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人教A版（2019）选择性必修第二册《5.3.2 函数的极值与最大（小）值》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）函数在处有极值，则点为
A. B.
C. 或 D. 不存在
2.（5分）已知函数在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为
A. B.
C. D.
3.（5分）若函数有大于零的极值点，则
A. B. C. D.
4.（5分）若，且，则的最小值为
A. B. C. D.
5.（5分）在函数，，若为的极小值点，则实数的值为
A. B. C. 或 D. 无解
6.（5分）如图，已知直线与曲线相切于两点，则函数有

A. 个极大值点，个极小值点 B. 个极大值点，个极小值点
C. 个极大值点，无极小值点 D. 个极小值点，无极大值点
7.（5分）函数既有极小值又有极大值，则的取值范围为
A. B. 或
C. D. 或
8.（5分）已知直线分别与函数和交于，两点，则，两点之间的最短距离是
A. B. C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知函数，下列结论成立的是
A. 函数在定义域内无极值
B. 函数在点处的切线方程为
C. 函数在定义域内有且仅有一个零点
D. 函数在定义域内有两个零点，且
10.（5分）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的值可以是
A. B. C. D.
11.（5分）已知函数，，则
A. 当时，有个零点
B. 当时，若有个零点，则
C. 若有个零点，则
D. 若有个零点，则
12.（5分）对于函数，下列说法正确的有
A. 在处取得极大值
B. 只有一个零点
C.
D. 若在上恒成立，则
13.（5分）已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图像，则下列说法正确的是
A. 函数的增区间是，
B. 函数的增区间是，
C. 是函数的极小值点
D. 是函数的极小值点
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）已知函数的定义域为若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ______.
15.（5分）直线与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是______．
16.（5分）函数的极大值为，极小值为，则______；
17.（5分）设，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是________.
18.（5分）函数在其极值点处的切线方程为__________．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知函数为自然对数的底数，且曲线在点处的切线的斜率为．
求实数的值，并讨论函数的单调性；
设函数，若对，，使不等式成立，求实数的取值范围．
20.（12分）已知函数，
若函数在区间上的最大值为，求实数的值；
若恒成立，求实数的取值范围．
21.（12分）已知函数
当时，求函数的单调区间；
若对于任意恒成立，求的取值范围．
22.（12分）已知函数
当时，求曲线在点处的切线方程；
若，求函数的极值.
23.（12分）已知，其中是自然常数，．
当时，求的极值，证明恒成立；
是否存在实数，使的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
该题考查利用函数的极值存在的条件求参数的能力，掌握函数极值存在的条件，属于中档题．
首先对求导，然后由题设在时有极值可得解之即可求出和的值．

解：对函数求导得，
又在时有极值，
，
解得或，
验证知，当，时，在无极值，
故选：．
2.【答案】A;
【解析】
此题主要考查函数的零点与方程的根的关系，导数研究函数的单调性与极值，是中档题.
由题意得，方程在区间上有两个不同的根，令，利用导数结合函数单调性求解即可.
解：函数在区间上有两个不同的零点，
即方程在区间上有两个不同的根，
令，则，
当时，，当，，
在上单调递增，在上单调递减，
所以的最大值为，
且，
所以，
故选
3.【答案】B;
【解析】解：由题意可得，有大于的根，
当时，恒成立，在上单调递增，没有极值；
当时，当时，，单调递增，当时，，函数单调递减，
故当时，函数取得极小值，
由题意可得，，
故．
故选：．
由题意可得，有大于的根，结合导数与单调性的关系可求．
这道题主要考查了利用导数研究函数的极值，属于基础试题．
4.【答案】B;
【解析】
此题主要考查了导数研究其单调性极值与最值，属于基础题．
由于，且，可得，，再利用导数研究其单调性极值与最值即可得出．

解：，且，，
，
，
令，解得此时
当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增．
当时，函数取得极小值即小值．

故选：
5.【答案】A;
【解析】解：函数的定义域为，
令，则，
因为是的极值点，所以，解得或．
经检验时，函数在上，，单调减，在上，，单调增
是函数的一个极小值点
所以
故选：．
根据为函数的极小值点，得到方程的根为，根据根的定义，求出值，最后根据极值的情况验证结果．
本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值，搞清极值点与导数为的点的关系是解答该题的关键．
6.【答案】A;
【解析】解：直线与曲线相切于两点，
有两个根，且，
由图象知，
则，
即，则函数，没有零点，
函数有个极大值点，个极小值点，
则，
，
结合图象，函数有个极大值点，
函数有个极小值点，
故选：．
对函数，求导数，根据条件判断与的关系进行判断即可．
这道题主要考查函数零点的判断以及极值的判断，利用图象求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．
7.【答案】B;
【解析】
这道题主要考查函数在某点取得极值的条件．属于基础题．
先对函数进行求导，根据函数既有极大值又有极小值，可以得到，进而可解出的范围．

解：，
，
函数既有极大值又有极小值，
，
或．
故选B．

8.【答案】D;
【解析】解：根据题意，直线与函数交于点，则有，解可得，即，
直线与函数交于点，则有，解可得，又由，则，
则，
设，其导数，
若，则，
在区间上，为减函数，
在区间上，为增函数，
则，
故，两点之间的最短距离是，
故选：
根据题意，用表示、两点的横坐标，即可得，设，求出的导数，分析其单调性，取出其最小值，即可得答案．
此题主要考查利用导数分析函数的最值，注意用表示，是中档题．
9.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查了利用导数研究函数的单调性、极值，考查了数形结合思想，属于中档题.
利用导数、数形结合的方法等逐一验证每个选项的正误，进而得到正确答案.解：由题可知函数的定义域为
因为，
所以
即函数在上单调递增，在上单调递增，
因此函数在其定义域上无极值，故正确；
由上可知，又，
所以函数在点处的切线方程为，
即，故正确；
令，图象如图：

显然两个函数的图象有两个交点，
即函数在定义域内有两个零点，故错误；
设，则
，

故
因为有使得成立，
所以
即，
则可得与互为倒数，
即，故正确.
故选
10.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查了导数的应用，函数零点与方程根的关系，属于较难题．
由已知得到方程在上有两解，构造函数，求出的最值，即可得到的范围，从而得解.

解：由已知可得，方程在上有两解，即在上有解．
设，则，
令，得，
当时，，当时，，
在上单调递减，在上单调递增．
当时，取得最小值，
时，，时，，
实数的取值范围是
故选：

11.【答案】AC;
【解析】

此题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，导数中的零点问题，考查了综合分析能力，属于中档题.
令，可得，对分类讨论，可得当时，，容易判断该方程有且只有一个实根；时，参数分离，构造新函数，运用导数判断函数的单调性，结合函数图象综合分析即可得到答案.

解：令，得，
当时，，即，该方程有且只有一个实根，即此时有个零点，
当时，，即，
令，，则，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也为最大值，即；
当时，；当时，，
由函数，的图象可知，

当或时，在上有个零点；
当时，在上有个零点，
综上可得项正确.
故选
12.【答案】AB;
【解析】解：对于，
函数的定义域为，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以在处取得最大值故正确；
对于，
令，解得，所以只有一个零点，故正确；
对于，
因为，所以，故错误；
对于，
，令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，所以，故错误．
故选：
对于，先利用单数求函数单调性，进而求最值；
对于，直接求方程的解得个数即的零点个数；
对于，结合单调性可判断；
对于，，令，利用导数求函数的最值即可求的取值范围．
此题主要考查导数的应用，利用导数研究函数单调性和极值，考查分离参数法处理恒成立问题，考查数学运算和数学抽象的核心素养，属于中档题．
13.【答案】BD;
【解析】
此题主要考查函数的单调性与导数的关系，涉及函数的图象分析，属于基础题．
根据题意，由函数的图象分析导函数的符号，进而可得的单调区间以及单调性，据此分析可得答案．

解：根据题意，由函数的图象可知：
当时，，，此时为增函数，
当时，，，此时为减函数，
当时，，，此时为减函数，
当时，，，此时为增函数；
据此分析选项：函数的增区间是，，则正确，错误；
是函数的极大值点，是函数的极小值点，则正确，错误；
故选
14.【答案】（-∞，4];
【解析】解：对任意的，恒成立，
等价为，即恒成立．
令，
由可得，，，
又表示曲线在上不同两点的割线的斜率的绝对值．
则，即，的取值范围是
故答案为：
由参数分离可得恒成立．令，求得的解析式，以及导数，运用导数的几何意义，可得所求范围．
此题主要考查函数恒成立问题解法，以及导数的运用：求切线的斜率，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
15.【答案】（e，+∞）;
【解析】解：若与曲线有两个公共点，
则，时，有两个根，
当时，方程不成立，
即，
则方程等价为，
设，
则，
由得，即，得，此时为增函数，
由得，即且，得且，此时为减函数，
即当时，函数取得极小值，
当时，，
作出函数的图象如图：
要使有两个不同的实根，
则，
即实数的取值范围是，
故答案为：
根据直线与曲线有两个公共点，转化为，时，有两个根，利用参数分离法转化为有两个根，构造函数，求函数的导数，研究函数的单调性和极值，利用数形结合进行求解即可．
这道题主要考查函数与方程的应用，利用参数分离法以及构造函数，求出函数的导数和极值，利用数形结合是解决本题的关键．
16.【答案】;
【解析】解：，，令 ，得 或
令，解得或；令，解得，
所以，函数 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ，
，因此，，
故答案为：．
利用导数求出函数 的极大值和极小值，进而可得出 的值．
本题考杏利用导数求函数的极值，考查计算能力，属于基础题．
17.【答案】;
【解析】
此题主要考查不等式恒成立问题，利用导数研究函数的性质，考查函数与方程思想、分类讨论思想和化归与转化思想，考查考生运用数学知识灵活解决问题的能力．
将不等式恒成立问题转化为相关函数的最值问题，即构造函数，利用导数分类讨论函数在上的单调性，从而确定参数的取值范围．解：任意的即
设，即任意的恒成立，即函数在上的最大值

①若，则，在上单调递增，即，这与矛盾．
②若，方程的根的判别式当，即时，，
所以在上单调递减，，符合题意；
当时，方程的两根分别为，，
当时，，单调递增，，不符合题意．
综上所述，
18.【答案】;
【解析】
该题考查函数极值的求法，切线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
求出极值点，再结合导数的几何意义即可求出切线的方程．

解：依题意得，
令，可得，
，
因此函数在其极值点处的切线方程为．
故答案为．
19.【答案】解：（1）f'（x）=，f'（1）=，得，故k=2，a＞0，
所以f'（x）=-=-，
当x∈（-∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）递增；
（2）根据（1）当x∈R时，f（x）有最大值f（lna）=，
g（x）==，g'（x）==，x∈（0，+∞），
令h（x）=+lnx，显然函数在（0，+∞）单调递增，
由h（）=，h（1）＞0，故h（x）在（，1）存在唯一的零点m，使得h（m）=0，
即+lnm=0，
当x∈（0，m）时，g（x）递减；x∈（m，+∞）时，g（x）递增；
故g（m）为g（x）的最小值，
所以g（m）-1====，
对于y=与h（m）都单调递增，且当时，=0成立，
所以g（m）-1=0，
根据题意，0，即，
故a，
故0＜a．;
【解析】
利用切线方程求出，代入函数分类讨论，求出单调性；
根据题意，若对，，使不等式成立，即的最小值小于等于的最小值，根据导数求出最值，代入求出的范围．
考查导数求切线方程，导数在单调性和求最值中的应用，中档题．
20.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=3-a，
①当a≤0时，f'（x）≥0，故函数f（x）单调递增，
有f（1）=1-a+4=20，解得a=-15；
②当a＞0时，令f'（x）＞0，解得或，
令f'（x）＜0，解得，
所以函数f（x）的增区间为，，减区间为．
当即0＜a≤3时，函数f（x）在，上单调递增，在上单调递减，
得f（1）=5-a=20或．
解得a=-15（舍去）或a=12舍去）；
当，即3＜a＜12时，函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
得，解得a=12（舍去）；
当即a≥12时，函数f（x）在[-2，1]上单调递减，
得f（-2）=-8+2a+4=20，解得a=12．
综上知a=12或a=-15；
（2）f（x）≥lnx+3可化为-ax+4≥lnx+3，
整理，得-lnx+1≥ax，
即在（0，+∞）上恒成立，
令（x＞0），
则，
令h（x）=2+lnx-2（x＞0），则，
所以函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，且h（1）=0，
所以当0＜x＜1时g'（x）＜0；当x＞1时g'（x）＞0，
故函数g（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1），
所以g（x）min=g（1）=2，得a≤2，
即实数a的取值范围为（-∞，2]．;
【解析】
利用导数研究函数当、、、时的单调性，分别求出函数的最大值，令，解出对应的 即可；
将原问题转化为在上恒成立，令，利用二次求导研究函数的单调性，求出即可．
此题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用不等式恒成立求参数的范围，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
21.【答案】解：由，得，
当时，，在上为增函数，
当时，当时，，当时，，
所以在上为减函数，在上为增函数．
由题意知在恒成立，
设，
则，
设，
则，
当时，为增函数，
所以，
所以在上单调递增，，
当时，，
所以在上单调递增，，
当时，当时，，由知，
当时，，，，
，
此时，
所以在上单调递减，在上，，不符合题意．
综上所述;
【解析】此题主要考查导数在研究函数问题中的应用、由不等式恒成立求解参数范围，考查等价转化思想，这种常规的数学思想方法需要理解掌握并运用．
由，，得，利用导数与单调性的关系求单调区间，注意对分类讨论
令，转化为恒成立问题．
22.【答案】解：（1）当a=0时，f（x）=（+1），
f′（x）=2x+（+1）=（x+1）2，
而f（1）=2e，f′（1）=4e，
故切线方程是：y-2e=4e（x-1），
即4ex-y-2e=0；
（2）当a＜0时，f′（x）=[（x+a+1）（x+1）]，
当x=-a-1或x=-1时，f′（x）=0且-a-1＞-1，
故f（x）在（-∞，-1）递增，在（-1，-a-1）递减，在（-a-1，+∞）递增，
故f（x）在x=-1处取得极大值，f（-1）=，
f（x）在x=-a-1处取得极小值，f（-a-1）=，
故若a＜0，则函数f（x）的极大值是，极小值是．;
【解析】
代入的值，求出函数的导数，计算，的值，求出切线方程即可；
求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值即可．
此题主要考查了切线方程，函数的单调性，极值问题，考查导数的应用，是中档题．
23.【答案】解：（1）∵f（x）=x-lnx，，
∴当0＜x＜1时，f′（x）＜0，此时f（x）单调递减；
当1＜x＜e时，f′（x）＞0，此时f（x）单调递增．
∴f（x）的极小值为f（1）=1，
即f（x）在（0，e]上的最小值为1，
令h（x）=g（x）+=，，
当0＜x＜e时，h′（x）＞0，h（x）在（0，e]上单调递增，
∴=|f（x）|min，
∴|f（x）|＞恒成立．
（2）假设存在实数a，使f（x）=ax-lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
．
①当a≤0时，f（x）在（0，e]上单调递减，
f（x）min=f（e）=ae-1=3，a=（舍），
∴a≤0时，不存在a使f（x）的最小值为3．
②当0＜＜e时，f（x）在（0，）上单调递减，在（]单调递增，
∴f（x）min=f（）=1+lna=3，a=，满足条件．
③当时，不存在a使f（x）的最小值为3，
综上，存在实数a=，使得当x∈（0，e]时，f（x）有最小值3．;
【解析】
由，，知当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增．故的极小值为，即在上的最小值为，由此能够证明恒成立．
假设存在实数，使有最小值，分类讨论能推导出存在实数，使得当时，有最小值．
此题主要考查利用导数求闭区间上函数最值的应用，具体涉及到不等式恒成立的证明和探索是否存在实数，使的最小值为解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，合理地运用分类讨论思想进行解题．

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