一劳永逸的解决方案1.1 一元二次方程两条线索深化数学模型思想、加强应用意识，从实际问题抽象得出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题。
运用降次的基本策略，通过配方法、公式法和因式分解法等具体解法求解一元二次方程。内容的变化能用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
※了解一元二次方程根与系数的关系。一元二次方程的理论根的判别式：有没有解？有多少解？
解法：怎么解？
根与系数的关系：根由系数唯一确定
代数基本定理1.2 二次函数内容的变化※知道给定不共线的三点的坐标可以确定一个二次函数。
※（能解简单的三元一次方程组）。概念、图象和性质
二次函数与一元二次方程
二次函数的应用1.3 旋 转1.4 圆性质丰富当点在圆上时，由这些点得到的多边形（圆内接多边形）的角和边的性质更加丰富。
同样，当直线与圆相切（多边形的内切圆）时，由这些直线得到的多边形的边和角的性质更加丰富。内容的变化●删：探索并了解圆与圆的位置关系
●增：了解并证明圆内接四边形的对角互补；了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系；作三角形的外接圆、内切圆；作圆的内接正方形和正六边形；※探索并证明垂径定理；※探索并证明切线长定理1.5 概率初步2. 编写时考虑的问题2.1 紧密结合实际，体现建模思想，
发展应用意识
2.2 研究方法：简单到复杂，特殊到一般，
具体到抽象
2.3 重要概念和主要思想方法
2.3.1 配方法 2.3.2 随机观念
2.3.3 概率的定义
2.3.4 频率与概率的关系2.4 直观感知、操作实验和逻辑推理
2.5 加强知识内容之间的联系，从不同角
度认识同一知识内容
2.1 紧密结合实际，体现建模思想，发展应用意识2.2 研究方法：简单到复
杂，特殊到一般，具体到
抽象解一元二次方程y＝ax2＋bx＋c的图象和性质2.3.1 配方法把一个二次三项式写成“一次两项式”的平方与常数的和的形式
y＝ax2＋bx＋c与y= a(x－h)2＋k
完全平方公式，运算律、等式的基本性质，对代数式进行恒等变形，它们是配方法的基础。
2.3.2 随机观念随机现象、随机试验、随机事件
少量试验中呈现不确定性，在大量重复试验中，具有某种统计规律的现象，就是研究随机现象时要讨论的问题。
抽样体会样本及估计结果的随机性
在概率中，随机现象感受随机性，在验证频率与概率之间关系的试验中，体会频率的随机性。
2.3.3 概率的定义古典定义（古典概型）：结果有限，每种结果等可能
统计定义：频率的稳定性，每种结果不一定等可能
几何定义（几何概型）：长度、面积和体积的比值；结果有限或无限，每种结果等可能
公理化定义：测度2.3.4 频率与概率的关系频率与概率是两个不同的概念
频率的稳定性：频率偏离概率较大的可能性越来越小。
实践基础和理论依据，为我们估计概率提供了一种方法。
“抛掷硬币”这个随机试验，正好说明了用频率估计概率的合理性、科学性。
掷硬币正反面的概率都是0.5，是否意味着抛掷硬币100次时，恰好各有50次‘正面向上’和‘反面向上’呢？”
中奖概率为0.001，只要抽1000次，就肯定能中1次奖？！
概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中一定发生。频率的稳定性用频率估计概率是把握随机事件发生可能性大小的普适方法投一枚图钉，你能估计出“钉尖朝上”的概率吗？
用频率估计概率只是一种估计，其目的是更好地把握随机事件的发生可能性的大小，通过它可以使我们进一步理解概率的意义，进一步培养随机观念。
2.4 直观感知、操作实验和逻辑推理推理论证是观察、实验、探究得出结论后的自然延续2.5 加强知识内容之间的联系，从不同角度认识同一知识内容3. 教学建议3.1 数量关系的分析和数学模型的选择
3.2 推理论证
3.3 几个具体问题
3.3.1 根与系数的关系 3.3.2 反证法
3.3.3 必然事件与概率为1的事件等价吗？
3.3.4 概率是频率的极限吗？
3.4 重视信息技术的应用，发挥其在快速计
算、列表、画图以及动态变化方面的优势
3.1 数量关系的分析和数学模型的选择3.2 推理论证3.3.1 根与系数的关系3.3.2 反证法渗透
结合“过同一直线上的三点不能作圆”，正式提出反证法。
“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明。
反证法不是直接证法，而是一种间接证法
3.3.3 必然事件与概率为1的事件等价吗？向平面内投一质点，该质点落在平面内任一点都是等可能的，分别求落在平面内点A的概率和落在平面内除点A处以外的概率。
.A
这两个事件都是随机事件，根据几何概型，前者的概率为0，后者的概率为1。必然事件与概率为1的事件不等价，不可能事件与概率为0的事件也不等价。
3.3.4 概率是频率的极限吗？3.4 重视信息技术的应用，发挥其在快速计算、列表、画图以及动态变化方面的优势二次函数的图象
旋转
圆的性质的探索
模拟投掷硬币

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