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课时作业(十二)　运动的合成与分解
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．某人试渡黄浦江，他以一定速度且视线始终垂直河岸向对岸游去．当水流运动是匀速时，他所游过的路程、过河所用的时间与水速的关系是(　　)
A．水速大时，路程长，时间长
B．水速大时，路程长，时间短
C．水速大时，路程长，时间不变
D．路程、时间与水速无关
2．如图所示的塔吊臂上有一可以沿水平方向运动的小车A，小车下装有吊着物体B的吊钩．在小车A与物体B以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B向上吊起，A、B之间的距离以d＝H－2t2(SI)(SI表示国际单位制，式中H为吊臂离地面的高度)规律变化，则物体做(　　)
第2题图
A．速度大小不变的曲线运动
B．速度大小增加的曲线运动
C．加速度大小、方向均不变的曲线运动
D．加速度大小、方向均变化的曲线运动
3．(13年江苏模拟)一物体在xOy平面内从坐标原点开始运动，沿x轴和y轴方向运动的速度v随时间t变化的图象分别如图甲、乙所示，则物体在0～t0时间内(　　)
　
　　　　甲　　　　　　　　　乙
　
　　　　丙　　　　　　　　　丁
第3题图
A．做匀变速运动
B．做非匀变速运动
C．运动的轨迹可能如图丙所示
D．运动的轨迹可能如图丁所示
4．如图所示，一条小船位于200m宽的河正中A点处，从这里向下游100m处有一危险区，当时水流速度为4m/s，为了使小船避开危险区沿直线到达对岸，小船在静水中的速度至少是(　　)
第4题图
A.m/s B.m/s
C．2m/s D．4m/s
5．一小船在河中xOy平面内的运动轨迹如图所示，下列判断正确的是(　　)
　　　　第5题图
A．若小船沿x方向始终匀速，则沿y方向先加速后减速
B．若小船沿x方向始终匀速，则沿y方向先减速后加速
C．若小船沿y方向始终匀速，则沿x方向先减速后加速
D．若小船沿y方向始终匀速，则沿x方向先加速后减速
6．(13年江苏模拟)某河宽为600m，河中某点的水流速度v与该点到较近河岸的距离d的关系图象如图所示．船在静水中的速度为4m/s，要使船渡河的时间最短，则下列说法中正确的是(　　)
第6题图
A．船在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
B．船的航行轨迹是一条直线
C．渡河最短时间为240s
D．船离开河岸400m时的速度大小为2 m/s
7．质量为2kg的物体在x－y平面上作曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
第7题图
A．2s末质点速度大小为10m/s
B．质点所受的合外力为3N
C．质点初速度的方向与合外力方向垂直
D．质点的初速度为5m/s
8．某人划船横渡一条河，河水流速处处相同且恒定，船的划行速率恒定．已知此人过河最短时间为T1；若此人用最短的位移过河，则需时间为T2；已知船的划行速度大于水速．则船的滑行速率与水流速率比为(　　)
A. B.
C. D.
9．某人要坐船渡河到正对岸，轮船相对于静水的速度恒为10m/s，河的宽度960m当轮船运行到中间时，水流速度由6m/s变为8m/s，则此人渡河的时间为(　　)
A．140s B．96s C．120s D．160s
10．某河水流速度为5m/s，一小船对静水的速度大小是4m/s，要渡过此河，船头垂直河岸行驶，已知河宽为120m，试分析计算：
(1)小船能否渡河直达正对岸？
(2)船需多少时间才能到达对岸？
(3)此船登上对岸的地点离出发点的距离是多少？
(4)若船行至河正中间时，河水流速增大到8m/s，则船渡河需要多少时间？登岸地点如何变化？
课时作业(十二)　运动的合成与分解
　1.C　【解析】 t＝，与水速无关，s＝ ，水速越大，路程越长，故选C.
　2.BC　【解析】 由题意知，物体B参与了两个分运动即水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀加速直线运动(因为A、B之间的距离d＝H－2t2是二次函数关系类似竖直上抛运动)，属于曲线运动，而其合速度v合＝越来越大，故A项错误；B项正确．又因为水平方向上没有加速度，竖直方向上加速度又恒定，故D项错误．C项正确．
　3.AC　【解析】 根据vx－t，vy－t图象知，沿x轴方向物体做匀速直线运动，沿y轴方向物体做匀减速直线运动，则由运动的合成知，物体做匀变速运动，A对、B错；沿y轴方向的加速度指向y轴负方向，则运动轨迹可能如图丙所示，C对、D错，故选AC.
　4.C　【解析】 如图选取临界情况进行研究，假设小船刚好避开危险区沿直线到达对岸B点处，根据运动的合成与分解可知，当船速的方向与AB垂直时，船速最小，tanα＝＝，α＝30°，故v船＝v水·sinα＝4×m/s＝2m/s.
第4题图
　5.BD　【解析】 当小船沿x方向匀速时，图线斜率先减小后增大，所以沿y方向先减速后加速，B正确；当小船沿y方向匀速时，图像斜率先减小后增大，所以沿x方向先加速后减速．
　6.AD　【解析】 由速度与分速度的“同时性”可知，当船头始终与河岸垂直行驶时，渡河时间最短，即t＝＝s＝150s，A对，C错；由于水流速度v是变化的，因此与船的合速度方向是变化的，船行轨迹
不会是直线，C错；船离开河岸400m时，由题图可知，此时的v＝2m/s，则vt＝＝2m/s，D对；故选AD.
　7.BD　【解析】 由图象知，质点在x方向做匀加速运动，其加速度为1.5m/s2；y方向做匀速运动，其速度大小为4m/s，所以2s末质点速度大小为v＝m/s＝2m/s，选项A错误．由牛顿第二定律，质点所受的合外力为F＝ma＝2×1.5N，选项B正确．质点合外力的方向沿x轴正方向，而初速度的方向并不沿y轴方向，故二者并不垂直，选项C错误．质点的初速度v0＝m/s＝5m/s，选项D正确．
　8.A　【解析】 船头垂直河岸划行时渡河时间最短，设河宽为d，由题意得v船＝；用最短的位移过河，船头应斜向河岸上方，且满足船在沿河岸方向的分速度等于水流速度，由勾股定理得v＝v＋，所以有v水＝d，故＝，选A.
　9.A　【解析】 此人渡河到中间时的时间t1＝s＝60s
由中间到正对岸的时间t2＝s＝80s
渡河的时间t＝t1＋t2＝140s.故选A.
　10.(1)不能　(2)30s　(3)192m　(4)30s，在正对岸下游195m处，登岸地点顺流下移．　【解析】 (1)由速度的合成与分解知，小船要直达正对岸，就必须使船速的水平分量与水流速度相等，即v船cosθ＝v水　①，而v船＝4
v水＝5，则①式不可能成立，故不可能．
(2)当船速正对河对岸，则t＝＝s＝30s.
(3)当船速正对河对岸时，设船的运动方向与河岸成θ角，则sinθ＝＝＝
得s＝192m.
　(4)船速不变，则渡河时间不变，即为30s.　而船行驶到正中间时，水流速度变为8m/s，在此过程中，水平位移S＝S1＋S2＝(15×5＋15×8)m＝195m.第13讲　抛体运动
　考情 剖析　
(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A代表容易，B代表中等，C代表难)
考查内容 考纲要求及变化 考查年份 考查形式 考查详情 考试层级 命题难度
抛体运动 Ⅱ(斜抛运动的计算不做要求)
10 计算 以平抛运动为背景，考查平抛运动水平位移与绳长之间的关系
11 计算 以平抛运动模型为背景，考查平抛运动水平位移
12 多选 以平抛运动和自由落体运动为背景，判断两个物体是否能够碰撞 重点 B
小结及预测 1.小结：平抛运动以选择、计算形式进行考查，侧重考查对平抛运动的位移、速度的求解．要掌握平抛运动规律、能准确的对位移及速度进行分解，近4年来都有考查，属于热点．2．预测：预测14年考查的可能性大．3．复习建议：复习时应该结合运动的合成与分解解决平抛过程中速度和位移的问题.
知识 整合　
第1课时　抛体运动(一)
——平抛运动
一、平抛运动的概念
物体做平抛运动的条件： 只在__________的作用下，初速度不为零且沿__________方向．一般来说，如果物体所受合外力是恒力，并且与初速度方向__________，我们把这一类运动叫类平抛运动．平抛运动和类平抛运动受到____________________的作用，所以它们是__________运动．
二、平抛运动物体的运动规律
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
以抛出点为原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，对任何一时刻：
1．平抛运动物体在水平方向上的速度不随时间发生变化，vx＝________；
平抛运动物体在竖直方向上的速度随时间变化的规律是： vy＝________；
平抛运动的速度大小： v＝________；
2．设平抛运动物体在t时刻的速度方向与初速度方向间的夹角为θ，则有tanθ＝________.
3．平抛物体的下落时间t＝________，只与其________有关．
4．水平射程x＝________，取决于竖直下落的高度和初速度．
5．平抛运动是匀变速运动，相等的时间内速度的变化总相等，Δv＝g·Δt.
研究平抛运动的常用方法
1．分解速度
设平抛运动的初速度为v0、在空中运动时间为t，则平抛运动在水平方向的速度为vx＝v0，在竖直方向的速度为vy＝gt，合速度为v＝，合速度与水平方向夹角为θ＝arctan.
2．分解位移
平抛运动在水平方向的位移为x＝v0t，在竖直方向的位移为y＝gt2，相对抛出点的位移(合位移)为x合＝，合位移与水平方向夹角为φ＝arctan.
平抛运动的特点：
①水平方向分速度保持vx＝v0；竖直方向，加速度恒为g，速度vy＝gt.从抛出点起，每隔Δt时间的速度的矢量关系如图所示，这一矢量关系有两个特点：a.任意时刻的速度水平分量均等于初速度v0；b.任意相等时间间隔Δt内的速度改变量均竖直向下，且Δv＝Δvy＝gΔt.
②在连续相等时间间隔Δt内，竖直方向上的位移与水平方向上的位移变化规律：
在连续相等的时间间隔内，水平方向的位移Ox1＝x1x2＝x2x3＝…即位移不变；竖直方向上的位移Oy1、y1y2、y2y3…据Δy＝aT2知，竖直方向上Δy＝g(Δt)2，即位移差不变．
【典型例题1】 图中为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分，图中方格每边长为5cm，g取10m/s2，求小球的水平分速度和小球在B点时的竖直分速度．
温馨提示
解题的关键是对平抛物体运动规律的理解和熟练使用．
记录空间
【变式训练1】　如图，在同一竖直面内，小球a，b从高度不同的两点，分别以初速度va和vb沿水平方向抛出，经时间ta和tb后落到与两抛出点水平距离相等的P点．若不计空气阻力，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．ta＞tb，va＜vb
B．ta＞tb，va＞vb
C．ta＜tb，va＜vb
D．ta＜tb，va＞vb
平抛运动中可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动．平时我们经常不知道如何分解，分解哪个物理量，其实我们常用分解速度和分解位移的方法．
(1)分解速度：初速为v0、运动时间为t，则vx＝v0、vy＝gt　v＝.
(2)分解位移：x＝v0t、y＝gt2
x合＝.
【典型例题2】 如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，
经3.0s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50kg.不计空气阻力．(取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80；g取10m/s2)求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小．
温馨提示
运动员在竖直方向上作自由落体运动．
记录空间
【变式训练2】　
第六届亚冬会在长春刚落下帷幕不久，中国体育代表团获得了可喜的好成绩．如图所示，高台滑雪运动员从跳台边缘的O点以水平方向的速度跳出．他离开跳台时的速度为v0＝8.0m/s，运动员连同滑雪板的质量为m＝50kg，他落到了斜坡上的A点，斜坡与水平面的夹角为37°，O点位于斜坡上的B点的正上方，OB之间的高度为h＝3.2m.忽略空气阻力的影响，重力加速度g＝10m/s2.求运动员在空中飞行的时间t以及运动员落在斜坡上的速度大小v.(sin37°＝0.6)
随堂 演练　
1．如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，从静止释放，运动到底端B的时间是t1，若给小球不同的水平初速度，落到斜面上的A点，经过的时间是t2，落到斜面底端B点，经过的时间是t3，落到水平面上的C点，经过的时间是t4，则(　　)
第1题图
A．t2＞t1 　　　　　　B．t3＞t2
C．t4＞t3 　　　　　　D．t1＞t4
2．如图所示，水平固定半球形的碗球心为O点．最低点为B点，A点在左边的内壁上，C点在右边的内壁上，在碗的边缘向着球心以速度v0平抛一个小球，抛出点及O、A、B、C点在同一个竖直面内，下列说法正确的是(　　)
第2题图
A．v0大小适当时可以垂直打在A点
B．v0大小适当时可以垂直打在B处
C．v0大小适当时可以垂直打在C点
D．一定不能垂直打在碗内任何一个位置
3．如图所示，在竖直放置的半圆形容器的中心O点分别以水平初速度v1、v2抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，则两小球初速度之比为(　　)
第3题图
A．tanα B．cosα
C．tanα D．cosα
第4题图
4．如图所示，在距地面高为H＝45m处，有一小球A以初速度v0＝10m/s水平抛出，与此同时，在A的正下方有一物块B也以相同的初速度v0同方向滑出，B与地面间的动摩擦因数为μ＝0.5.A、B均可看作质点，空气阻力不计，重力加速度g取10m/s2，求：
(1)A球从抛出到落地的时间；
(2)A球从抛出到落地这段时间内的水平位移；
(3)A球落地时，A、B之间的距离．
5．如图所示，在高为h的平台边缘水平抛出小球A，同时在水平地面上距台面边缘水平距离为s处竖直上抛小球B，两球运动轨迹在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度为g.若两球能在空中相遇，求：
第5题图
(1)小球A的初速度vA的取值范围；
(2)A、B两球初速度之比．
6．如图所示，AB为斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点，求：
第6题图
(1)A、B间的距离；
(2)物体在空中飞行的时间；
(3)从抛出开始经多少时间小球与斜面间的距离最大？
7．如图所示，在水平地面上固定一倾角θ＝37°、表面光滑的斜面体，物体A以v1＝6m/s的初速度沿斜面上滑，同时在物体A的正上方，有一物体B以某一初速度水平抛出．如果当A上滑到最高点时恰好被B物体击中．A、B均可看作质点，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2.求：
第7题图
(1)物体A上滑到最高点所用的时间t；
(2)物体B抛出时的初速度v2；
(3)物体A、B间初始位置的高度差h.
第2课时　抛体运动(二)
——斜抛运动、类平抛运动
一、类平抛运动的分析
1．类平抛运动的受力特点．
物体所受合力为________，且与初速度的方向________．
2．类平抛运动的运动特点．
在初速度v0方向做匀速直线运动，在合力方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度________．
3．平抛(类平抛)运动的求解方法．
运动的分解法：相互垂直的两个方向的分运动是相互独立的，其中每个分运动都不会因另外一个运动的存在而受到影响．
二、竖直上抛运动
1．定义：物体以初速度v0竖直向上抛出后，只在重力作用下而做的运动．
2．规律：取竖直向上的方向为正方向，有某时刻的速度vt＝vo－gt.
时间t内上升的高度h＝v0t－gt2，速度与位移的关系v－v＝－2gh.
3．几个特征量.
(1)上升的最大高度．
(2)上升到最大高度处所需时间t上和从最高点处落回原抛出点所需时间t下相等，即
4．性质：初速度向上，加速度向下的匀变速直线运动．
三、竖直下抛运动
由于物体只受重力作用，a＝g，因此竖直下抛运动为初速度为v0和加速度为g的向下的匀加速直线运动．取竖直向下为正方向，有关的计算可运用匀变速直线运动的公式．
1．某时刻的速度________________________________________________________________________
2．时间t内物体的位移________________________________________________________________________
3．速度与位移关系________________________________________________________________________
4．某一过程的平均速度________________________________________________________________________
四、斜抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿斜上方抛出，仅受________作用物体所做的运动叫做________．
2．性质：是________不为零，加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是________．
3．斜抛运动的处理方法．
斜抛运动可分解成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的________．
类平抛运动的两种求解技巧
1．常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速线运动和垂直于初速度方向(即沿合力方向)的均加速直线运动，两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性．
2．特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy后分别在x、y方向列方程求解．
【典型例题】 如图所示，一个质量为1 kg的物体静止在粗糙的水平面上，物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.4.现对物体施加一水平向右
的恒力F＝12 N，经过t1＝1 s后，迅速将该力的方向改为竖直向上，大小不变，则再经t2＝2 s物体相对于地面的高度及物体的速度各为多少？
温馨提示
研究曲线运动的基本方法就是将曲线运动分解为两个规律已知的直线运动，然后利用熟悉的运动规律求解运动．学习物理就要理解掌握这些基本的概念、规律和方法．题目虽千变万化，但万变不离其宗，总之要用这些基本知识去分析解决．
记录空间
【变式训练】　如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等，有三个完全相同的小球
a、b、c.开始均静止于斜面同一高度处，其中b小球在两斜面之间．若同时释放a、b、c小球到达该水平面的时间分别为t1、t2、t3.若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′.下列关于时间的关系正确的是(　　)
A．t1＞t3＞t2
B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′
C．t1′＞t3′＞t2′
D．t1＜t1′、t2＜t2′、t3＜t3′
随堂 演练　
1．某同学对着墙壁练习打网球，假定球在墙面以25 m/s的速度沿水平方向反弹，落地点到墙面的距离在10 m至15 m之间，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，球在墙面上反弹点的高度范围是(　　)
A．0.8 m至1.8 m B．0.8 m至1.6 m
C．1.0 m至1.6 m D．1.0 m至1.8 m
2．如图所示，在倾角θ＝37°的斜面底端的正上方H处，平抛一个物体，该物体落到斜面上的速度方向正好与斜面垂直，则物体抛出时的初速度为(　　)
第2题图
A.
B.
C.
D.
3．关于斜抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．任何斜抛运动都不可以看成是两个方向上的直线运动的合运动
B．斜抛运动可以看成是水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀变速直线运动的合运动
C．斜抛运动属于变加速运动
D．斜抛运动属于匀变速运动
4．a、b两质点从同一点O分别以相同的水平速度v0沿x轴正方向抛出，a在竖直平面内运动，落地点为p1，b沿光滑斜面运动，落地点为p2，p1和p2在同一水平面上，如图，不计空气阻力，则下列说法中正确的是(　　)
第4题图
A．a、b的运动时间相同
B．a、b沿x轴方向的位移相同
C．a、b落地时的速度大小相同
D．a、b落地时的速度相同
5．如图，子弹从O点水平射出，初速度为v0，穿过两块竖直放置的薄挡板A和B，留下弹孔C和D，测量C和D的高度差为0.1 m，两板间距4 m，A板离O点的水平距离为14 m，不计挡板和空气的阻力，求v0的大小(g取10 m/s2)．
第5题图
6．如图所示，排球场总长为18m，设网的高度为2m，运动员站在离网3m远的线上正对网竖直跳起把球水平击出(g取10m/s2)：
第6题图
(1)设击球点的高度为2.5m，问球被水平击出时的速度在什么范围内才能使球既不触网也不出界？
(2)若击球点的高度小于某个值，那么无论球被水平击出时的速度多大，球不是触网就是出界，试求出此高度．
7．抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h1处以速度v1水平发出，落在球台的P1点(如图实线所示)，求P1点距O点的距离x1.
(2)若球在O点正上方以速度v2水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台的P2点(如图虚线所示)，求v2的大小．
(3)若球在O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘P3处，求发球点距O点的高度h3.
第7题图
第13讲　抛体运动
第1课时　抛体运动(一)
——平抛运动
知识整合
基础自测
一、重力　水平　垂直　与速度方向成角度的力　曲线
二、1.v0　gt　　2.
3.　h　4.v0
重点阐述
【典型例题1】 图中为一小球做平抛运动的闪光照片的一部分，图中方格每边长为5cm，g取10m/s2，求小球的水平分速度和小球在B点时的竖直分速度．
【答案】　2m/s　3m/s　【解析】 图示为闪光照片的一部分，闪光周期是不变的，即小球从A到B，从B到C用的时间相等，即tAB＝tBC＝T(也可以从A、B间与B、C间的水平距离相等得出该结论)．因为是照片的一部分，不能认为A是平抛运动的抛出点，但小球在竖直方向上仍然做加速度为g的匀变速直线运动，tAB＝tBC，所以竖直方向有Δy＝yBC－yAB＝gT2
　而Δy＝5cm/格×2格＝10cm，代入上式得
　闪光周期T＝0.1s
　又xAB＝5cm×4格＝20cm＝0.2m
　所以v0＝＝m/s＝2m/s
　小球在B点时的竖直分速度vBy＝vACy，即在B点的竖直分速度等于小球通过A、C两位置的竖直距离的平均速度，因为B点是A、C的中间时刻，所以vBy＝yAC/2T＝＝m/s＝3m/s.
变式训练1　A　【解析】　平抛运动分解为：水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，h＝gt2，t＝，a球位置高，故a球运动时间长；水平方向a、b球位移相等，由ta＞tb，x＝v0t，得va＜vb，故A选项正确．有关平抛运动规律的题目，解题关键是“分解”，变曲为直．
【典型例题2】 如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，
经3.0s落到斜坡上的A点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50kg.不计空气阻力．(取sin37°＝0.60，cos37°＝0.80；g取10m/s2)求：
　(1)A点与O点的距离L；
　(2)运动员离开O点时的速度大小．
【答案】　(1)75m　(2)20m/s　【解析】　(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有Lsin37°＝gt2，A点与O点的距离L＝＝75m.(2)设运动员离开O点时的速度为v0，运动员在水平方向做匀速直线运动，即Lcos37°＝v0t，解得v0＝＝20m/s.
变式训练2　t＝1.6s　　v＝8m/s
【解析】　设运动员由O点运动到A点经历时间t，即运动员在空中飞行的时间为t，则根据题意可知运动员水平位移x＝v0t，竖直位移y＝gt2，由斜坡与水平面夹角为37°可得＝tan37°，代入数值解得t＝1.6s或t＝－0.4s(舍去)．再由运动的合成可得v＝，代入数值解得v＝8m/s.
随堂演练
　1.BD　【解析】 小球从静止释放，运动到底端B的时间一定大于平抛运动到达B点的时间，即t1＞t3，t1＞t4.根据平抛运动规律，t4＝t3＞t2.所以选项B、D正确A、C错误．
　2.C　【解析】 根据平抛运动规律，v0大小适当时可以垂直打在C点，不可能垂直打在A点和B点，选项C正确．
　3.C　【解析】 两小球被抛出后都做平抛运动，设半圆形容器的半径为R，两小球运动时间分别为t1，t2，对A球：Rsinα＝ v1 t1，Rcosα＝gt.对B球：R cosα＝ v2 t2，Rsinα＝g t.联立解得：两小球初速度之比为＝tanα，选项C正确．
　4.(1)3 s　(2)30 m　(3)20 m
　【解析】 (1)根据平抛运动规律可得，A球从抛出到落地的时间
　t＝＝＝3 s.
　(2)水平位移xA＝v0t＝30 m.
　(3)A球落地时，B球的水平位移大小为xB＝v/2μg＝10 m，所以两球间距为Δx＝xA－xB＝20 m.
　5.vA大于s　　【解析】 A、B能在空中相遇，则A至少在落地前水平位移达到s.由h＝gt2, s＝vAt得vA＝s ，所以vA应大于s.当A、B相遇时A球：s＝vAt, y＝gt2.B球竖直上抛h－y＝vBt－gt2.联立三式可得＝.
　6.见解析　【解析】 (1)、(2)设飞行时间为t，则
　水平方向位移：lABcos30°＝v0t，
　竖直方向位移：lABsin30°＝gt2，
　解得t＝tan30°＝v0，lAB＝.
　第6题图
　
　(3)设抛出t′后小球与斜面间距离最大，可知，此时速度v′L与斜面平行，由如图速度三角形可知＝tan30°，即＝，t′＝.
　7.见解析　【解析】 (1)物体A上滑过程中，由牛顿第二定律得：mgsinθ＝ma，代入数据得：a＝6 m/s2，设经过t时间滑到最高点，由运动学公式：0＝v1－at，代入数据得：t＝1 s.
　(2)平抛物体B的水平位移：x＝v1tcos37°＝2.4 m，平抛速度：v2＝＝2.4 m/s.
　(3)物体A、B间的高度差：h＝hA＋hB＝v1tsin37°＋gt2＝6.8 m.
第2课时　抛体运动(二)
——斜抛运动、类平抛运动
知识整合
基础自测
一、1.恒力　垂直　2.a＝
二、3.(1)hmax＝v/2g　(2)t上＝t下＝v0/g
三、1.vt＝v0＋gt　2.x＝v0t＋gt2　3.v－v＝2gx　4.v＝
四、1.重力　斜抛运动　2.初速度　抛物线　3.竖直上抛运动
重点阐述
【典型例题】 如图所示，一个质量为1 kg的物体静止在粗糙的水平面上，物体与地面之间的动摩擦因数μ＝0.4.现对物体施加一水平向右
的恒力F＝12 N，经过t1＝1 s后，迅速将该力的方向改为竖直向上，大小不变，则再经t2＝2 s物体相对于地面的高度及物体的速度各为多少？
【答案】　4 m　4 m/s　【解析】 在改变恒力F之前，物体做匀加速直线运动，设加速度为a1，经t1＝1 s后的速度为v1；分析物体受力如图甲所示，由牛顿第二定律得F－Ff＝ma1，
　且Ff＝μmg　解得a1＝8 m/s2
　
则v1＝a1t1＝8 m/s
　将F改为竖直向上后，受力如图乙所示，此时由于F＞G，物体将飞离地面做类平抛运动，设此时的加速度为a2，由牛顿第二定律得F－G＝ma2
　解得a2＝2 m/s2
　物体在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，则上升的高度h＝a2t＝4 m
　此时竖直方向上的分速度v2＝a2t2＝4 m/s
　故此时物体的速度v＝＝4 m/s
变式训练　ABC　【解析】 由静止释放三小球时对a：＝gsin30°·t，则t＝.对b：h＝gt，则t＝.对c：＝gsin45°·t，则t＝.所以t1＞t3＞t2　当平抛三小球时．小球b做平抛运动，小球a、c在斜面内做类平抛运动．沿斜面方向的运动同第一种情况，所以t1＝t1′， t2＝t2′， t3＝t3′.故选A、B、C.
随堂演练
　1.A　【解析】 由题意知，网球做平抛运动的初速度v0＝25m/s.水平位移在x1＝10m至x2＝15m之间．而水平位移为x＝v0·t＝v0·，由此可得h＝，将g、x1、x2、v0代入得h1＝0.8m, h2＝1.8m.所以网球的反弹高度在0.8m至1.8m之间，A对．
　2.A　【解析】 根据题意，有＝tan37°　则t＝＝，而＝tan37°　∴＝　∴v＝　故答案选A.
　3.BD　【解析】　斜抛可看成水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的匀变速直线运动的合运动．故斜抛属于匀变速运动，故B、D正确．
　4.C　【解析】 　质点a在竖直平面内做平拋运动，质点b在斜面上运动时，只受沿斜面方向垂直于斜面底边的重力的分力mgsinθ的作用，如图所示，质点b做类平拋运动，分析如下：对a，运动时间ta＝；对b，＝·gsinθ·t，所以运动时间tb＝≠ta，则A项错误；对a，沿x轴方向位移：xa＝v0ta，对b，沿x轴方向位移：xb＝v0tb≠xa，则B项错误；由动能定理知：mgh＝mv－mv，所以vt的大小相等，则C项正确；a、b落地时速度的方向不同，不能说速度相同，则D项错误．
第4题图
　5.80m/s　【解析】 设到达C点的时间为t1，则OC的水平距离x1＝v0t1　设到达D点的时间为t2，则OD的水平距离x2＝v0t2　由题意知，gt－gt＝0.1m　以上三式联立解得：v0＝80m/s.
6．(1)9.5m/s＜v0＜17m/s　(2)2.13m　【解析】 (1)如图(1)所示，排球恰不触网时其运动轨迹为Ⅰ，排球恰不出界时其运动轨迹为Ⅱ，根据平拋运动的规律：x＝v0t和h＝gt2，可得当排球恰不触网时有：x1＝3m＝v1t1，h1＝2.5m－2m＝0.5m＝gt.
第6题图(1)
可解得：v1＝3m/s≈9.5m/s；
当排球恰不出界时有x2＝3m＋9m＝v2t2，h＝2.5m＝gt.
可解得：v2＝12m/s≈17m/s.
所以既不触网也不出界的速度范围是
9．5m/s＜v0＜17m/s.
(2)如图(2)所示为排球恰不触网也恰不出界的临界轨迹，设击球点高度为h′，根据平拋运动的规律有：x1＝3m＝vt，
h＝h′－2m＝gt，x2＝3m＋9m＝vt，h′＝gt.
联立以上四式可得：h′≈2.13m.
第6题图(2)
7．(1)x1＝v1 　(2)v2＝
(3)h3＝h　【解析】 (1)设发球时飞行时间为t1，根据平抛运动
　第7题图(1)
　
　
　h1＝gt，
x1＝v1t1，
解得x1＝v1 .
　(2)设发球高度为h2，飞行时间为t2，同理根据平抛运动
h2＝gt，
x2＝v2t2，
且h2＝h，
2x2＝L，
得v2＝ .
(3)如图(2)所示，发球高度为h3，飞行时间为t3，同理根据平抛运动得：
　
第7题图(2)
　
h3＝gt，
x3＝v3t3，
且3x3＝2L，
设球从恰好越过球网到最高点的时间为t，水平距离为s，有
h3－h＝gt2，
s＝v3t，
由几何关系知，
x3＋s＝L.
解得
h3＝h.第12讲　运动的合成与分解
　考情 剖析　
(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A代表容易，B代表中等，C代表难)
考查内容 考纲要求及变化 考查年份 考查形式 考查详情 考试层级 命题难度
运动的合成与分解 Ⅱ(考纲有变化，等级要求加深，由Ⅰ变为Ⅱ)
09年 单选 考查从飞机上跳下的运动员在下落过程中，水平方向和竖直方向的v－t图象
10年 单选 考查根据运动的合成判断物体合运动的速度和方向
11年 单选 以小船过河为背景，考查运用速度的合成与分解及运动学公式求解合运动的时间
12年 多选 以平抛运动和自由落体运动为背景，考查运动的合成和分解的应用 重点 B
小结及预测 1.小结：运动的合成与分解每年以选择的形式过行考查，侧重考查运用速度的合成与分解知识判断物体的运动情况，一般会结合运动学公式及图象问题一起考查，考查难度中等．2．预测：由于考纲要求等级加深，预测14年考查此知识点可能性比较大．3．复习建议：由于它属于运动学中的基础，对解决很多运动学问题可以提供很大的帮助，因此我们在复习时需要掌握运动的合成与分解中使用的平行四边形定则，合运动和分运动的关系，并可以在实际问题中灵活运用，这样才可以把此知识点进行理解掌握.
知识 整合　
第1课时　运动的合成与分解(一)
一、曲线运动：__________________.
二、曲线运动的性质：
1．曲线运动中运动的方向时刻__________(填“改变”或“不变”)，质点在某一时刻(某一点)的速度方向是沿____________________，并指向运动的一侧．
2．曲线运动一定是__________运动，一定具有__________．　
3．常见的曲线运动有：__________和__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、曲线运动的条件：
1．运动速度方向与加速度的方向共线时，运动轨迹是__________．　
2．运动速度方向与加速度的方向不共线，且合力为定值，运动为__________运动，如：__________.
3．运动速度方向与加速度的方向不共线，且合力不为定值，运动为__________运动，如：__________.
四、曲线运动速度大小、方向的判定：
1．当力的方向与速度垂直时：速度的大小__________(填“改变”、“不变”或“可能变”)，轨迹向__________弯曲．
2．当力的方向与速度成锐角时：速度的大小__________(填“变大”、“不变”或“变小”)，轨迹向__________弯曲．
3．力的方向与速度成钝角时：速度的大小__________(填“变大”、“不变”或“变小”)，轨迹向__________弯曲．
五、合运动与分运动的概念
1．合运动和分运动：一个运动可以根据其效果分解为几个运动，______________叫合运动，______________叫分运动．
理解：物体的实际运动是__________(填“合”或“分”)运动，几个分运动一般指__________个分运动．
2．运动的合成与分解：____叫运动的合成；____叫运动的分解．
六、运动合成与分解的法则
1．运算法则：运动合成与分解是__________(填“矢量”或“标量”)的合成与分解，遵从__________定则．
2．运动分解原则：运动的分解要根据运动的________________________________________________________________________
来进行分解．
一、运动合成的方法
1．两个分运动在同一直线上时，运动合成前一般先要规定正方向，然后确定各分运动的速度、加速度和位移等矢量的正、负，再求代数和．
2．两个分运动不在同一直线上(即互成角度)时，要按平行四边形定则来求合速度、合加速度和合位移．
3．互成角度的两个分运动的合成
两个互成角度的匀速直线运动的合运动，仍然是匀速直线运动；两个互成角度的初速度为零的匀加速直线运动的合运动，一定是匀加速直线运动；两个互成角度的分运动，其中一个做匀速直线运动，另一个做匀变速直线运动，其合运动一定是匀变速曲线运动；两个初速度均不为零的匀变速直线运动合成时，若合加速度与合初速度的方向在同一直线上，则合运动仍然是匀变速直线运动，若合加速度的方向与合初速度的方向不在同一条直线上，则合运动一定是匀变速曲线运动．
4．两个互相垂直的直线运动的合成
其合运动与分运动都遵循平行四边形定则或三角形法则．合位移的大小和方向为：
s＝ ，tan θ＝
合速度的大小和方向为：
v＝ ，tan θ＝
二、运动分解的方法
1．对运动进行分解时，要根据运动的实际效果来确定两个分运动的方向，否则分解无实际意义，也可以根据实际情况，对运动进行正交分解．
2．合运动与分运动的判断：合运动就是物体相对某一参考系(如地面)所做的实际运动，即物体合运动的轨迹一定是物体实际运动的轨迹，物体相对于参考系的速度即为合速度．
3．曲线运动一般可以分解成两个方向上的直线运动，通过对已知规律的直线运动的研究，可以知道曲线运动的规律，这是我们研究曲线运动的基本方法．
1．合运动的性质和轨迹
两个互成角度的直线运动的合运动是直线运动还是曲线运动取决于他们的合速度和合加速度方向是否共线．
2．常见的类型有：
(1)a＝0：匀速直线运动或静止
(2)a恒定：性质为匀变速运动，分为：
①v、a同向，匀加速直线运动；
②v、a反向，匀减速直线运动；
③v、a互成角度，匀变速曲线运动(轨迹在v、a之间，和速度v的方向相切，方向逐渐向a的方向接近，但不可能到达)．
(3)a变化：性质为变速运动．
【典型例题1】 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
温馨提示
解此题时，要首先明确物体的运动状态，然后根据物体的运动状态及上述讲解的内容选出正确答案．
记录空间
【变式训练1】　如图所示，在长约100cm一端封闭的玻璃管中注满清水，水中放一个用红蜡做成的小圆柱体(小圆柱体恰能在管中匀速上浮)，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将玻璃管竖直倒置，在红蜡块匀速上浮的同时使玻璃管紧贴黑板面水平向右匀加速移动，你正对黑板面将看到红蜡块相对于黑板面的移动轨迹不可能是下面的(　　)
3．运动的合成与分解
在处理实际问题中应注意：
①只有深刻挖掘曲线运动的实际运动效果，才能明确曲线运动应分解为哪两个方向上的分运动，这是分析处理曲线运动的出发点．
②进行等效合成时要寻找两分运动时间上的联系——等时性．这往往是分析处理曲线运动问题的切入点．
在进行运动的分解时：首先要分清合运动与分运动，合运动就是物体的实际运动，分运动由合运动的效果利用平行四边形定则确定；其次要认真体会运动分解的依据：某个物体的运动同时带来两个方向的不同效果，并分别可以被替代．
【典型例题2】 一探照灯照射在云层底面上，这底面是与地面平行的平面，如图所示．云层底面高h，探照灯以匀角速度ω在竖直平面内转动．当光束转过与竖直线夹角为θ时，此刻云层底面上光点的移动速度等于多少？
温馨提示
解答此题时首先要明确此题的合运动是哪个运动，然后根据运动的平行四边形定则进行分解、计算．
记录空间
【变式训练2】　某同学在篮球训练中，以一定的初速度投篮，篮球水平击中篮板，现在他向前走一小段距离，与篮板更近，再次投篮，出手高度和第一次相同，篮球又恰好水平击中篮板上的同一点，则(　　)
A．第二次投篮篮球的初速度小些
B．第二次击中篮板时篮球的速度大些
C．第二次投篮时篮球初速度与水平方向的夹角大些
D．第二次投篮时篮球在空中飞行时间长些
随堂 演练　
1．在无风的情况下，跳伞运动员从水平飞行的飞机上跳伞，下落过程中受到空气阻力．下列描绘下落速度的水平分量大小vx、竖直分量大小vy与时间t的图象，可能正确的是(　　)
2．某人骑自行车以4m/s的速度向正东方向行驶，气象站报告当时是正北风，风速也是4m/s，则骑车人感觉的风速方向和大小分别是(　　)
A．西北风，风速4m/s 　　　　　B．西北风，风速4m/s
C．东北风，风速4m/s 　　　　　D．东北风，风速4m/s
3．民族运动会上有一个骑射项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓射箭射击侧向的固定目标．假设运动员骑马奔驰的速度为v1，运动员静止时射出的弓箭速度为v2跑道离固定目标的最近距离为d，如图所示，想要在最短的时间内射中目标，则运动员放箭处离目标的距离应该为(　　)
第3题图
A.
B.
C.
D.
4．如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，现假使三角板沿刻度尺水平向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断中，正确的有(　　)
A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线
B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖运动的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖运动的加速度方向始终保持不变
第4题图
5．北风速度为4m/s，大河中的水流正以3m/s的速度向东流动，船上的乘客看见轮船烟囱冒出的烟柱是竖直的，求轮船相对于水的航行速度多大？什么方向？
第6题图
6．一人一猴在表演杂技，如图所示，直杆AB长12m，猴子在直杆上由A向B匀速向上爬，同时人顶着直杆水平匀速移动，已知在10s内，猴子由A运动到B，而人也由甲位置运动到乙位置，已知s＝9m，求：
(1)猴子对地的位移；
(2)猴子对人的速度，猴子对地的速度；
(3)若猴子从静止开始匀加速上爬，其他条件不变，试在图中画出猴子运动的轨迹．
7．如图所示，质量为m的飞机以水平初速度v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机的水平速度v0不变，同时受到重力和竖直向上的恒定的升力，现测得飞机水平方向的位移为L时，上升的高度为h，求：
第7题图
(1)飞机受到的升力大小．
(2)飞机上升至h高度的速度大小．
第2课时　运动的合成与分解(二)
运动的合成与分解
已知分运动求合运动，叫做运动的合成．
已知合运动求分运动，叫做运动的分解．
(1)合运动与分运动的关系．
①运动的独立性．
一个物体同时参与几个运动，其中的任一运动都不会因其他运动的存在而有所改变，而合运动(即物体的实际运动)则是这些相对独立运动的叠加，这就是运动的独立性原理，或称为运动的叠加原理．
②运动的等时性．
一个物体同时参与几个分运动，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，即经历的时间相同，这就是运动的等时性原理．
③运动的等效性．
合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代．因此，在对一个运动进行分解时，首先要看这个运动产生了哪几个运动效果．
④运动的同一性．
(2)运动的合成与分解的运算法则．
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解．由于它们都是矢量，因此合成与分解都遵守平行四边形定则．
a合＝，v合＝，x合＝.
分运动与合运动是一种等效替代关系，运动的合成和分解是研究曲线运动的一种基本方法．
小船渡河问题
船在过河时，同时参与了两个运动，一是船随水沿岸方向的运动，二是船本身的运动．假如我们将船的运动沿平行于河岸方向(称平行方向)和垂直于河岸方向(称垂直方向)进行分解，于是船的航速v1可分解为平行分量v∥和垂直方向的分量v⊥，如图所示，而水的速度v2则总是沿平行于河岸的正方向．根据运动的独立性原理，
平行于河岸的运动对小船过河没有贡献，只有垂直于河岸的运动才能使小船渡过对岸．建立坐标系如图所示：
vx＝v2－v1cos α，vy＝v1sin α
船相对岸在x和y方向上的位移分别为
(1)垂直过河的条件
要使小船垂直于河岸过河，这就意味着小船只有垂直于河岸方向的运动而没有平行于河岸方向的运动，即v⊥ >0且v∥＝－v2，也就是cosα＝，v1>v2时，才有可能垂直过河．
(2)过河的时间
由运动的独立性原理可知过河时间t＝，可见当α＝90°时，过河的时间最短，最短时间为t0＝.
(3)过河的路程
平行于河岸方向的运动，虽然对小船过河时间没有影响，但它却决定着小船平行于河岸方向的位置变化情况．根据运动的独立性原理，垂直河岸方向的运动使小船能垂直到达对岸，其位移为y＝d；而平行运动则使小船沿河岸方向发生一段位移x，因此小船过河的实际位移为s＝＝，可见过河路程的多少取决于平行方向位移x的多少．
【典型例题1】 如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别于水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间t甲、t乙的大小关系为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．t甲＜t乙
B．t甲＝t乙
C．t甲＞t乙
D．无法确定
温馨提示
根据运动的合成与分解分别求出t甲、t乙的表达式、再比较两者的关系．
记录空间
【变式训练1】　在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人．假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d.如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为(　　)
A. B．0
C. D.
对合速度和分速度区分不清导致错误
如图所示，一人站在岸上，利用绳和定滑轮，拉船靠岸，在某一时刻绳的速度v，绳AO段与水平面夹角为θ，OB段与水平面夹角为α.不计摩擦和轮的质量，则此时小船的速度多大？
【易错分析】在解答本题时易犯错误具体分析如下：
常见错误 错误原因
将滑轮上面的绳的速度分解到水平方向为vcosα和竖直方向为vsinα 没有弄清应该分析哪一段绳的速度，将与船速无关的部分进行了分解．
将船和滑轮之间的绳的速度按水平方向和竖直方向分解，则船水平速度vA＝vcosθ 错误在于不清楚运动所引起的效果是速度分解的依据，小船的运动引起了绳子的收缩以及它绕定滑轮转动，所以应将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向.
　　【正确解答】小船的运动引起了绳子的收缩以及小船绕定滑轮转动的效果，所以将小船的运动分解到绳子收缩的方向和垂直于绳子的方向，分解如图所示，则由图可以看出vA＝v/cosθ.
正确答案：v/cosθ.
【典型例题2】 如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知(　　)
A．物体A做匀速运动
B．A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力逐渐减小
温馨提示
根据速度的分解及合运动与分运动的等时性，结合受力分析，可得出答案．
记录空间
【变式训练2】　如图所示，某人匀速将船停到岸边，那么船的速度(　　)
A．不变 B．变大
C．变小 D．先变大后变小
随堂 演练　
1．质量为m的物体，在F1、F2、F3三个共点力的作用下做匀速直线运动，保持F1、F2不变，仅将F3的方向改变90°(大小不变)后，物体可能做(　　)
A．加速度大小为的匀变速直线运动
B．加速度大小为的匀变速直线运动
C．加速度大小为的匀变速曲线运动
D．匀速直线运动
2．如图中，套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连．由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当环A上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2(B始终不着地)，则(　　)
第2题图
A．v2＝v1 B．v2＞v1
C．v2≠0 D．v2＝0
3．如图所示，玻璃生产线上，宽为d的成型玻璃以v1速度连续不断地在平直的轨道上前进，在切割工序处，金刚石切割刀以相对地面的速度v2切割玻璃，且每次割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，以下说法正确的是(　　)
第3题图
A．切割一次的时间为
B．切割刀切割一次所走的距离为
C．速度v2的方向应由O指向c，且cosθ＝
D．速度v2的方向应由O指向a，且v1与v2的合速度方向沿Ob
第4题图
4．如图所示，汽车向右沿水平面做匀速直线运动，通过绳子提升重物M.若不计绳子质量和绳子与滑轮间的摩擦，则在提升重物的过程中，下列有关判断正确的是(　　)
A．重物M加速上升
B．重物M减速上升
C．绳子张力大于M的重力
D．地面对汽车的支持力增大
5．一小船渡河，河宽d＝180 m，水流速度v1＝2.5 m/s.若船在静水中的速度为v2＝5 m/s，求：
(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
(2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？
6．风洞实验室能产生大小和方向均可改变的风力．如图所示，在风洞实验室中有足够大的光滑水平面，在水平面上建立xOy直角坐标系．质量m＝0.5 kg的小球以初速度v0＝0.4 m/s从O点沿x轴正方向运动，在0～2.0 s内受到一个沿y轴正方向、大小为F1＝0.20 N的风力作用；小球运动2.0 s后风力方向变为y轴负方向、大小变为F2＝0.10 N(图中未画出)．试求：
第6题图
(1)2.0 s末小球在y轴方向的速度大小和2.0 s内运动的位移大小；
(2)风力F2作用多长时间，小球的速度变为与初速度相同．
7．如图所示，货车正在以a＝0.1 m/s2的加速度启动，同时，一只壁虎以v2＝0.2 m/s的速度在货车壁上向上匀速爬行．试求：
第7题图
(1)经过2 s，地面上的人看到壁虎的速度大小和方向．
(2)经过2 s，壁虎相对于地面发生的位移．
(3)在地面上观察，壁虎做直线运动还是曲线运动？
第12讲　运动的
合成与分解
第1课时　运动的合成
与分解(一)
知识整合
基础自测
一、轨迹是曲线的运动
二、1.改变　曲线上该点的切线方向　2.变速　加速度　3.平抛运动　圆周运动
三、1.直线　2.匀变速曲线　平抛运动　3.非匀变速曲线　匀速圆周运动
四、1.不变　力的方向　2.变大　力的方向　3.变小　力的方向
五、1.这一个运动　分解的几个运动　合　两　2.已知分运动求合运动　已知合运动求分运动
六、1.矢量　平行四边形　2.实际效果
重点阐述
【典型例题1】 如图所示，一块橡皮用细线悬挂于O点，用铅笔靠着线的左侧水平向右匀速移动，运动中始终保持悬线竖直，则橡皮运动的速度(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．大小和方向均不变
B．大小不变，方向改变
C．大小改变，方向不变
D．大小和方向均改变
【答案】　A　【解析】 笔匀速向右移动时，x随时间均匀增大，y随时间均匀减小，说明橡皮水平方向匀速运动，竖直方向也是匀速运动，所以橡皮实际运动是匀速直线运动，A正确．
变式训练1　ABD　【解析】 此题中的蜡块是一个类平抛运动，可看成竖直方向的匀速运动和水平方向的匀加速运动，故其图象与平抛运动的图象相类似，故答案选ABD.
【典型例题2】 一探照灯照射在云层底面上，这底面是与地面平行的平面，如图所示．云层底面高h，探照灯以匀角速度ω在竖直平面内转动．当光束转过与竖直线夹角为θ时，此刻云层底面上光点的移动速度等于多少？
【答案】　　【解析】 分解照在云层上光点的运动为垂直光线和沿光线的运动，如图所示，则：
　
v＝v⊥/cosθ，v⊥＝ω·rOA＝ω·
　所以v＝.
变式训练2　AC　【解析】 如图，两次水平击中篮板同一点，篮球恰好在竖直方向到达最高点，空中飞行时间应相同．竖直方向：h＝·t，因为β＞α，则v2＜v1，击中篮板的速度vx＝vcosx，则第二次击中速度v2x＜v1x，选项A、C正确．
随堂演练
　1.B　【解析】 跳伞运动员在空中受到重力，其大小不变，还受到空气阻力，空气阻力始终与速度反向，大小随速度的增大而增大，反之则减小．在水平方向上，运动员受到的力是空气阻力在水平方向上的分力，故可知运动员在水平方向上做加速度逐渐减小的减速运动．在竖直方向上运动员在重力与空气阻力的共同作用下先做加速度减小的加速运动，后做匀速运动．由以上分析结合vt图象的性质可知只有B选项正确．
　2.D　【解析】 若无风，人向东行驶，则相当于人不动，风以4m/s的速度从东向西刮，而实际风从正北方以4m/s的速度刮来，所以人感觉到的风应是这两个速度的合成(如图所示)．所以v合＝＝m/s＝4m/s，风向为东北风，D项正确．
　第2题图
第3题图
　
　3.B　【解析】 要想在最短时间内射中目标，运动员放箭时应使箭的合速度方向对准目标，如图，则有s＝vt＝·.
　4.AD　【解析】 由题意可知，铅笔尖的运动为类平抛运动，可知A、D正确．
　5.5m/s　船头向西偏南53°　【解析】 “烟柱是竖直的”轮船应该与风同速航行．
　
第5题图
　
轮船的实际航向正南，大小为4m/s时，才能看见烟柱竖直．由于河水流动，轮船应该有一个分速度：大小与v水相等，方向与v水相反，这样轮船才会朝正南方向行驶，如图所示．
　tanθ＝＝，则θ＝37°
　即船头应该与上游河岸成53°角航行．
　且v船＝＝m/s＝5m/s.
　6.(1)15m　(2)1.2m/s　1.5m/s　(3)见解析图
【解析】 (1)相对于地面，猴子参与沿杆上升和随杆水平移动的两个运动，在爬到杆顶的过程中，满足
s′＝＝m＝15m.
第6题图
(2)由于猴子和人在水平方向运动情况相同，保持相对静止，因此猴子对人的速度v1＝m/s＝1.2m/s，猴子对地的速度v＝＝m/s＝1.5m/s.
　(3)由于猴子向上匀加速运动，加速度(或外力)方向向上，因此，运动轨迹向上弯曲，其轨迹如图所示．
　7.(1)mg＋　(2)　【解析】 (1)飞机在水平方向做匀速直线运动故有L＝v0t
　又因为飞机在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动
　故有h＝at2
　由以上两式得：a＝
　又由牛顿第二定律，对飞机有：F－mg＝ma
　所以飞机受到的升力大小为：F＝mg＋.
　(2)设飞机上升高度h时竖直方向的速度为vy，则有v＝2ah＝
　所以v＝＝.
　
第2课时　运动的
合成与分解(二)
重点阐述
【典型例题1】 如图所示，甲、乙两同学从河中O点出发，分别沿直线游到A点和B点后，立即沿原路线返回到O点，OA、OB分别于水流方向平行和垂直，且OA＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则
他们所用时间t甲、t乙的大小关系为 (　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．t甲＜t乙
B．t甲＝t乙
C．t甲＞t乙
D．无法确定
【答案】　C　【解析】 设游速为v，水速为v0.OA＝OB＝l，则甲运动时间t甲＝＋，乙为了沿OB运动，速度如图：
　
　则t乙＝×2，经运算得t甲＞t乙，故本题选C.
变式训练1　C　【解析】 到达岸边所用时间t＝，所以摩托艇登陆的地点离O点距离l＝v1·t＝，答案选C.
【典型例题2】 如图所示，物体A、B经无摩擦的定滑轮用细线连在一起，A物体受水平向右的力F的作用，此时B匀速下降，A水平向左运动，可知(　　)
A．物体A做匀速运动
B．A做加速运动
C．物体A所受摩擦力逐渐增大
D．物体A所受摩擦力逐渐减小
【答案】　BD　【解析】 把A向左的速度v沿细线方向和垂直细线方向分解，沿细线方向的分速度为vcosα，B匀速下降，vcosα不变，而α角增大，cosα减小，则v增大，所以A做加速运动，选项B正确A错误；由于A对地面的压力逐渐减小，所以物体A所受摩擦力逐渐减小，选项D正确C错误．
变式训练2　B　【解析】 v不变，由分解速度，v1＝v/cosθ，θ变大，v1变大，故选B.
随堂演练
　1.BC　【解析】 仅将F3改变90°，合力则为F3，物体必做匀变速运动，但因不知初速度方向与合力方向之间的情况，不能确定是直线运动还是曲线运动．
　2.D　【解析】 环上升过程的速度v1可分解为两个分速度v∥和v⊥，如图所示，其中v∥为沿绳方向的速度，其大小等于重物B的速度v2；v⊥为绕定滑轮转动的线速度，关系式为v2＝v1cosθ，θ为v1与v∥间的夹角．当A上升至与定滑轮的连线水平的位置时，θ＝90°，cosθ＝0，即此时v2＝0.D正确．
　第2题图
　
　3.C　【解析】 　因玻璃板以速度v1匀速前进，而切割刀对其相对速度必须为垂直于v1方向才能割成矩形，故切割刀对地速度方向沿Oc才有可能，且此时切割刀在平行于v1方向上有与v1同样大小的分速度，则v2cosθ＝v1，切割一次用时t＝.
　4.ACD　【解析】　如图甲，把汽车的速度v分解为沿绳子的分速度v1和垂直绳子的分速度v2，则
　甲
　乙
　丙
　
　
第4题图
　v1＝vcosα，v2＝vsinα.随着汽车向右运动，α变小，所以v1变大，v2变小．而重体M的速度等于分速度v1，所以重体M加速上升．
　对M受力分析如图乙，得：
　FT－Mg＝Ma，FT＝Ma＋Mg＞Mg.
　对汽车受力分析如图丙，对竖直方向列式得：
　FTsinα＋FN＝mg，FN＝mg－FTsinα.
　因为α变小，经分析FTsinα变小，所以FN变大．
　5.见解析　【解析】 将船实际的速度(合速度)分解为垂直河岸方向和平行河岸方向的两个分速度，垂直分速度影响渡河的时间，而平行分速度只影响船在平行河岸方向的位移．
　若v2＝5 m/s.
　(1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向．当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向，垂直分速度为v2＝5 m/s.
　t＝＝＝s＝36 s，
　v合＝＝m/s，
　x＝v合t＝90m.
　(2)欲使船渡河航程最短，应垂直河岸渡河．船头应朝图乙中的v2方向．
　垂直河岸过河要求v水平＝0，如图乙所示，由v2sinα＝v1得α＝30°.
　
甲　　　　　　　　　　乙
第5题图　
　所以当船头与上游河岸成60°时航程最短．
　x＝d＝180 m.
　t＝＝＝s＝24s.
　6.(1)1.1 m　(2)4.0 s　【解析】 (1)设在0～2.0 s内小球运动的加速度为a1，则F1＝ma1，2.0 s末小球在y轴方向的速度v1＝a1t1，
　代入数据解得v1＝0.8 m/s，
　沿x轴方向运动的位移x1＝v0t1，
　沿y轴方向运动的位移y1＝a1t，
　2.0 s内运动的位移x＝，
　代入数据解得x＝0.8m＝1.1 m.
　(2)设2.0 s后小球运动的加速度为a2，F2的作用时间为t2时小球的速度变为与初速度相同，则
　F2＝ma2，v1＝a2t2，
　代入数据解得t2＝4.0 s.
　7.见解析　【解析】 (1)壁虎同时参与了相对于车向上的匀速运动和随车一起向左的匀加速直线运动．经过2 s，壁虎向上运动的速度vy＝v2＝0.2 m/s，随车运动的速度vx＝v1＝at＝0.2 m/s，如图甲所示，在t＝2 s末壁虎运动的合速度大小为v＝＝m/s＝0.28 m/s，tanα＝＝＝1，壁虎的速度方向在该时刻与水平方向成45°的角．
　(2)如图乙所示，在汽车启动后2 s这段时间内，壁虎的水平位移x＝at2＝0.2 m，竖直位移y＝v2t＝0.4 m，壁虎相对地面发生的位移s＝＝0.45 m，与水平方向所成的角θ＝arctan＝arctan2.
　甲
　乙
　丙
　
　第7题图
　(3)由上面分析知x＝at2＝0.05t2，y＝0.2t，消去时间t，得x＝1.25y2，运动轨迹是一条如图丙所示的抛物线(以壁虎刚开始爬动处为坐标原点，壁虎爬行的方向为y轴正方向，车前进的方向为x轴正方向)，所以壁虎做曲线运动．或者用初速度方向与加速度方向垂直的关系，也可以判断出壁虎的运动轨迹是曲线．课时作业(十四)　圆周运动及其应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．下列关于匀速圆周运动的说法中，正确的是(　　)
A．是线速度大小不变的运动
B．速度变化，加速度不变
C．是角速度不断变化的运动
D．速度和加速度的大小不变，方向时刻在变
2．某质点做匀速圆周运动，线速度大小为r，周期为T.那在周期时间，速度改变量大小是(　　)
A．0 B. C．v D．2v
　　　　第3题图
3．如图所示，一个环绕中心线AB以一定的角速度转动的圆形线圈，下列说法正确的是(　　)
A．P、Q两点的角速度相同
B．P、Q两点的线速度相同
C．P、Q两点的角速度之比为∶1
D．P、Q两点的线速度之比为∶1
4．如图所示是一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以
第4题图
角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是(　　)
A．a、b两点的线速度始终相同
B．a、b、c三点的线速度大小相等
C．a、b两点的加速度比c点的大
D．a、b两点的角速度比c点的大
5．关手向心力、向心加速度、加速度及物体所受合外力，下列说法中正确的是(　　)
A．做圆周运动的物体加速度一定指向圆心
B．向心力不改变圆周运动物体的速度大小
C．做匀速圆周运动的物体其向心加速度是不变的
D．做匀速圆周运动的物体其向心力为物体所受的合外力
6．图示为某一皮带传动装置．主动轮的半径为r1，从转动的半径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转速为n，转动过程中皮带不打滑，下列说法正确的是(　　)
第6题图
A．从动轮做顺时针转动
B．从动轮做逆时针转动
C．从动轮的转速为n
D．从动轮的转速为n
第7题图
7．如图所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料套上，手握塑料管使其保持竖直并沿水平方向做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度大小合适，螺丝帽恰好不下滑．假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力．则在该同学转动塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下述分析正确的是(　　)
A．螺丝帽受的重力与最大静摩擦力平衡
B．螺丝帽受到杆的弹力方向水平向外，背离圆心
C．此时手转动塑料管的角速度ω＝
D．若杆的转动加快，螺丝帽有可能相对杆发生运动
8．铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定的．弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨高度差h的设计不仅与r有关，还与火车在弯道上的行驶速率v有关．下列说法正确的是(　　)
A．v一定时，r越小则要求h越大
B．v一定时，r越大则要求h越大
C．r一定时，v越小则要求h越大
D．r一定时，v越大则要求h越大
9．关于洗衣机脱水桶的有关问题，下列说法正确的是(　　)
A．如果脱水桶的角速度太小，脱水桶就不能进行脱水
B．脱水桶工作时衣服上的水做离心运动，贴在桶壁上的衣服没有做离心运动
C．脱水桶工作时桶内的衣服也会做离心运动，所以脱水桶停止工作时衣服紧贴在桶壁上
D．只要脱水桶开始旋转，衣服上的水就作离心运动
10．汽车以某一速率在水平地面上匀速转弯时，地面对车的侧向摩擦力正好达到最大，当汽车的速率增为原来的两倍时，则汽车的转弯半径必须(　　)
A．减为原来的1/2 B．减为原来的1/4
C．增为原来的2倍 D．增为原来的4倍
第11题图
11．如图，铁路转弯处外轨就略高于内轨，火车必须按规定的速度行驶，则转弯时(　　)
A．火车所需向心力沿水平方向指向弯道内侧
B．弯道半径越大，火车所需向心力越大
C．火车的速度若小于规定速度，火车将做离心运动
D．火车若要提速行驶，弯道的坡度应适当增大
12．在高速公路的拐弯处，路面造得外高内低，即当车向右转弯时，司机左侧的路面比右侧的要高一些，路面与水平面间的夹角为θ.设拐弯路段是半径为R的圆弧，要使车速为v时，车轮与路面之间的横向(即垂直于前进方向)摩擦力等于零，θ应等于(　　)
A．arcsin B．arccos
C．arctan D．arccot
13．如图所示，在水平圆盘上沿半径方向放置两个质量相等、用伸直的细线连接的物体A和B，物体与盘面间的动摩擦因数相同．现使物体和圆盘保持相对静止以角速度ω匀速转动，则(　　)
第13题图
A．在细线中无张力的情况下，物体A、B所受摩擦力可能相同
B．当角速度ω小于某个值时，细线中没有张力
C．剪断细线，物体B可能相对圆盘滑动
D．剪断细线，物体A可能相对圆盘滑动
第14题图
14．如图所示，某游乐场有一水上转台，可在水平面内匀速转动，沿半径方向面对面手拉手坐着甲、乙两个小孩，假设两小孩的质量相等，他们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两小孩刚好还未发生滑动时，某一时刻两小孩突然松手，则两小孩的运动情况是(　　)
A．两小孩均沿切线方向滑出后落入水中
B．两小孩均沿半径方向滑出后落入水中
C．两小孩仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动而落入水中
D．甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，乙发生滑动最终落入水中
第15题图
15．如图所示，M、N是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小很多，可以忽略不计，筒的两端是封闭的，两筒之间抽成真空．两筒以相同的角速度绕其中心轴线(图中垂直于纸面)做匀速转动．设从M筒内部可以通过窄缝S(与M筒的轴线平行)不断地向外射出两种不同速率v1和v2的微粒，从S处射出时的初速度方向都是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上．如果R、v1和v2都不变，而ω取一合适的值，则(　　)
A．不可能使微粒落在N筒上的位置都在a处一条与S缝平行的窄条上
B．有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上
C．一定使微粒落在N筒上的位置分别在两处如b处和c处与S缝平行的窄条上
D．只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒
第16题图
16．如图所示圆轨道AB是竖直平面内的四分之一圆周，在B点的轨道切线是水平的，一质点自A点从静止开始下滑，不计摩擦和空气阻力，则质点刚要到达B点时的加速度大小是多大？滑过B点的加速度是多大？
课时作业(十四)　圆周运动及其应用
　1.AD　【解析】 匀速圆周运动是线速度大小不变的运动，但线速度的方向时刻在变化，速度和加速度大小不变，方向时刻在变，角速度不变，故选AD.
　2.D　【解析】 周期时间，速度大小相等，方向相反，速度改变量大小是2v，故选D.
　3.AD　【解析】 线圈上每点角速度均相同，A正确；设角速度为ω，半径为r，则P点线速度vP＝ωrsin60°，Q点线速度vQ＝ωrsin30°， vP∶vQ＝∶1，D正确．
　4.C　【解析】 由题意知，a、b两点的线速度大小相等，方向不同，A错；ra＝rb>rc，ωa＝ωb＝ωc，则va＝vb>vc，aa＝ab>ac，故选C.
　5.BD　【解析】 只有做匀速圆周运动的物体加速度才指向圆心，向心力是由物体所受合外力提供，向心力始终与速度方向垂直，只改变物体速度的方向，不改变速度大小，做匀速圆周运动的物体其向心加速度大小不变，但方向改变，故选BD.
　6.BC　【解析】 由题意可知，两轮的线速度相等，从动轮做逆时针转动，由v＝ωr，n＝，2π＝ωT可知＝＝＝，即n2＝n，故选BC.
　7.A　【解析】 由于螺丝帽做圆周运动过程中恰好不下滑，则竖直方向上重力与最大静摩擦力平衡，杆对螺丝帽的弹力提供其做匀速圆周运动的向心力，有mg＝Ff＝μFN＝μmω2r，得ω＝，选项A正确、B、C错误；杆的转动速度增大时，杆对螺丝帽的弹力增大，最大静摩擦力也增大，螺丝帽不可能相对杆发生运动，故选项D错误．
　8.AD　【解析】 设轨道平面与水平方向的夹角为θ，由mgtanθ＝m，得tanθ＝.可见v一定时，r越大，tanθ越小，内外轨道的高度差h越小，故A正确，B错误；当r一定时，v越大，tanθ越大，内外轨道的高度差越大，故C错误，D正确．
　9.ABC　【解析】 由F＝mrω2可知A正确；贴在桶壁上的衣服由于受到桶壁的阻挡，无法向外做离心运动，而水则可以透过桶壁上的小孔做离心运动，B正确．靠近桶中心的衣服，随着转速的增加，先做离心运动，直到贴在桶壁上．C正确；开始转动时，当水所需的向心力小于水与衣服之间的吸附力时，不做离心运动，D错误．
　10.D　【解析】 由F＝m可得：r2∶r1＝v∶v＝4∶1.
　11.AD　【解析】 火车转弯处火车需要的向心力是由重力和支持力的合力提供，方向水平且指向弯道内侧，则mgtanθ＝m，所以要提高速度就需要适当增大坡度，故AD正确；火车做圆周运动的半径越大，所需向心力越小，故B错误；如果速度小于规定值，火车有做向心运动的趋势，所以会对内侧轨道产生压力，故C错误．
　12.C　【解析】 要使摩擦力为零，则满足mgtanθ＝m，即θ＝arctan，C正确．
　13.BD　【解析】 因为AB角速度相同，由F＝mω2r，半径越大向心力越大，故A错；当向心力小于A、B的最大静摩擦力时，A、B间细线没有拉力，B对；由于B静止，故B的向心力小于最大静摩擦力，故剪断细绳B不可能滑动，C错；A受到细绳的拉力作用静止，剪断细绳时，可能会相对圆盘滑动，D对；选BD.
　14.D　【解析】 在松手前，甲、乙两小孩做圆周运动的向心力均由静摩擦力及拉力的合力提供的，且静摩擦力均达到了最大静摩擦力．因为这两个小孩在同一个圆盘上转动，故角速度ω相同，设此时手中的拉力为FT，则对甲：Ffm－FT＝mω2R甲．对乙：FT＋Ffm＝mω2R乙，当松手时，FT＝0，乙所受的最大静摩擦力小于所需要的向心力，故乙做离心运动，然后落入水中．甲所受的静摩擦力变小，直至与它所需要的向心力相等，故甲仍随圆盘一起做匀速圆周运动，选项D正确．
　15.B　【解析】 根据题意得＝t，ωtR＝S，所以同一速率发射的粒子将落在与S平行的窄条上，改变ω取一合适值时，可使S＝2πR，所以A错，B对；ω为可变值，所以不会出现一定，只是有可能，C错；＝t中的时间为粒子从S到N筒的时间在v、R不变时，t不变，实验时间再长，t也不会改变，无法使N筒到处落有微粒，D错；故选B.
　16.2g　g　【解析】 设圆周半径为R，小球到达B点时的速度为v.由mgR＝mv2可得v＝　因小球到达B点时的运动是圆周运动，其加速度为向心加速度，大小为： a＝＝＝2g　小球滑过B点后做平抛运动，只受重力作用，加速度大小为g.第14讲　圆周运动及其应用
　考情 剖析　
(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A代表容易，B代表中等，C代表难)
考查内容 考纲要求及变化 考查年份 考查形式 考查详情 考试层级 命题难度
匀速圆周运动向心力 Ⅱ(向心力的计算只限于向心力是由一条直线上的力合成的情况)
10 计算 以圆周运动为背景，结合机械能守恒定律，计算出线速度，然后算出向心力
12 单选 考查匀速圆周运动切线合力为零 次重点 B
小结及预测 1.小结：匀速圆周运动向心力以选择、计算形式隔年考查，侧重考查线速度、向心力及匀速圆周运动切线合力的特点．2．预测：预测14年考查的可能性较大．3．复习建议：复习时应该理解圆周运动的线速度、角速度、向心力、向心加速度以及周期的关系.
第1课时　圆周运动
知识 整合　
一、描述圆周运动的物理量
1．线速度
(1)物理意义：描述质点__________．
(2)方向：__________.
(3)大小：__________.
2．角速度
(1)物理意义：描述质点__________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)大小：__________.
(3)单位：__________.
3．周期和频率
(1)定义：做圆周运动的物体__________叫周期．
做圆周运动的物体__________叫频率．
(2)周期与频率的关系：__________.
(3)频率与转速的关系：__________.
4．向心加速度
(1)物理意义：描述__________．(2)大小：__________.
(3)方向：__________.(4)作用：__________.
5．向心力
(1)作用：__________.(2)来源：__________.
(3)大小：__________.(4)方向：__________.
二、圆周运动及向心力来源
1．匀速圆周运动：
(1)性质：______________________.
(2)加速度：____________________.
(3)向心力来源：____________________.
(4)质点做匀速圆周运动的条件：
①__________，②__________.
2．非匀速圆周运动：
(1)加速度：____________________.
(2)向心力：____________________.
一、匀速圆周运动
物体在一段时间内的弧长与这段时间的比值叫做物体的线速度．线速度是矢量，其方向就在圆周该点的切线方向上．匀速圆周运动的线速度方向是时刻在变化的，所以匀速圆周运动是变速运动．质点做匀速圆周运动的条件是所受的合外力大小不变，但方向始终和速度的方向垂直．
二、变速圆周运动的特点
速度大小变化说明物体有切向加速度；速度方向改变说明物体有法向加速度．所以合加速度不指向圆心，合外力不全部提供作为向心力，合外力不指向圆心．
三、描述圆周运动的各物理量之间的关系
描述圆周运动的物理量有线速度、角速度、周期、频率、向心加速度5个物理量．线速度描述质点沿圆周运动的快慢，角速度描述质点绕圆心转动的快慢，周期和频率表示质点做圆周运动的快慢，向心加速度描述线速度方向变化的快慢，其中T、f、ω三个量是密切相关的，任意一个量确定，其他两个量就是确定的，其关系为T＝＝.当T、f、ω一定时，线速度v还与r有关，r越大，v越大，r越小，v越小．
向心加速度是按效果命名的，总是指向圆心，方向时刻在变化，是一个变加速度，当ω一定时，a与r成正比，当v一定时，a与r成反比，关系式为a＝＝ω2r.注意公式中v、r 的理解，严格地说，v是相对圆心的速度，r是物体运动轨迹的曲率半径．
(1)同轴转动的物体上各点的角速度相等，又由v＝wr，线速度v与半径r成正比；
(2)皮带传动(或齿轮转动)的两轮、在皮带不打滑的条件下．两轮边缘各点的线速度大小相等，而角速度w＝与半径r成反比．
【典型例题1】 如图所示，皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的
半径为2r，A、B、C分别为轮子边缘上的三点，设皮带不打滑，求：
(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝__________________.
(2)A、B、C 三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC＝__________.　
(3)A、B、C三点的向心加速度之比aA∶aB∶aC＝________.　
温馨提示
正确理解线速度、角速度、向心加速度可得出答案．
记录空间
【变式训练1】　甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧测力计做圆周运动，如图所示．已知M甲＝80kg，M乙＝40kg两人相距0.9m，弹簧测力计的示数为96N，下列判断中正确的是(　　)
A．两人的线速相同，约为40m/s
B．两人的角速度相同，为2rad/s
C．两人的运动半径相同，都是0.45m
D．两人的运动半径不同，甲为0.3m，乙为0.6m
向心力的实际含义
(1)向心力不是一种特殊性质的力，是依据力的效果命名的，由其他的力充当，可以是物体受到的某一个力，也可以是几个力的合力，也可以是由某个力的分力来充当，在受力分析中不要说物体受到一个向心力；
(2)向心力的方向永远指向圆心，因此向心力的方向时刻发生变化．向心力是变力、在匀速圆周运动中向心力也是变力(大小不变、方向变化)；
(3)向心力的作用效果是使物体运动的速度方向发生变化，向心力不能改变线速度的大小，因此向心力不做功．
【典型例题2】 如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随
转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法正确的是(　　)
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．A对B的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
温馨提示
正确理解向心力的来源，利用公式可得出答案．
记录空间
【变式训练2】　长度为L＝0.50m的轻质细杆OA，A端有一质量为m＝3.0kg的小球，如图所示，小球以O点为圆心在竖直平面内做
圆周运动，通过最高点时小球的速率是2.0m/s，g取10m/s2，则此时细杆OA受到(　　)
A．6.0N的拉力
B．6.0N的压力
C．24N的拉力
D．24N的压力
随堂 演练　
1．如图所示，靠摩擦传动做匀速转动的大、小两轮接触面互不打滑，大轮半径是小轮半径的2倍．A、B分别为大、小轮边缘上的点，C为大轮上一条半径的中点．则(　　)
第1题图
A．两轮转动的角速度相等
B．大轮转动的角速度是小轮的2倍
C．质点加速度aA＝2aB
D．质点加速度aB＝4aC
2．如图所示，在同一竖直平面内有两个正对着的半圆形光滑轨道，轨道的半径都是R.轨道端点所在的水平线相隔一定的距离x.一质量为m的小球能在其间运动而不脱离轨道，经过最低点B时的速度为v.小球在最低点B与最高点A对轨道的压力之差为ΔF (ΔF>0)．不计空气阻力．则(　　)
第2题图
A．m、x一定时，R越大，ΔF一定越大
B．m、x一定时，v越大，ΔF一定越大
C．m、R一定时，x越大，ΔF一定越大
D．m、R一定时，v越大，ΔF一定越大
3．如图所示，高速公路转弯处弯道圆半径R＝100m，
第3题图
汽车轮胎与路面间的动摩擦因数μ＝0.23.若路面是水平的，问汽车转弯时不发生径向滑动(离心现象)所许可的最大速率vm为多大？当超过vm时，将会出现什么现象？
4．如图所示，一根长0.1m的细线，一端系着一个质量为0.18kg的小球，使小球在光滑的水平
第4题图
桌面上做匀速圆周运动，现使小球的转速很缓慢地增加，当小球的转速增加到开始时转速的3倍时细线断开，且线断开前的瞬间线的拉力比开始时大40N，g取10m/s2，求：　
(1)线断开前的瞬间，线的拉力大小；
(2)线断开的瞬间，小球运动的速度大小；
(3)若小球最终从桌边AB离开桌面，且离开桌面时，速度方向与桌边AB的夹角为60°，桌面高出地面0.8m，求小球飞出后的落地点距桌边AB的水平距离．
5．如图所示，M是半径R＝0.9m的固定于竖直平面内的1/4光滑圆弧轨道，轨道下端切线水平，轨道下端竖直相切处放置竖直向上的弹簧枪，弹簧枪可发射速度不同的质量m＝0.2kg的小钢珠．假设某次发射的小钢珠沿轨道内壁恰好能从M上端水平飞出，落至距M下方h＝0.8m平面时，又恰好能无碰撞地沿圆弧切线从A点切入一光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下滑．A、B为圆弧轨道两端点，其连线水平，圆弧半径r＝1m，小钢珠运动过程中阻力不计，g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.求：
第5题图
(1)发射小钢珠前，弹簧枪弹簧的弹性势能Ep；
(2)从M上端飞出到A点的过程中，小钢珠运动的水平距离s；
(3)AB圆弧对应的圆心角θ；(结果可用角度表示，也可用正切值表示)；
(4)小钢珠运动到AB圆弧轨道最低点时对轨道的压力大小．
6．如图所示，一个质量为m的小孩在平台上以加速度a做匀加速助跑，目的是抓住在平台右端的、上端固定的、长度为L的轻质悬绳，并在竖直面内做圆周运动．已知轻质绳的下端与小孩的重心在同一高度，小孩抓住绳的瞬间重心的高度不变，且无能量损失．若小孩能完成圆周运动，则：
(1)小孩抓住绳的瞬间对悬线的拉力至少为多大？
(2)小孩的最小助跑位移多大？
(3)设小孩在加速过程中，脚与地面不打滑，求地面对脚的摩擦力大小以及摩擦力对小孩所做的功．
第6题图
第2课时　圆周运动的应用
知识 整合　
一、水平面内的圆周运动
研究水平面内物体的圆周运动时，要知道向心力是由物体所受的合力提供的，要能在具体的运动实例中分析物体向心力的来源．
二、火车转弯问题
在铁路的弯道处，让外轨高于内轨，使火车转弯时所需的向心力恰由重力和弹力的合力提供，如图所示(注意： 火车转弯时的轨道平面是水平的)．这样，铁路建成后，火车转弯时的速率v与弯道圆弧半径r、
铁轨平面与水平面间的夹角θ应满足的关系为： ________；当火车实际行驶速率大于或小于v时，外轨道或内轨道对轮缘有侧压力．
三、汽车过拱桥问题
设汽车质量为m，桥面圆弧半径为r，汽车过桥面最高点时的速率为v，汽车受支持力为FN，则有mg－FN＝m；当v≥时，FN＝0，汽车将脱离桥面，发生危险．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
汽车过凹形桥最低点时，其动力学方程为________．可以看出FN________.这种现象是________．
离心运动
离心现象条件分析
(1)做圆周运动的物体，由于本身具有惯性，总是想沿着切线方向运动．只是由于向心力作用，使它不能沿切线方向飞出，而被限制着沿圆周运动，如图中C所示．
(2)当产生向心力的合外力消失，F＝0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去，如图中A所示．
(3)当提供向心力的合外力不完全消失，而只是小于应当具有的向心力，F′火车转弯
在火车转弯处，让外轨高于内轨，如图所示，转弯时所需向心力由重力和弹力的合力提供．若轨道水平，转变时所需向心力则由外轨对车轮的挤压力提供，而这样对车轨会造成损坏．
设车轨间距为L，两轨高度差为h，车转弯半径为R，两车轨所在平面与水平面的夹角为θ，火车的质量为M，据三角形边角关系如sinθ＝，对火车的受力情况分析得tanθ＝.因为θ角很小，所以sinθ≈tanθ，故＝，所以向心力F＝Mg.又因为F＝Mv2/R，所以车速v＝.由于铁轨建成后h、L、R各量是确定的，因此火车转弯时的车速应是一个定值，否则将对铁轨有不利影响，如：
情况 v车＞ v车＜
合力F与F向的关系 F＜F向 F＞F向
不利影响 火车挤压外轨 火车挤压内轨
结果 外轨对车轮的弹力补充向心力 内轨对车轮的弹力抵消部分合力
　　【典型例题1】 铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率，下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨道高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
　　(1)据表中数据，写出h和r的关系表达式，并求出r＝440m时h的值．
(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力．又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数，路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理，g＝10m/s2)．
(3)近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需相应提高，请根据上述计算原理和表格数据分析提速时应采取怎样的有效措施？
温馨提示
重力和轨道支持力的合力提供火车做圆周运动的向心力．
记录空间
【变式训练1】　随着经济的持续发展，人民生活水平的不断提高，近年来我国私家车数量快速增长，高级和一级公路的建设也正加速进行，为了防止在公路弯道部分由于行车速度过大而发生侧滑，常将弯道部分设计成外高内低的斜面．如果某品牌汽车的质量为m，汽车行驶时弯道部分为半径为r，汽车轮胎与路面的动摩擦因数为μ，路面设计的倾角为θ，如图所示．(重力加速度g取10 m/s2)
(1)为使汽车转弯时不打滑、汽车行驶的最大速度是多少？
(2)若取sinθ＝，r＝60 m，汽车轮胎与雨雪路面的动摩擦因数为μ＝0.3，则弯道部分汽车行驶的最大速度是多少？
竖直平面内的圆周运动
下面具体分析几种情况：
1．外轨、绳的约束
如图所示，小球在外轨或绳的约束下沿着竖直面做圆周运动．在最高点，小球受到重力和轨道的弹力或绳的拉力作用，轨道的弹力或绳的拉力方向只能是竖直向下．
如果重力mg大于物体在最高点所需的向心力F需＝man(供大于求)，物体做向心运动；而如果重力mg小于物体在最高点所需的向心力F需＝man，由于内轨或绳的作用力，就会使外界提供的向心力总能等于所需的向心力(供求相当)，物体能做圆周运动，因此恰能做圆周运动的临界是当重力mg恰等于物体在最高点所需的向心力F需＝man，此时外轨弹力或绳拉力为零，即：mg＝得v临界＝.
如果v临界≥，能过最高点做圆周运动(当v临界>，内轨、绳产生压力、拉力，并且随速度增大而不断增大，来满足做圆周运动的需要)；
如果v临界<，不能过最高点做圆周运动(实际上物体还没到最高点就脱离了轨道)．
总之，物体恰能通过最高点时，其速度为，而不能为零，这一点是同学们的易错点，应引起注意．
2．内轨的约束
如图所示，小球在内轨约束下在竖直面内做圆周运动，在最高点，小球受到重力和轨道的弹力作用，轨道的弹力方向竖直向上，
轨道对它的弹力可以抵消部分重力的效果，物体由于有支撑物而不会脱落在轨道内，只要还有向前的速度就可以通过最高点做圆周运动，但随着物体速度的不断增大，所需的向心力F需＝ma＝m越来越大，而提供的向心力最大等于重力mg(内轨不会产生向下的压力)，一旦需要的向心力F需大于重力mg，物体则做离心运动，从而得出物体做圆周运动在最高点的最大速度v临界要符合：mg＝m得v临界＝，当物体最高点速度在0至之间变化时，都可通过最高点且做圆周运动，由mg－FN＝m，知随着速度的增大FN减小，这类问题在最高点的最小速度为零，与前一类问题是不同的．
【典型例题2】 如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R的光滑半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切．质量为m的小球以大小为v0的初速度经半圆槽轨道最低点B滚上半圆槽，小球恰能通过最高点C后落回到水平面上的A点．(不计空气阻力，重力加速度为g)求：
(1)小球通过B点时对半圆槽的压力大小；
(2)AB两点间的距离；
(3)小球落到A点时的速度方向．
温馨提示
深刻理解外轨下物体恰能通过最高点的临界条件，并善于运用平抛运动的规律
记录空间
【变式训练2】　如图所示，倾角为θ＝37°的斜面底端B平滑连接着半径r＝0.40 m的竖直光滑圆轨道．质量m＝0.50 kg的小物块，从距地面h＝2.7 m处沿斜面由静止开始下滑，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.25，求：
(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10 m/s2)
(1)物块滑动斜面底端B时的速度大小．
(2)物块运动到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小．
随堂 演练　
第1题图
1．下图是摩托车比赛转弯时的情形．转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
第2题图
2．如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体A和B，它们与盘面间的摩擦因数相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，则两个物体的运动情况将是(　　)
A．两物体均沿切线方向滑动
B．两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远
C．两物体仍随圆盘一起做匀速圆周运动，不会发生滑动
D．物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远
3．如图甲所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，则(　　)
　
第3题图
A．球A的线速度必定大于球B的线速度
B．球A的角速度必定小于球B的角速度
C．球A的运动周期必定小于球B的运动周期
D．球A对筒壁的压力必定大于球B对筒壁的压力
4．如图所示，质量m＝2.0×104kg的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20m.如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N，g取10m/s2，则：
第4题图
(1)汽车允许的最大速率是多少？
(2)若以(1)中所求速率行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？
第5题图
5. 长L＝0.5m质量可忽略的细杆，其一端可绕O点在竖直平面内无摩擦地转动，另一端固定着一个小球A，A的质量为m＝2kg，当A通过最高点时，如图所示，求下列情况杆对小球的作用力；
(1)A在最低点的速率为m/s；
(2)A在最低点的速率为6m/s.
6．一质量为m的金属小球用L长的细线拴起，固定在O点，然后将线拉至水平，在悬点O的正下
第6题图
方某处P钉一光滑的钉子，如图所示，为使悬线碰钉后小球仍做圆周运动，则OP的最小距离是多少？(g取10 m/s2)
7．在用高级沥青铺设的高速公路上，汽车的设计时速是108km/h，汽车在这种路面上行驶时，它的轮胎与地面的最大静摩擦力等于车重的0.6倍．如果汽车在这种高速路的水平弯道上拐弯，假设弯道的路面是水平的，其弯道的最小半径是多少？如果高速路上设计了圆弧拱桥做立交桥，要使汽车能够安全通过圆弧拱桥，这个圆弧拱桥的半径至少是多少？(取g＝10m/s2)
8．如图所示，将一质量m＝0.1kg的小滑块(可视为质点)自水平平台顶端O点水平抛出，小滑块恰好与斜面无碰撞地落到平台右侧一倾角为α＝53°的光滑斜面顶端A并沿斜面下滑，小滑块过斜面底端B点后进入粗糙水平轨道BC部分，再进入光滑的竖直圆轨道内侧运动，忽略小滑块经过B点时的机械能损失．已知斜面顶端与平台的高度差为h＝3.2m，斜面顶端距水平轨道高度为H＝15m，竖直圆轨道半径为R＝5m，小滑块与水平轨道间的动摩擦因数为μ＝0.5.重力加速度g取10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6.求：
(1)小滑块水平拋出的初速度v0；
(2)为使小滑块能进入圆轨道运动且不脱离圆轨道，求水平轨道BC的长度x应满足的条件．
第8题图
第14讲　圆周运动
及其应用
第1课时　圆周运动
知识整合
基础自测
一、1.(1)沿圆周运动的快慢　(2)沿圆周上的切线方向　(3)v＝
2．(1)绕圆心转动的快慢　(2)ω＝　(3)弧度每秒(rad/s)　3.(1)经过一周所用的时间　单位时间内完成圆周运动的次数　(2)T＝　(3)f＝n　4.(1)线速度改变的快慢　(2)a＝＝w2r　(3)总指向圆心　(4)只改变速度的方向　5.(1)产生向心加速度　(2)可以是某一个实际力，可以是几个力的合力，也可以是某一个力的分力　(3)F＝＝mω2r　(4)总指向圆心
二、1.(1)速度大小不变而速度方向时刻改变的变速曲线运动　(2)加速度方向总与线速度方向垂直，且指向圆心，即向心加速度　(3)合外力充当向心力　(4)合外力大小不变　合外力方向总指向圆心　2.(1)合外力产生的加速度不指向圆心，既改变速度大小又改变速度方向　(2)合外力不全部提供向心力
重点阐述
【典型例题1】 如图所示，皮带传动装置，主动轮O1上两轮的半径分别为3r和r，从动轮O2的
半径为2r，A、B、C分别为轮子边缘上的三点，设皮带不打滑，求：
　(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC＝__________________．
　(2)A、B、C 三点的线速度大小之比vA∶vB∶vC＝__________．　
　(3)A、B、C三点的向心加速度之比aA∶aB∶aC＝________.　
【答案】　(1)2∶2∶1　(2)3∶1∶1　(3)6∶2∶1　【解析】 (1)A、B两点角速度相同ωA＝ωB，而vB＝vC, v＝ωr，得vB＝ωB·rB　vC＝ωC·rC
　所以＝，所以＝＝
　则ωA∶ωB∶ωC＝2∶2∶1
　(2)又由v＝ωr得： vA＝ωArA　vB＝ωBrB
　所以＝＝＝
　则vA∶vB∶vC＝3∶1∶1
　(3)由a＝v2/R＝ωv，综合(1)(2)得
　aA∶aB∶aC＝6∶2∶1
变式训练1　BD　【解析】 两人旋转一周的时间相同，故两人的角速度相同，两人做圆周运动所需的向心力相同，由F＝mω2r可知，旋转半径满足：r甲∶r乙＝M乙∶M甲＝1∶2，又r甲＋r乙＝0.9m，则r甲＝0.3m，r乙＝0.6m.两人的角速度相同，则v甲∶v乙＝1∶2.由F＝M甲ω2r甲，可得ω＝2rad/s.故选项B、D正确．
【典型例题2】 如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数都为μ，
A和B、C离转台中心的距离分别为r、1.5r.本题中的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．以下说法正确的是(　　)
A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．A对B的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足ω≤
D．转台的角速度一定满足ω≤
【答案】　BC　【解析】 A、B之间为静摩擦力，静摩擦力充当向心力，f＝F向＝3mω2r，A错，B对；对于A、B，必满足μg≥ω2r，对于C，满足μg≥ω2r, 所以ω≤ ，C对，D错，故答案选B、C.
变式训练2　B　【解析】 设小球以速率v0通过最高点时，球对杆的作用力恰好为零，即mg＝m，得
v0＝＝m/s＝m/s.
由于v＝2.0m/s＜m/s，可知过最高点时，球对细杆产生压力．如图所示，为小球的受力情况图．
　
由牛顿第二定律mg－FN＝m，得
　FN＝mg－m＝3.0×N＝6.0N.
随堂演练
　1.D　【解析】 两轮不打滑，边缘质点线速度大小相等，vA＝vB，而rA＝2rB，故ωA＝ωB，A、B错误；由an＝得＝＝，C错误；由an＝ω2r得＝＝2，则＝4，D正确．
　2.C　【解析】 由题意可列出FB－mg＝m，FA＋mg＝m，mv2＝mv＋mg(2R＋x)，解得ΔF＝FB－FA＝2mg(3＋)，可知ΔF的大小与v无关，B、D错；m、x一定时，R越大，ΔF越小，A错；m、R一定时，x越大，ΔF越大，C正确；答案选C.
　3.54km/h，当超过vm时见解析　【解析】 在水平路面上转弯，向心力只能由静摩擦力提供，设汽车质量为m，最大静摩擦力可近似看做与滑动摩擦力相等，则fm＝μmg，则有m＝μmg, vm＝.
　取g＝9.8m/s2，可得vm≈15m/s＝54km/h.
　当汽车的速度超过54km/h时，需要的向心力m增大，大于提供的向心力，也就是说提供的向心力不足以维持汽车做圆周运动所需要的向心力，汽车将做离心运动，严重的将会出现翻车事故．
　4.(1)45N　(2)5m/s　(3)1.73m　【解析】 (1)设开始时转速为n0，线的拉力为F0，线断开的瞬间，转速为n，线的拉力为F.
　由公式F＝m(2πRn)2/R
　可得：
　＝＝
　F＝F0＋40N
　得： F＝45N
　(2)设线断开时速度为v，由公式F＝m
　得： v＝5m/s
　(3)t＝
　t＝0.4s
　s＝vt＝2m
　l＝ssin60°＝1.73m.
　5.(1)Ep＝2.7J　(2)s＝1.2m　(3)tan＝　(4)N′＝8.6N　【解析】 (1)由mg＝可得v＝＝3m/s，　Ep＝mgR＋mv2＝2.7J；
　(2)由平抛运动的规律可知：t＝＝0.4s，
　s＝vt＝1.2m；
　(3)由运动的分解可知vx＝v＝3m/s，
　vy＝gt＝4m/s，tan＝；
　(4)由运动的合成可知vA＝＝5m/s，
　由机械能守恒定律和向心力公式得
　mv＋mg(r－rcos)＝mv，
　N－mg＝m
　得N＝8.6N，压力N′＝N＝8.6N.
　6.(1)6mg　(2)　(3)见解析　【解析】　(1)小孩能完成圆周运动，则在最高点向心力最小为小孩所受的重力，设小孩在最低点运动的速度为v1，最高点运动的速度为v2，小孩抓住悬线时，悬线对小孩的拉力至少为F，依据牛顿第二定律可得
　小孩在最高点有：　mg＝m
　小孩在最低点有：　F－mg＝m
　依据机械能守恒定律可得：
　mv＝mv＋2mgL
　联立以上三式解得：　F＝6mg，依据牛顿第三定律可知，小孩对悬线的拉力至少为6mg.
　(2)小孩在水平面上做初速度为零的匀加速直线运动，依据已知，小孩运动的加速度为a，末速度为v1，根据速度、位移关系式v＝2ax可得：x＝＝.
　(3)摩擦力大小f＝ma，摩擦力对小孩做功为零．
　第2课时　圆周运动的应用
知识整合
基础自测
二、gtanθ＝
三、FN－mg＝m　大于mg　超重
重点阐述
【典型例题1】 铁路转弯处的弯道半径r是由地形决定的，弯道处要求外轨比内轨高，其内外轨道高度差h的设计不仅与r有关，还取决于火车在弯道上的行驶速率，下表中是铁路设计人员技术手册中弯道半径r及与之对应的轨道的高度差h：
弯道半径r/m 660 330 220 165 132 110
内外轨道高度差h/mm 50 100 150 200 250 300
　(1)据表中数据，写出h和r的关系表达式，并求出r＝440m时h的值．
　(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内、外轨道均不向车轮施加侧向压力．又已知我国铁路内、外轨的间距设计值L＝1435mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率v(以km/h为单位，结果取整数，路轨倾角很小时，正弦值按正切值处理，g＝10m/s2)．
　(3)近几年，人们对交通运输的快捷提出了更高的要求，为了提高运输力，国家对铁路不断进行提速，这就要求铁路转弯速率也需相应提高，请根据上述计算原理和表格数据分析提速时应采取怎样的有效措施？
【答案】　(1)75mm　(2)54km/h　(3)见解析　【解析】 火车在弯道处的运动为匀速圆周运动，当重力与轨道支持力的合力恰能提供火车做匀速圆周运动的向心力时，轨道不受侧压力的作用．
　(1)分析表中数据可得，每组的h与r之乘积均等于常数
　C＝660m×50×10－3m＝33m2.即hr＝33m2，
　当r＝440m时，h＝m＝0.075m＝75mm.
　(2)转弯时，当内、外轨对车轮没有侧向压力时，火车的受力如图所示．由牛顿第二定律得：
　mgtanθ＝m，
　因为θ很小，有
　tanθ≈sinθ＝，
　由①②式可得v＝.
　代入数据得v＝15m/s＝54km/h.
　(3)可采取的有效措施有：
　a. 适当增大内、外轨的高度差h；
　b. 适当增大铁路弯道的轨道半径r.
变式训练1　见解析　【解析】 (1)汽车受力分析如图所示，
　
　竖直方向：FNcosθ＝mg＋Ffsinθ
　水平方向：FNsinθ＋Ffcosθ＝m
　又Ff＝μFN
　联立可得v＝.
　(2)代入数据可得：v＝14.6 m/s.
【典型例题2】 如图所示，在光滑水平面上竖直固定一半径为R的光滑半圆槽轨道，其底端恰与水平面相切．质量为m的小球以大小为v0的初速度经半圆槽轨道最低点B滚上半圆槽，小球恰能通过最高点C后落回到水平面上的A点．(不计空气阻力，重力加速度为g)求：
　
(1)小球通过B点时对半圆槽的压力大小；
　(2)AB两点间的距离；
　(3)小球落到A点时的速度方向．
【答案】　见解析　【解析】 (1)在B点小球做圆周运动，
　FN－mg＝m.
　FN＝mg＋m.
　(2)因C点小球恰能通过，故只有重力提供向心力，
　则mg＝m.
　过C点小球做平抛运动：sAB＝vct.
　h＝gt2.h＝2R.
　联立上几式可得sAB＝2R.
　(3)设与水平方向成θ角，则tanθ＝.
　v⊥＝gt.2R＝gt2.
　联立上几式可得θ＝arctan2.
变式训练2　见解析
　【解析】 (1)物块沿斜面下滑过程中，在重力、支持力和摩擦力作用下做匀加速运动，设下滑加速度为a，到达斜面底端B时的速度为v，则mgsinθ－μmgcosθ＝ma，v2＝2a·.
　由上式代入数据解得：v＝6.0 m/s.
　(2)设物块运动到圆轨道的最高点A时的速度为vA，在A点受到圆轨道的压力为N，由机械能守恒定律得：
　mv2＝mv＋mg·2r，
　物块运动到圆轨道的最高点A时，由牛顿第二定律得：
　N＋mg＝m，代入数据解得：N＝20 N.
　由牛顿第三定律可知，物块运动的到圆轨道的最高点A时，对圆轨道的压力大小NA＝N＝20 N.
随堂演练
　1.B　【解析】 本题考查圆周运动的规律和离心现象，摩托车只受重力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错误；摩托车正确转弯时可看做是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之间做离心曲线运动，C、D项错误．
　2.D　【解析】 设两物体刚好未发生滑动时的角速度为ω，此时绳子的弹力大小为T，两物体到O点的距离分别为rA和rB，两物体的最大静摩擦力大小均为f，则有T＋f＝mω2rA和f－T＝mω2rB，联立两式可得ω2＝2f/(rA＋rB)；设烧断细线后，两物体刚好发生滑动时的角速度大小分别为ωA和ωB，则有f＝mωrA和f＝mωrB，可得ω＝f/rA，ω＝f/rB；又因为rA＞rB，可求得ωA＜ω＜ωB，所以烧断细线后，物体B仍随圆盘一起做匀速圆周运动，物体A发生滑动，离圆盘圆心越来越远，只有选项D正确．本题答案为D.
　3.AB　【解析】 第一步确定：①研究对象为A、B；②两球轨道平面均是水平的；③它们的圆心均在转轴上；④它们的向心力均在各自的水平轨道平面内且指向各自圆心．第二步受力分析：小球A和小球B的受力分析如图乙所示．第三步列方程：由于A、B球向心力都来自重力mg和支持力FN的合力F合(即FN指向圆心方向上的分力)，由图得：F合＝mgcotθ，
　第3题图丙
　
　所以FA向心＝FB向心＝mgcotθ(两球向心力相等)．
　比较线速度时，选用F向心＝m分析得r大，v一定大，A选项正确．比较角速度时，选用F向心＝mω2r分析得r大，ω一定小，B选项正确．比较周期时，选用F向心＝mr分析得r大，T一定大，C选项不正确．由图乙得知，A、B两球的支持力FN都等于mg/sinθ，D选项不正确．
　列式时也可以用正交法列式，如图丙
　
　所以F向心＝mgcotθ.
　4.见解析　【解析】 (1)汽车在凹形桥面底部时对桥面的压力最大，此时
　FN－mg＝m，
　FN最大时，速率v达到最大，代入数据，得vmax＝10m/s.
　(2)汽车在凸形桥面最高点时对桥面的压力最小，此时
　mg－FN′＝，FN′＝mg－＝105N.
　
第5题图
　
5．(1)16N　方向向上　(2)44N　方向向下　【解析】 设小球在最高点速度为v，对小球A由最低点到最高点过程，取圆周的最低点为参考平面，由机械能守恒定律得，
　mv2＋mg·2L＝mv
　在最高点，假设细杆对A的弹力F向下，则A的受力图如图所示．
　以A为研究对象，由牛顿第二定律得
　mg＋F＝m
　所以F＝m
　(1)当v0＝m/s时，由①式得v＝1m/s，
　F＝2×N＝－16N，
　负值说明F的实际方向与假设向下的方向相反，即杆给A向上16N的支持力．
　(2)当v0＝6m/s时，由①式得v＝4m/s；
　F＝2×N＝44N.
正值说明杆对A施加的是向下44N的拉力．
　6.L　【解析】 要使悬线碰钉后小球做圆周运动，即能使小球到达以P点为圆心的圆周最高点M，而刚能到达最高点M的条件是到M点小球所需向心力刚好由自身重力mg提供，此时悬线拉力为零，即有mg＝m，其中R为以P点为圆心的圆周的半径，v高为小球到达M点的最小速度，而根据机械能守恒定律．有mg(L－2R)＝mv　联立解得R＝L，即小球以P点为圆心的最大半径，所以OP＝L－R＝L，为OP间的最小距离，故OP段的最小距离是L.
　7.150m　90m　【解析】 汽车在水平路面上拐弯，可视为汽车做匀速圆周运动，其向心力是车与路面间的最大静摩擦力，有≤0.6mg，由速度v＝30m/s，得弯道半径r≥150m；汽车过拱桥，看作在竖直平面内做匀速圆周运动，到达最高点时，有＝mg－FN，为了保证安全，车对路面的压力FN必须大于或等于零，有≤mg，则R≥90m.
　8.(1)6m/s　(2)x≤15m或30m≤x<40m
　【解析】 (1)小滑块做平抛运动，小球落至A点时，由平抛运动速度分解图可得
　v0＝vycotα　vy＝gt
　h＝gt2
　由上式解得v0＝6m/s.
　(2)小滑块在BC部分做匀减速直线运动，在竖直圆轨道内侧做圆周运动，为使小滑块不脱离圆轨道运动，分两种情况讨论：
　Ⅰ.水平轨道长度x较短时，小滑块能通过竖直圆的最高点做圆周运动，其临界条件为在竖直圆最高点，由牛顿第二定律可得
　mg＝m
　小滑块从B点运动圆轨道的最高点，由动能定理可得
　mgH－2mgR－μmgx＝mv2－mv
　由上面两式可得x＝15m
　Ⅱ.水平轨道长度x较长时，为使小滑块不脱离圆轨道，其临界条件为
　mgH－mgR－μmgxmin＝0－mv
　可得xmin＝30m
　为使小滑块进入圆轨道，其临界条件为　mgH－μmgxmax＝0－mv
　xmax＝40m
　水平轨道BC的长度x应满足的条件为x≤15m或30m≤x<40m.第六章　万有引力与航天课时作业(十三)　抛体运动
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地．若不计空气阻力，则(　　)
A．垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定
B．垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定
C．垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定
D．垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定
2．物体以初速度v0水平抛出，当抛出后竖直位移是水平位移的2倍，则物体抛出的时间是(　　)
A. B．2 C．4 D．8
3．如图所示，从某高度水平抛出一小球，经过时间t到达地面时，速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
第3题图
A．小球水平抛出时的初速度大小为gttanθ
B．小球在t时间内的位移方向与水平方向的夹角为
C．若小球初速度增大，则平抛运动的时间变长
D．若小球初速度增大，则θ减小
4．一物体做平抛运动，先后在两个不同时刻的速度大小分别为v1和v2，时间间隔为Δt，那么(　　)
A．v1和v2的方向一定不同
B．若v2为后一时刻的速度，则v1C．由v1到v2的速度变化量Δv的方向一定竖直向下
D．由v1到v2的速度大小的变化量为g·Δt
5．一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(　　)
第5题图
A．tanθ B．2tanθ
C. D.
6．水平抛出的小球，ts末的速度方向与水平方向的夹角为θ1，t＋t0s末速度方向与水平方向的夹角θ2，忽略空气阻力，则小球初速度的大小为(　　)
A．gt0(cosθ1－cosθ2) B.
C．gt0(tanθ1－tanθ2) D.
7．如图滑雪雪道，运动员从AB上开始下滑，到达C点后水平飞出，落到F点．空中轨迹上E点的速度方向与斜坡轨道CD平行．从C到E运动时间为t1；从E到F运动时间为t2，则它们的大小关系为(　　)
第7题图
A．t1一定大于t2 B．t1一定等于t2
C．t1一定小于t2 D．条件不足，无法确定
8．如图水平地面上有一坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速度v0沿AB方向抛出一小球，小球击中坑壁上的C点(图中C点未画出)．已知C点与水平地面的高度差为圆半径的一半，则圆的半径为(　　)
第8题图
A. B.
C. D．以上均不正确
9．在同一高度，以大小相等的速度抛出三个小球，A球竖直上抛，B球竖直下抛，C球平抛，在空中飞行时间最长为3s，飞行最短时间为1s，则飞行时间处于中间的时间为(　　)
A.s B．(3－)s
C．2s D．2.5s
10．如图所示，水平屋顶高H＝5m，围墙高h＝3.2m，围墙到房子的水平距离L＝3m，围墙外马路宽s＝10m，为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，求小球离开屋顶时的速度v的大小范围？(g取10m/s2)
第10题图
11．一位网球运动员以拍击球，使网球沿水平方向飞出．第一只球落在自己一方场地上后，弹跳起来，刚好擦网而过，落在对方场地的A点处．如图所示．第二只球直接擦网而过，也落在A点处．设球与地面的碰撞是完全弹性碰撞，且不计空气阻力，试求运动员击球点的高度H与网高h之比H/h为多少？
第11题图
课时作业(十三)　抛体运动
　1.D　【解析】 由h＝gt2得t＝，垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定，D正确；水平位移x＝v0t，由初速度和落地时间共同决定，C错误；垒球落地速度的大小v＝，落地的方向tanθ＝，由初速度和击球点离地面的高度共同决定，故A、 B均错误．
　2.C　【解析】 设抛出时间为t，则水平位移S1＝v0t，竖直位移S2＝gt2，由gt2＝v0t×2.
?t＝4，故选C.
　3.D　【解析】 落地时竖直方向上的速度vy＝gt，因为速度方向与水平方向的夹角为θ，所以落地的速度大小v＝＝，小球的初速度v0＝vycotθ＝gtcotθ，A错．速度与水平方向夹角的正切值tanθ＝＝，位移与水平方向夹角的正切值tanα＝＝＝，tanθ＝2tanα，但α≠，故B错．平抛运动的时间由高度决定，与初速度无关，故C错．由于tanθ＝＝，若小球初速度增大，则θ减小，D对．
　4.ABC　【解析】 平抛运动可看做是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，由于两个时刻竖直方向的速度不同，因此与水平方向的速度合成后的速度一定不同，也就是v1和v2的方向一定不同，A正确．若v2是后一时刻的速度，由于在竖直方向做加速运动，则v1＜v2，B正确．因为水平方向速度不变，故由v1到v2的速度变化量Δv的方向一定竖直向下，C正确．速度大小的变化量是两个时刻速度大小的数值之差，与速度变化量不同，显然速度大小的变化量不为g·Δt，D不正确．
　5.D　【解析】 设小球的初速度为v0，飞行时间为t.由速度三角形可得＝tanθ.故有＝，答案为D.
　6.D　【解析】 速度夹角分析如下：
tanθ1＝，tanθ2＝，
所以v0＝，故选D.
　7.B　【解析】 设斜坡与水平面夹角为θ，运动员飞出时初速度为v0，位于E点时有＝tanθ，即＝tanθ①；位于F点时有tanθ＝＝②，t＝t1，t＝t1＋t2，由①②得：＝，即t1＝t2，故选B.
　8.C　【解析】 当C点在左半侧时：＝gt2，(1－)R＝v0t，t＝，(1－)R＝v0·，＝
R＝；
当C点在右半侧时：＝gt2，(1＋)R＝v0t
R＝；
R＝，故选C.
　9.A　【解析】 飞行时间最长的是竖直上抛，飞行时间最短是竖直下抛，则h＝v0＋g，h＋＝g(3－)2，则h＝gt2，t＝s，故选A.
　10.5m/s＜v≤13m/s　【解析】 为使小球落在墙外的马路上，小球离开屋顶的速度v最小时，恰好沿墙最高点落在马路上，分析知
gt＝H－h，L＝vmintmin
则vmin＝5m/s；小球v最大时，恰好落在马路最远点，有gt＝H　L＋S＝vmaxtmax
则vmax＝13m/s
所以v的范围是5m/s＜v≤13m/s.
　11.(1)1∶3　(2)4∶3　【解析】 (1)由于两只球从等高处做平抛运动，所以平抛运动的时间相等．由题意可知水平射程之比为s1：s2＝1∶3，因此平抛运动的初速度之比为v1：v2＝1∶3.
(2)设一、二两球从O点到C点运动的时间分别为t1、t2，由于两球从O点到C点水平距离相等，则t1＝3t2.由竖直方向运动规律可知：
H＝g(2t2)2，h＝g(2t2)2－gt，
故得＝.

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