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淮安市名校2023届高三下学期5月二模考试
数学
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题卡相应的位置上.）
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图，在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于第几象限？（ ）
A.一 B.二 C.三 D.四
3.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
4.已知数据，，…，的平均数为，设为该组数据的“阶方差”，若（，2，3，…，n），，则与的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.与奇偶性有关
5.已知在中，，以斜边AB的中点O为圆心，AB为直径，在点C的另一侧作半圆弧AB，点M在圆弧上运动，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
6.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
7.已知点A、B为椭圆上两点，且，其中O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A. B.2 C. D.3
8.已知，且，则a的取值范围是（ ）（注：选择项中的e为自然对数的底数）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对得2分，有选错的得0分，请将正确答案填涂在答题卡相应的位置上.）
9.对两个变量x与y进行线性相关性和回归效果分析，得到一组样本数据：，，…，，则下列说法不正确的是（ ）
A.若所有样本点都在直线上，则两个变量的样本相关系数为
B.残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C.若越大，则变量x与y的线性相关性越强
D.若越小，则变量x与y的线性相关性越强
10.如图是函数的部分图象，则（ ）
A. B.
C. D.
11.在平面直角坐标系中，已知动圆C：，则下列说法正确的是（ ）
A.存在圆C经过原点
B.存在圆C，其所有点均在第一象限
C.存在定直线l，被圆C截得的弦长为定值
D.所有动圆C仅存在唯一一条公切线
12.已知函数，，其中e为自然对数的底数，为其导函数，则下列判断正确的是（ ）
A.在单调递增
B.在仅有1个零点
C.在有1个极大值
D.当时，
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上.）
13.若函数为奇函数，当时，，则______.
14.如图，在杨辉三角中，斜线l的上方从1按箭头方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…记其前n项和为，则的值为______.
15.抛物线：的焦点为F，过F的直线交于A，B两点，在A，B两点处的切线交于点，则弦AB的长为______.
16.已知圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，若圆台的上底面半径为，则球的体积为______.
四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字
17.（10分）设数列前n项和为，，.
（1）记，写出，，并求数列的通项公式；
（2）求数列的前2n项和.
18.（12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点D在边BC上，且，，.
（1）若，求c；
（2）若，求b.
19.（12分）某校为丰富同学课余生活，活跃校园气氛，促进年级之间的友好关系，决定在高二、高三之间进行知识抢答赛，比赛规则如下：每个年级选出3名同学参加比赛，第一场比赛从两个年级的3名同学中各出1人进行抢答，失败者淘汰，失败者所在年级的第二名同学上场，以此类推，直至一方年级的3名同学全部淘汰，比赛结束.已知每个年级的3名同学之间已经排定好比赛顺序，且每个同学在每场比赛中胜利或失败的概率均为.
（1）求比赛结束时刚比赛完第四场的概率；
（2）已知其中一个年级的同学甲排在第二个上场，求甲所参加的比赛场数X的分布列与数学期望.
20.（12分）如图，在四棱锥中，底面，，，，，，，点E为棱PA上一点，且.
（1）若平面，求实数的值；
（2）若平面，求直线BE和平面所成角的正弦值.
21.（12分）已知双曲线M：的离心率为，点，分别为其左、右焦点，点为双曲线M在第一象限内一点，设的平分线PQ交y轴于点Q，当时，.
（1）求双曲线M的方程；
（2）若，此时直线交双曲线M与A、B两点，求面积的最大值.
22.（12分）设函数，，其中e为自然对数的底数.
（1）当时，讨论函数在上的单调性；
（2）当时，求证：对任意，.
淮安市名校2023届高三下学期5月二模考试
数学
参考答案
1.A. 2.B. 3.D. 4.A. 5.A. 6.D.
7.由题意得，，
当点A，B分别是长短轴的一个端点时，，此时，
当点A，B不是长短轴的端点时，设：，
联立，整理得，
∴，，将k换成得，，
，，
当且仅当，即时等号成立，
∴，∴，
综上所述，，即的最小值为，故选：C.
8.因为，故，故，
设，其中，则，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
但当时，，当时，，
而，，故，.
下证对于任意的，对在总有两个不同的零点，
由的单调性可知在上为减函数，在上为增函数，
而，，，，
设，则，
故在上为减函数，故，
故在总有两个不同的零点，
综上，.故选：B.
9.AD. 10.CD. 11.AB. 12.ABC.
13.因为函数是奇函数，所以，得，
即时，，
所以.
14.设“锯齿形”数列的奇数项构成数列，
则根据题意可得，，， ，
∴，
由累加法易得，，时，也满足
∴，
∵“锯齿形”数列的偶数项构成以3为首项，1为公差的等差数列
∴，
15.抛物线：的焦点为，
设，，
∴直线AB的斜率存在，且，
则直线AB的方程为.
联立，整理得，则，
由，则，
故切线AM的方程为，即①，
同理切线BM的方程为②，
两式相减可得M的横坐标为，即，
两式相可得M的纵坐标为，
∴，解得，
所以，
16.圆台的上底面半径为，
由于圆台的内切球O与圆台侧面相切的切点位于圆台高的处，
根据切线长定理可知：圆台的下底面半径为，母线长为，
所以圆台的高为，
也即球的直径为6，半径为3，
所以球的体积为.
17.（1）∵数列前n项和为，，，
又，
∴，，
当时，，
∴，
∴，
∴，即，显然满足上式，
∴为等比数列，
又，公比，
∴，（，）.
（2）由（1）得，，
∵，∴，
∴，
∴
.
18.（1）在中，由余弦定理得，
所以，即，
解得或（舍）.
（2）在中，由余弦定理得，
所以，所以.
在中，.
所以.
19.（1）打完第四局结束，则赢的一方只能输一局且只能为前三局，
设比赛结束时刚比赛完第四场为事件A，
则；
（2）设甲参加的比赛场数为X，X可能的取值为0，1，2，3，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴X的分布列为则随机变量X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则数学期望为.
20.（1）∵底面，又BC，平面，
∴，，又，
∴AB，BC，PB两两垂直，
以BA，BC，BP所在直线为x轴，y轴，z轴，建系如图，
∵，，，，，
∴，，，，，
设，
∴，解得，，，
∴，，
设平面PCD的法向量为，
则，取，
由题意得，
∴，
解得；
（2）设平面的法向量为，
则，取，
∵平面，∴，设，
则，解得，∴，
由（1）得平面的法向量为，
∴直线BE和平面所成角的正弦值为：
.
21.（1）根据题意可得，∴，
当时，将代入双曲线方程中，易得，
∴，∴，
∴双曲线M的方程为；
（2）设PQ与x轴交于点N，则，
又，
∴，
∵PQ为的平分线，∴，
∴，∴直线PQ的方程为：，
令，得，
∴直线的方程为，即，
联立，可得，
设，，则，，
又，∴，
∴，
令，则，
∴面积的最大值为.
22.（1）当时，，，
设，，，
则当时，，单调递增，
所以在区间上，，也即，
所以在上单调递增.
（2）证明：当，，时，要证明：对任意，，
即证明：对任意，，
即证明：对任意，，
即证明：对任意，，
构造函数，，，
构造函数，，，，
所以在上单调递增，
故存在，使①，
所以在区间，，单调递减；
在区间，，单调递增.
所以在区间上的极小值，也即是最小值为，
②，
由①得，代入②得：，
令，
则函数的开口向下，对称轴，
所以当时，y取得最小值，
即，所以对任意，，
从而对任意，

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