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第15讲　开普勒定律　万有引力定律
　考情 剖析　
1．开普勒定律、万有引力定律一般与天体运动和圆周运动结合综合考查、较少单独出现，但作为基本知识需要了解掌握．
2．预测14年高考中单独考查的可能性很小．
知识 整合　
一、开普勒定律
1．开普勒第一定律又称轨道定律，它指出： 所有行星绕太阳运动的轨道是椭圆，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上．远日点是指________，近日点是指________．不同行星的椭圆轨道是不同的，太阳处在这些椭圆的一个公共焦点上．
2．开普勒第二定律又称面积定律．对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．所以行星在离太阳比较近时，运动速度________．行星在离太阳较远时，运动速度________．
3．开普勒第三定律又称周期定律，内容是： 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．该定律的数学表达式是： ________.
4．开普勒行星运动定律，不仅适用于行星，也适用于其他卫星的运动．研究行星运动时，开普勒第三定律中的常量k与________有关，研究月球、人造地球卫星运动时，k与________有关．
二、万有引力定律
1．万有引力定律的内容是： 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比．其数学表达式是________．万有引力定律的发现，证明了天体运动和地面上运动遵守共同的力学原理，实现了天地间力学的大综合，第一次揭示了自然界中的一种基本相互作用规律．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2．卡文迪许扭秤实验证明了万有引力的存在及正确性，并使得万有引力定律可以定量计算，引力常量G＝________.
3．万有引力定律的应用
计算中心天体的质量、密度
若已知一个近地卫星(离地高度忽略，运动半径等于地球半径R)的运行周期是T.有：
G＝，解得地球质量为________；由于地球的体积为V＝πR3可以计算地球的密度为： ________.当然同样的道理可以根据某行星绕太阳的运动计算太阳的质量．
随堂 演练　
1．地球绕太阳的运行轨道是椭圆，因而地球与太阳之间的距离随季节变化．冬至这天地球离太阳最近，夏至最远．下列关于地球在这两天绕太阳公转速度大小的说法中，正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．地球公转速度是不变的
B．冬至这天地球公转速度大
C．夏至这天地球公转速度大
D．无法确定
第2题图
2．某次，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能
C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
3．2011年8月26日消息，英国曼彻斯特大学的天文学家认为，他们已经在银河系里发现一颗由曾经的庞大恒星转变而成的体积较小的行星，这颗行星完全由钻石构成．若已知万有引力常量，还需知道哪些信息可以计算该行星的质量(　　)
A．该行星表面的重力加速度及绕行星运行的卫星的轨道半径
B．该行星的自转周期与星体的半径
C．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及运行半径
D．围绕该行星做圆周运动的卫星的公转周期及公转线速度
4．一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则(　　)
A．恒星的质量为
B．行星的质量为
C．行星运动的轨道半径为
D．行星运动的加速度为
5．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600km的高空，使得人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展．假设哈勃天文望远镜沿圆轨道绕地球运行．已知地球半径约为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一数据可得到哈勃天文望远镜绕地球运行的周期．以下数据中最接近其运行周期的是(　　)
A．0.6小时　　 B．1.6小时 C．4.0小时　　 D．24小时
6．1798年英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人．若已知万有引力常量G，地球表面处的重力加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1(地球自转周期)，一年的时间T2(地球公转周期)，地球中心到月球中心的距离L1，地球中心到太阳中心的距离L2，你估算出(　　)
A．地球的质量m地＝
B．太阳的质量m太＝
C．月球的质量m月＝
D．可求月球、地球及太阳的密度
7．2011年9月29日晚21时16分，我国将首个目标飞行器天宫一号发射升空，它将在两年内分别与神舟八号、神舟九号、神舟十号飞船对接，
第7题图
从而建立我国第一个空间实验室．假设T代表天宫一号，S代表“神舟八号”，它们绕地球做匀速圆周运动轨道如图所示，则(　　)
A．T的周期大于S的周期
B．T的速率大于S的速率
C．T的向心加速度大于S的向心加速度
D．S须加速后才能与T实现对接
8．已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，不考虑地球自转的影响．
(1)推导第一宇宙速度v1的表达式；
(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为h，求卫星的运行周期T.
第15讲　开普勒定律
万有引力定律
知识整合
基础自测
一、1.离太阳所在焦点较远的长轴端点　离太阳所在焦点较近的长轴端点　2.大　小　3.＝k　4.太阳质量　地球质量
二、1.F＝G　2.6.67×10－11N·m2/kg2　3.M＝　ρ＝
随堂演练
　1.B　【解析】 冬至地球与太阳的连线短，夏至长．根据开普勒第二定律，要在相等的时间内扫过的面积相等，则在相等的时间内冬至时地球运动的路径就要比夏至时长，所以冬至时地球运动的速度比夏至的速度大，答案选B.
　2.ABC　【解析】 逐项判断根据开普勒定律，近地点的速度大于远地点的速度，A正确；由Ⅰ轨道变到Ⅱ轨道要减速，所以B正确；根据开普勒定律，＝k，R2　3.CD　【解析】 由万有引力定律和牛顿第二定律卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得G＝m＝mrω2＝mr；若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度ω或线速度v，可求得中心天体的质量为M＝＝＝，所以选项CD正确．
　4.ACD　【解析】由v＝得到r＝，C正确；根据F＝G＝mr及r＝得M＝，A正确；根据a＝及r＝得知D正确，故本题答案选ACD.
　5.B　【解析】 哈勃天文望远镜绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r1＝R＋6×105m＝7.0×106m，地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为r2＝R＋3.6×107m＝4.24×107m.已知地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动的周期T2＝24h，由开普勒第三定律T/T＝r/r可知哈勃天文望远镜绕地球做匀速圆周运动的周期大约为1.6h.所以正确选项为B.
　6.AB　【解析】 由mg＝得m地＝，A对；地球绕太阳转，由＝m地··L2得m太＝，B对；用万有引力公式只能计算中心天体的质量，所以C错；根据题中的已知量，只能求出地球的密度，D错．
　7.AD　【解析】 本题考查用圆周运动动力学条件研究天体运动及分析能力，根据万有引力提供圆周运动的向心力有G＝m＝mr()2可知v＝，T＝，故A正确，B错误；同理，它们的向心加速度a＝G，可知C错误；S在低轨加速后做离心运动，达到T的轨道，才能对接，故D正确．
　8.见解析　【解析】(1)设卫星的质量为m，地球的质量为M，在地球表面附近满足G＝mg，得GM＝R2g　①，卫星做圆周运动的向心力等于它受到的万有引力m＝G　②，①式代入②式，得到v1＝. (2)考虑①式，卫星受到的万有引力为F＝G＝，由牛顿第二定律F＝m(R＋h)，③④式联立解得T＝.课时作业(十五)　开普勒定律　万有引力定律
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．宇宙飞船在半径为R1的轨道上运行，变轨后的半径为R2，R1>R2.宇宙飞船绕地球做匀速圆周运动，则变轨后宇宙飞船的(　　)
A．线速度变小 B．角速度变小
C．周期变大 D．向心加速度变大
2．哈雷彗星绕太阳运动的轨道是比较扁的椭圆，下面说法中正确的是(　　)
A．彗星在近日点的速率大于在远日点速率
B．彗星在近日点的向心加速度大于它在远日点的向心加速度
C．若彗星的周期为75年，则它的半长轴是地球公转半径的75倍
D．彗星在近日点的角速度大于它在远日点的角速度
3．如图所示，A为绕地球做椭圆轨道运动的卫星，B为地球同步卫星，P为A、B两轨道的交点．下列说法中正确的是(　　)
第3题图
A．卫星A所受万有引力完全提供向心力
B．卫星B相对地面静止，一定不会与A相撞
C．卫星B加速后其轨道可与卫星A轨道相同
D．卫星A在远地点加速后其轨道可以变成比B轨道半径更大的圆轨道
4．2010年10月1日“嫦娥二号卫星”在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后进入地月转移轨道，经多次变轨进入距离月球表面100km，周期为118min的工作轨道，开始对月球进行探测．经过一段时间后，如果卫星的轨道距月球高度逐渐降低，则“嫦娥二号卫星”的(　　)
A．线速度逐渐减小 B．角速度逐渐减小
C．周期逐渐减小 D．向心加速度逐渐减小
5．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动．已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的(　　)
A．线速度v＝
B．角速度ω＝
C．运行周期T＝2π
D．向心加速度a＝
6．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，地球的转速就应为原来的(　　)
A.倍 B.倍 C.倍 D.倍
7．“嫦娥”一号月球探测器在环绕月球运行过程中，设探测器运行的一轨道半径为r，运行速率为v，当探测器在飞越月球上一些环形山中的质量密集区上空时(　　)
A．r、v都将略为减小
B．r、v都将保持不变
C．r将略为减小，v将略为增大
D．r将略为增大，v将略为减小
8．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2.设在卫星1、卫星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则(　　)
A.＝4/3 B.＝4/3
C.＝2 D.＝2
9．2010年10月1日“嫦娥二号”探月卫星沿地月转移轨道直奔月球，在距月球表面100km的P点进行第一次“刹车制动”后被月球捕获，迸入椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后，卫星在P点又经过第二次“刹车制动”，进入距月球表面100km的圆形工作轨道Ⅱ，绕月球做匀速圆周运动，如图所示．则下列说法正确的是(　　)
第9题图
A．卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上长
B．卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上短
C．卫星沿轨道Ⅰ经P点时的加速度小于沿轨道Ⅱ经P点时的加速度
D．卫星沿轨道Ⅰ经P点时的加速度等于沿轨道Ⅱ经P点时的加速度
10．经长期观测发现，A行星运行的轨道半径为R0，周期为T0但其实际运行的轨道与圆轨道总存在一些偏离，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏离．如图所示，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外侧还存在着一颗未知行星B，则行星B运动轨道半径为(　　)
第10题图
A．R＝R0
B．R＝R0
C．R＝R0
D．R＝R0
11．地球半径为R，在距球心r处(r>R)有一同步卫星，另有一半径为2R的星球A，在距球心3r处也有一同步卫星，它的周期是48h，那么A星球平均密度与地球平均密度的比值为(　　)
A．9∶32 B．3∶8 C．27∶32 D．27∶46
12．假设嫦娥号登月飞船贴近月球表面做匀速圆周运动，测得其周期为T.飞船在月球上着陆后，自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P.已知引力常数为G，由以上数据可以求出的量有(　　)
(1)月球的半径
(2)月球的质量
(3)月球表面的重力加速度
(4)月球绕地球做匀速圆周运动的向心加速度
(5)月球的平均密度
(6)月球绕地球做匀速圆周运动的周期
A．(1)(2)(3)(6) B．(1)(2)(3)(4)(5)
C．(1)(2)(3)(5) D．(2)(3)(4)(5)
课时作业(十五)　开普勒定律　万有引力定律
　1.D　【解析】 根据公式＝m＝mω2R＝mR解得v＝　ω＝　T＝2π ，可见当R变小之后，线速度v变大，角速度ω变大，周期T变小，所以A、B、C错误，向心加速度a＝.当R变小时a变大，所以D正确．
　2.ABD　【解析】 由G＝m得在近日点速率大于在远日点速率，在近日点向心加速度大于在远日点向心加速度，AB正确；由G＝mω2r，近日点角速度较大，D正确；由开普勒第三定律可知＝＝752，R星＝R地．C错；故选ABD.
　3.D　【解析】 A作椭圆运动，所以万有引力也提供A离心力，因为A、B卫星轨道相交于P点，同AB可能相撞，B卫星加速后，即作离心运动，随着半径的增大，万有引力减小，则B继续做半径变大后的匀速圆周运动，而不是椭圆运动．故ABC错，D正确，故选D.
　4.C　【解析】 卫星环绕月球做匀速圆周运动，由G＝m＝mω2r＝m()2r知，v＝，ω＝，T＝，所以当r减小时，线速度增大，A错；角速度增大，B错；周期减小，C对；由a＝，r减小时，加速度增大，D错．
　5.AC　【解析】 由万有引力等于向心力G＝m可得线速度v＝，选项A正确；角速度ω＝v/R＝＝，选项B错误；运行周期T＝2πR/v＝
2π，选项C正确；由G＝ma可得向心加速度a＝，选项D错误．
　6.B　【解析】 赤道上的物体随地球自转时：G＋FN＝mR0ω2＝ma，其中FN＝mg.要使赤道上的物体“飘”起来，即变为近地星，则应有FN＝0，于是G＝mR0ω′2，所以＝.
　7.C　【解析】 当探测器飞越月球上一些环形山中的质量密集区的上空时，相当于探测器和月球重心间的距离变小了，由万有引力定律F＝可知，探测器所受月球的引力将增大，这时的引力略大于探测器以原来轨道半径运行所需要的向心力，探测器将做靠近圆心的运动，使轨道半径略为减小，而且月球的引力对探测器做正功，使探测器的速度略微增加，故A、B、D错误，C正确．
　8.B　【解析】 因为近地卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力全部用来提供向心力，即有G＝m r，可得 r＝，又可认为万有引力与重力相等，故有G＝mg，所以mg＝mr，由此可得：g＝r，将r＝代入得：g＝·＝·＝，即g∝，所以＝，B正确．
　9.AD　【解析】 由图可知，卫星轨道Ⅰ半长轴大于轨道Ⅱ，由开普勒定律可知，卫星在轨道Ⅰ上运动周期比在轨道Ⅱ上长，选项A正确B错误；卫星在同一点所受引力相同，其加速度相同，卫星沿轨道Ⅰ经P点时的加速度等于沿轨道Ⅱ经P点时的加速度，选项D正确C错误．
　10.A　【解析】 A行星发生最大偏离时，A、B行星与恒星在同一直线上且位于恒星同一侧，设行星B的运行周期为T，半径为R，则有t0－t0＝2π，所以T＝，同开普勒第三定律得＝，R＝R0，所以选项A正确．
　11.C　【解析】 根据万有引力提供向心力有＝mr可得，计算中心天体质量的公式为M＝；根据题意，A星球的同步卫星的轨道半径是地球同步卫星轨道半径的3倍，而周期是地球同步卫星运行周期的2倍，所以A星球的质量是地球的＝倍，即M星＝M地，已知A星球的半径是地球半径的2倍，那么其体积是地球体积的8倍，即V星＝8V地，所以＝·＝·＝，选项C正确．本题答案为C.
　12.C　【解析】 自动机器人用测力计测得质量为m的仪器重力为P，可知月球表面的重力加速度为g＝P/m，由于登月飞船绕月球表面做匀速圆周运动，故g＝(2π/T)2R，可以求出月球半径，由月球表面万有引力近似等于重力GMm/R2＝mg，可以求出月球质量M，将月球视为理想球体，可以求出月球的平均密度ρ＝3π/GT2，至于(4)、(6)从本题条件无法求出，故答案C正确．课时作业(十六)　万有引力定律在天体运动中的应用
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．九大行星绕太阳运行的轨迹可粗略的认为是圆，各星球半径和轨道半径的大小如表所示：
行星名称 水星 金星 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星 冥王星
星球半径(×106m) 2.44 6.05 6.37 3.29 69.8 58.2 23.7 22.4 2.50
轨道半径(×1011m) 0.579 1.08 1.50 2.28 7.78 14.3 28.7 45.0 59.0
　　从表中所引数据可以估算出冥王星的公转周期约为(　　)
A．4年 B．40年 C. 140年 D．240年
2．未发射的卫星放在地球赤道上随地球自转时的线速度为v1、加速度为a1；发射升空后在近地轨道上做匀速圆周运动时的线速度为v2、加速度为a2；实施变轨后，使其在同步卫星轨道上做匀速圆周运动，运动的线速度为v3、加速度为a3.则v1、v2、v3和a1、a2、a3的大小关系是(　　)
A．v2＞v3＞v1　a2＞a3＞a1
B．v3＞v2＞v1　a2＞a3＞a1
C．v2＞v3＝v1　a2＝a1＞a3
D．v2＞v3＞v1　a3＞a2＞a1
3．“嫦娥一号”经过多次的变轨，最终进入距离月球表面200km的工作轨道绕月球做匀速圆周运动，设月球的半径为R，月亮表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A．绕月运行的周期为2π(R/g)1/2
B．月球的平均密度为3g/4πGR
C．“嫦娥一号”的绕行速度为g1/2(R＋h)1/2
D．“嫦娥一号”工作轨道处的月球重力加速度为R2g/(R＋h)2
4．一宇宙飞船绕地心做半径为r的匀速圆周运动，飞船舱内有一质量为m的人站在可称体重的台秤上．用R表示地球的半径，g表示地球表面处的重力加速度，g′表示宇宙飞船所在处的地球引力加速度，FN表示人对秤的压力，下面说法中正确的是(　　)
A．g′＝0 B．g′＝g
C．FN＝0 D．FN＝mg
5．某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
A．人造卫星的最小周期为π
B．卫星在距地面高度R处的绕行速度为
C．卫星在距地面高度R处的加速度为
D．地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较小
6．已知地球的半径为6.4×106m，地球自转的角速度为7.27×10－5rad/s，地面的重力加速度为9.8m/s2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103m/s，第三宇宙速度为16.7×103m/s，月地中心间距离为3.84×108m.假设地球上有一棵苹果树长到了月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，将(　　)
A．落向地面
B．成为地球的同步“苹果卫星”
C．成为地球的“苹果月亮”
D．飞向茫茫宇宙
7．设地球同步卫星离地面的距离为R，运行速率为v，加速度为a，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a0，第一宇宙速度为v0，地球半径为R0，则以下关系式正确的是(　　)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
8．如图，宇宙飞船A在低轨道上飞行，为了给更高轨道的宇宙空间站B输送物质，需要与B对接，它可以采用喷气的方法改变速度，从而达到改变轨道的目的，则以下说法正确的是(　　)
第8题图
A．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期变小
B．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期变大
C．它应沿运行速度方向喷气，与B对接后周期变大
D．它应沿运行速度的反方向喷气，与B对接后周期变小
课时作业(十六)　万有引力定律在天体运动中的应用
　1.D　【解析】 由题中所给表格中的数据，根据开普勒行星运动定律可得　＝k，则有＝，
T冥＝≈247年．
　2.A　【解析】 卫星放在地球赤道上随地球自转时的角速度与同步卫星的角速度相等，v3＞v1; 在近地轨道上做匀速圆周运动时的线速度为v2大于同步卫星运动的线速度v3，所以v2＞v3＞v1.由万有引力定律和牛顿运动定律可知，a2＞a3＞a1，所以选项A正确．
　3.BD　【解析】 由＝mg, ＝m(R＋h)易知A错B对，由＝m得C错D对．
　4.BC　【解析】 做匀速圆周运动的飞船及其上的人均处于完全失重状态，台秤无法测出其重力，故FN＝0，C正确，D错误；对地球表面的物体，＝mg，宇宙飞船所在处，＝mg′，可得： g′＝g，A错误，B正确．
　5.C　【解析】 人造卫星贴近地球表面做圆周运动时，万有引力近似等于重力，又因为轨道半径最小，运行周期最小，根据mg＝mR可得T＝2π，选项A错误；卫星在距地面高度R处时，根据＝＝ma和GM＝gR2可得v＝，α＝，选项B错误，C正确；由于地球同步卫星的轨道半径比近地卫星的轨道半径大，发射同步卫星时需要克服的地球引力做功较大，所以所需的能量较大，选项D错误．本题答案为C.
　6.D　【解析】 由v＝ωr得苹果的速度为28×103m/s，此速度大于第三宇宙速度，所以苹果将飞向茫茫宇宙．
　7.C　【解析】 地球同步卫星与地球赤道上随地球自转的物体角速度相等，由a＝ω2r，选项A、B错误；第一宇宙速度为近地卫星的速度，由G＝m得v＝，可知v与成反比，选项C正确、D错．
　8.B　【解析】 飞船要从A到B，则需机械能变大，所以应沿运行速度反方向喷气，到达B后线速度变小，周期变大，选项B正确．第16讲　万有引力定律在天体运动中的应用
　考情 剖析　
(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A代表容易，B代表中等，C代表难)
考查内容 考纲要求及变化 考查年份 考查形式 考查详情 考试层级 命题难度
万有引力定律的应用 Ⅱ(地球表面附近，重力近似等于万有引力)
09 单选 以黑洞为背景，考查运用万有引力定律和题中所给信息求星球表面的重力加速度
10 多选 以航天器变轨问题为背景，考查航天器的速度、动能、周期和加速度的动态变化
11 多选 以行星绕恒星运动为背景，考查万有引力定律的应用，求行星的质量、轨道半径、加速度、恒星的质量
12 多选 以航天器与地球同步绕太阳运动为背景，考查两物体的线速度、向心加速度、向心力进行分析 重点 B
小结及预测 1.小结：万有引力定律的应用以选择形式进行考查，侧重考查万有引力公式与圆周运动公式综合运用，求行星的质量、半径、向心加速度、周期等物理量．2．预测：4年都有所考查，预测14年考查的可能性很大．3．复习建议：复习时应当结合圆周运动的规律来解决天体运动中的物理量的问题.
知识 整合　
1．第一宇宙速度的推导
物体在地球表面受到的引力可以近似认为等于重力，所以
mg＝，解得v＝________.
2．第二宇宙速度和第三宇宙速度
第二宇宙速度是________．
第三宇宙速度是________．
3．人造地球卫星
人造地球卫星的轨道和运行速度
卫星绕地球做匀速圆周运动时，是________提供向心力，卫星受到________指向地心，而做圆周运动的向心力方向始终指向圆心，所以卫星圆周运动的圆心和________重合．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．同步卫星
同步卫星，是指相对于地面________卫星．同步卫星必定位于________，周期等于________．知道了同步卫星的周期，就可以根据万有引力定律、牛顿第二定律和圆周运动向心加速度知识，计算同步卫星的高度H＝________.速度为________．　
一、卫星的速度、加速度、周期和卫星轨道的关系
天体运动可近似看成匀速圆周运动，其向心力都来源于万有引力，即G＝m＝mω2r＝m2r＝ma.
由此得出：v＝，即线速度v∝；
ω＝，即角速度ω∝；
T＝，即周期T∝；
a＝，即向心加速度a∝.
二、求天体的质量、密度
通过观察绕天体做匀速圆周运动的卫星的周期T、半径r，由万有引力等于向心力即G＝m·r，得
天体质量M＝.
(1)若知道天体的半径R，则天体的密度
ρ＝＝＝.
(2)若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径r等于天体半径R，其周期T，则天体密度ρ＝.
三、星体表面及其某一高度处的重力加速度的求法
1．地球表面的重力加速度，由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般情况下，常忽略地球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为g0，则根据万有引力定律可得g0＝(R0为地球的半径)．该式也适用于其他星体表面．
2．离地面高h处的重力加速度，根据万有引力定律，有
g＝(R0为地球的半径)．
同步卫星
地球同步卫星就是与地球同步运转，相对地球静止的卫星，因此可用来作为通讯卫星，其特点有：
(1)卫星周期等于地球自转周期T(24 h)且从西向东运转，角速度大小为：ω＝ rad/s
(2)轨道平面与地球赤道平面共面同心，由于要做到同步，其轨道平面必定与赤道共面，又因为其向心力由万有引力提供，所以其圆心必定在地心处，即同步卫星必在赤道上空，若轨道平面不在赤道平面，则同步卫星不可能稳定运行．
(3)定点高度
在ω一定的条件下，同步卫星的高度不具有任意性，而是唯一确定的，根据
G＝mω2(R＋h)
得h＝－R＝－R＝35 800 km
(4)环绕速度
在轨道半径一定的条件下， 同步卫星的环绕速度也一定，且为
v＝＝＝3.08 km/s
因此，所有同步卫星的线速度大小、角速度大小及周期、半径都相等．
【典型例题1】 地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g；第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
温馨提示
解答此题应把握以下三点：
(1)注意“同步”的含义．
(2)灵活运用关系式G＝m＝mrw2分析．
(3)灵活选取匀速圆周运动的公式进行分析．
记录空间
【变式训练1】　某一时刻，所有的地球同步卫星(　　)
A．向心力相同 B．线速度相同
C．向心加速度相同 D．离地心的距离相同
卫星的稳定运行和变轨运动
卫星绕天体在圆轨道上的匀速圆周运动是稳定的运行，此时万有引力提供向心力．在不同的轨道，卫星稳定运行的速度不同，当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将做变轨运行，当卫星的速度突然增加时，F＜，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，轨道半径变大，卫星进入新的轨道运行，由v＝知其运行速度要减小；当卫星的速度突然减小时，F＞，即万有引力大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时，由v＝知运行速度将增大，卫星的发射和回收就是利用了这一原理．
【典型例题2】 飞船在轨道上运行时，由于受大气阻力的影响，飞船飞行轨道高度逐渐降低，为确保正常运行，一般情况下在飞船飞行到第30圈时，控制中心启动飞船轨道维持程序．则可采取的具体措施是(　　　)
A．启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度增大
B．启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度减小
C．启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大
D．启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大
温馨提示
卫星的变轨问题应结合离心运动和向心运动去分析，因为变轨的过程中不满足稳定运行的条件F向＝F万，而是在原轨道上因为速度减小做向心运动而下降，速度增大做离心运动而升高，但是一旦变轨成功后又要稳定运行，这时又满足F向＝F万，进而按规律分析即可，在这里要注意，因为原轨道上的速度减小做向心运动的轨道降低了，但是降低后在低轨道运行的速度要比原高轨道的速度大．
记录空间
【变式训练2】　
发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法正确的是(　　)
A．卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B．卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C．卫星在轨道1上经过Q点时的速度大于它在轨道2上的经过Q点时的速度
D．卫星在轨道2时经过P点时的速度小于它在轨道3上经过P点时的速度
随堂 演练　
1．火星的质量和半径分别约为地球的和，地球表面的重力加速度为g，则火星表面的重力加速度约为(　　)
A．0.2g B．0.4g
C．2.5g D．5g
2．火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，它绕太阳公转的轨道半径约为地球公转半径的1.5倍．根据以上数据，以下说法正确的是(　　)
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
3．2010年10月1日18时59分57秒，搭载着嫦娥二号卫星的长征三号丙运载火箭在西昌卫星发射中心点火发射，卫星由地面发射后，进入地月转移轨道，经多次变轨最终进入距离月球表面100公里，周期为118分钟的工作轨道，开始对月球进行探测(　　)
第3题图
A．卫星在轨道Ⅲ上的运动速度比月球的第一宇宙速度小
B．卫星在轨道Ⅲ上经过P点的速度比在轨道Ⅰ上经过P点时大
C．卫星在轨道Ⅲ上运动周期比在轨道Ⅰ上短
D．卫星在轨道Ⅰ上的机械能比在轨道Ⅱ上多
4．为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出(　　)
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
5．据报道，我国卫星“天链一号01星”于2008年4月25日在西昌卫星发射中心发射升高，经过4次变轨控制后，于5月1日成功定点在东经77°赤道上空的同步轨道．关于成功定点的“天链一号01星”，下列说法正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．运行速度大于7.9km/s
B．离地面高度一定，相对地面静止
C．绕地球运行的角速度比月球绕地球运行的角速度大
D．向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
6．宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在一半径同为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆轨道运行．设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期．
(2)假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
7．我国于2007年10月24日，在西昌卫星发射中心将第一颗探月卫星“嫦娥”一号成功发射升空，在经历14天的飞行后，“嫦娥”一号卫星接近月球，实施首次“制动变轨”，被月球捕获进入椭圆轨道，又经历两次“制动变轨”，最终进入离月球200 km的环月预定工作轨道，开展拍摄三维影像等工作．
(1)卫星在靠近月球前先进行变轨，在预定点处启动卫星上的喷气推进器．为使卫星从椭圆轨道进入环月飞行圆轨道，如图所示，推进器是向前喷气还是向后喷气？
第7题图
(2)卫星在环月圆轨道绕行n圈，飞行时间为t.已知月球半径为R0，月球表面处重力加速度为g0.试推导卫星在环月圆轨道上运行时离月球表面高度h的表达式．
(3)已知地球和月球的半径之比为＝3.6，表面的重力加速度之比为＝6.求地球和月球的密度之比．
第16讲　万有引力定律在
天体运动中的应用
知识整合
基础自测
1．7.9km/s　2.11.2km/s　16.7km/s
3．万有引力　万有引力　地心　4.静止的　赤道上空　24h　3.56×104km　3.1km/s
重点阐述
【典型例题1】 地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)，所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g；第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．F1＝F2>F3 B．a1＝a2＝g>a3
C．v1＝v2＝v>v3 D．ω1＝ω3<ω2
【答案】　D　【解析】 地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即ω1＝ω3，根据关系式v＝ωr和a＝ω2r可知，v1＜v3，a1＜a3；人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即G＝mω2r＝＝ma可得v＝，a＝G，ω＝可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即v2＞v3，a2＞a3，ω2＞ω3；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星(高度忽略)的线速度就是第一宇宙速度，即v2＝v，其向心加速度等于重力加速度，即a2＝g；所以v＝v2＞v3＞v1，g＝a2＞a3＞a1，ω2＞ω3＝ω1，又因为F＝ma，所以F2＞F3＞F1；可见，选项ABC错误，D正确．
变式训练1　D　【解析】 地球同步卫星与地球相对静止，运动周期均为24h.由周期T＝2π知：所有地球同步卫星离地心距离相同．向心力，线速度，向心加速度是矢量，某一时刻，只有当所有同步卫星处于同一位置时，各自的线速度，向心力，向心加速度才会相同．显然这种情况不存在．
【典型例题2】 飞船在轨道上运行时，由于受大气阻力的影响，飞船飞行轨道高度逐渐降低，为确保正常运行，一般情况下在飞船飞行到第30圈时，控制中心启动飞船轨道维持程序．则可采取的具体措施是(　　)
A．启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度增大
B．启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行速度减小
C．启动火箭发动机向前喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大
D．启动火箭发动机向后喷气，进入高轨道后与前一轨道相比，运行周期增大
【答案】　BD　【解析】 由于阻力作用飞船的机械能减小，轨道降低，为恢复到原来的轨道必须使其动能增大，速度增大，飞船做离心运动进入较高轨道，继续做匀速圆周运动，由G＝m＝m2r，可得，半径越大，速度越小，周期越大，选项B、D正确．
变式训练2　BD　【解析】 人造卫星在圆轨道上匀速圆周运动时有：G＝m，v＝　因为r1＜r3，所以v1＞v3，由ω＝得ω1＞ω3　在Q点，卫星沿着圆轨道1运动与沿着轨道2运动时所受的万有引力相等，在圆轨道上引力刚好等于向心力，即F＝，而在椭圆轨道2上卫星做离心运动，说明引力不足以提供以v2速率运行时所需的向心力，即F＜，所以v2＞v1.卫星在椭圆轨道上运行到远地点P时，根据机械能守恒可知此时的速率
v′2＜v2，在P点卫星沿椭圆轨道2运动与沿着轨道3运行时所受的地球引力也相等，但是卫星在椭圆轨道上做近心运动，说明F′＞m，卫星在圆轨道3上运动时引力刚好等于向心力，即F′＝m，所以v2′＜v3.由以上可知，速率从大到小排列为：v2＞v1＞v3＞v2′.
随堂演练
　1.B　【解析】 由万有引力公式，在地球表面有
G＝mg
　在火星表面有G＝mg火
　得g火＝·g＝0.4g，故B正确．
　2.AB　【解析】 由G＝mg得g＝G，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的，A正确；由G＝mR得T＝2π ，公转轨道半径大的周期长，B对；周期长的线速度小，(或由v＝判断轨道半径大的线速度小)，C错；公转向心加速度a＝G，D错．
　3.ACD　【解析】 月球的第一宇宙速度是卫星恰能沿月球表面做圆周运动的速度，所以卫星在轨道Ⅲ上的速度小于月球的第一宇宙速度，A正确；由＝知在P点卫星在轨道Ⅲ与轨道Ⅰ的速度相同，B错；由＝()2R知轨道半径越大周期越大，C正确；轨道越高，机械能越大，故D对．
　4.A　【解析】 由“萤火一号”分别在两个不同的圆轨道上做匀速圆周运动可知：
　＝m(h1＋R)；
　＝m(h2＋R)，
两式联立可求得火星的质量M与火星的半径R，由火星的半径R可求出火星的体积，进一步求出火星的密度，再根据黄金公式： GM＝gR2，可求得火星表面处的重力加速度g，故A项对．
　5.BC　【解析】 由万有引力提供向心力得：＝，v＝，即线速度Q随轨道半径r的增大而减小，v＝7.9km/s为第一宇宙速度即围绕地球表面运行的速度；因同步卫星轨道半径比地球半径大很多，因此其线速度应小于7.9km/s，故A错，因同步卫星与地球自转同步，即T、ω相同，因此其相对地面静止，由公式＝m(R＋h)ω2得：h＝－R，因G、M、ω、R均为定值，因此h一定为定值，故B对；因同步卫星周期T同＝24小时，月球绕地球转动周期T月＝30天，即T同＜T月，由公式ω＝得，ω同＞ω月，故C对；同步卫星与静止在赤道上的物体具有共同的角速度，由公式a向＝rω2，可得：＝，因轨道半径不同，故其向心加速度不同，D错误．
　6.(1)4π　(2)R　【解析】 (1)如图所示，对于第一种运动情况，以某个运动星体为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律有：
　F1＝ ，F2＝，F1＋F2＝，
　解得运动星体的线速度：v＝.
　设周期为T，则有：T＝，T＝4π
(2)如图乙所示，设第二种形式星体之间的距离为r，则三个星体做圆周运动的半径为R′＝，
　由于星体做圆周运动所需要的向心力靠他两个星体的万有引力的合力提供，由力的合成和牛顿运动定律有：
　
第6题图
F合＝2cos30°，
　F合＝mR′，
　得r＝R.
　7.见解析　【解析】 (1)为了使卫星减速进入环月圆轨道，推进器应向前喷气．
　(2)设月球的质量为m0，引力常量为G，卫星质量为m，卫星在环月轨道上运行时周期为T，轨道半径为r.根据万有引力定律和牛顿第二定律，有G＝mr，
　对于在月球表面处的物体m′，有G＝m′g0，
　根据题意有T＝，r＝R0＋h，
　由以上各式联立解得h＝－R0.
　(3)设M、m0分别表示地球和月球质量，设想将一质量为m的小物体分别放在地球、月球表面处，由万有引力定律得G＝mg，G＝mg0，
　且M＝ρπR3，m0＝ρ0πR，
　由以上各式得＝＝.

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