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2022 年佛山市顺德区高一数学竞赛试题
注意事项：
1.本卷共 11 道题，分试卷与答题卷，满分 120 分，时间 90 分钟；
2.用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案和解题过程写在答题卷上；
3.不准使用计算器.
一、填空题（本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分）
b 2022 2022
1、某含有三个实数的集合可以表示为{b, ,0}，也可以表示为{a,a b,1}，则 a b
a
的值为___________.
2
2、已知复数 z是方程： x x 1 0的解，则 z _______
a b
3、已知a 0，b 0，则 的最小值为_________.
a 3b 2a b
4 、 已 知 函 数 f (x) 4x2 bx c ， 当 x [ 1,1] 时 ， f (x) 的 最 大 值 为 2 ， 则
b c ___________；
5、法国数学家韦达在《三角形解法之数学准则》一书中探讨过多倍角公式，以正弦的三倍
角公式为例， sin3 3cos2 sin sin3 .对该公式进行变形，我们可以得到：
sin3 sin (3cos2 sin2 ) sin ( 3 cos sin )( 3 cos sin )，再利用辅助角

公 式 可 得 ： sin 3 4sin sin( ) sin( ) . 已 知 余 弦 的 三 倍 角 公 式 为 ：
3 3
cos15
cos3 cos3 3cos sin2 ，则可得 的值为___________；
cos5 cos55 cos65
6、在 ABC中，角 A，B，C 所对的边为 a，b，c，B ， ABC的面积为 2，E，
4
1 1 F 在边 AC上，且 AE AC， AF AC，则 BE BF 的最小
4 2
值为________.
7、如图，已知点 P是等边 ABC内一点，且 PA 1， PB 3， 第 7 题图
PC 2，则 ABC的面积为___________；
8、如图，在三棱锥 P ABC 中， AB 4， AC 5， BC 6，且三
棱锥的四个面均为全等的三角形，则三棱锥 P ABC 外接球的表面积为
________；
第 8 题
1
二、解答题（本大题共 3 小题，共 56 分，解答应写出文字说明，证明过程或
演算步骤）
9、（本小题满分 16 分）已知函数 f (x)为奇函数， g(x)为偶函数， f (x) g(x) 2ex .
（1）求函数 f (x)， g(x)的表达式；
（2）试判断函数 f (x)的单调性（不用证明）；
（3）当 x (0, )时， f (x2 4) f (2x ax) 0恒成立，求实数 a的取值范围.
10、（本小题满分 20 分）在锐角 ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，a 2，点
D为线段 BC的中点，设 ADC为 ，且有 AD(1 cos ) 2 .
2
（1）若 = ，求 ABC的周长；
3
（2）求 ABC面积的范围.
11、（本小题满分 20 分）在直三棱柱 ABC A1B1C1中，侧面 AA1B1B为正方形，AB BC 2，
M ，N 分别为 AC， AA1的中点，D为棱 B1C1上的动点，BN B1C1.
（1）证明 ： BN D M ；
（2）当 B1C1 4B1D时，设截面DMN 将直三棱柱分为两部分，
设两部分的体积分别为：V1，V2，请计算V1,V2 的值.
22022 年佛山市顺德区高一数学竞赛试题参考答案
1.【答案】 2
b
【解析】由题意可知 a 0 .由集合相等可得a b 0，从而可得 1，所以 a 1且
a
b 1 2022 2022 2022 2022，所以a b ( 1) 1 2 .
2.【答案】1
Q z 1 3i z 1 3【解析】 1
2 4 4
a b
已知 a 0，b 0，则 的最小值为_________.
a 3b 2a b
2 6 2
3.【答案】
5
3n m 2m n
【解析】令 a 3b m， 2a b n，则可得： a ， b .从而可得：
5 5
a b 3n 2m 2 2 6 2
.
a 3b 2a b 5m 5n 5 5
4.【答案】-2
【解析】由题意可知 f (0) c 2，即可得： 2 c 2 .由 f ( 1) 4 b c 2可得
6 c b 2 ， 由 f (1) 4 b c 2 可 得 6 c b 2 . 两 式 相 加 可 得 ：
6 c 2，从而可得 c 2 .上两式等价于0 b 4， 4 b 0，即可得b 0 .从而
可得：b c 2 .
5.【答案】 4
【解析】类比正弦的三倍角公式可得：
cos3 cos (cos2 3 sin2 ) cos (cos 3sin )(cos 3sin )，
再 利 用 辅 助 角 公 式 可 得 ： cos3 4cos cos( ) cos( ) ， 即 可 知
3 3
cos15o
cos15o 4cos5o cos65o cos55o所以 4 .
cos5o cos55o cos65o
6.【答案】 3 2
1 1
【解析】根据三角形的面积公式 S acsin B 2，则可得：ac 4 .由 AE AC
2 4
1
3 1
可得： BE BA BC，由 AF 1 AC 1 1可得： BF BA AC .
4 4 2 2 2
3 1 1
从而可得： BE BF c2 a2 BA BC 3 c2 1 a2 2 ac
8 8 2 8 8 4

利用基本不等式可得 BE BF 3 2 ac 3 2 .
4
7 3
7.【答案】
4

【解析】将 PBC绕点 B逆时针旋转 ，可得 PBC P BA，即可得：P A PC 2，
3
容易证明 PBP 为等边三角形，即可得： P P PB 3 .考虑
PP A，可得： APP 90 ，即可得： APB 150 .考虑 APB，
可得 AB2 7 3 7，从而可得 ABC的面积为 .
4
8.【答案】154
【解析】因为 ABC PAB，假设 PB BC 6，则 PBC为等腰三角形与三棱锥四
个面均全等矛盾，从而可得： PB AC 5 .同理可得： PA BC 6， PC AB 4 .
从而可将该三棱锥补形在长方体中，设该长方体的长、宽、高分别为：a，b，c，则可得：
a2 b2 16，b2 2
77
c 25，a2 c2 36 a2 b2 c2.从而可得： ，三棱锥 P ABC2
77
外接球的表面积为 .
2
9.【解析】 x x（1）由题意 f (x) g(x) 2e ， f ( x) g( x) 2e ……………………1 分
f (x) x因为函数 为奇函数， g(x)为偶函数，所以 f (x) g(x) 2e ………………2分
解得： f (x) ex e x , g(x) ex e x……………………………………………………5 分
2 f (x) ex e x（ ） 在 R上单调递增；……………………………………………………7 分
（3） f (x2 4) f (2x ax) f (ax 2x)……………………………………………9 分
Q f (x) ex e x在R上单调递增； x2 4 ax 2x ax x2 2x 4……11 分
4
因为 x 0，因此上式可变形为 a x 2………………………………………12 分
x
2
设 g(x) x 4 2 2 x 4 2 6 …………………………………………………15
x x
a 6………………………………………………………………………………………16 分
1 4
10.【解析】（1）由题意 AD (1 ) 2 AD ……………………………………1 分
2 3
2 16 4 1 13 13
由余弦定理： AB 1 2 1 AB … …………………3分
9 3 2 9 3
AC 2 1 16 2 1 4 1 37 37同理 ( ) AC …………………………5分
9 3 2 9 3
l a b c 2 13 37所以三角形的周长 ……………………………………6 分
3 3

（2）根据中线向量公式可得： 2AD AB AC……………………………………7分
两边平方可得： 4AD2 b2 c2 2bc cos A………………………………………8 分
根据余弦定理： a2 b2 c2 2bc cos A
2 2 16
结合两式可得： cos A 4AD a 4AD2 ，其中 a2 4 0恒成立，
4bc (1 cos )2
故可得角 A为锐角……………………………………………………………………10 分
在 ABD中，b2 BD2 AD2 2BD AD cos( )，
整理可得：b2 1 AD2 2AD cos ………………………………………………11 分
b2 BD2由 AD2 2 2AD cos 21 cos 0恒成立，故可得角 B为锐角…12 分
1 cos
在 ACD中， c2 CD2 AD2 2CD AD cos ，
整理可得： c2 1 AD2 2AD cos ……………………………………………………13 分
c2 CD2 AD2 2 2AD cos 21 3cos 现考虑 ………………………………14 分
1 cos
1 3cos 1
ABC为锐角三角形，即可得：2 0，从而可得：cos (0, )………15 分
1 cos 3
3
ABC 1的面积 S BC AD sin 2sin 2 ………………………………17 分
2 1 cos tan
2
1 2
因为 cos (0, )，故可得：
3 tan ( , )
………………………………………18 分
2 2
即可得 ABC面积的范围是 (0,2 2)……………………………………………………20 分
11.【解析】
（1）连接CN , BN B1C1 BN 5,BC 2 NC 3 AN 1 AC 2 2 1 分
所以三角形 ABC为等腰直角三角形即BC AB …………………………………………2分
取 AB的中点G，连接 B1G,MG，因为点M 为 AC中点，
所以MG / /BC / /B1C1，可得：BN MG…………………………………………………4 分
在正方形 AA1B1B中，易证 BN A1G A1G MG G BN 面MGB1D …………5 分
因为DM 面MGB1D，所以 BN DM …………………………………………………6 分
（2）如图 1，设点 P BB1 平面DMN ，连接 PN 与 A1B1 交于点 E，与 BA的延长线交
于点Q，连接QM 与 BC交于点T ，连接 PT .…………………………………………7分
所以五边形 DENMT 为平面 DMN 截直三棱柱 ABC A1B1C1 所形成
的截面…………………………………………………………………9分
如图 2，考虑 ABC 所在平面，设 AQ x ，利用三角形相似可得
BT x 2 …………………………………………………………11 分
x 1
考虑 PBQ 2所在平面，利用三角形相似可得 B1P 1 ……12 分x
图 1
考虑 PBT 所在平面，利用三角形相似可得 BT
2 x
…14 分
2(2 x)
3
结合上式可得： AQ 1，B1P 1， B1E 1， BT …………………15 分2
1 9 1 1
则可得：VP BQD S3 BQD
PB ，VP B ED S4 1 3 B1ED
PB1 ………17 分12
V 1N AQM S NA
1
AQM ，则可得几何体 B1ED BAMT 的体积：3 6
V2 VP BQD VP B ED VN AQM 2………………………………18 分1
易知直三棱柱 ABC A1B1C1的体积为：V 4；则可得剩余部分的体
积为：V1 V V2 2 .……………………………………………20 分
图 2
4

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