资源简介

南京师大附中2023届高三年级模拟考试
数学
2023.5
（总分150分，考试时间120分钟）
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷。
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分。
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，，则中元素个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．已知复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．将一枚质地均匀的骰子投掷两次，则第一次掷得的点数能被第二次掷得的点数整除的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知的边的中点为，点在所在平面内，且，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
5．圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，是它的一条对称轴，是它的一个焦点，一光线从焦点发出，射到镜面上点，反射光线是，若，，则该双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的公比为，前项和为，则“”是“对任意的，，，构成等比数列的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分条件也不必要条件
7．已知实数，满足，，其中是自然对数的底数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．在三棱锥中，，，圆柱体在三棱锥内部（包含边界），且该圆柱体的底面圆在平面内，则当该圆柱体的体积最大时，圆柱体的高为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．某校对参加高校综合评价测试的学生进行模拟训练，从中抽出名学生，其数学成绩的频率分布直方图如图所示．已知成绩在区间内的学生人数为2人．则（ ）
A．的值为0.015，的值为40频率
B．平均分为72，众数为75
C．中位数为750
D．已知该校共1000名学生参加模拟训练，则不低于90分的人数一定为50人
10．已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（ ）
A．的最小正周期为
B．
C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数
D．函数在上有且仅有一个零点
11．如图，由正四棱锥和正方体组成的多面体的所有棱长均为2．则（ ）
A．平面 B．平面平面
C．与平面所成角的余弦值为 D．点到平面的距离为
12．点是直线上的一个动点，，是圆上的两点．则（ ）
A．存在，，，使得
B．若，均与圆相切，则弦长的最小值为
C．若，均与圆相切，则直线经过一个定点
D．若存在，，使得，则点的横坐标的取值范围是
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知，的展开式中存在常数项，则的最小值为________．
14．某班有45名同学，一次考试后的数学成绩服从正态分布，则理论上在85分到90分的人数约是________．（按四舍五入法保留整数）
附：，，．
15．已知曲线与曲线有且只有一条公切线，则________．
16．设，，．若对任意的，均为上的增函数，则的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知、、分别为的三个内角、、的对边长，，且．
（1）求角的值；
（2）求面积的取值范围．
18．（本小题满分12分）
设为数列的前项和，已知，且满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，当时，．若对于任意，有，求的取值范围．
19．（本小题满分12分）
甲，乙，丙三个厂家生产的手机充电器在某地市场上的占有率分别为25%，35%，40%，其充电器的合格率分别为70%，75%，80%．
（1）当地工商质检部门随机抽取3个手机充电器，其中由甲厂生产的手机充电器数目记为，求的概率分布列，期望和方差；
（2）现从三个厂家生产的手机充电器中随机抽取1个，发现它是不合格品，求它是由甲厂生产的概率．
20．（本小题满分12分）
如图（1），平面四边形由正三角形和等腰直角三角形组成，其中，．现将三角形绕着所在直线翻折到三角形位置（如图（2）），且满足平面平面．
图（1） 图（2）
（1）证明：平面；
（2）若点满足，当平面与平面夹角的余弦值为时，求的值．
21．（本小题满分12分）
已知椭圆，椭圆．点为椭圆上的动点，直线与椭圆交于，两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）以点为切点作椭圆的切线，与椭圆交于，两点，问：四边形的面积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．
22．（本小题满分12分）
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若，求证：；
（3）求证：对于任意都有．
南京师大附中2023届高三年级模拟考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．B 2．C 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．A
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．AB 10．ACD 11．BD 12．BCD
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．4 14．6 15． 16．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（1）解： 2分
由正弦定理得，得到，所以
，因为，所以． 5分
（2）解：由正弦定理，可知，
8分
∵，∴，∴ 10分
18．（1），所以，， 3分
∴当时，；当时，也符合，所以． 5分
（2），
，， 7分
当时，满足， 10分
当时，存在，使得，则，
所以，不满足条件， 11分
所以． 12分
19．解：设“该手机充电器由甲厂生产”为事件，“该手机充电器由乙厂生产”为事件，“该手机充电器由丙厂生产”为事件，“该手机充电器是合格品”为事件，“该手机充电器是不合格品”为事件，
则，，，，，，，，，
（1）的取值为0，1，2，
，
，
所以分布列为
0 1 2 3
4分
且，故，，
答：的期望是，方差是． 6分
（2）
9分
答：它是由甲厂生产的概率是． 12分
20．（1）证明：取的中点，连结，在正三角形中，有，
又因为平面平面，平面平面，
平面，所以平面， 2分
又因为平面，所以，
在等腰直角三角形中，有，又因为，
且平面，所以平面． 4分
（2）取的中点，连结，在正三角形中，有，
由（1）可知平面，又因为平面，所以，
又因为，且平面，所以平面．
取的中点，连结，因为点是的中点，所以，
又因为，所以， 6分
因为平面，平面，
所以，， 8分
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，，
因为，所以，所以，
设平面的法向量为，则
，
设平面的法向量为，则
，
由题意可知，， 10分
整理得，所以，，
又因为，所以． 12分
21．解：（1）设，，，因为，所以，
因为点为椭圆上的动点，所以，从而
即，故椭圆的标准方程； 3分
（2）法一：设，，
当直线的斜率存在时，设为，则直线的方程为
，即，代入得直线的方程为 5分
联立，消去得
注意到化简得 7分
又，
所以点到直线得距离为 8分
所以点到直线得距离为 9分
故 10分
当直线的斜率不存在时，即，若，则：，
则，，，，
所以
同理可得，若，
综上，四边形的面积为定值． 12分
法二：设，，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
， 5分
注意到化简得， 7分
原点到直线的高为， 8分
又因为，点是的中点，所以点到直线的距离等于点到直线的距离，
由对称性可知，，所以点到直线的距离等于点到直线的距离的三倍，故． 10分
当斜率不存在时，同法一． 12分
22．解：（1）函数的定义域是．
由已知得，．
①当时，当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
②当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，当时，，单调递增；
③当时，当时，，单调递增；
④当时，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，当时，，单调递增．
综上，①当时，函数在上单调递减，上单调递增； 1分
②当时，函数在单调递增上单调递减，上单调递增； 2分
③当时，函数在单调递增； 3分
④当时，函数在单调递增，上单调递减，上单调递增． 4分
（2）当时，
由（1）知，函数在单调递增且；
令
令，从而
所以恒成立， 6分
设，
8分
（3）由（2）知：时
即
故在时恒成立； 10分
所以
…
相加得： 12分

展开更多......

收起↑