资源简介

西工大附高2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，
1.复数（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点所在象限为（　　）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知a，b为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，其中正确的命题为（　　）
A.， B.，
C.，， D.，
3.已知向量，，若，则实数（　　）
A.2 B. C.或4 D.4
4.如图，正方形的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（　　）
A. B.8 C.6 D.
5.复数z满足，则的最大值为（　　）
A. B.1 C. D.
6.已知中，，，则此三角形为（　　）
A.直角三角形 B.等边三角形
C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
7.在《九章算术 商功》中将上、下底面均为正方形的正棱台称为方亭，在方亭中，，方亭的体积为，则侧面的面积为（　　）
A. B. C. D.
8.如图：正方体的棱长为2，E为的中点，过点D作正方体截面使其与平面平行，则该截面的面积为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：（本题共4小题，每小题3分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分.）
9.下列说法中正确的是（　　）
A.向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
B.非零向量，，满足且与同向，则
C.对于任意向量，，必有
D.对于任意向量与，不等式恒成立
10.下列命题中的真命题是（　　）
A.设，是复数，若，则
B.设，是复数，若，则
C.若z为复数，则
D.已知m，n为实数，（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，则
11.在棱长为2的正方体中，AC与BD交于点O，则（　　）
A.平面
B.三棱锥的体积为
C.三角形是锐角三角形
D.三棱锥的四个面都是直角三角形
12.下列命题中正确的是（　　）
A.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台
B.圆柱形容器底半径为5cm，两直径为5cm的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为
C.已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为
D.已知三棱锥的所有棱长均为2，若球O经过三棱锥各棱的中点，则到O的表面积为
三、填空题：（本题共6小题，每小题4分，共24分.）
13.已知平面向量，满足，，且，则与的夹角为______.
14.在锐角中，角A、B所对的边长分别为a、b，若，则角A等于______.
15.设i为虚数单位，则______.
16.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为，点S、A、B、C、D都在同一个球面上，则该球的体积为______.
17.如图所示，正方体的棱长为2，E、F分别为，AB的中点，点P是正方体表面上的动点，若平面，则点P在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为______.
18.在中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则角B的最大值为______.
四、解答题：（本题共4小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19.（10分）（1）关于x的方程（i是虚数单位）有实根，求实数a的值.
（2）复数，若z为纯虚数（i是虚数单位），求实数m的值.
20.（10分）如图：在正方体中，M为的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点N，使得平面平面，说明理由.
21.（10分）如图，正三棱锥是某正方体的一部分，其所有顶点都是原正方体的顶点，已知，，点M，N分别为MA，BC的中点，一只蚂蚁从点M出发，沿三棱锥表面爬行到点N，求：
（1）该三棱锥的体积；
（2）蚂蚁爬行的最短路线长.
22.（10分）如图，一块三角形铁片，的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求大小.
（2）若，，现在这块铁片中间发现一个小洞，记为点D，且，.如果过点D作一条直线分别交AB，AC于点E，F，并沿直线EF裁掉，求剩下的四边形面积的最大值.
西工大附高2022-2023学年高一下学期期中考试
数学试卷
参考答案
1.因为复数，
则z在复平面内对应点，所在象限为第四象限，故选：D.
2. a，b为两条不重合的直线，，为两个不重合的平面，
对于A，，与b平行或异面，故A错误；
对于B，，与b相交、平行或异面，故B错误；
对于C，由线面平行的判定定理得：，，，故C正确；
对于D，，或，故D错误.故选：C.
3.∵向量，，，
∴，
则或，故选：C.
4. B.
5.设，a，，
∵，
∴，表示以为圆心，1为半径的圆，
表示单位圆上的点与距离之和的最大值，即原点与距离加半径，
则的最大值为.故选：D.
6.设M为AC中点，则，
所以，即为等腰三角形，
又，
所以，
所以，
所以，可得，
综上可知三角形为等边三角形.
故选：B.
7.设方亭的高为h，因为，方亭的体积为，
所以，解得，如图，
过作，垂足为E，连接AC，，过作，垂足为F，
易知四边形 为等腰梯形，且，，，，，
因为侧面为等腰梯形，所以，
所以侧面的面积为.故选：A.
8. B.
9.对于A，因为向量，，所以，、共线，不能作为一组基底，选项A正确；
对于B，因为向量是既有大小又有方向的，不能比较大小，所以选项B错误；
对于C，根据向量加法的几何意义知，对于任意向量，，必有，选项C正确；
对于C，根据平面向量的数量积，且，所以对于任意向量，，必有，选项D正确.
故选：ACD.
10.对于A，，则，故A正确；
对于B，，
与互为共轭复数，即，故B正确；
对于C，不妨设，
则，
，，故C错误；
对于D，（i为虚数单位）是关于x的方程的一个根，
则也是关于x的方程的一个根，
故，解得，
故，故D正确.故选：ABD.
11. ABD.
12. BC.
13.设，夹角为，则由平面向量数量积的定义可得，
因为，，，
所以，
因为，
所以.
14.利用正弦定理化简已知等式得：，
∵，
∴，
∵A为锐角，
∴.
15.
，
16.正四棱锥的底面边长和各侧棱长都为 ，
点S、A、B、C、D都在同一个球面上，
则该球的球心恰好是底面的中心，球的半径是1，体积为 .
17.如图所示，分别取，的中点M，N，连接，，MN，MF，EN.
∵点F为线段AB的中点，∴四边形是平行四边形，
∴，而平面，平面，
∴平面，
同理可得平面，而，
∴平面平面，
∴点P在正方体表面上运动所形成的轨迹为，
其长度，
故答案为：.
18.由余弦定理，代入，得，
整理得），
则，
当仅当时取“”，
由因为，所以，
所以角B的最大值为.
故答案为：.
19.（1），
则，
∵关于x的方程（i是虚数单位）有实根，
∴，解得.
（2），z为纯虚数，
则，解得，
故实数m的值为.
20.证明：（1）连结BD交AC于O，连结MO，
∵为正方体，底面为正方形，
∴O为BD的中点，
∵M为的中点，在中，OM是的中位线，
所以，
又平面，平面，
∴平面；
解：（2）上的中点N即满足平面平面，
∵N为的中点，M为的中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，
∵平面，平面，
∴平面；
由（1）知平面，
又∵，
∴平面平面.
21.（1）∵，，
∴，，，
∴，，，
∵，∴平面，
∴三棱锥的体积为.
（2）情况一，如图，连接MN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
中，，，，
由余弦定理得，
即，解得；
情况二，如图，连接MN，AN，线段MN的长度即蚂蚁爬行的最短路线长，
∵，，，
由余弦定理得，
∵，
∴，则，
∵，
∴蚂蚁爬行的最短路线长为.
22.（1）.
由正弦定理得.
∴，
∴，
∵，∴；
（2）因为，
则，
因为，，可得，
而，
于是，可得，
所以
，当时取等号，
所以，
，时取等号，
即剩下的四边形面积的最大值为.
所以剩下的四边形面积的最大值为.

展开更多......

收起↑