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第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
21.3 第1课时 传播问题与一元二次方程
观察下列视频，了解传染病的特征和防护措施，那你知道传染病是如何传染的吗？
知识点1：传播问题与一元二次方程
有一人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
如何解决这一问题呢？
合作探究
请画出传染示意图 (设传染 x 轮).
传染原
一轮
二轮
A
1
2
x
...
1
2
x
...
1
2
x
...
1
2
x
...
A
1
2
x
...
根据示意图，填写下列表格并作答.
传染源人数 第1轮传染后的人数 第2轮传染后的人数
1
1 + x = (1 + x)1
1 + x + x(1 + x) = (1 + x)2
x1 = ，x2 =
解方程，得
答：平均一个人传染了_____个人.
10
12
(不合题意,舍去).
10
解：设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人.
(1 + x)2 = 121.
列方程
(1) 如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感
第一轮传染后的人数 第二轮传染后的人数 第三轮传染后的人数
(1 + x)1 (1 + x)2
(1 + x)3
分析
3 轮传染后的人数是: (1 + x)3 = (1 + 10)3 = 1331 (人).
(2) n 轮传染后有多少人患流感
(1 + x) + … + x(1 + x)n=(1 + x)n人
x1 = 11，
x2 = 12 (不合题意，舍去).
例1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干，支干和小分支的总数是133，每个支干长出多少小分支
主干
支干
支干
……
小分支
小分支
……
小分支
小分支
……
……
x
x
x
1
解：设每个支干长出 x 个小分支，
则 1 + x + x2 = 133，
即 x2 + x 132 = 0.
解得
答：每个支干长出 11 个小分支.
+ + + + =
1.(通辽)为增强学生身体素质。提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间赛一场)现计划安排 21 场比赛，应邀请多少个球队参赛 设邀请 x 个球队参加比赛，根据题意，可列方程_____________.
方法一：比赛场数：
(x -1)
(x -2)
...
2
1
方法二：
x
1
2
3
x-1
...
x 个球队
×
(x-1) 个球队
2 (循环)
=总场数
第二轮：________________
第一轮：________
第三轮：____________________
两个 要点
传播问题
传染源和传播速度
传染轮数与传染总人数之间的关系
(1 + x)人
(1 + x) + x(1 + x)人
(1+x)+x(1+x)+x(1+x)2人
设 1 个人每次可以传染 x 人
第 n 轮：_______________________
(1+x)+…+x(1+x)n=(1+x)n人
基础练习
1. 某中学组织了一次联欢会，参会的每两个人都握了一次手，所有人共握了 10 次手，有多少人参加聚会？
解：设共有 x 人参加聚会，则每个人要握手(x－1)次，共握手 x(x 1) 次，但每人都重复了一次，故根据题意得
解得 x1＝5，x2＝ 4(舍去)．∴ x＝5.
答：共有 5 个人参加聚会．
2. 某生物实验室需培育一群有益菌，现有 60 个活体样
本，经过两轮培植后，总和达 24000 个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌.
(1) 每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出多少个有益菌？
(2) 按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多少个有益菌？
分析：设每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 x 个有益菌.
有益菌的 初始数目 本轮分裂出的有益菌数目 本轮结束有益菌总数
第一轮
第二轮
第三轮
60
60x
60(1 + x)
60(1 + x)
60(1 + x)x
解：(1) 设每个有益菌一次分裂出 x 个有益菌，则
60 + 60x + 60(1 + x) x = 24000.
∴ x1 = 19，x2 = 21(舍去).
∴每个有益菌一次分裂出 19 个有益菌.
(2) 三轮后有益菌总数为 24000×(1+19) = 480000 (个).
60(1 + x)2x
60(1 + x)2
60(1 + x)3
60(1 + x)2
3. 一个两位数，十位数字与个位数字之和是 5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为 736，求原来的两位数.
解：设原来的两位数十位上的数字为 x，则个位上的数字为 (5 - x)，
解得 x1 = 2 ，x2 = 3.
答：原来的两位数是 23 或 32.
依题意得 (10x + 5 x)[10(5 x) + x] = 736.
当 x＝2 时，5 x = 3；
当 x＝3 时，5 x = 2.

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