资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2023年内蒙古包头中考数学模拟卷
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
2．计算：（﹣a）2 a3的结果是（　　）
A．a5 B．a8 C．﹣a5 D．﹣a8
3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×107
4．如图所示的钢块零件的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（　　）
A．a＞c B．b+c＞0 C．|a|＜|d| D．﹣b＜d
6．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（　　）
A． B． C． D．
7．下列说法中错误的是（　　）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．在反比例函数中，y随x的增大而减小
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形
8．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠BOD的度数是（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
9．若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（　　）
A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
11．某超市销售一种牛奶，原价每箱75元，连续两次降价后每箱48元，若每次下降的百分率相同都是a，则得到方程（　　）
A．75（1﹣a）2＝48 B．75（1+a）2＝48
C．48（1﹣a）2＝75 D．48（1+a）2＝75
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
13．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝　 　．
14．计算：＝　 　．
15．2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表：
候选人 心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力
甲 86 85 88 90
乙 90 82 81 90
选择1名学员，最后应选 　 　．
16．如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为100m，求山的坡度为　 　．
17．已知函数y＝ax2+2x+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数a的值是 　 　．
18．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 　 　．
19．如图，点A和点F，点B和点E分别是反比例函数y＝图象在第一象限和第三象限上的点，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，CD＝6，且AF＝FC，DE＝BE，已知四边形ADCF的面积是四边形BCDE的面积的2倍，则OC的长为　 　．
三．解答题（共6小题，满分63分）
20．（8分）七年级学生平均每周户外运动时间的调查报告
调查背景 为积极倡导体育教学和文化教育有机结合，提高同学们的身体素质，某校对七年级学生每周参加户外运动的时间：（单位：h）进行统计，并为七年级学生开展了“生命在于运动”的主题讲座
调查方式 抽样调查
样本选取 为保证调查数据的全面性，应选择的样本选取方式为 　 　A．随机抽取七年级20名女生B．随机抽取七年级20名男生C．随机抽取七年级20名学生
数据的收集、整理与描述 信息一：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据：2.5、3.5、4.5、2、4、4.5、3.5、5.5、5.5、4.5、6.7、3、7.5、4、4.5、3.5、6、3.5信息二：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间频数表平均每周参加户外运动的时间频数占调查人数百分比t＜3210%3≤t＜51155%5≤t＜7525%210%
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）如表中样本选取方式为 　 　（填字母）；
（2）被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动时间数据的众数是 　 　，中位数是 　 　；
（3）若该校七年级共有200名学生，讲座开展一周后，对七年级所有学生进行统计，发现平均每周参加户外运动时间不少于5h的人数为90人，试判断此讲座是否有效果？并说明理由．
21．（8分）水车又称孔明车，是中国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，已有1700余年历史．小明对水车进行了研究，如图，水渠CD与水车⊙O相切于点D，连接DO，已知⊙O的半径为1.2米，支柱OA、BC与水面AB垂直，支柱OA的高度为3.5米，点A与点B之间的距离为3.6米，点O，A，B，C，D在同一平面内．
（1）求证：∠AOD﹣∠BCD＝90°．
（2）实践中发现，水渠CD与支柱BC的夹角∠BCD大小为74°时，水车装置较为牢固稳定，请计算支柱BC的高度．（结果要求精确到0.1，参考数据：，，）
22．（10分）某班把1000元奖学余按两种奖项奖给学生，一等奖每人200元．二等奖每人50元．
（1）如果获得二等奖的学生比一等奖的学生多10人，那么获得一等奖、二等奖的学生分别有多少人？
（2）如果获奖学生共20人，奖学金增加到2000元，那么获得一等奖的学生不能超过多少人？
23．（12分）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．
（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；
（2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长．
24．（12分）在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，过点B作BH⊥AC，分别交AC，AD于H，M，求证：DB＝DM；
（2）如图2，过点D作DF∥AB交AC于点F，点G为AD左侧一点，AG⊥AC且AG＝CF，连接BG，∠AGB＝∠AFD，猜想线段BG，DF，AB之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，∠ABC＝60°，，点P为△ABC内部一点，直接写出（PA+PB+PC）2的最小值．

25．（13分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与抛物线L1：y＝ax2﹣2x（a＞0）在第一象限交于点A，点P为线段OA上一点（不含端点），过点P作直线l∥y轴，分别交x轴，抛物线L1于点M，Q．
（1）若点A的横坐标为2，求a的值；
（2）过点A作AN⊥l，垂足为N，求证：PQ＝a OM AN；
（3）如图②，若过点Q的抛物线L2：y＝ax2﹣4x+b与直线y＝x交于点B，C（点B在C的左侧），求证：PB PC＝PO PA．
2023年内蒙古包头中考数学模拟卷
试题解析
一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）
1．2023的相反数是（　　）
A． B． C．2023 D．﹣2023
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
【解答】解：2023的相反数是﹣2023．
故选：D．
2．计算：（﹣a）2 a3的结果是（　　）
A．a5 B．a8 C．﹣a5 D．﹣a8
【分析】利用同底数幂的乘法的法则进行求解即可．
【解答】解：（﹣a）2 a3＝a2+3＝a5．
故选：A．
3．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D．1.5×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：150万＝1500000＝1.5×106．
故选：C．
4．如图所示的钢块零件的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
【解答】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
5．实数a，b，c，d在数轴上对应点的位置如图所示，正确的结论是（　　）
A．a＞c B．b+c＞0 C．|a|＜|d| D．﹣b＜d
【分析】观察数轴，找出a、b、c、d四个数的大概范围，再逐一分析四个选项的正误，即可得出结论．
【解答】解：根据数轴，﹣5＜a＜﹣4，﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，d＝4，
∵﹣5＜a＜﹣4，0＜c＜1，
∴a＜c，故A错误；
∵﹣2＜b＜﹣1，0＜c＜1，
∴b+c＜0，故B错误；
∵﹣5＜a＜﹣4，d＝4，
∴|a|＞|d|，故C错误；
∵1＜﹣b＜2，d＝4，
∴﹣b＜d，故D正确．
故选：D．
6．有两把不同的锁和四把钥匙，其中两把钥匙分别能打开这两把锁，其余两把钥匙不能打开这两把锁，随机取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】画树状图（用A、B表示两把不同的锁，用a、b、c、d表示四把钥匙，其中a能打开A，b能打开B）展示所有8种等可能的结果，找出一次打开锁的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：画树状图为：（用A、B表示两把不同的锁，用a、b、c、d表示四把钥匙，其中a能打开A，b能打开B），
共有8种等可能的结果，其中一次打开锁的结果数为2，
所以取出一把钥匙开任意一把锁，一次打开锁的概率＝＝．
故选：A．
7．下列说法中错误的是（　　）
A．有一组邻边相等的矩形是正方形
B．在反比例函数中，y随x的增大而减小
C．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形
D．有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形
【分析】根据正方形的判定，反比例函数的性质，菱形的判定，直角三角形的判定逐项分析即可．
【解答】解：A、一组邻边相等的矩形是正方形，此说法正确，不符合题目的要求；
B、在反比例函数中，在第一象限内，y随x的增大而减小，此说法错误，符合题目的要求；
C、顺次连接矩形各边中点得到的四边形是菱形，此说法正确，不符合题目的要求；
D、有一边上的中线等于这边一半的三角形是直角三角形，此说法正确，不符合题目的要求；
故选：B．
8．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝30°，则∠BOD的度数是（　　）
A．75° B．70° C．65° D．60°
【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【解答】解：∵∠BCD＝30°，
∴∠BOD＝2∠BCD＝2×30°＝60°．
故选：D．
9．若x＝﹣4，则代数式x2+8x﹣16的值为（　　）
A．﹣25 B．﹣11 C．7 D．25
【分析】将已知变形，得到x2+8x＝﹣9，即可得到答案．
【解答】解：∵x＝﹣4，
∴x+4＝，
∴（x+4）2＝7，即x2+8x+16＝7，
∴x2+8x＝﹣9，
∴x2+8x﹣16＝﹣25，
故选：A．
10．如图，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠C＝40°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN交BC于点D，连接AD，则∠BAD的大小为（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【分析】已知a，b是实数满足a≠＝1，b≠﹣1
根据线段垂直平分线的性质得出∠DAC＝∠C＝40°，进而求出∠BAD的度数．
【解答】解：由作图可知，直线MN是线段AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝40°．
∵∠BAC＝70°，
∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝70°﹣40°＝30°．
故选：A．
11．某超市销售一种牛奶，原价每箱75元，连续两次降价后每箱48元，若每次下降的百分率相同都是a，则得到方程（　　）
A．75（1﹣a）2＝48 B．75（1+a）2＝48
C．48（1﹣a）2＝75 D．48（1+a）2＝75
【分析】设每次降价的百分率为x，（1﹣x）2为两次降价的百分率，75降至48就是方程的平衡条件，列出方程求解即可；
【解答】解：设每次下降的百分率为x，根据题意，得：
75（1﹣a）2＝48，
故选：A．
12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，作CD⊥AB于点D，以AB为边作矩形ABEF，使得AF＝AD，延长CD，交EF于点G，作AN⊥AC交GF于点N，作MN⊥AN交CB的延长线于点M，MN分别交BE，DG于点H，P，若NP＝HP，NF＝2，则四边形ABMN的面积为（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【分析】依据条件可判定△ADC≌△AFN（ASA），即可得到CD＝FN＝2，AC＝AN，再根据四边形ACMN是矩形，即可得到四边形ACMN是正方形；设NG＝GE＝x，则FG＝2+x＝AD，DB＝GE＝x，根据△ADC∽△CDB，可得CD2＝AD×DB，即可得出x2+2x＝4，再根据四边形ABMN的面积＝S正方形ACMN﹣S△ABC进行计算，即可得出结论．
【解答】解：∵CD⊥AB，∠F＝90°，
∴∠ADC＝∠F＝90°，
∵AN⊥AC，∠DAF＝90°，
∴∠FAN+∠DAN＝∠DAC+∠DAN＝90°，
∴∠FAN＝∠DAC．
在△ADC和△AFN中，
，
∴△ADC≌△AFN（ASA），
∴CD＝FN＝2，AC＝AN．
∵AN⊥AC，MN⊥AN，
∴∠ACB＝∠CAN＝∠ANM＝90°，
∴四边形ACMN是矩形，
∴四边形ACMN是正方形，
∵∠CDB＝∠DBE＝90°，
∴CG∥BE，
又∵NP＝PH，
∴NG＝GE，
设NG＝GE＝x，则FG＝2+x＝AD，DB＝GE＝x，
∵Rt△ACB中，CD⊥AB，
∴△ADC∽△CDB，
∴．
∴CD2＝AD×DB，
∴22＝（2+x）x，
即x2+2x＝4．
四边形ABMN的面积＝S正方形ACMN﹣S△ABC
＝AC2﹣
＝（AD2+CD2）﹣
＝（2+x）2+22﹣
＝x2+2x+6
＝4+6
＝10，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分21分，每小题3分）
13．分解因式：6xy2﹣9x2y﹣y3＝　﹣y（3x﹣y）2　．
【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣y（y2﹣6xy+9x2）＝﹣y（3x﹣y）2，
故答案为：﹣y（3x﹣y）2
14．计算：＝　2　．
【分析】利用同分母的分式的加法法则解答即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝2．
故答案为：2．
15．2021年6月17日，中国第7艘载人航天飞船“神舟12号”圆满发射成功，激励更多的年轻人投身航天事业．现有甲、乙两名学员要进行招飞前的考核，按照4：3：2：1的比例确定成绩，甲、乙两人成绩（百分制）如表：
候选人 心理素质 身体素质 科学头脑 应变能力
甲 86 85 88 90
乙 90 82 81 90
选择1名学员，最后应选 　甲　．
【分析】根据题意和表格中的数据可以分别求得甲乙甲乙两名航天员的成绩，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意和图表可得，
甲的成绩为：＝86.5，
乙的成绩为：＝85.8，
∵86.5＞85.8，
∴应选甲，
故答案为：甲．
16．如图，某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B，已知点B到山脚的垂直距离为100m，求山的坡度为　　．
【分析】首先利用勾股定理求得AC的长，然后利用正切函数的定义求解即可．
【解答】解：由题意得：AB＝200m，BC＝100m，
根据勾股定理得：AC＝＝＝100（m），
所以tan∠A＝＝＝．
故山坡的坡度为，
故答案为．
17．已知函数y＝ax2+2x+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，则实数a的值是 　1或0　．
【分析】函数y＝ax2+2x+1的图象与坐标轴恰有两个公共点，分情况讨论，①当a＝0时，是一次函数，与坐标轴有两个交点，②a≠0时，则与x轴有一个交点，得出Δ＝0．
【解答】解：当a＝0时，y＝2x+1，与坐标轴有两个交点，
当a≠0时，
∵函数y＝ax2+2x+1的图象与y轴的交点为（0，1），
∴与x轴有一个交点，
∴Δ＝4﹣4a＝0，
解得a＝1，
综上所述：a的值为1或0．
故答案为：1或0．
18．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 　36°　．
【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解即可．
【解答】解：∵正五边形ABCDE内接于⊙O，
∴AE＝ED，∠AED＝＝108°，
∴∠EAD＝∠ADE＝（180°﹣108°）＝36°，
故答案为：36°．
19．如图，点A和点F，点B和点E分别是反比例函数y＝图象在第一象限和第三象限上的点，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足分别为点C、D，CD＝6，且AF＝FC，DE＝BE，已知四边形ADCF的面积是四边形BCDE的面积的2倍，则OC的长为　12﹣6　．
【分析】设点A的坐标为（m，）（m＞0），点B的坐标为（n，）（n＜0），则点E的坐标为（2n，），点F的坐标为（2m，），用含m、n的代数式表示出四边形ADCF和BCDE的面积，根据m﹣n＝6结合面积间的关系可列出关于m、n的二元二次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设点A的坐标为（m，）（m＞0），点B的坐标为（n，）（n＜0），则点E的坐标为（2n，），点F的坐标为（2m，），
∴S四边形ADCF＝S△ACD+S△ACF＝×6×+××m＝+2，S四边形BCDE＝S△BCD+S△BDE＝×6×（﹣）+×（﹣）×（﹣n）＝﹣+2，
∴+2＝﹣+4，即6n+12m＝mn①．
CD＝m﹣n＝6②．
联立①②成方程组，，
解得：或（舍去）．
故答案为：12﹣6．
三．解答题（共6小题，满分63分）
20．（8分）七年级学生平均每周户外运动时间的调查报告
调查背景 为积极倡导体育教学和文化教育有机结合，提高同学们的身体素质，某校对七年级学生每周参加户外运动的时间：（单位：h）进行统计，并为七年级学生开展了“生命在于运动”的主题讲座
调查方式 抽样调查
样本选取 为保证调查数据的全面性，应选择的样本选取方式为 　C　A．随机抽取七年级20名女生B．随机抽取七年级20名男生C．随机抽取七年级20名学生
数据的收集、整理与描述 信息一：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据：2.5、3.5、4.5、2、4、4.5、3.5、5.5、5.5、4.5、6.7、3、7.5、4、4.5、3.5、6、3.5信息二：被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间频数表平均每周参加户外运动的时间频数占调查人数百分比t＜3210%3≤t＜51155%5≤t＜7525%210%
调查结论 ……
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）如表中样本选取方式为 　C　（填字母）；
（2）被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动时间数据的众数是 　4.5　，中位数是 　4.5　；
（3）若该校七年级共有200名学生，讲座开展一周后，对七年级所有学生进行统计，发现平均每周参加户外运动时间不少于5h的人数为90人，试判断此讲座是否有效果？并说明理由．
【分析】（1）根据全面调查和抽样调查的定义解答即可；
（2）根据众数和中位数的定义解答即可；
（3）用200乘样本中平均每周参加户外运动时间不少于5h的人数所占比例即可解答．
【解答】解：（1）上表中样本选取方式为随机抽取七年级20名学生．
故答案为：C；
（2）被抽取学生参加讲座前每周参加户外运动的时间数据中，4.5出现的次数最多，故众数为4.5；
把20名学生每周参加户外运动的时间从小到大排列为：2、2.5、3、3、3.5、3.5、3.5、4、4、4.5、4.5、4.5、4.5、5、5.5、5.5、6、6、7、7.5，
排在中间的两个数分别是4.5，故中位数时＝4.5，
故答案为：4.5；4.5；
（3）200×＝70（人），
70＜90，
所以此讲座有效果．
21．（8分）水车又称孔明车，是中国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服世界的过程中创造出来的高超劳动技艺，是珍贵的历史文化遗产．相传为汉灵帝时毕岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在蜀国推广使用，隋唐时广泛用于农业灌溉，已有1700余年历史．小明对水车进行了研究，如图，水渠CD与水车⊙O相切于点D，连接DO，已知⊙O的半径为1.2米，支柱OA、BC与水面AB垂直，支柱OA的高度为3.5米，点A与点B之间的距离为3.6米，点O，A，B，C，D在同一平面内．
（1）求证：∠AOD﹣∠BCD＝90°．
（2）实践中发现，水渠CD与支柱BC的夹角∠BCD大小为74°时，水车装置较为牢固稳定，请计算支柱BC的高度．（结果要求精确到0.1，参考数据：，，）
【分析】（1）作OE⊥CD于点E，则∠AEC＝90°，由切线的性质得到∠ODC＝90°，由四边形内角和定理得到∠DOE＝180°﹣∠BCD，再根据周角为360°计算即可证明结论成立；
（2）延长AO交CD于点F，作FG⊥CD于点G，在Rt△ODF和Rt△CFG中，解直角三角形即可求解．
【解答】（1）证明：作OE⊥CD于点E，则∠AEC＝90°，
∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODC＝90°，
∴∠DOE＝180°﹣∠BCD，
∵∠A＝∠B＝∠OEB＝90°，
∴四边形ABEO为矩形，
∴∠AOE＝90°，
∴∠AOD＝360°﹣90°﹣（180°﹣∠BCD），
∴∠AOD﹣∠BCD＝90°；
（2）解：延长AO交CD于点F，作FG⊥CD于点G，则∠AGC＝∠AGB＝90°，
同理得四边形ABGF为矩形，则FG＝AB＝3.6，BG＝AF＝AO+OF＝3.5+OF，∠AFG＝90°，
∵∠BCD大小为74°，
∴∠CFG＝90°﹣74°＝16°，
∴∠OFD＝90°﹣16°＝74°，
∵OD＝1.2，∠ODF＝90°，
在Rt△ODF中，
∴，
在Rt△CFG中，，
∴BC＝3.5+1.25+1.05＝5.8（米）．
答：支柱BC的高度为5.8米．
22．（10分）某班把1000元奖学余按两种奖项奖给学生，一等奖每人200元．二等奖每人50元．
（1）如果获得二等奖的学生比一等奖的学生多10人，那么获得一等奖、二等奖的学生分别有多少人？
（2）如果获奖学生共20人，奖学金增加到2000元，那么获得一等奖的学生不能超过多少人？
【分析】（1）设获得一等奖的学生有x人，获得二等奖的学生有y人，列出方程组求解即可．
（2）设获得一等奖的学生有m人，则获得二等奖的学生有（20﹣m）人，根据奖学金总数≤2000元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设获得一等奖的学生有x人，获得二等奖的学生有y人，
由题意得：，
解得，，
答：获得一等奖的学生有2人，获得二等奖的学生有12人．
（2）设获得一等奖的学生有m人，则获得二等奖的学生有（20﹣m）人，
由题意得：200m+50（20﹣m）≤2000，
解得m≤，
∵m取整数，
∴m≤6（m取整数），
答：获得一等奖的学生不能超过6人．
23．（12分）如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，点C在⊙O上，连接OA，OC，AC．
（1）求证：∠AOC＝2∠PAC；
（2）连接OB，若AC∥OB，⊙O的半径为5，AC＝6，求AP的长．
【分析】（1）过O作OH⊥AC于H，得到∠OHA＝90°，根据切线的性质得到∠OAP＝90°，根据余角的性质得到∠AOH＝PAC，根据等腰三角形的性质即可得到结论；
（2）连接OB，延长AC交PB于E，根据切线的性质得到OB⊥PB，PA＝PB，根据矩形的性质得到OH＝BE，HE＝OB＝5，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：过O作OH⊥AC于H，
∴∠OHA＝90°，
∴∠AOH+∠OAC＝90°，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OAC+∠PAC＝90°，
∴∠AOH＝PAC，
∵OA＝OC，
∴∠AOC＝2∠AOH，
∴∠AOC＝2∠PAC；
（2）解：连接OB，延长AC交PB于E，
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴OB⊥PB，PA＝PB，
∵AC∥OB，
∴AC⊥PB，
∴四边形OBEH是矩形，
∴OH＝BE，HE＝OB＝5，
∵OH⊥AC，OA＝OC，
∴AH＝CH＝AC＝3，
∴OH＝＝4，
∴BE＝OH＝4，AE＝AH+HE＝8，
∵PA2＝AE2+PE2，
∴PA2＝82+（PA﹣4）2，
∴PA＝10．
24．（12分）在△ABC中，∠ACB＝45°，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，过点B作BH⊥AC，分别交AC，AD于H，M，求证：DB＝DM；
（2）如图2，过点D作DF∥AB交AC于点F，点G为AD左侧一点，AG⊥AC且AG＝CF，连接BG，∠AGB＝∠AFD，猜想线段BG，DF，AB之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，∠ABC＝60°，，点P为△ABC内部一点，直接写出（PA+PB+PC）2的最小值．

【分析】（1）证明∠DMB＝∠DBM＝45°，可得结论；
（2）结论：AB＝DF+BG．在AD上取点J，使得DJ＝DB，连接CJ，FJ，过点A作AH∥CD交DF的延长线于点H，延长CJ交AB于点K．想办法证明AB＝DH，FH＝BG，可得结论．
（3）如图3中，将△BCP绕点B逆时针旋转90°得到△BTG，连接PG，AT，过点A作AK⊥TB交TB的延长线于点K．证明PG＝PB，推出PA+PB+PC＝PA+PG+TG≥AT，利用勾股定理求出AT2，可得结论．
【解答】（1）证明：∵BH⊥AC，AD⊥BC，
∴∠BHC＝∠ADB＝90°，
∵∠C＝45°，
∴∠DBH＝∠DMB＝45°，
∴DB＝DM；
（2）解：结论：AB＝DF+BG．
理由：在AD上取点J，使得DJ＝DB，连接CJ，FJ，过点A作AH∥CD交DF的延长线于点H，延长CJ交AB于点K．
∵AD⊥CD，∠ACD＝45°，
∴∠DAC＝∠ACD＝45°，
∴DA＝DC，
∵∠ADB＝∠CDJ＝90°，DB＝DJ，
∴△ADB≌△CDJ（SAS），
∴AB＝CJ，∠BAD＝∠DCJ，
∵∠AJK＝∠CJD，
∴∠AKJ＝∠CDJ＝90°，
∴∠BAC+∠FCJ＝90°，
∵AG⊥AC，
∴∠BAG+∠BAC＝90°，
∴∠BAG＝∠FCJ，
∵AG＝CF，AB＝CJ，
∴△ABG≌△CJF（SAS），
∴BG＝FJ，∠AGB＝∠CFJ，
∵∠AGB＝∠AFD，
∴∠AFD＝∠CFJ，
∴∠AFJ＝∠CFD＝∠AFH，
∵AH∥CD，
∴∠FAH＝∠ACD＝45°＝∠JAF，
∵AF＝AF，
∴△AFJ≌△AFH（ASA），
∴FJ＝FH，
∵AB∥DH，AH∥BD，
∴四边形ABDH是平行四边形，
∴AB＝DH＝DF+FH＝DF+BG；
（3）解：如图3中，将△BCP绕点B逆时针旋转90°得到△BTG，连接PG，AT，过点A作AK⊥TB交TB的延长线于点K．
∵BP＝BG，∠PBG＝90°，
∴PG＝PB，
∴PA+PB+PC＝PA+PG+TG≥AT，
∵∠K＝∠ADB＝∠DBK＝90°，
∴四边形ADBK是矩形，
在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∠ABD＝60°，AD＝2，
∴BD＝2，
∵BT＝BC＝BD+DC＝2+2，
∴AK＝BD＝2，TK＝2+4，
∴AT2＝AK2+TK2＝22+（2+4）2＝56+16，
∴（PA+PB+PC）2≥56+16，
∴（PA+PB+PC）2的最小值为56+16．
25．（13分）如图①，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与抛物线L1：y＝ax2﹣2x（a＞0）在第一象限交于点A，点P为线段OA上一点（不含端点），过点P作直线l∥y轴，分别交x轴，抛物线L1于点M，Q．
（1）若点A的横坐标为2，求a的值；
（2）过点A作AN⊥l，垂足为N，求证：PQ＝a OM AN；
（3）如图②，若过点Q的抛物线L2：y＝ax2﹣4x+b与直线y＝x交于点B，C（点B在C的左侧），求证：PB PC＝PO PA．
【分析】（1）将x＝2代入y＝x中，得到y＝1，求得A（2，1），将A（2，1）代入y＝ax2﹣2x即可得到结论；
（2）设P（p，p），则M（p，0），Q（p，ap2﹣2p），根据题意列方程得到A（），根据AN⊥l，得到a OM AN＝a p（）＝，于是得到PQ＝a OM AN；
（3）作BE⊥l于E，CF⊥l于F，AN⊥l于N，由（2）知P（p，p），A（），AN＝﹣p，根据抛物线都过点Q，Q（p，ap2﹣2p），求得b＝2p，设B（x1，x1），C（x2，x2），得到BE＝p﹣x1，CF＝x2﹣p，由ax根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）解：将x＝2代入y＝x中，得，y＝1，则A（2，1），
将A（2，1）代入L1：y＝ax2﹣2x中得1＝4a﹣4，
∴a＝；
（2）证明：由题意，设P（p，p），则M（p，0），Q（p，ap2﹣2p），
∴，
由得，x1＝，x2＝0，
∴A（），
∵AN⊥l，
∴，
∴a OM AN＝a p（）＝，
∴PQ＝a OM AN；
（3）证明：作BE⊥l于E，CF⊥l于F，AN⊥l于N，
由（2）知P（p，p），A（），AN＝﹣p，
∵抛物线都过点Q，Q（p，ap2﹣2p），
∴ap2﹣4p+b＝ap2﹣2p，
则b＝2p，
设B（x1，x1），C（x2，x2），
则BE＝p﹣x1，CF＝x2﹣p，
由ax2﹣4x+2p＝x得2ax2﹣9x+4p＝0，
∴x1+x2＝，x1x2＝，
∵CF∥AN∥BE∥OM，
∴△BPE∽△APN，△OPM∽△CPF，
∴，，
∵（p﹣x1）（x2﹣p）＝p（x1+x2）﹣x1x2﹣p2＝p ﹣﹣p2＝﹣p2＝p（﹣p），
∴，
∴，
即PB PC＝PO PA．

展开更多......

收起↑