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2023年福建省南平市中考数学二检试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
2. 数据用科学记数法可表示为( )
A. B. C. D.
3. 下面几何体的左视图为三角形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列各式计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 下列说法正确的是( )
A. 随机抛掷硬币次，一定有次正面向上
B. 一组数据，，，，的众数是
C. 为了了解某电视节目的收视率，宜采用抽样调查
D. 甲、乙两射击运动员分别射击次，他们成绩的方差分别为，，在这过程中，乙发挥比甲更稳定
6. 如图，四边形内接于，，，则的大小是( )
A.
B.
C.
D.
7. 在等边三角形中，点，分别是边，的中点，若的周长为，则的周长为( )
A. B. C. D.
8. 某市举行篮球联赛，每两支球队之间只进行一场比赛，一共比赛了场，设有支球队参加比赛，可列方程为( )
A. B. C. D.
9. 如图，某数学实践小组测量操场的旗杆的高度，操作如下：
在点处放置测角仪，量得测角仪的高度为；
测得仰角；
量得测角仪到旗杆的水平距离为．
则旗杆的高度可表示为( )
A.
B.
C.
D.
10. 已知抛物线为常数的顶点不在抛物线为常数上，则应满足( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 因式分解： ．
12. 写出一个在正比例函数图象上的点的坐标______ ．
13. 一个正多边形的每个外角都是，这个正多边形的边数是______．
14. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则这个圆锥的侧面积是______．
15. 某校开设了阅读、运动、娱乐、创新四项课后活动每位同学可随机从这四项活动中选一项参加，则甲、乙两人恰好选同一项活动的概率是______ ．
16. 在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，垂直轴于点，垂直轴于点，反比例函数的图象经过点，若：：，则的值为______ ．
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
解方程组．
18. 本小题分
如图，在 中，，是对角线上的两点，且求证：．
19. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
20. 本小题分
数学兴趣小组进行一项调查活动，主题是：学生对“朱子文化”的了解情况随机调查了部分学生，调查结果分为四种：非常了解；比较了解；基本了解；不了解被调查的每位学生的调查结果只有其中一种，将调查结果整理并绘制成下面两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息解答下列问题：
本次共调查______ 名学生；扇形统计图中，所对应的扇形的圆心角是______ 度；
该校共有名学生，根据以上信息，请你估计全校学生中“非常了解”的约有多少名？
21. 本小题分
如图，在中，．
在边上确定一点，以为圆心，为半径作，使得与边相切于点；要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
已知，，在所作的图形中，求的半径．
22. 本小题分
百合花是南平市花某校为了丰富学生的校园生活，准备购进黄色和粉色两种百合其中粉色百合一盆的价格比黄色百合一盆的价格少元，用元购进的黄色百合的盆数和用元购进的粉色百合的盆数相等．
求黄色百合和粉色百合一盆的价格分别是多少；
该校计划用元购买黄色百合和粉色百合，且两种百合都必须购买，请问恰好用完元的购买方案有哪几种？
23. 本小题分
如图，是的直径，是的弦，直线与相切于点，过点作于点．
求证：；
若，，求的长．
24. 本小题分
在等腰三角形中，，是由绕点按顺时针方向旋转角得到，且点的对应点恰好落在直线上，如图．
判断直线与直线的位置关系，并证明；
当时，求的大小；
如图，点为线段的中点，点在线段上且，当点在线段上时，求证：．
25. 本小题分
如图，抛物线经过点，且与直线交于点，．
求抛物线的解析式；
当时，求的面积；
已知垂直轴于点，垂直轴于点，求证：．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
故选：．
根据相反数的概念解答即可．
本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，的相反数是．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】解：圆柱的左视图是长方形，不合题意；
B.圆锥的左视图是三角形，符合题意；
C.球的左视图是圆，不合题意；
D.长方体的左视图是矩形，不合题意；
故选：．
根据左视图的定义即可判断．
本题主要考查了三视图，解题时注意：从左边看到的图形是左视图．
4.【答案】
【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故A不符合题意．
B、当时，原式无意义，故B不符合题意．
C、原式，故C符合题意．
D、原式，故D不符合题意．
故选：．
根据整式的加减运算、乘除法运算法则以及零指数幂的意义即可求出答案．
本题考查整式的加减运算、乘除法运算法则以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：随机抛掷硬币次，不一定有次正面向上，原说法错误，故本选项不符合题意；
B.一组数据，，，，的众数是，原说法错误，故本选项不符合题意；
C.为了了解某电视节目的收视率，宜采用抽样调查，说法正确，故本选项符合题意；
D.甲、乙两射击运动员分别射击次，他们成绩的方差分别为，，在这过程中，甲发挥比甲更稳定，原说法错误，故本选项不符合题意．
故选：．
选项A根据概率的定义判断即可；选项B根据众数的定义判断即可；选项C根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来判断即可；选项D根据方差的意义判断即可．
本题考查了众数、方差以及全面调查和抽样调查，解题的关键是了众数、概率和全面调查和抽样调查的定义及方差的意义．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
四边形内接于，
，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出即可．
本题考查了圆内接四边形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能求出是解此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：的周长是，
，
点，分别是边，的中点，
是的中位线，
，，，
的周长，
故选：．
根据三角形的周长公式得到，根据三角形中位线定理得到，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设有支球队参加比赛，
由题意得，．
故选：．
利用比赛的总场次数参赛的队伍数参赛的队伍数，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据“比赛的总场次数参赛的队伍数参赛的队伍数”列出方程是解决问题的关键．
9.【答案】
【解析】解：过点作于点，
由题意，知四边形是矩形，
，，
在中，
，
，
，
故选：．
过点作于点，在直角三角形中用表示出，再利用线段的和求出旗杆的高度即可．
本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，构造直角三角形，合理利用三角函数定义是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线，
抛物线的顶点为，
抛物线的顶点在直线上，
抛物线为常数的顶点不在抛物线为常数上，
直线与抛物线无交点，
令，整理得，
，
解得，
故选：．
求得抛物线的顶点为，即可得出抛物线的顶点在直线上，由抛物线为常数的顶点不在抛物线为常数上，则直线与抛物线无交点，故方程的，解不等式即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，能够理解题意，得到关于的不等式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了公式法分解因式，正确应用平方差公式是解题关键．
直接利用平方差公式分解因式得出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．
12.【答案】答案不唯一
【解析】解：当时，，
点的坐标是答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
给一个值，代入解析式求出的值，就可以写出点的坐标．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，此类题目利用代入法即可求得答案．
13.【答案】
【解析】解：设所求正边形边数为，
则，
解得．
故正多边形的边数是．
多边形的外角和等于，因为所给多边形的每个外角均相等，故又可表示成，列方程可求解．
本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
14.【答案】
【解析】解：这个圆锥的侧面积．
故答案为．
由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式可直接计算出这个圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
15.【答案】
【解析】解：用，，，分别代表阅读、运动、娱乐、创新，画树状图如下：
由图可知，一共有中等可能的情况，其中甲、乙甲、乙两人恰好选同一项活动有种可能，
甲、乙甲、乙两人恰好选同一项活动．
故答案为：．
用列表法或画树状图法列出所有等可能的情况，得到等可能结果数，再从中数出甲、乙两人恰好选同一项活动的结果数，利用概率公式求出即可．
本题考查等可能事件概率的求法，掌握列表法和树状图法是解题的关键．
16.【答案】或
【解析】解：如图所示：
直线与轴交于点，与轴交于点，
把、分别代入得：，，
，，即，．
设点，则，，，，
：：，
即----，
，
∽，，即----，
联立、解得：或，
或，
，或，
故答案为：或．
根据直线的解析式求出与坐标轴交点、的坐标，设出点，利用相似三角形的性质可得、之间的关系式，根据面积比得出另一个关于、的关系式，联立可求出、的值，进而求出答案．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，涉及到相似三角形，灵活运用所学知识是解题的关键．
17.【答案】解：，
得：，
，
把代入得：．
．
【解析】本题用加减消元法或代入消元法均可．
本题考查解二元一次方程组，解题关键是掌握方程组解法中的加减消元法和代入消元法．
18.【答案】证明：证法一：四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
≌．
．
证法二：四边形是平行四边形，
，．
．
，
．
在和中，
≌．
．
【解析】本题考查的是利用平行四边形的性质结合三角形全等来解决有关线段相等的证明．
要证，可以通过证≌转而证得边要证≌，由平行四边形的性质知，，，又知，于是可由证明≌，从而得证．本题还可以通过证≌来证线段相等．
19.【答案】解：原式
，
当时，
原式
．
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
20.【答案】
【解析】解：本次共调查学生：名，
所对应的扇形的圆心角是：，
故答案为：；；
名，
答：估计全校学生中“非常了解”的约有名．
用的人数除以可得样本容量，用乘所占百分比可得所对应的扇形的圆心角度数；
用乘样本中“非常了解”的学生所占比例即可．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法．
21.【答案】解：如图，为所作；
在中，，，，
，
，
为的切线，
与相切于，
，
，
设的半径为，则，，
在中，，
解得，
即的半径为．
【解析】作的平分线交于点，则根据角平分线的性质得到点到的距离等于，然后根据切线的判定方法可判断与边相切；
先利用勾股定理得到，再根据切线长定理得到，所以，设的半径为，则，，利用勾股定理得到，然后解方程即可．
本题考查了作图复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质、切线的判定与性质．
22.【答案】解：设粉色百合的单价为元盆，则黄色百合的单价为元盆，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
．
答：粉色百合的单价为元盆，黄色百合的单价为元盆．
设恰好用完元可购买黄色百合盆和粉色百合盆，
根据题意得：，
、都是正整数，
时，；时，；时，．
答：有三种购买方案：购买黄色百合盆，粉色百合盆；购买黄色百合盆，粉色百合盆；购买黄色百合盆，粉色百合盆．
【解析】设粉色百合的单价为元盆，则黄色百合的单价为元盆，根据数量总价单价结合用元购进的粉色百合盆数和元购进的黄色百合个数相等，即可得出关于的分式方程，解之并检验后，即可得出结论；
设恰好用完元可购买黄色百合盆和粉色百合盆，根据总价单价数量，即可得出关于、的二元一次方程，根据、均为正整数，即可找出不同购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：根据数量总价单价，列出关于的分式方程；根据总价单价数量，列出关于、的二元一次方程．
23.【答案】证明：连接．
为的切线，
，
，
，
，
又，
，
；
解：连接．
在中，，，
，
是的直径，
，
，
，
∽，
，即，
．
【解析】连接，由切线定理可得，则可得到，利用平行和半径相等导角即可得到结果；
连接，由“直径所对的圆周角等于”可得，从而证得∽，利用相似的性质求出的长度．
本题考查了圆的有关性质定理，还涉及到相似的性质和判定、平行的性质和判定等知识点，掌握相关的几何性质定理并能灵活运用是解决本题的关键．
24.【答案】解：．
证明：由旋转的性质可得，，
，
，
，
．
解：设，则，
由旋转的性质可得，，
，
，
，
，
在中，，
，
解得，，
答：
证明：如图，连接，，
由旋转的性质可知：，，，
，
，
，，
≌，
，，
，点为线段的中点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
【解析】由等边对等角得，由旋转的性质可得，从而得证．
由可证，设，则，根据，列方程求解即可．
连接，，证明≌，得，，由，点为线段的中点，得，于是，再证明≌得，从而．
本题考查了几何变换中的旋转，是一道综合题，把各个知识点穿起来，融汇贯通是解题的关键．
25.【答案】解：抛物线经过点，
，
，
抛物线的解析式为；
当时，直线解析式为，
联立方程组得：，
解得：，，
如图，设点，点．
设直线与轴的交点为，
点，
；
设点，点的坐标为，，
联立方程组可得：，
，
，，
，，，，
，
．
【解析】将点坐标代入解析式可求的值，即可求解；
联立方程组可求点，点坐标，即可求解；
设点，点的坐标为，，分别表示出，，，的长，代入可求解．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数的性质，一元二次方程的解法，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
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