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§3.3　幂函数
第三章　函数的概念与性质
学习目标
1.掌握幂函数的概念、图象特征和性质.(重点)
2.掌握幂函数的图象位置和形状变化，会根据幂函数的单调性比较幂值的大小.(难点)
导语
同学们，我们说要想学好数学，就要先了解它的发展史，比如我们今天要学习的幂函数，“幂”其原意是遮盖东西用的布，后来引申为面积.《九章算术》刘徽注：“凡广纵相乘谓之幂.”后来又推广引申为多次乘方的结果.到了明清，既称面积为幂，也称平方或立方为幂.清末之后，幂逐渐开始专指乘方概念.
一、幂函数的概念
二、幂函数的图象与性质
三、幂函数性质的综合运用
随堂演练
内容索引
幂函数的概念
一
问题1　下面几个实例，观察它们得出的函数解析式，有什么共同特征？
(1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜ω kg，那么她需要支付p＝ω元，这里p是ω的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V＝b3，这里V是b的函数；
提示　这些函数的解析式都具有幂的形式，而且自变量都是在幂的底数位置，幂的指数都是常数.
知识梳理
幂函数的概念
一般地，函数 叫做幂函数，其中x是 ，α是 .
y＝xα
自变量
常数
注意点：
(1)自变量前的系数是1.
(2)幂的系数为1.
(3)α是任意常数.
(4)函数的定义域与α有关.
例1
　　(1)下列函数是幂函数的是
A.y＝2x　　 　B.y＝x2－1
C.y＝x3　　　　D.y＝2x
√
形如y＝xα的函数为幂函数，则y＝x3为幂函数.
(2)已知y＝(m2＋2m－2) ＋2n－3是幂函数，求m，n的值.
反思感悟
幂函数的判断及应用
(1)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，需满足：①指数为常数；②底数为自变量；③xα的系数为1，形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数.
(2)若一个函数为幂函数，则该函数也必具有y＝xα(α为常数)这一形式.
跟踪训练1
　　 　若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝____.
16
设f(x)＝xα，
∵f(4)＝16，∴4α＝16，
解得α＝2，
∴f(x)＝x2，∴f(－4)＝(－4)2＝16.
幂函数的图象与性质
二
问题2　你能在同一直角坐标系下作出y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝ ，y＝x－1这五个函数的图象吗？
提示　
问题3　根据之前所学，我们应该从哪些方面来研究幂函数？
提示　根据函数解析式先求出函数的定义域，然后画出函数图象，再利用图象和解析式研究函数的单调性、最值、值域、奇偶性、对称性等问题.
知识梳理
五个幂函数的图象与性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 　　y＝ y＝x－1
图象
定义域 ___ ___ ___ __________ ________
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
R
R
R
[0，＋∞)
{x|x≠0}
奇偶性 函数 函数 函数 _________________________ 函数
单调性 在(－∞，＋∞)上单调_____ 在(－∞，0]上单调 ，在(0，＋∞)上单调_____ 在(－∞，＋∞)上单调_____ 在[0，＋∞)上单调_____ 在(－∞，0)上单调 ，在(0，＋∞)上单调_____
定点 _______
奇
偶
奇
既不是奇函数也不是偶函数
奇
递增
递减
递增
递增
递增
递减
递减
(1，1)
注意点：
一般幂函数的图象特征
(1)在(0，＋∞)上所有的幂函数都有定义，图象只出现在第一象限，并且图象都过点(1，1).
(2)当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增.
特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当α＝1时，幂函数的解析式为y＝x；当0<α<1时，幂函数的图象上凸.
注意点：
(3)当α<0时，幂函数在区间(0，＋∞)上单调递减，且函数在原点无意义.
(4)在(－∞，0)上，幂函数有无图象与α的取值有关，若函数为偶函数，函数图象一定出现在第二象限，若函数为奇函数，函数图象一定出现在第三象限.
(5)幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称.
(6)在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列.
例2
　　(1)下列结论正确的是
A.幂函数图象一定过原点
B.当α<0时，幂函数y＝xα是减函数
C.当α>1时，幂函数y＝xα是增函数
D.函数y＝x2既是二次函数，也是幂函数
√
由题意，函数y＝x－1的图象不过原点，故A不正确；
函数y＝x－1在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，故B不正确；
函数y＝x2在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故C不正确；
根据幂函数的定义，可得函数y＝x2是二次函数，也是幂函数，所以D正确.
(2)已知幂函数y1＝xa，y2＝xb，y3＝xc，y4＝xd在第一象限的图象如图所示，则
A.a>b>c>d
B.b>c>d>a
C.d>b>c>a
D.c>b>d>a
√
由图象可知，当x＝2时，2a<2d<2c<2b，则a反思感悟
(1)解决与幂函数有关的综合性问题的方法
首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y＝xα(α是常数)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同.同时，注意分类讨论思想的应用.
(2)幂函数图象的画法
①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y＝xα在第一象限内的图象.
②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象.
跟踪训练2
同理可求得g(x)＝x－2.
在同一坐标系中作出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－2的图象(如图所示)，观察图象可得，
当x<－1或x>1时，f(x)>g(x).
(2)f(x)＝g(x)；
当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x).
(3)f(x)当－1幂函数性质的综合运用
三
例3
　　(1)比较下列各组数中两个数的大小：
①3.50.3与3.40.3；
函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，
由3.5>3.4可知，3.50.3>3.40.3.
②0.12－0.6与0.11－0.6；
函数y＝x－0.6在(0，＋∞)上单调递减，
由0.12>0.11可知，0.12－0.6<0.11－0.6.
∵函数y1＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
∵函数y2＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
(2)已知幂函数f(x)＝ (m∈Z)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递增.
①求m的值；
因为幂函数f(x)＝ 在区间(0，＋∞)上单调递增，
所以－m2＋4m>0，解得0又因为m∈Z，所以m＝1或m＝2或m＝3，
当m＝1或m＝3时，f(x)＝x3，为奇函数，图象关于原点对称，不符合题意；
当m＝2时，f(x)＝x4，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意，
综上所述，m＝2.
②求满足不等式f(2a－1)由①得f(x)＝x4为偶函数，且在区间(0，＋∞)上单调递增，
则由f(2a－1)即(2a－1)2<(a＋1)2，即a2－2a<0，
解得0所以满足f(2a－1)反思感悟
比较幂值大小和解决幂函数的综合问题的注意点
(1)若两个幂值的指数相同或可化为两个指数相同的幂值时，则可构造函数，利用幂函数的单调性比较大小.
(2)若底数、指数均不同，则考虑用中间值法比较大小，这里的中间值可以是“0”或“1”.
(3)充分利用幂函数的图象、性质，如图象所过定点、单调性、奇偶性等.
(4)注意运用常见的思想方法，如分类讨论、数形结合等数学思想.
跟踪训练3
　　 　(1)已知 　　　　　 则a，b，c的大小关系为
A.a√
因为函数y＝ 是实数集上的增函数，
即c(2)已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm＋1(m∈R)为奇函数.
由题意知m2－5m＋7＝1，解得m＝2或m＝3，
由①知，函数单调递增，f(2a－1)>f(a)等价于2a－1>a，解得a>1，
当且仅当a＝3时，等号成立.
因此代数式的最小值为5.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)幂函数的定义.
(2)几个常见幂函数的图象.
(3)幂函数的性质及应用.
2.方法归纳：待定系数法、数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：易忽略题目中给出的条件以及幂函数的图象和性质.

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