2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练:5.2 探索轴对称的性质

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2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练:5.2 探索轴对称的性质
一、选择——基础知识运用
1.如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比(  )
A.形状没有改变,大小没有改变 B.形状没有改变,大小有改变
C.形状有改变,大小没有改变 D.形状有改变,大小有改变
2.如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,下列判断错误的是(  )
A.AB=A′B′ B.BC∥B′C′ C.直线l⊥BB′ D.∠A′=120°
3.下列语句中,正确的个数有(  )
①两个关于某直线对称的图形是全等的
②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴
④平面内两个全等的图形一定关于某直线对称.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线对称,下列结论中:
①△ABC≌△A′B′C′;
②∠BAC′=∠B′AC;
③l垂直平分CC′;
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上,
正确的有(  )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
5.已知△ABC关于直线MN对称,则下列说法错误的是(  )
A.△ABC中必有一个顶点在直线MN上
B.△ABC中必有两个角相等
C.△ABC中,必有两条边相等
D.△ABC中必有有一个角等于60°
二、解答——知识提高运用
6.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,求证:△ABC≌△A′B′C′.若△ABC≌△A′B′C′,那么△ABC和△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗?若一定请给出证明,若不一定请画出反例图。
7.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线m对称。
(1)结合图形指出对称点.
(2)连接A、A′,直线m与线段AA′有什么关系?
(3)延长线段AC与A′C′,它们的交点与直线m有怎样的关系?其它对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流。
8.如图所示,已知O是∠APB内的一点,点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点,MN与PA、PB分别相交于点E、F,已知MN=5cm,求△OEF的周长。
9.如图,已知A,B两点在直线1的同侧,点A′与A关于直线l对称,连接A′B交l于点P.若A′B=a。
(1)求AP+PB。
(2)若点M是直线l上异于点P的任意一点,求证:AM+MB>AP+PB。
10.如图,l是线段AB的对称轴,l′是线段BC的对称轴,l和l′相交于点O.OA与OC相等吗?为什么?
11.设直线l1和直线l2平行,且l1和l2间的距离为a.如果线段AB在l1的右侧,并设AB关于l1的对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(如图),那么,线段AB和A″B″有什么关系?
答案解析部分
1.【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵轴对称变换不改变图形的形状与大小,
∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变。
故答案为:A。
【分析】轴对称的性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形,根据性质可知选项A符合题意。
2.【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】由图形可知:
A、点A和B对称点是点A′和B′,所以AB=A′B′.故A不符合题意;
B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′,所以BC∥D′E′,DE∥B′C′.故B符合题意;
C、点B、E对称点分别是点B′、E′,所以BB’⊥直线l.故C不符合题意;
D、正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形,则∠A′=120°.故D不符合题意;
故答案为:B。
【分析】由已知条件和图形可知:点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′,所以根据轴对称的性质可得BC∥D′E′,DE∥B′C′,所以选项B符合题意。
3.【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】①两个关于某直线对称的图形是全等的,此选项符合题意;
②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上,此选项不符合题意;
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴,此选项符合题意;
④平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称,故此选项不符合题意。
故答案为:B。
【分析】两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上,所以②不符合题意;平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称,所以④不符合题意。
4.【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,
∴①△ABC≌△A′B′C′,正确;
②∠BAC=∠B′AC′,
∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′,
即∠BAC′=∠B′AC,正确;
②l垂直平分CC′,正确;
④应为:直线BC和B′C′的交点一定在l上,故本小题错误。
综上所述,结论正确的是①②③共3个。
故答案为:B
【分析】轴对称的性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形;两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。根据性质可知④不符合题意,其余三个都符合题意。
5.【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵△ABC关于直线MN对称,
∴△ABC为等腰三角形,其对角线为底边上的高所在的直线.
A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上,故本选项正确;
B、△ABC中必有两个角相等,故本选项正确;
C、△ABC中,必有两条边相等,故本选项正确;
D、当该等腰三角形是等边三角形时,△ABC中有一个角等于60°,故本选项错误。
故答案为:D
【分析】轴对称图形的性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形;两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。根据性质可知选项A、B、C都不符合题意,只有选项D符合题意。
6.【答案】解:∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,∴△ABC和△A′B′C′能够完全重合,∴△ABC≌△A′B′C′。若△ABC≌△A′B′C′,△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称,如图所示.
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称的定义;把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称;根据定义可得△ABC和△A′B′C′能够完全重合,则△ABC≌△A′B′C′。若△ABC≌△A′B′C′,△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称,如平行四边形的对角线分得的两个三角形全等但不对称。
7.【答案】(1)解:对称点有A和A′,B和B′,C和C′
(2)解:连接A、A′,直线m是线段AA′的垂直平分线
(3)解:延长线段AC与A′C′,它们的交点在直线m上,其它对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上,即若两线段关于直线m对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上。
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】(1)轴对称的定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。根据定义可知对称点有A和A′,B和B′,C和C′。
(2)轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;根据性质可知直线m是线段AA′的垂直平分线。
(3)轴对称的性质:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。根据性质可知延长线段AC与A′C′,它们的交点在直线m上,其它对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上。
8.【答案】解:根据轴对称的性质得:OE=EM,OF=FN△OEF的=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=5cm∴△OEF的周长为5cm
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。根据性质可得;OE=EM,OF=FN.则△OEF的周长=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN。
9.【答案】(1)解:∵点A′与A关于直线l对称,
∴PA=PA′
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=a
(2)解:∵点A′与A关于直线l对称,∴MA=MA′
∴AM+BM=MA′+MB
由(1)可知:AP+PB=A′B
由两点之间线段最短可知:MA′+MB>A′B,即AM+MB>AP+PB
【知识点】线段的性质:两点之间线段最短;轴对称的性质
【解析】【分析】(1)轴对称的性质有:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。根据性质可得PA+PB=PA′+PB=A′B=a。
(2)根据性质有MA=MA′,所以AM+BM=MA′+MB,由(1)可知:AP+PB=A′B,根据两点之间线段最短可得结论。
10.【答案】解:∵l是线段AB的对称轴,∴OA=OB,∵l′是线段BC的对称轴,∴OB=OC,∴OA=OC。
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。根据性质可得OA=OB,OB=OC,所以OA=OC。
11.【答案】解:因为l1平行于l2,并且AA′A″垂直于l1,当然也垂直于l2,同理BB′B″也垂直于l1和l2。又在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以AA′A″∥BB′B″①另一方面,因为AP=PA′,A′P′=P′A″,所以AA′A″=2PP′=2a,同理BB′B″=2a,所以AA′A″=BB′B″②由①②可知,ABB″A'″为平行四边形,所以A''B''平行且等于AB
【知识点】平行四边形的判定与性质;轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称的定义;把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;根据定义和性质可得:AA′=B′B″,A′A″=BB′,所以AA′+A′A″=BB′+B′B″,即
AA″=BB″,而根据l1和l2间的距离为a可得1和l2平行,则根据平行四边形的判断可知AA″B″B为平行四边形,于是可得AA″∥BB″。
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2017-2018学年北师大版数学七年级下册同步训练:5.2 探索轴对称的性质
一、选择——基础知识运用
1.如图是经过轴对称变换后所得的图形,与原图形相比(  )
A.形状没有改变,大小没有改变 B.形状没有改变,大小有改变
C.形状有改变,大小没有改变 D.形状有改变,大小有改变
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵轴对称变换不改变图形的形状与大小,
∴与原图形相比,形状没有改变,大小没有改变。
故答案为:A。
【分析】轴对称的性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形,根据性质可知选项A符合题意。
2.如图,正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,下列判断错误的是(  )
A.AB=A′B′ B.BC∥B′C′ C.直线l⊥BB′ D.∠A′=120°
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】由图形可知:
A、点A和B对称点是点A′和B′,所以AB=A′B′.故A不符合题意;
B、点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′,所以BC∥D′E′,DE∥B′C′.故B符合题意;
C、点B、E对称点分别是点B′、E′,所以BB’⊥直线l.故C不符合题意;
D、正六边形ABCDEF关于直线l的轴对称图形是六边形A′B′C′D′E′F′,所以六边形A′B′C′D′E′F′也是正六边形,则∠A′=120°.故D不符合题意;
故答案为:B。
【分析】由已知条件和图形可知:点B、C、D、E对称点是点B′、C′、D′和E′,所以根据轴对称的性质可得BC∥D′E′,DE∥B′C′,所以选项B符合题意。
3.下列语句中,正确的个数有(  )
①两个关于某直线对称的图形是全等的
②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴
④平面内两个全等的图形一定关于某直线对称.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】①两个关于某直线对称的图形是全等的,此选项符合题意;
②两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上,此选项不符合题意;
③两个成轴对称的图形的对应点连线的垂直平分线,就是它们的对称轴,此选项符合题意;
④平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称,故此选项不符合题意。
故答案为:B。
【分析】两个图形关于某直线对称,对称点一定在该直线的两旁也有可能在直线上,所以②不符合题意;平面内两个全等的图形不一定关于某直线对称,所以④不符合题意。
4.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线对称,下列结论中:
①△ABC≌△A′B′C′;
②∠BAC′=∠B′AC;
③l垂直平分CC′;
④直线BC和B′C′的交点不一定在l上,
正确的有(  )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
【答案】B
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,
∴①△ABC≌△A′B′C′,正确;
②∠BAC=∠B′AC′,
∴∠BAC+∠CAC′=∠B′AC′+∠CAC′,
即∠BAC′=∠B′AC,正确;
②l垂直平分CC′,正确;
④应为:直线BC和B′C′的交点一定在l上,故本小题错误。
综上所述,结论正确的是①②③共3个。
故答案为:B
【分析】轴对称的性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形;两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。根据性质可知④不符合题意,其余三个都符合题意。
5.已知△ABC关于直线MN对称,则下列说法错误的是(  )
A.△ABC中必有一个顶点在直线MN上
B.△ABC中必有两个角相等
C.△ABC中,必有两条边相等
D.△ABC中必有有一个角等于60°
【答案】D
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵△ABC关于直线MN对称,
∴△ABC为等腰三角形,其对角线为底边上的高所在的直线.
A、△ABC中必有一个顶点在直线MN上,故本选项正确;
B、△ABC中必有两个角相等,故本选项正确;
C、△ABC中,必有两条边相等,故本选项正确;
D、当该等腰三角形是等边三角形时,△ABC中有一个角等于60°,故本选项错误。
故答案为:D
【分析】轴对称图形的性质:关于某条直线对称的两个图形是全等形;两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。根据性质可知选项A、B、C都不符合题意,只有选项D符合题意。
二、解答——知识提高运用
6.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,求证:△ABC≌△A′B′C′.若△ABC≌△A′B′C′,那么△ABC和△A′B′C′一定关于某条直线l对称吗?若一定请给出证明,若不一定请画出反例图。
【答案】解:∵△ABC和△A′B′C′关于直线l对称,∴△ABC和△A′B′C′能够完全重合,∴△ABC≌△A′B′C′。若△ABC≌△A′B′C′,△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称,如图所示.
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称的定义;把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称;根据定义可得△ABC和△A′B′C′能够完全重合,则△ABC≌△A′B′C′。若△ABC≌△A′B′C′,△ABC和△A′B′C′不一定一定关于某条直线l对称,如平行四边形的对角线分得的两个三角形全等但不对称。
7.如图,△ABC和△A′B′C′关于直线m对称。
(1)结合图形指出对称点.
(2)连接A、A′,直线m与线段AA′有什么关系?
(3)延长线段AC与A′C′,它们的交点与直线m有怎样的关系?其它对应线段(或其延长线)的交点呢?你发现了什么规律,请叙述出来与同伴交流。
【答案】(1)解:对称点有A和A′,B和B′,C和C′
(2)解:连接A、A′,直线m是线段AA′的垂直平分线
(3)解:延长线段AC与A′C′,它们的交点在直线m上,其它对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上,即若两线段关于直线m对称,且不平行,则它们的交点或它们的延长线的交点在对称轴上。
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】(1)轴对称的定义:把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。根据定义可知对称点有A和A′,B和B′,C和C′。
(2)轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;根据性质可知直线m是线段AA′的垂直平分线。
(3)轴对称的性质:两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上。根据性质可知延长线段AC与A′C′,它们的交点在直线m上,其它对应线段(或其延长线)的交点也在直线m上。
8.如图所示,已知O是∠APB内的一点,点M、N分别是O点关于PA、PB的对称点,MN与PA、PB分别相交于点E、F,已知MN=5cm,求△OEF的周长。
【答案】解:根据轴对称的性质得:OE=EM,OF=FN△OEF的=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN=5cm∴△OEF的周长为5cm
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。根据性质可得;OE=EM,OF=FN.则△OEF的周长=OE+OF+EF=ME+EF+FN=MN。
9.如图,已知A,B两点在直线1的同侧,点A′与A关于直线l对称,连接A′B交l于点P.若A′B=a。
(1)求AP+PB。
(2)若点M是直线l上异于点P的任意一点,求证:AM+MB>AP+PB。
【答案】(1)解:∵点A′与A关于直线l对称,
∴PA=PA′
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=a
(2)解:∵点A′与A关于直线l对称,∴MA=MA′
∴AM+BM=MA′+MB
由(1)可知:AP+PB=A′B
由两点之间线段最短可知:MA′+MB>A′B,即AM+MB>AP+PB
【知识点】线段的性质:两点之间线段最短;轴对称的性质
【解析】【分析】(1)轴对称的性质有:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线,线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。根据性质可得PA+PB=PA′+PB=A′B=a。
(2)根据性质有MA=MA′,所以AM+BM=MA′+MB,由(1)可知:AP+PB=A′B,根据两点之间线段最短可得结论。
10.如图,l是线段AB的对称轴,l′是线段BC的对称轴,l和l′相交于点O.OA与OC相等吗?为什么?
【答案】解:∵l是线段AB的对称轴,∴OA=OB,∵l′是线段BC的对称轴,∴OB=OC,∴OA=OC。
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称图形的性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。根据性质可得OA=OB,OB=OC,所以OA=OC。
11.设直线l1和直线l2平行,且l1和l2间的距离为a.如果线段AB在l1的右侧,并设AB关于l1的对称图形是A′B′,而A′B′关于l2的对称图形是A″B″(如图),那么,线段AB和A″B″有什么关系?
【答案】解:因为l1平行于l2,并且AA′A″垂直于l1,当然也垂直于l2,同理BB′B″也垂直于l1和l2。又在平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行,所以AA′A″∥BB′B″①另一方面,因为AP=PA′,A′P′=P′A″,所以AA′A″=2PP′=2a,同理BB′B″=2a,所以AA′A″=BB′B″②由①②可知,ABB″A'″为平行四边形,所以A''B''平行且等于AB
【知识点】平行四边形的判定与性质;轴对称的性质
【解析】【分析】轴对称的定义;把一个图形沿着某一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称.性质:如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线;根据定义和性质可得:AA′=B′B″,A′A″=BB′,所以AA′+A′A″=BB′+B′B″,即
AA″=BB″,而根据l1和l2间的距离为a可得1和l2平行,则根据平行四边形的判断可知AA″B″B为平行四边形,于是可得AA″∥BB″。
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