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第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求方程的近似解
函数的零点的定义：
使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
结论:
复习
如何求函数y=f(x)的零点？
解方程f(x) = 0，求得方程的实数根.
如，求函数f(x)=x -x-1的零点.
解：令x -x-1=0，得
所以，函数f(x)=x -x-1的零点为
探究：如何求函数f(x)=lnx+2x-6(x>0)的零点？
分析：令lnx+2x-6=0，我们不会解这个方程，怎么办？我们会什么？
把方程lnx+2x-6=0等价变形为lnx=-2x+6
在同一直角坐标系内做函数y=lnx和y=-2x+6的图象.
y=lnx
y=-2x+6
而x0就是方程lnx+2x-6=0的实数根，进而就是函数f(x)=lnx+2x-6的零点
观察图象可知，y=lnx和y=-2x+6的图象交点的横坐标x0∈(2,3).
计算，f(2)=ln2+2×2-6= ln2-2= ln2- lne <0
f(3)=ln3+2×3-6= ln3>ln1=0
所以， f(2)·f(3)<0，根据函数零点存在性定理，x0∈(2,3)是正确的.
这只是确定了函数f(x)=lnx+2x-6的零点，即方程lnx+2x-6=0的实数根的范围，这个x0的值究竟是多少呢？
在直角坐标系内我们借助计算机，直接作出函数f(x)=lnx+2x-6的图象如下：
也可以看到x0∈(2,3)，借助图象我们只能读出x0的近似值.
我们已经知道方程lnx+2x-6=0的实数根x0∈(2,3)，如何找到这个x0的准确值呢？
一个直观的想法就是：将实数根x0的范围尽可能缩小，就可以在一定精确度的要求下，得到x0的近似值.具体操作如下：
如何进一步缩小解所在的区间？
f(x)=lnx+2x-6
∵f(2)<0， f(3)>0∴x0∈(2,3)
∵f(2.5)<0， f(3)>0∴x0∈(2.5,3)
∵f(2.5)<0， f(2.75)>0∴x0∈(2.5,2.75)
∵f(2.5)<0， f(2.625)>0∴x0∈(2.5,2.625)
∵f(2.5)<0， f(2.5625)>0∴x0∈(2.5,2.5625)
∵f(2.53125)<0 ，f(2.5625)>0∴x0∈(2.53125,2.5625)
零点所在区间 中点的值 中点函数近似值
(2,3) 2.5 -0.084
(2.5,3) 2.75 0.512
(2.5,2.75) 2. 625 0.215
(2.5,2.625) 2.562 5 0.066
(2.5,2.5625) 2. 531 25 -0.009
(2.53125,2.5625) 2. 546 875 0.029
(2.53125,2.546875) 2. 539 062 5 0.010
(2.53125,2.5390625) 2. 535 156 25 0.001
例如，当精确度为0.01时，因为|2.539 062 5-2.531 25|=0.007 812 5<0.01，所以区间(2.531 25, 2.539 062 5)内任意一点都可以作为零点的近似值，也可以将x = 2.531 25作为函数f(x)=lnx+2x-6零点的近似值，也即方程lnx+2x-6=0的近似解.
二分法
对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
二分法求函数y=f(x)零点的步骤：
(1) 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a,b)的中点c；
(3) 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b))；
判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，
否则重复(2) (3) (4) ；
由|a-b|<ε可知，区间[a,b]中任意一个值都是零点x0的满足精确度ε的近似值，为了方便，我们统一区间端点值a(或b).
例1. 图象如下的函数能用二分法求零点近似值的是( )
D
B
A
C
B
例2. 设函数f(x) = 3x+3x-8，用二分法求方程3x+3x-8=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1.5)>0，f(1.25)<0，f(1.75)>0，则方程根落在区间( )
(1,1.25) B. (1.25,1.5)
C. (1.5,1.75) D. (1.75,2)
B
例3. 用二分法求方程x3-2x-5=0的实数根时，令f(x) = x3-2x-5，计算得f(2) =-1 ，f(3) =16，可得其中一个实数根必在区间 内，下一次应计算 .
分析：定义域R，图象连续不断，计算f(2)·f(3)<0.
∴函数f(x)在(2,3)存在零点.
(2,3)
f(2.5)
例4. 借助信息技术，用二分法求方程 2x+3x=7函数的近似解（精确度为0.1）
解：原方程即2x+3x-7=0 ，令f(x) =2x+3x-7，用信息技术画出函数y=f(x)的图象，并列出它的对应值表.
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y -6 -2 3 10 21 40 75 142 273
观察函数图象和上表，可知f(1)·f(2)<0.
区间 中点的值 中点函数近似值
(1,2) 1.5 0.33
(1,1.5) 1.25 -0.87
(1.25,1.5) 1.375 -0.28
(1.375,1.5) 1.4375 0.02
(1.375,1.4375)
由于|1.375-1.4375|=0.0625<0.1
所以原方程的近似解可取为1.375.
二分法求方程近似解，计算量较大，重复步骤多，这可以让计算机来完成，但是需要设计好计算程序，由计算机执行，其程序框图为：
开始
定义f(x)
输入ε,a,b
b=c
a=c
a=c
输出解x=a
结束
是
否
是
否
是
否
利用二分法求函数y=f(x)零点：
(1) 确定区间[a,b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；
(2) 求区间(a,b)的中点c；
(3) 计算f(c) ；
若f(c)=0，则c就是函数的零点c ；
若f(a)·f(c)<0，则令b=c(此时零点x0∈(a,c))；
若f(b)·f(c)<0，则令a=c(此时零点x0∈(c,b))；
判断是否达到精度ε，若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)，
否则重复(2) (3) (4) ；
课堂小结

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