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课件119张PPT。人教版义务教育教科书数学九年级下册介绍新中国教育出版事业从这里开始……人教版课标教材培训专家
湖北省襄阳市教研室 吴明龙《数学》九年级下册（一）内容安排
（二）编写时考虑的几个问题
（三）对教学的几个建议分章介绍第二十六章 反比例函数26.1 反比例函数 3课时
26.2 实际问题与反比例函数 4课时
数学活动
小结 1课时
本章包括反比例函数的概念、图象及其性质，实际问题与反比例函数。
本章首先从现实世界中具有反比例关系的实例出发，从函数角度描述反比例关系，再次经历用函数研究变化规律的过程，认识反比例函数 （k为常数，k≠0）中两个变量x，y之间的依赖关系：在变量y随变量x的变化而变化的过程中它们的积xy始终保持不变（xy=k）；然后用“描点”法画出反比例函数的图象，观察图象并结合解析式，得出反比例函数的性质；最后运用反比例函数解决简单的实际问题。
一、内容安排1. 本章知识结构框图2. 内容概述
基础：函数的概念、函数的表示方法以及反比例关系
研究方法：类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法
章引言26. 1 反比例函数概念、图象和性质
反比例函数的解析式由常数k唯一确定
通过描点画图，得出其图象，然后通过图象，并结合解析式研究其性质
k>0，k<0
形状、位置，因变量y如何随自变量x的变化而变化
26. 2 实际问题与反比例函数呈现模式：先给出具体的问题，然后把这些问题抽象为数学模型——反比例函数，最后运用反比例函数的性质解决这些问题。
通过这些问题的解决，进一步加深对反比例函数的认识。
（1）当圆柱体的体积一定时，圆柱的底面积是高的反比例函数；
（2）当工作量一定时，工作时间是工作效率的反比例函数；
（3）在杠杆中，如果阻力和阻力臂不变，则动力是动力臂的反比例函数；
（4）电压一定时，输出功率是电阻的反比例函数。3. 本章学习目标（1）认识反比例函数是描述具有反比例变化规律的数学模型。
（2）结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的解析式。
（3）能画出反比例函数 （k为常数，k≠0）的图象，根据图象和解析式探索并理解k＞0和k＜0时图象的变化情况。
（4）能用反比例函数解决简单的实际问题。
二、编写本章时考虑的问题1. 强调反比例函数是描述具有反比例关系问题的数学模型
2. 类比正比例函数、一次函数和二次函数的研究方法，研究反比例函数
3. 加强与物理等学科之间的横向联系
4. 数形结合：数缺形时少直观，形少数时难入微
数学模型章引言
“思考”栏目
“实际问题与反比例函数”反比例函数的概念（1）引入
（2）属性的归纳
（3）明确与表示
（4）辨析
（5）巩固应用
（6）“精致”——通过概念的综合应用
研究方法概括得出函数解析式；根据解析式，由自变量的值求出相应的函数值，通过列表表示这些自变量的值和函数值；然后把这些值对应的点在坐标系中表示出来；最后用平滑的曲线把这些点连接起来，得到函数的图象。
由图象，结合解析式，得到图象特征和性质：形状、位置和变化规律等等。
从特殊到一般，从具体到抽象。
重点研究k>0时的情形。对k>0，先研究具体的k=6，12时反比例函数的图象，然后归纳得到k>0时反比例函数的图象特征和性质：图象是双曲线；图象分别位于第一、第三象限；在每一个象限内，y随的x增大而减小。
然后类比k>0的情形，研究k<0的情形。
横向联系物理背景
路程、速度与时间，电流、电阻与电压，电功率、电流和电阻，压力、面积与压强等之间的关系，这些具有反比例关系的物理问题是反比例函数研究的重要内容。
“a=bc”型数量关系的物理问题，我们都可以从正比例函数和反比例函数的角度去认识它们。
数形结合从图象上可以观察函数的变化规律，整体上把握函数的性质，但是难以深入局部和细节。而解析式可以对函数的性质进行无限“解读”，但很抽象，不直观。
“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，一朝分家万事休”
三、对本章教学的建议1. 从变量角度进一步加深对函数的认识
函数定义突出了变化与对应思想，其内涵是：两个变量联系紧密，一个变量变化时另一个变量也发生变化；函数值与自变量之间单值对应，自变量的值确定后，函数值唯一确定。
函数的内涵非常丰富，与数、式、方程等联系非常紧密。增减性、渐近性和对称性
我们只研究增减性。增减性是基本要求，必须掌握。
渐近性是指双曲线在其所在象限与坐标轴越来越近，但永远不与它们相交；
对称性是指双曲线关于直线y=±x对称，关于原点中心对称；
相对于原点的位置是指当k取不同值时，双曲线相对于原点位置的远近。27.1 图形的相似 2课时
27.2 相似三角形 7课时
27.3 位似 3课时
数学活动
小结 2课时
第二十七章 相似（一）内容安排——知识结构相似三角形的判定相似三角形的性质位似图形相似多边形的性质由其定义直接推出
“27.2 相似三角形”按照“判定→性质→应用”的顺序展开
在讲相似三角形的性质前加强引导（一）内容安排——主要变化相似多边形的性质由其定义直接推出
主要变化举例过去主要变化举例现在 按照“判定→性质→应用”的顺序研究相似三角形
主要变化举例过去现在主要变化举例讲相似三角形的性质前加强引导
过去现在重点：三角形相似的判定和性质
难点：相似三角形判定定理的证明
思想方法：研究几何问题的基本思路和方法 （一）内容安排——重点、难点和 思想方法注意渗透研究几何图形的基本套路，体现公理化思想
按照从一般到特殊的顺序呈现研究对象
按照“判定→性质→应用”的顺序研究相似三角形
由相似多边形的定义直接推出相似三角形的性质
在讲相似三角形的性质前加强引导
（二）编写时考虑的几个问题之一“重视渗透研究几何图形的基本套路，体现公理化思想”举例按照从一般到特殊的顺序呈现研究对象判定性质应用重视培养学生的推理论证能力
继续运用直观操作和逻辑推理相结合的方式研究
几何图形
加强证明思路的引导（二）编写时考虑的几个问题之二继续运用直观操作和逻辑推理相结合的方式研究
几何图形“重视培养学生的推理论证能力”举例类比猜想实验验证推理证明加强证明思路的引导“重视培养学生的推理论证能力”举例加强证明思路的引导“重视培养学生的推理论证能力”举例“三边”情况“两边和夹角”情况（二）编写时考虑的几个问题之三加强知识间的联系
相似图形与全等图形之间是一种一般与特殊的关系，教科书在编排相似内容时将其看成全等内容的拓展与延伸，通过类比全等的内容来展开相似的研究内容章引言类比“全等三角形”一章研究的主要内容，提出本章要研究的主要问题“加强知识间的联系”举例类比判定三角形全等的SSS，SAS，HL方法，让学生分别从三边、两边和夹角、斜边和一条直角边的角度来寻求判定三角形相似的简捷方法“加强知识间的联系”举例在章小结中，总结本章的研究思路
“加强知识间的联系”举例相似三角形判定定理的证明中体现的联系“加强知识间的联系”举例边对应成比例平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似应用到三角形中证明引理（二）编写时考虑的几个问题之四注意联系实际
相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中有着广泛的应用，能直接应用相似三角形判定和性质的实例也很多“注意联系实际”举例（三）对教学的几个建议之一在几何教学中坚持渗透研究几何图形的基本套路教学中要充分利用学生已有的研究几何图形的经验，用研究几何图形的基本套路贯穿全章的教学
类比对全等三角形研究的主要内容，提出对形状相同、大小不同的三角形应研究的主要问题和研究方法，构建本章内容的基本线索，使学生对将学习的内容做到心中有数
在教学相似三角形的性质之前，可以先让学生自己发现性质，再给出证明（三）对教学的几个建议之二进一步培养学生的推理论证能力
教学时应注意帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧、新旧结合；也要注意以具体问题为载体，加强证明思路的引导，帮助学生确定证明的关键环节，指导学生写出完整的证明过程．同时注意根据教学内容及时安排相应的训练，让学生能够逐步达到独立分析、完成证明．（三）对教学的几个建议之三注意把握好教学要求

教学中应该注意把握好不同内容的教学要求，突出本章的重点内容
只需在小学数学的基础上给出线段成比例的概念，让学生理解它的基本含义即可
不应过多涉及平行线分线段成比例的基本事实的应用，主要由它来推出判定三角形相似的第一种判定方法
对于本章的重点内容，不应该满足于“探索”，应该让学生证明相似三角形的性质定理，让学有余力的学生证明相似三角形的判定定理28．1 锐角三角函数 约6课时
28．2 解直角三角形及应用 约4课时
数学活动
小结 约2课时
第二十八章 锐角三角函数一、内容安排——知识结构图进一步加强“双基”——基础知识、基本技能。
章小结中加强对本章知识的梳理，突出与相关内容的联系。
3.调整章节结构,使脉络更清晰。
4.将原教材正文中“山坡的高度”的内容改写成“阅读与思考 山坡的高度”。 一、内容安排——主要变化进一步加强“双基”——基础知识、基本技能加强基本概念的巩固、应用
加强基本技能的训练章小结中加强对本章知识的梳理，突出与相关内容的联系
梳理知识

突出与相关内容的联系
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
……
调整章节结构,使脉络更清晰修改原教材的“28.2 解直角三角形”的标题，并拆分成两小节：
28.2 解直角三角形及应用
28.2.1 解直角三角形
28.2.2 应用举例
将原教材正文中“山坡的高度”的内容改写成“阅读与思考 山坡的高度”重点：锐角三角函数的概念、解直角三角形及其简单应用
难点：锐角三角函数定义的合理性、锐角三角函数的符号表示、综合运用锐角三角函数等知识解直角三角形
思想方法：锐角三角函数定义过程中从特殊到一般的方法，利用解直角三角形知识解决实际问题时的模型思想与方法。
一、内容安排——重点、难点和思想方法1．创设情境，引入核心内容
数学的发展来源于实际需要或数学内部的需要．为了体现本章核心知识的自然性以及学习它们必要性，本章注意从实际问题或数学问题出发，通过创设适当情境加以引入．
二、编写时考虑的几个问题实际问题
案例：如何引出本章的主要内容
章引言从比萨斜塔纠偏的实际问题出发，研究用塔身中心线与垂直中心线所成的角来描述比萨斜塔的倾斜程度的问题，引出本章所要研究的主要内容。引出本章所要研究的主要内容
案例：引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式

从什么角度研究直角三角形中边角之间的关系，以及建立边与角之间的何种关系，是引入锐角三角函数时的首要问题，也是关键环节．
在解决这个实际问题的过程中，需要用到结论“在直角三角形中， 角所对的边是斜边的一半”，其等价形式为“在直角三角形中， 角所对的边与斜边的比总是常数 ”，后者反映了直角三角形中 角和该角的对边与斜边的比之间的对应关系。
由此获得启示，建立直角三角形中边角之间的关系，可以通过研究锐角和它的对边与斜边的比之间的关系进行，从而引出研究直角三角形中边角关系的具体内容和方式．
案例：引出解直角三角形的内容
在“28.2.1解直角三角形”的开始部分，教科书回去解决章引言中比萨斜塔的倾斜程度的问题，这个问题实际上是已知直角三角形的两边求其锐角，它属于解直角三角形的范畴，由此比较自然地引出解直角三角形的内容．2. 加强知识间的联系加强锐角三角函数与相似三角形的联系
相似三角形的性质是锐角三角函数概念的基础，只有利用“相似三角形的对应边成比例”才能得到锐角三角函数定义的合理性，教科书在给出锐角三角函数定义的过程中充分利用了这种联系性．

加强解直角三角形与全等的判定、勾股定理等的联系
加强解直角三角形与直角三角形全等的判定定理的联系
直角三角形全等的判定定理是解直角三角形的理论依据，它对全面、深入地理解解直角三角形有着极其重要的作用．
加强解直角三角形与勾股定理等的联系
关系：
有了锐角三角函数知识，并结合直角三角形的两个锐角互余以及勾股定理，就可进一步地由这两个元素的大小求出其他元素的大小，这就是解直角三角形．可见，解直角三角形与直角三角形全等的判定定理、勾股定理等已学知识有着密切的联系．从联系的角度看待数学知识，对我们更深入地理解相关知识，提高综合应用能力等都很有帮助． 3．加强探究性，发展学生的思维能力
本章编写时，对一些在重要知识点或关键环节，除继续保持原教科书中通过设置“思考”“探究”“归纳”等栏目，提供学生探索交流的空间，发展学生的思维能力外，注意结合本章内容的特点，并考虑到学生的年龄特征（学习本章内容的学生已经是九年级），对于本章的一些结论，教科书在设置一些探究性活动栏目后，直接给出探究的结论，而将结论的探索过程完全留给学生，以进一步加大学生思维力度和探索的空间，而不像前两个年级那样，通过填空、留白等方式提供探索线索，引导学生进行探究．例如，教科书在详细研究了锐角的正弦、给出概念之后，通过一个“探究”栏目提出问题：“在直角三角形中，当一个锐角确定时，它的对边与斜边的比随之确定．那么，此时其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？”接着，教科书直接给出锐角的余弦、正切概念，而将“邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是确定的”这个结论的探究过程完全留给学生自己完成．再如，对于 这几个特殊角的三角函数值，教科书也是首先设置一个“探究”栏目，在栏目中提出问题：“两块三角尺中有几个不同的锐角？这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值分别是多少？”然后用一个表格直接给出了这几个特殊角的三角函数值，而将求这些角的三角函数值的过程留给学生完成．又如，对于解直角三角形，教科书通过一个“探究”栏目提出问题：“（1）在直角三角形中，除直角以外的五个元素之间有哪些关系？（2）知道五个元素中的几个，就可以求其他元素了？”将这个栏目中真正需要探究的第二问的思考过程完全留给学生，而直接给出结论：利用边、角之间的相互关系，知道三边和两个锐角中的两个元素（其中至少有一个是边），就可以求出其余的元素（俗称“知二求三”）；进而给出“知二求三”解直角三角形的例题示范；并安排相当数量的“知二求三”解直角三角形的练习题和习题，使学生对“知二求三”的可行性以及具体求解方法有充分体验，获得较多的感性认识；最后在章小结中提出问题：“两个直角三角形全等，要具备什么条件？为什么已知一条边和一个锐角，或两条边，就能解这个直角三角形？你能根据不同的已知条件（例如，已知斜边和一个锐角），归纳相应的解直角三角形的方法吗”让学生进一步思考直角三角形中能“知二求三”的理论依据，并对“知二求三”的具体方法进行分类梳理，从而对解直角三角形的认识全面升华为理性的程度
4. 加强与实际的联系，体现建模思想锐角三角函数和解直角三角形是紧密联系的，锐角三角函数是解直角三角形的基础，解直角三角形的理论又为解决一些实际问题提供了强硬有力的工具，它与实际联系紧密．因此本章编写时，注意加强与实际的联系．
例如，第28.1节利用确定山坡上所铺设的水管的长度问题引出锐角的正弦；第28.2节结合确定萨斜塔倾斜程度问题引出解直角三角形的内涵和方法等．再如，教科书通过丰富有趣的具有实际背景的例题和习题，从不同的角度展示了解直角三角形在实际中的广泛应用．教科书这样将锐角三角函数和解直角三角形的内容与实际问题紧密联系，形成“你中有我，我中有你”的格局，一方面，可以让学生体会锐角三角函数和解直角三角形的理论来源于实际，是实际的需要；另一方面，也让学生看到它们在解决实际问题中所起的作用；再者，通过解决实际问题的过程：先把实际问题抽象出数学问题，再解决数学问题得到数学问题的答案，最后将数学问题的答案回到实际问题，使学生进一步体验数学模型思想和数学建模过程，培养应用意识，发展他们的数学抽象能力，以及分析问题、解决问题能力.三、对教学的几个建议1. 加强探究过程，揭示概念的内涵
本章的一个重要教学目标是使学生探究并理解锐角三角函数的概念，教学中应按教科书提供的思路，让学生充分经历实际问题引入——研究特殊直角三角形——研究一般直角三角形——给出锐角的正弦概念的定义过程，在探究直角三角形中锐角的对边与斜边之比的不变性上下足功夫．
这样的探究过程可以帮助学生理解锐角三角函数的内涵：锐角三角函数建立了直角三角形中边与角之间的关系，具体地，在直角三角形中，对于一个确定的锐角，它的正弦、余弦、正切分别表示这个锐角的对边与斜边之比、邻边与斜边之比、对边与邻边之比，它们分别都是确定的值．特别需要指出的是，在理解锐角三角函数的内涵时，要淡化其“函数味”，只要点出“对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数”即可．
2．加强能力培养与训练
应用锐角三角函数等有关知识解直角三角形及其相关的实际问题是锐角三角函数教学的核心任务，也是培养学生分析问题、解决问题能力的重要载体．解直角三角形时，需要根据已知条件的特点，选择恰当的锐角三角函数，并综合运用勾股定理等直角三角形的有关知识加以解决，具有一定的灵活性和综合性，初学阶段，学生往往不易找到解决问题的思路，特别是选不准具体的锐角三角函数，且易发生计算错误；应用锐角三角函数等有关知识解决实际问题，对数学建模能力、推理能力、运算求解能力都有较高的要求．教学中，应注意让学生理解解直角三角形的基本原理；在此基础上，通过例题示范和必要的练习等形式使学生切实提高推理能力、运算能力、数学建模能力；但也要把握好度，控制好难度和广度，不能把锐角三角函数的教学变成题型教学．
3. 发挥计算器的作用
本章教学中，应认真落实课程标准中“会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值求它的对应锐角”的要求，使学生掌握用计算器进行计算的技能．这样，一方面，可以使学生的学习重心更好地集中在理解锐角三角函数的概念、掌握解直角三角形的原理与方法以及建立实际问题的数学模型等核心内容上；另一方面，课程标准中“解直角三角形”“解决一些简单实际问题”的要求才能真正得到落实．4．注意数形结合
锐角三角函数的一个突出特点是它的概念的产生和应用都与图形有着密切的联系．锐角三角函数具有鲜明的几何意义，其自变量是锐角，函数值是直角三角形中两条边的比值，因此本章内容是体现数形结合的好载体．
例如，对于锐角三角函数的概念，教科书是利用学生对直角三角形的认识（在直角三角形中， 角所对的边等于斜边的一半，有一个锐角为 的直角三角形是等腰直角三角形）以及相似三角形的有关知识引入的，结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质．再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的应用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，也离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．
因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论证、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，使画图成为本章教学中关注的目标．
第二十九章 投影与视图29.1 投影　　　　　　　 2课时
29.2 三视图 4课时
29.3 课题学习 制作立体模型 2课时
阅读与思考 视图的产生与应用
数学活动
小结 2课时
一、内容安排——知识结构本章主要变化
删除有关“带窟窿”的几何体的问题小结增加本章的主要内容及其反映的思想方法的提炼与概括的内容。
二、编写时考虑的问题1. 重视结合实际例子讨论问题，在直观认识的基础上归纳基本规律
在本章之前，学生已经接触过视图的内容，对投影和视图的知识已有初步的、朦胧的了解。
本章要在学生已有的有关投影和视图的初步感性认识的基础上，适当引入基本概念，归纳基本规律，使认识水平再次提升。
． 在初中投影和视图内容的教学不可能完全从理论角度深入进行，而应该借助直观模型的作用，作好由感性认识到理性认识的过渡，比较通俗易懂地介绍一些基本概念、基本原理（规律）。 投影平行投影中心投影三视图在观察基础上归纳基本规律长对正
高平齐
宽相等2. 重视平面图形与立体图形的联系，重在培养空间想象能力
　 本章从投影的角度对如何用三视图这样的平面图形来表示三维立体图形进行进一步讨论，这有助于将学生对于图形已有的认识加以提高，增强将平面图形与立体图形相互转化的能力，从而进一步培养空间想象能力。 由物体产生投影是将立体图形转化为平面图形的过程。从映射角度看，这是从三维空间到二维平面的映射。物体是原像，其投影是影射后的像，原像与像存在对应关系，正投影的规则就是一种映射规则。
反之，由三视图想出相应物体形状，是由平面图形得到相应立体图形的过程。 第29.2节的两类主要问题：
画三视图
由三视图得出立体图形
立体图形 平面图形
发展学生的空间想象能力。
三、对教学的几个建议1．教学中应重视借助直观模型，帮助学生克服立体几何知识的不足
重视相关内容与实际的联系，在不刻意追求对抽象概念有透彻理解的前提下，选择一些实例，利用直观的、感性的认识，使学生能结合例子了解直线和平面的基本空间位置关系并能把这种认识迁移到类似情形。
正投影涉及线面垂直的概念，教科书在此处采用结合插图并使用“投影线正对着投影面” 的通俗解释方式。2.教学中应结合本章内容的特点，从不同角度综合培养空间想象能力
　“由物画图”可以使人认识到立体图形的投影是什么样的平面图形，“由图想物”可以使人把相关的平面图形在头脑中综合成为相应的立体图形。
两者又是互相联系的，投影规律在两类问题中都是考虑问题的依据。
“由物画图”可以看成是一个分解（或不同角度分析）的过程，而“由图想物”是一个综合的过程。解决问题有时需要分解，有时需要综合，有时需要两者结合。
一般说“由物画图”是“由图想物”的基础，只有认识了视图所表示的意思，才可能把视图立体化。
学习本章内容时，动脑活动与动手活动相结合是非常有效的，使学生经历观察、画图、想象、制作模型等认识过程是非常必要的。 29.3 课题学习：制作立体模型四个活动托起绿色的希望课件65张PPT。注重数学的整体性提升系统思维水平人教版课标教材培训专家
湖北省襄阳市教研室 吴明龙一、关于数学的整体性整体是事物的一种真实存在形式。
数学是一个整体。
数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上——纵向联系、横向联系。
学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。例“反比例函数”反映的整体性学习基础：反比例关系，函数、自变量、函数值等概念，三种表示形式，函数图像的概念，一次函数、二次函数的研究经验（函数的研究内容、过程和方法）。
研究一类函数的内容、过程：背景——概念——图象与性质——简单实际应用。
研究方法：特殊到一般、具体到抽象；数形结合（画图像、观察图像得性质等）。
反比例函数概念的抽象过程概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；
概念属性的归纳——对典型丰富的具体例证进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；
概念的抽象与概括——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；概念的辨析——以实例为载体分析概念关键词的意义（恰当使用反例）；
概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤；
概念的“精致”——通过概念的综合应用，建立与相关概念的联系，将概念纳入概念系统。
上述过程与正比例函数、一次函数、二次函数等概念的抽象过程是一脉相承的。
其实，初中教材中的概念编写思路基本上都按照这个“套路”展开。反比例函数的图象和性质的研究思路画出图象，并根据图象和函数表达式探索其性质。上述过程体现了研究一个数学对象的性质的一般过程与方法。
概念辨析成反比例的量和关系：xy=k（定值），这里x和y都是可以变化的；
反比例函数：体现的“变化规律”是“变量y随变量x的变化而变化，且它们的积xy保持不变”。
关键词：反比例；函数。
y=1/x2 ，y是x2的反比例函数，对吗？
注意：自变量是x而不是x2；“反比例函数”是“自变量与对应的函数值成反比例关系”。二、关于系统思维的培养数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。例 “三角形”研究中的系统思维定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；——明确研究对象
基本性质，即研究要素之间的关系，得到 “三角形内角和等于180°” 等；
研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等；
三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）；
特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）；
三角形的变换（如相似三角形等）；
直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形；
解三角形（正弦定理、余弦定理）。把三角形作为一个系统进行研究明确研究对象（定义、表示、分类）
——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系；
定性研究（相等、不等、对称性等）——定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。
培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。什么叫性质？性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。
问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？从三角形的“内角和为180°”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？
“内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。
几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？
把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。
要素、相关要素之间确定的关系也是性质。两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。
研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。圆的几何性质要素：圆心、半径、直径、弧、圆心角；
相关要素：弦、圆周角……
你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？
同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；
垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。
切线垂直于过切点的半径。
过圆外一点所作圆的两条切线长相等。
你能发现一些与圆心角相关的定理吗？从培养系统思维的要求出发设计教学以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。——数学化的过程相似对内容的认识
初中几何，包括图形的认识、测量、运动或变化、性质和证明以及位置等。
相似是“图形的变化”的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是“图形的认识”的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出“图形的变化”。两种“图形的变换”轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；
相似变换：改变了图形的位置和大小，图形的形状则保持不变。三角形的相似是“相似”的核心内容。
“相似”与“全等”——一般与特殊。
类比全等三角形，安排相似的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实际测量中的应用。
位似图形是一种具有特殊位置关系的相似图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐标系中研究位似，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想。“相似”的内容结构 图形的相似通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出相似多边形概念，并从定义出发给出判定两个多边形相似的方法，以及相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质。相似三角形按照“定义——判定——性质——应用”的顺序展开。
定义：相似图形的特殊化，既是判定也是性质。
判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定三角形相似的任务。“判定定理”的构建过程从定义出发，关键是“对应边成比例”；
通过旋转、平移等变换，移到“一个角重合、一条边平行”的位置，于是“平行截割”成为出发点——基本事实；
特殊化：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
三个判定定理；
特殊化：相似直角三角形的判定定理。
降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想。“性质定理”的构建过程通过“思考”栏目引出问题，明确探究方向：通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质：锐角三角函数对内容的认识
三角形是最简单而基本的封闭图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现。所以，三角形成为平面几何所研究的主角，就在于它既简单而又能充分反映空间的本质。而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最为基本的。定性平面几何研究的主题是“全等形”和“平行性”。其中有两个核心内容，一是三角形内角和定理，二是等腰三角形的性质。
定量平面几何中，要对不等长的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之间定量的比值去度量两者之间的差异。这时，平行性扮演着举足轻重的“角色”，其作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式。由此得到的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理。三角学就是以这三个定理为基础，讨论三角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面积、高、外径和内径等）之间的函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三角形各种几何量之间的函数关系，它为讨论一般三角形奠定了基础。因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用。“锐角三角函数”就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，进一步讨论直角三角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综合运用这些知识解直角三角形．锐角三角函数的定义过程以“比萨斜塔纠偏问题”引入，以“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？”提出问题，然后研究锐角的正弦，再给出锐角的余弦、正切。锐角的正弦的定义先利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值；再讨论45°、 60°角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△ABC中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。锐角三角函数概念的展开课题的引入 从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。
概念属性的归纳 例证1 从最熟悉的开始，30°角所对的边与斜边的比值是1/2 。
思考：由这个结论能解决什么问题？——当∠A=30°时，已知斜边就可求出∠A的对边，反之也然。例证2 等腰直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？
归纳：任意给定锐角A，∠A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？
概念的明确与表示 下定义，用符号表示。 定义的辨析 （1）∠A为Rt△ABC的锐角， △ABC的大小可以变化，但∠A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的正弦；（2）符号sinA的理解——一个由A唯一确定的数，例如sin30°=1/2 ；等。
概念的巩固应用 已知直角三角形的边求正弦值等。
概念的精致 解直角三角形。关于“解三角形”教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：
如何发现问题；
从定性到定量地研究问题；
将新问题化归为旧问题；
从知识的相互联系性思考问题；等等。如何研究一个数学对象（问题）数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的“基本事实”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的问题？
六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。关于解直角三角形关于解三角形对于“解三角形”，你会哪些知识？——会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。
给定两边一夹角，求其他边、角——化归为直角三角形。
还有没有其他方法？——从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？你还能提出哪些问题？
对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？
对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握“认识、解决问题的方法”、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。加强认识和解决问题方法的教学如何获得研究对象；
构建研究数学对象的基本线索；
发现和提出值得研究的具体问题；
掌握研究问题的基本方法。例 投影与视图对内容的认识
中心投影、平行投影的事例随处可见，与投影相关的概念都与现实生活紧密相关。
平行投影是三视图的学习基础。
投影与视图涉及立体图形与平面图形间的转化，要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体。
本章顺序：投影——三视图——课题学习（制作立体模型）。投影按照从一般到特殊的线索展开，重点讨论正投影问题。
从实例引出投影的概念及其分类（平行投影、中心投影）；
通过“思考”，引导学生比较和认识中心投影与平行投影的投影线的区别，以及平行投影中“斜投影”与“正投影”的区别，进而给出正投影的概念；再通过“探究”，借助生活经验，讨论正投影中基本而重要的线段、正方形的投影问题：
线段与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下线段的正投影的形状、线段与其正投影的大小关系：正方形与投影面的位置关系（有且只有平行、倾斜和垂直三种），不同位置关系下正方形的正投影的形状、正方形与其正投影的大小关系；在此基础上，归纳出正投影的一般规律。
编写思路：从生活实例中抽象出投影的概念——投影的分类（以投影线的位置关系为分类标准）——特殊的投影（正投影）的概念和性质。
在正投影性质的讨论中，一是关注了简单但基本而重要的问题，即线段、正方形的正投影（其实就是线、面的正投影问题的代表）；二是根据线、面与投影面的不同位置讨论它们之间的形状、大小关系（要素之间的相互关系就是性质）。三视图包括三视图的概念、画立体图形（实物）的三视图、由三视图想象立体图形（实物）以及利用三视图知识解决度量问题。立体图形限制在直棱柱、圆柱、圆锥、球或它们的组合。本节是“投影”知识的应用，先借助生活实例介绍视图的概念，这里“从某一方向看”相当于“某一方向的平行投影线”，因此看到的平面图形是物体在这个方向光线下的正投影。再介绍三视图，直接指出三视图的投影面是三个互相垂直的平面，介绍三视图的成像原理、三视图的位置和度量规定，然后是5个例题，画三视图、判断简单物体的视图、根据视图描述简单几何体等。
结束语 数学育人——使学生在数学学习中
树立自信，坚定正念，
增强定力，激励精进，
启迪智慧，净化心灵。
谢谢倾听
请提宝贵意见

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