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22.1.1 二次函数
第二十二章 二次函数
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迪拜音乐喷泉是世界上最大的喷泉，也是最壮观的喷泉．观察视频中的喷泉有时会形成一条条曲线．这些曲线能否用函数关系式表示？
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1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量)
(4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1.
不是，等式右边是分式.
不是，x 最高次数是二次.
不一定是，缺少 k ≠ 0 的条件.
不是，函数是每个唯一的 x 都有唯一对应的 y 值.
y = kx + b ( k≠0 )
；
知识点1： 二次函数的相关概念
探究新知
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 .
y = 6x2
x
问题2 n 个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
解：
这个关系式是函数关系式吗？
n
1
2
3
n-1
...
n 个球队
×
(n - 1)个球队
2 (循环)
= 总场数
对于 n 的每一个确定的值，m 都有一个唯一确定的值与其对应值，即 m 是 n 的函数.
一年后
增加 x 倍
问题3 某种产品现在的年产量是 20 t，计划今后两年增加产量. 如果每年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确定，y 与 x 之间的关系怎样表示？
20(1 + x)
20(1 + x)2
再过一年后
增加 x 倍
原产量是 20
分析：
两年后
答：y = 20x2 + 40x + 20.
y 是 x 的函数
同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结.
问题 1~3 中函数关系式有什么共同点
y = 6x2
y = 20x2 + 40x + 20
想一想
温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征.
①自变量的最高次项的次数：1
②最高次项系数：k，且 k≠0
③两个未知数，且等式两边是整式
y = 6x2
自变量的最高次项
最高项系数
函数解析式
6
是
2
2
2
y = 20x2 + 40x + 20
那么这类函数我们怎么定义？
等式两边是否是整式
20
是
是
合作探究
二次项系数
自变量
归纳总结
二次函数的定义
一般地，形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，a≠0) 的函数叫做二次函数.
解析式 y = ax + bx + c
一次项系数
常数项
同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？
例1 下列函数中哪些是二次函数 为什么 (x 是自变量)
①y = (x + 3) x ； ② y = 3 2x ； ③ y = x2 + 3x；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c.
不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.
不是，等式右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
典例精析
y = 6x + 9
方法归纳
(1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式；
(2) a，b，c 为常数，且 a≠0；
(3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
(4) 等式的右边自变量的最高次数为 2.
判断一个函数是否为二次函数的步骤：
链接中考
1. 下列函数中，是二次函数的是( )
A. y = 8x2 + 1
B. y = 8x + 1
D.
A
归纳总结
y = 6x2
y = 20x2 + 40x + 20
y = ax + bx + c (a≠0)
y = 3 2x
y = ax + c (a≠0)
y = ax (a≠0)
y = ax + bx (a≠0)
y = (x 1)2 1
b = 0
c = 0
b = 0，c = 0
二次函数的一般形式：
特殊形式
成立条件
函数解析式
合作探究
典例精析
例2 若函数 是二次函数，
求 m 的值.
∴ m = 3.
总结
本题易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = -1 的错误答案.
链接中考
2. 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值：
(1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数；
∴ m = 1.
(2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0.
∴ m≠1 且 m≠0.
解：
(1) 由题意得
知识点2： 根据实际问题列二次函数关系式
例3 如图，用一段长为 30 米的篱笆围成一个一边靠墙 (墙的长度不限) 的矩形菜园 ABCD，设 AB 边长为 x 米，求菜园的面积 y (单位：平方米) 与 x (单位：米) 的函数关系式.
x
分析：
矩形面积( y ) = 长×宽
实际问题注意取值范围：
0＜x＜30
练一练
1. 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次，第 1 档次 (最低档次) 的产品一天能生产 95 件，每件利润 6 元．每提高一个档次，每件利润增加 2 元，但一天产量减少 5 件. 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元(其中 x 为正整数，且 1≤x≤10)，求出 y 关于 x 的函数关系式.
∴ y＝[6＋2(x－1)][95 5(x－1)].
解：由题意得，第 x 档次，提高了 (x－1) 档，利润增加了
2(x－1) 元，产量减少了 5(x－1) 件．
即 y＝－10x2＋180x＋400 (其中 x 是正整数，且1≤x≤10).
当堂小结
二次函数
定 义
y = ax + bx + c(a≠0)
一般形式
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，______) 的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_______________、_____________和__________
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c (a≠0，a，b，c 是常数)
a≠0
二次项系数
一次项系数
常数项
当堂练习
1. 下列函数是二次函数的是( )
A．y＝2x＋1 B．
C．y＝3x2＋1 D．
C
2. 把 y = (2 - 3x)(6 + x) 变成 y = ax + bx + c 的形式，
二次项为_____，一次项系数为_____，常数项
为 .
-3x2
-16
12
3. 已知二次函数 .
(1) 求 k 的值；
(2) 当 x = 0.5 时，y 的值是多少？
解得 k = 2.
将 x = 0.5 代入函数关系式 y = x + 2x - 1，得
y = (0.5) + 2×0.5 - 1 = 0.25.
(2) 由 (1) 得，y = x + 2x - 1.
解：
(1) 由题意，得
4. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为
y cm2.
(1) 写出 y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围；
(2) 当 x = 3 时，求矩形的面积.
解：(1) y＝(8 x)x＝ x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 当 x＝3 时，y＝ 32＋8×3＝15 (cm2) .
∴ 矩形的面积是 15 cm2.

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