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7.2.2　复数的乘、除运算
第七章　§7.2　复数的四则运算
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
学习目标
导语
我们知道，两个一次式相乘，有(ax＋b)(cx＋d)＝acx2＋(bc＋ad)x＋bd，复数的加减法也可以看作多项式相加减，那么复数的乘除法又该如何定义呢？
一、复数乘法的运算法则和运算律
二、复数代数形式的除法运算
三、在复数范围内解方程
随堂演练
内容索引
复数乘法的运算法则和运算律
一
问题1　类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？
提示　复数的乘法法则如下：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
问题2　类比实数的运算律，你认为复数满足哪些运算律？请证明你的猜想.
提示　猜想：
对于任意z1，z2，z3∈C，有：
(1)交换律：z1z2＝z2z1；
(2)结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；
(3)分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
证明：
设z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i.
(1)∵z1z2＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)
＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i，
z2z1＝(a2＋b2i)(a1＋b1i)
＝(a2a1－b2b1)＋(b2a1＋a2b1)i，
且a1a2－b1b2＝a2a1－b2b1，
b1a2＋a1b2＝b2a1＋a2b1，
∴z1z2＝z2z1.
(2)∵(z1z2)z3＝[(a1＋b1i)(a2＋b2i)](a3＋b3i)
＝[(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i](a3＋b3i)
＝[(a1a2－b1b2)a3－(b1a2＋a1b2)b3]＋[(b1a2＋a1b2)a3＋(a1a2－b1b2)b3]i
＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i，
同理可证：z1(z2z3)＝(a1a2a3－b1b2a3－b1a2b3－a1b2b3)＋(b1a2a3＋a1b2a3＋a1a2b3－b1b2b3)i，
∴(z1z2)z3＝z1(z2z3).
(3)∵z1(z2＋z3)＝(a1＋b1i)[(a2＋b2i)＋(a3＋b3i)]
＝(a1＋b1i)[(a2＋a3)＋(b2＋b3)i]
＝[a1(a2＋a3)－b1(b2＋b3)]＋[b1(a2＋a3)＋a1(b2＋b3)]i
＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i，
z1z2＋z1z3＝(a1＋b1i)(a2＋b2i)＋(a1＋b1i)(a3＋b3i)
＝(a1a2－b1b2)＋(b1a2＋a1b2)i＋(a1a3－b1b3)＋(b1a3＋a1b3)i
＝(a1a2－b1b2＋a1a3－b1b3)＋(b1a2＋a1b2＋b1a3＋a1b3)i
＝(a1a2＋a1a3－b1b2－b1b3)＋(b1a2＋b1a3＋a1b2＋a1b3)i，
∴z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝__________________.
2.复数乘法的运算律
对任意复数z1，z2，z3∈C，有
知识梳理
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
交换律 z1z2＝____
结合律 (z1z2)z3＝_______
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
例1
计算下列各题.
(1)(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2；
(1－i)(1＋i)＋(2＋i)2
＝1－i2＋4＋4i＋i2
＝5＋4i.
(2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i.
(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i
＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i
＝(3＋11i)(3－4i)＋2i
＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i
＝53＋21i＋2i＝53＋23i.
(1)两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤
①首先按多项式的乘法展开；
②再将i2换成－1；
③然后再进行复数的加、减运算.
(2)常用公式
①(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
反思感悟
跟踪训练1
(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)等于
A.2i－13 B.13＋2i
C.13－2i D.－13－2i
√
(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.
(2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是
A.(－∞，1) B.(－∞，－1)
C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)
√
因为(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，
复数代数形式的除法运算
二
问题3　类比实数的除法是乘法的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？
提示　复数除法的法则：
求解过程：
(1)设复数a＋bi(a，b∈R)除以c＋di(c，d∈R)，其商为x＋yi(x，y∈R)，即(a＋bi)÷(c＋di)＝x＋yi.
∵(x＋yi)(c＋di)＝(cx－dy)＋(dx＋cy)i，
∴(cx－dy)＋(dx＋cy)i＝a＋bi.
实际过程中一般采用下面的过程：
知识梳理
复数除法的法则是：(a＋bi)÷(c＋di)＝_______________(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0).
复数的除法的实质是分母实数化.若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数.
　(1)若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为
A.3＋5i B.3－5i
C.－3＋5i D.－3－5i
例2
√
∵z(2－i)＝11＋7i，
－2＋i
复数的除法运算法则的应用
复数的除法法则在实际操作中不方便使用，一般将除法写成分式形式，采用“分母实数化”的方法，即将分子、分母同乘分母的共轭复数，使分母成为实数，再计算.
反思感悟
跟踪训练2
√
在复数范围内解方程
三
例3
(课本79页例6)已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数).
(1)求b，c的值；
∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，
即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
(2)试判断1－i是否为方程的一个根.
由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边，
得(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，
∴1－i也是方程的一个根.
延伸探究　若将条件中的“1＋i”改为“1＋ai”，判断a与c之间的关系.
因为实系数复数方程的两根互为共轭复数，
所以另一根为1－ai，
所以(1＋ai)(1－ai)＝c，即1＋a2＝c.
故a与c之间的关系为1＋a2＝c.
反思感悟
解决复数方程问题的方法
与复数方程有关的问题，一般是利用复数相等的充要条件，把复数问题实数化进行求解.根与系数的关系仍适用，但判别式“Δ”不再适用.
跟踪训练3
　 已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值.
课堂
小结
1.知识清单：
(1)复数的乘法及运算律.
(2)复数的除法运算.
(3)在复数范围内解方程.
2.方法归纳：分母实数化、配方法、求根公式法.
3.常见误区：分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误.
随堂演练
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1.若a，b∈R，i为虚数单位，且(a＋i)i＝b＋i，则
A.a＝1，b＝1 B.a＝－1，b＝1
C.a＝－1，b＝－1 D.a＝1，b＝－1
√
∵(a＋i)i＝ai－1＝b＋i，∴a＝1，b＝－1.
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故复数对应的点在第二象限.
2.在复平面内，复数 对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
√
3.方程x2＋3＝0在复数范围内的解为x＝________.
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－2＋4i
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本课结束

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