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第50讲　实验、探究：单摆的周期与摆长的关系
　考情 剖析　
(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A代表容易，B代表中等，C代表难)
考查内容 考纲要求及变化 考查年份 考查形式 考查详情 考试层级 命题难度
单摆的周期与摆长的关系(实验、探究) Ⅰ — — — 重点 —
小结及预测 单摆的周期与摆长的关系实验虽然在四年来没有考查过，但作为选修3－4内的重点实验，还是要重点掌握实验的原理、操作步骤、注意事项、误差分析以及实验数据处理.
知识 整合　
一、实验目的：
用单摆测定重力加速度
二、实验原理
单摆在偏角很小(不超过10°)时的摆动，可认为是简谐运动，其固有周期为____________，由此可得____________．只要测出摆长L和周期T，即可算出当地的重力加速度值．
三、实验器材
长约1 m的细丝线一条，通过球心开有小孔的金属小球一个、带有铁夹的铁架台一个，____________一根，____________一块．
四、实验步骤
①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆；②把线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球____________，在单摆平衡位置处做上标记；③用刻度尺测量单摆的摆长(悬点到球心间的距离)；④把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度(不超过10°)，然后放开小球让它摆，再用秒表测出单摆完成30次或50次全振动的时间，计算出平均完成一次全振动的时间，这个时间就是单摆的____________；⑤改变摆长，重做几次实验；⑥根据单摆的周期公式，计算出每次实验的重力加速度，求出几次实验得到的重力加速度的平均值，即是本地区的重力加速度的值；⑦将测得的重力加速度数值与当地重力加速度值加以比较，分析产生误差的可能原因．
五、注意事项
①摆线不能过短或过长或易伸长、摆长应是悬点到球心间的距离．摆球用密度大、直径小的金属球．②摆球摆动时应使偏角不超过10°，且在同一竖直面内，不要形成圆锥摆，摆中悬点不能松动．③累积法测周期时，应从最低位置开始计时和记录全振动次数．④使用秒表方法是三次按按钮：一是“走时”，二是“停止”，三是“复零”．读数：先读分针刻度(包括半分钟)，再读秒针刻度(最小刻度为0.1s，不要再估读)．⑤处理数据时，采用图像法，画出T2－L图像，求得直线的斜率k，即有g＝4π2/k.
六、误差分析
①本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，摆球是否可看作质点，球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动以及测量哪段长度作为摆长等等．只要注意了上面这些问题，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差而达到忽略不计的程度．
②本实验偶然误差主要来自时间(即单摆周期)的测量上，因此，要注意测准时间(周期)．要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多计或漏计振动次数．为了减小偶然误差，应进行多次测量后取平均值．
③本实验中进行长度(摆线长、摆球的直径)的测量时，读数读到毫米位即可(即使用卡尺测摆球直径也只需读到毫米位)．时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可．
一、秒表读数
1．秒表构造
外壳按钮：使指针启动、停止和回零，如图所示．
表盘刻度：秒针指示大圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1秒、0.2秒或0.5秒；秒钟转一周历时30秒；分针指示小圆周的刻度，其最小分度值常见为0.1分或0.5分，分针转一周历时15分．
2．秒表的工作原理
机械秒表靠发条转动力矩，通过内部齿轮驱动调节器调节摆动的秒针和分针，即将发条的弹性势能转化为动能，使指针摆．
3．秒表的读数
不足30秒即秒针转不到一周时，直接读大圆周上秒针所指的黑体分度值，因为大圆周上有红、黑两种字体，黑字0～30，红字31～60，意思是秒针转两周才60秒；同理分针所指的小圆周上也有两种字体，黑字0～15，红字16～31，分针转两周才30分；通常是分针读红字，秒针读红字，分针读黑字，秒针读黑字，计时为两个示数之和．
4．秒表的使用方法
①按钮开始计时，分针、秒针都启动
②按钮停止计时，分针、秒针都停止
③按钮分针、秒针回“0”位，此时在使用有两个按钮的表时，应按“0”位侧边的钮
1．做单摆：取约1米长的线绳穿过带孔的小钢球，并打一个比小孔大一些的结，然后拴在桌这的支架上．
2．用米尺量出悬线长l，准确到毫米，用游标卡尺测摆球直径，算出半径r也准确到毫米，则摆长为l＋r(注意长即摆绳长的量法)．
3．把单摆从平衡位置拉开一个角度放开它，用秒表测量单摆完成30次全振动(或50次)所用的时间，求出完成一次全振动所需要的时间，这个平均时间就是单摆的周期，反复测量三次，再算出测得周期数值的平均值．
4．把测得的周期(用平均值)和摆长的数值代入公式，求出重力加速度g的值来．
【典型例题】 (1)在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.如果已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s．单摆的摆动周期是________s.
甲
　乙
(2)某同学在实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：
l/m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2
T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20
T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
以l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2－l图象，利用此图线得重力加速度g＝________.
温馨提示
解答此题时，熟悉秒表读数的方法，熟练应用单摆周期公式及其变形，学会应用图象解决问题．
记录空间
【变式训练】 用单摆测定重力加速度实验中：
(1)除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，必需的仪器还有________；
(2)为了减小实验误差：当摆球的直径约为2 cm时，比较合适的摆长应选________(选填：80 cm、30 cm、10 cm)
(3)实验中，利用g＝，求得g，其摆长L和周期T的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，________的误差影响较大；
(4)在某次实验中，测得单摆振动50次全振动的时间如图所示，则单摆的周期T＝________s.
随堂 演练　
1．在“用单摆测重力加速度”的实验中，摆线应选用(　　)
A．长约10 cm的细线 B．长约1 m的细线
C．长约1 m的粗绳 D．80 cm长的橡皮绳
2．以下实验操作错误的是(　　)
A．单摆的最大偏角不小于10°
B．测摆长时，应先把摆球挂起来再测量
C．用秒表测周期时，应从摆球经过最高点时开始计时
D．记下摆球从第一次经过最低点到第60次经过最低点的时间t，则单摆振动周期
3．宇航员在绕地球做圆周运动的空间站内研究处于完全失重状态下弹簧振子的周期T与振子质量m的关系．
身边的器材有：弹簧、完全相同的螺帽若干个、天平、秒表、刻度尺、温度计等．
(1)宇航员利用上述器材中的螺帽和弹簧连接组成弹簧振子，为完成实验，还应从选择的一个器材是________；
(2)某次实验测量的数据记录如下表：
螺帽的数量n(个) 1 2 3 4 5
30次全振动的时间t(s) 13.40 19.20 23.21 26.83 30.01
振动周期T(s) 0.45 0.64 0.77 0.89 1.00
为了得出T与m的关系，他先研究T与n的关系，并采用作图的方法处理实验数据．他以螺帽的个数n为横坐标得出一条倾斜直线，那么他是以________为纵坐标的．由表中数据，在图示坐标系中作出该直线；
(3)根据作出的图线，得出T与n的关系式为T＝________(s)，若每个螺帽的质量用m0表示，用T与m的关系式为T＝________(s)；
(4)若用一未知质量的物体做振子时，测得周期为1.26 s，则该物体质量为________m0.
第3题图
4．(1)在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，两位同学用游标卡尺测量小球的直径如图甲、乙所示．测量方法正确的是________(填“甲”或“乙”)．
(2)实验时，若摆球在垂直纸面的平面内摆动，为了将人工记录振动次数改为自动记录振动次数，在摆球运动最低点的左、右两侧分别放置一激光光源与光敏电阻，如图丙所示．光敏电阻与某一自动记录相连，该仪器显示的光敏电阻阻值R随时间t变化图线如图丁所示，则该单摆的振动周期为________．若保持悬点到小球顶点的绳长不变，改用直径是原小球直径2倍的另一小球进行实验，则该单摆的周期将________(填“变大”、“不变”或“变小”)，图丁中的△t将________(填“变大”、“不变”或“变小”)．
丙
丁
第4题图
第5题图
5．(12年江苏模拟)在“用单摆测定重力加速度”的实验中，将一单摆装置竖直悬于某一深度为h(未知)且开口向下的固定小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图甲所示．将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁．如果本实验的长度测量工具只能测量出筒下端口到摆球球心之间的距离l，并通过改变l而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、l为横轴，作出T2－l图象，则可以由此图象得出我们想要测量的物理量．
(1)现有如下测量工具：A.时钟；B.秒表；C.天平；D.毫米刻度尺，本实验所需的测量工具有________．
(2)如果实验中所得到的T2－l关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________．
(3)由图象可知，小筒的深度h＝________cm；当地重力加速度g＝________m/s2(π取3.14，计算结果保留到小数点后两位)．
第50讲　实验、探究：单摆的
周期与摆长的关系
知识整合
基础自测
　2.T＝2π　g＝
　3.毫米刻度尺　秒表
　4.②自由下垂　④振动周期
重点阐述
【典型例题】 (1)在做用单摆测定重力加速度的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.如果已知摆球直径为2.00 cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图甲所示，那么单摆摆长是________．如果测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，那么秒表读数是________s．单摆的摆动周期是________s.
甲
　乙
(2)某同学在实验中，测量5种不同摆长情况下单摆的振动周期，记录表格如下：
l/m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2
T/s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20
T2/s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84
以l为横坐标，T2为纵坐标，作出T2－l图象，利用此图线得重力加速度g＝________.
【答案】　(1)　87.40 cm　75.2　1.88　(2)图象如图所示　9.96 m/s2
　【解析】 (1)由单摆周期公式T＝2π，得g＝4π2l/T2，图中读出长度为88.40 cm，则摆长l＝88.40 cm－d/2 cm＝87.40 cm，短针是分针，一格是60 s，长针是秒针，长针又指15.2 s，故秒表读数是t＝60 s＋15.2 s＝75.2 s，单摆周期T＝t/n＝75.2/40 s＝1.88 s.
　(2)由T＝2π，可得T2＝，所以T2－l图线是过坐标原点的一条直线，直线斜率是k＝4π2/g，g＝.在图线上取较远的两点(l1，T)，(l2，T)，则
　
k＝，所以g＝.
　作出图象如图所示，由直线上的点(0.5，2.02)和点(1.0，4.00)可求出k＝＝3.96，
g＝＝m/s2＝9.96 m/s2.
变式训练　(1)秒表　游标卡尺　(2)80cm　(3)周期　
　(4)2.018
　【解析】 (1)除了细线、摆球、铁架台、铁夹、米尺之外，还需要秒表测周期，游标卡尺测摆球直径；
　(2)为了减小实验误差，当摆球的直径约为2 cm时，比较合适的摆长应选80 cm；
　(3)实验中，利用g＝，求得g，其摆长L和周期T的误差都会使最后结果产生误差，两者相比，周期有平方，周期的误差影响较大；
　(4)读图可知，秒表读数为1.5×60＋10.9＝100.9，则周期T＝s＝2.018 s.
随堂演练
　1.B　【解析】 本题考察实验器材的选取，由于便于实验操作，通常选1m长的细绳．
　2.ABC　【解析】 单摆的最大偏角应不大于5°，摆长等于长加上小球半径，而小球半径需要用卡尺测量；测量周期时，应从最低点计时，故ABC错．
　3.(1)秒表　(2)T2　(3)　
(4)7.94　【解析】 (1)要测量出全振的时间，故还需要秒表(2)由数据表中的数据可知T2与n成正比　(3)由T2n图线可得T2＝0.2n，即T＝，每个螺帽的质量为m0时，T2＝0.2n＝0.2，即T＝ 　(4)由T＝， m＝·m0＝5×1.262m0＝7.94m0
第3题图
　4.(1)乙　(2)2t0　变大　变大
　【解析】　(1)应将待测物体正确地放在测脚中如乙图；(2)单摆1个周期遮光两次；单摆周期与小球质量、大小无关，但若改用直径变为原小球直径的2倍，周期变大，但遮光时间Δt变大．
　5.(1)BD　(2)a　(3)30　9.86　【解析】 (1)本实验需要使用秒表测量单摆振动的周期，还需要使用毫米刻度尺测量筒下端口到摆球球心之间的距离l，所以，本题答案为BD.　(2)根据单摆的周期公式T＝2π，可得＝＝k(常数)，可见，在理论上T2与摆长l成正比，其T2－l图象如图乙中实线b所示；又因为＝＝k(常数)，所以，即使l不是摆长，而是筒下端口到摆球球心之间的距离，根据所得数据得到的T2－l图线的斜率是不变的；因为本实验的记录数据中，与周期T相对于的摆长l比实际摆长偏小，据此可知，实验得到T2－l图象应该是图线a.　(3)根据＝＝k可得g＝，而图线a的斜率k＝＝4s2/m，所以，当地重力加速度g＝π2＝9.86m/s2，根据图线a可知，当l＝0时，实际摆长为小筒的深度h，此时，T2＝1.2s2，根据T＝2π，代入数据，可得h＝30cm.课时作业(四十八)　简谐运动及其图象
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．对于做简谐运动的物体下列说法正确的是 (　　)
A．加速度变小时，速度变大
B．速度变小时，位移变小
C．位移变小时，回复力变大
D．回复力变大时，动能变大
2．弹簧振子在光滑的水平面上做简谐运动，在振子向着平衡位置运动的过程中(　　)
A．振子所受的回复力逐渐增大
B．振子离开平衡位置的位移逐渐增大
C．振子的速度逐渐增大
D．振子的加速度逐渐增大
3．一个做简谐运动的单摆，在摆动过程中(　　)
A．只有在平衡位置时，回复力等于重力和细绳拉力的合力
B．只有当小球摆至最高点时，回复力等于重力和细绳拉力的合力
C．小球在任意位置，回复力都等于重力和细绳拉力的合力
D．小球在任意位置，回复力都不等于重力和细绳拉力的合力
4．一质点做简谐运动的振动图象如图所示，则该质点(　　)
第4题图
A．在0.015s时，速度和加速度都为－x方向
B．在0.01s至0.03s内，速度与加速度先反方向后同方向，且速度是先减小后增大，加速度是先增大后减小
C．在第八个0.01s内，速度与位移方向相同，且都在不断增大
D．在每1s内，回复力的瞬时功率有100次为零
5．有一摆长为L的单摆，悬点正下方某处有一小钉，当摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部将被挡住，使摆长发生变化．现使摆球做小角度摆动，如图所示为摆球从右边最高点M摆至左边最高点N的闪光照片(悬点和小钉未摄入)，P为摆动中的最低点，每相邻两次闪光的时间间隔相等，则小钉距悬点的距离为(　　)
第5题图
A．L/4 B．L/2
C．3L/4 D．条件不足，无法判断
6．弹簧振子做简谐运动，其振动图象如图所示，那么在和(Δt是微小的时间)两时刻，振子的：①速度相同；②加速度相同；③相对平衡位置的位移相同；④振动的能量相同．以上选项中正确的是(　　)
第6题图
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
7．某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)
A．第1s末与第3s末的位移相同
B．第1s末与第3s末的速度相同
C．3s末至5s末的位移方向都相同
D．3s末至5s末的速度方向都相同
8．(13年江苏模拟)如图所示，绝缘光滑水平面上有一个弹簧振子，振子带上正电后，在水平向左的匀强电场中，以O为平衡位置，在B、C间做简谐运动．已知在振子运动过程中弹簧时而伸长，时而收缩．则(　　)
第8题图
A．当振子运动到B时撤去电场，振子的振幅将变小
B．当振子运动到B时撤去电场，振子的振幅将变大
C．当振子运动到C时撤去电场，振子的振幅将变小
D．当振子运动到C时撤去电场，振子的振幅将变大
9．一质点做简谐运动的图象如图所示，下列说法正确的是(　　)
第9题图
A．质点运动周期是0.25 s
B．在10秒内质点经过的路程是20 cm
C．第4秒末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等、方向相同
10．(13年江苏模拟)在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图甲所示是一种常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔P，在下面放一条白纸带．当小球振动时，匀速拉动纸带(纸带速度与振子振动方向垂直)，P就会在纸带上画出一条曲线．如图乙所示为某次记录的一条曲线，若匀速拉动纸带的速度为0.5m/s，则由图中数据可得该弹簧振子的振动周期为______s；若将小球的振幅减小为4cm，其它条件不变，则其振动周期将______(选填“变大”、“不变”或“变小”)．
　
甲　　　　　　　　　　　　　乙
第10题图
11．(1)一质点的振动图象如图所示质点N的振幅是________m，振动周期为________s.
(2)描述简谐运动特征的公式是x＝________.自由下落的篮球经地面反弹后上升又落下，若不考虑空气阻力及在地面反弹时的能量损失，此运动________(填“是”或“不是”)简谐运动．
　第11题图
12．如图所示是两个单摆的振动图象．
第12题图
(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？
(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t＝0起，乙第一次到达右方最大位移时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？
课时作业(四十八)　简谐运动及其图象
　1.A　【解析】 做简谐运动的物体在平衡位置时速度最大，加速度为零，位移为零；远离平衡位置时加速度增大，速度减小，位移增大，衡位置时速度增大，加速度减小，位移减小，综上、B、C、D错，A对，选A.
　2.C　【解析】 在振子向着平衡位置运动的过程中，振子所受的回复力逐渐减小，振子离开平衡位置的位移逐渐减小，振子的速度逐渐增大，振子的加速度逐渐减小，选项C正确．
　3.B　【解析】 对单摆的摆球进行受力分析，如图所示，
第3题图
重力垂直于摆绳方向的分力F1充当回复力，而在摆绳方向上则由细绳拉力F和重力的分力F2的合力充当向心力．在平衡位置，速度不为零，向心力不为零，此时是重力和细绳拉力的合力充当向心力，回复力为零，选项A错；而在最高点，速度为零，向心力为零，合力就充当回复力，选项B正确．
　4.BD　【解析】 在0.015 s时，从图象中可以看出，速度方向沿一x方向，而加速度方向沿＋x方向，A错误；在0.01 s至0.03 s时间内，速度方向先沿－x方向，后沿＋x方向，速度先减小后增大，而加速度方向始终沿＋x方向，加速度大小先增大后减小，所以B正确；在第八个0.01 s内的位移沿＋x方向且逐渐增大，而速度却在不断减小，所以C错误；由图可知：T＝0.04 s，1 s内的周期数n＝＝25，当回复力为零时，回复力的功率为零；当回复力最大时，质点速度为零，回复力的功率也为零．这样，一个周期内，功率为零的时刻有四次，因此，在每1 s内回复力的瞬时功率为零的次数有4×25＝100次，所以D正确．
　5.C　【解析】 图中M到P为四个时间间隔，P到N为两个时间间隔，即左半部分单摆的周期是右半部分单摆周期的，根据周期公式T＝2π，可得左半部分单摆的摆长为，即小钉距悬点的距离为3L/4，故C选项正确．
　6.D　【解析】 由弹簧振子做简谐运动的特点知：在两时刻速度相同，①正确．两时刻相对平衡位置的位移大小相等但方向相反，所以加速度大小相等，方向相反，②、③错，因为偏离平衡位置大小相等，所以振动能量相同，④正确．故答案为D选项．
　7.AD　【解析】 由x＝Asint知周期T＝8 s．第1 s、第3 s、第5 s间分别相差2 s，恰好是个周期．根据简谐运动图象中的对称性可知A、D选项正确．
　8.BC　【解析】 当振子运动到B点时，电场撤去后，振幅变大，A错，B对；当振子运动到C点时，电场撤去后，振幅变小，C对，D错；选BC.
　9.B　【解析】 振动图象表示质点在不同时刻相对平衡位置的位移，由图象可看出，质点运动的周期T＝4 s，其频率f＝＝0.25 Hz；10 s内质点运动了T，其运动路程s＝×4A＝20 cm；第4 s末质点在平衡位置，其速度最大；t＝1 s和t＝3 s两时刻，由图象可看出，位移大小相等，方向相反，由以上分析可知，B选项正确．
　10.0.4　不变　【解析】 周期T＝＝＝0.4 s若将小球的振幅减小，其他条件不变，根据弹簧振子的性质知，其振动周期不变．
　11.(1)0.8　4　(2)Asin(ωt＋φ)　不是　【解析】 (1)可从振动图象上直接读出　(2)描述简谐运动特性的公式是x＝Asin(wt＋φ)；而从地面反弹上升的篮球，相当于做竖直上抛运动，而不是简谐振动．
　12.(1)1∶4　(2)见解析　【解析】 由图象知T甲＝4 s，T乙＝8 s，(1)由T＝2π得＝＝＝.
(2)由于乙的周期T乙＝2T甲，故乙由平衡位置第一次到达右方最大位移处时，振动了个周期，历时2 s，此时甲已经过半个周期，因此摆球刚好回到平衡位置且向左运动．第48讲　简谐运动及其图象
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　考情 剖析　
(注：①考纲要求及变化中Ⅰ代表了解和认识，Ⅱ代表理解和应用；②命题难度中的A代表容易，B代表中等，C代表难)
考查内容 考纲要求及变化 考查年份 考查形式 考查详情 考试层级 命题难度
简谐运动 Ⅰ 11年 计算 考查了单摆周期公式的应用 非重点 B
简谐运动的表达式和图象 Ⅰ 09年 填空 利用振动图象判断周期和质点的运动方向 非重点 A
小结及预测 1.小结：简谐运动以计算题的形式进行考查，考查单摆周期公式的应用；简谐运动表达式和图象以填空题的形式进行考查，考查振动图象的分析以判断各物理量或质点的运动情况．2．预测：两个知识点都考查过一次，预测14年考查的可能性不大．3．复习建议：复习时应该注重掌握简谐运动表达式和图象的关系，掌握分析图象的方法.
知识 整合　
一、机械振动
1．回复力定义：使物体回到________，方向跟相对平衡位置的________方向相反的力，叫做回复力．
2．回复力大小等于________方向上的合外力，它可以是________单独提供，也可以是一个力的________，还可以是几个力的________提供，回复力的方向总是指向________．注意；回复力不一定等于合外力．
3．表征振动的物理量
位移(x)：由________指向振动质点所在位置的有向线段．
振幅(A)：振动物体离开平衡位置的________距离，是标量．
周期(T)：振动物体完成________所需的时间．
频率(f)：单位时间内完成全振动的________，简谐运动的频率或周期由________所决定，与振幅________．
4．机械振动的定义及条件
(1)定义：物体(或物体的一部分)在某一中心位置两侧所做的________运动．
(2)条件：①物体离开平衡位置就受到回复力作用；②阻力足够________．
二、简谐运动
1．定义：物体在跟位移大小成正比并且总是指向平衡位置的回复力作用下的振动．
2．条件：回复力满足____________________．
3．特点：________若平衡位置左、右两点与平衡位置间的距离相等，则振子在这两个位置时，速度大小、加速度大小、位移大小、动能大小、势能大小一定相等．
4．性质：简谐运动属于________运动．
三、简谐运动中位移、回复力、速度、加速度的变化规律
1．振动中物体的位移x都是以________为起点，方向从________指向________位置，大小为这两位置间直线的距离，在平衡位置位移为________．
2．速度大小v和加速度a的变化恰好________．在两个端点速度为________，加速度________，在平衡位置速度________，加速度为________．除两个端点外任何一个位置的速度方向都有________种可能．
3．加速度a的变化和力F的变化是________．
四、简谐运动图象
1．物理意义：描述振动物体在________时刻离开平衡位置的________，振动图象都是________或________曲线，它不是质点运动的________．
2．从图象上可以得到信息
(1)可以直接读取振子在某一时刻相对于平衡位置的________大小．
(2)从振动图象上可以直接读出________、________.
(3)可以判断某一时刻振动物体的________方向和________方向，以及它们的________变化趋势．
五、简谐运动的表达式
公式________________．
式中x表示振动质点相对于平衡位置的位移，t表示振动的时间，A表示振幅，ω表示简谐运动的频率，它也可以表示做简谐运动的物体振动的________，与周期T及频率f的关系是：ω＝＝2πf.故上面的公式还可写为x＝Asin或x＝Asin(2πft＋φ)，φ表示t＝0时，做简谐运动的质点所处的状态称为____________或____________．ωt＋φ代表了做简谐运动的质点在t时刻处在一个运动周期中的哪个状态，代表简谐运动的相位．
六、单摆的动力学特征
1．单摆振动时的回复力由________提供．
2．在摆角小于10°时，单摆的振动可当作简谐运动．单摆的回复力满足：________，最大的回复力为Fmax＝________，在平衡位置时回复力为________．
七、单摆周期公式
1．表达式：T＝2π，单摆周期与________________和________________无关．
2．摆长：从________到________的距离．
3．公式中的g除随地球________而变化外，还与单摆所处的________有关，所处的________有关．
4．小球在光滑圆弧上的往复滚动，和单摆完全等同．只要摆角足够小，这个振动就是简谐运动．这时周期公式中的l应该是圆弧半径R和小球半径r________.
一、简谐运动的图象分析
由振动图象可以求下面物理量．
1．可以确定振动物体在任一时刻的位移．如图中，对应t1、t2时刻的位移分别为x1＝＋7 cm，x2＝－5 cm.
2．确定振动的振幅．图中最大位移的值就是振幅．如图表示振动的振幅是10 cm.
3．确定振动的周期和频率．振动图象上一个完整的正弦(余弦)图形在时间轴上拉开的“长度”表示周期．
由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周期，T＝0.2 s，频率f＝＝5 Hz.
4．确定质点的振动方向．例如图中的t1时候，质点正远离平衡位置向位移的正方向运动；在t3时刻，质点正向着平衡位置向位移的正方向运动．
5．比较各时刻质点加速度的大小和方向．例如在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负，t2时刻x2为负，则加速度a2为正，又因为|x1|>|x2|，所以|a1|>|a2|.
【典型例题1】 如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是(　　)
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C．第3 s末振子的速度为正向的最大值
D．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
温馨提示
解此题时，重要的是读出图象中的信息，确定振子的振动情况．
记录空间
【变式训练1】 一个质点做简谐运动的图象所示，下述正确的是(　　)
A．质点振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20 cm
C．在5 s末，质点速度为零，加速度最大
D．在t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等
二、简谐振动的两种常见模型
　　名称项目　　 水平弹簧振子 单　摆
模型示意图
做简谐运动的条件 ①忽略弹簧质量② 无摩擦③在弹簧弹性限度内 ①细线不可伸缩②摆球足够小且密度大③摆角很小
平衡位置 弹簧处于原长处 小球运动轨迹的最低点
回复力 弹簧的弹力提供 摆球重力沿与摆线垂直方向的分力
周期公式 不作要求 T＝2π
能量转化 弹性势能与动能相互转化，机械能守恒 重力势能与动能相互转化，机械能守恒
【典型例题2】 关于单摆的运动有下列说法，正确的是(　　)
①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
③单摆的周期与质量、振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关
④单摆做简谐运动的条件是摆角很小如小于5°
⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快
A．①③④ B．②③④
C．③④⑤ D．①④⑤
温馨提示
解答此题时，注意单摆的回复力及周期公式的定性分析．
记录空间
【变式训练2】 下列关于单摆的说法，正确的是(　　)
A．单摆摆球从平衡位置运动到正向最大位移处时的位移为A(A为振幅)，从正向最大位移处运动到平衡位置时的位移为－A
B．单摆摆球的回复力等于摆球所受到的合外力
C．单摆摆球的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力
D．单摆摆球经过平衡位置时加速度为零
随堂 演练　
1．某质点正在做周期为T的简谐运动，下列说法中正确的是(　　)
A．质点从平衡位置起第1次到达最大位移处所需时间为
B．质点走过一个振幅那么长的路所用的时间总是
C．质点在时间内走过的路程可以大于，也可以小于一个振幅的长度
D．质点在时间内走过的路可能等于一个振幅的长度
2．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是(　　)
第2题图
A．t1时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小
B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小
C．t3时候摆球速度为零，悬线对它的拉力最大
D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大
3．一个摆长为L的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时(取t＝0)，当t＝时，摆球具有负向最大加速度，则单摆的位移x随时间t变化的图象是(　　)
4．如图所示是用频闪照相的方法拍摄到的一个弹簧振子的振动情况，甲图是振子静止在平衡位置时的照片，乙图是振子被拉到左侧距平衡位置20 cm处放手后向右运动周期内的频闪照片，已知频闪的频率为10 Hz，则下列说法正确的是(　　)
第4题图
A．该振子振动的周期为1.6 s
B．该振子振动的周期为1.2 s
C．乙图中振子在该周期内被速度逐渐增大的匀加速直线加速动动
D．从图乙可以看出再经过0.2 s振子将运动到平衡位置右侧10 cm处
5．一简谐振子沿x轴振动，平衡位置在坐标原点．t＝0时刻振子的位移x＝－0.1 m；t＝s时刻x＝0.1 m；t＝4 s时刻x＝0.1 m．该振子的振幅和周期可能为(　　)
A．0.1 m， s B．0.1 m,8 s
C．0.2 m， s D．0.2 m,8 s
第6题图
6．单摆做简谐运动的周期公式为________________，式中g为重力场的加速度，可以看成重力G与质量m的比值．当作用在小球上的场力发生变化时，g值要变化，令g′＝(F为一般的场力)，将g′代入上述周期公式，可计算这种情况下单摆的周期．现有摆长为L的单摆在恒定的风力作用下偏离竖直方向θ角，处于平衡状态．今使小球稍稍偏离平衡位置，发生振动，则小球的振动周期为____________。
第7题图
7．一质点做简谐运动的振动图象如图所示．
(1)该质点振动的振幅是________cm，周期是________s，初相是________．
(2)写出该质点做简谐运动的表达式，并求出当t＝1 s时质点的位移．
8．弹簧振子以O点为平衡位置，在B、C两点间做简谐运动，在t＝0时刻，振子从O、B间的P点以速度v向B点运动；在t＝0.2 s时，振子速度第一次变为－v；在t＝0.5 s时，振子速度第二次变为－v.
(1)求弹簧振子振动周期T.
(2)若B、C之间的距离为25 cm，求振子在4.0 s内通过的路程．
(3)若B、C之间的距离为25 cm.从平衡位置计时，写出弹簧振子位移表达式，并画出弹簧振子的振动图象．
9．(12年江苏模拟)(1)如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移x随时间t变化的图象如图乙所示．不计空气阻力，g取10 m/s2.对于这个单摆的振动过程，下列说法中不正确的是(　　)
第9题图
A．单摆的位移x随时间t变化的关系式为x＝8sin(πt)cm
B．单摆的摆长约为1.0 m
C．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大
D．从t＝2.5 s到t＝3.0 s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小
(2)如图丙所示，小球m自A点以向AD方向的初速度v开始运动，已知＝0.9 m，AB圆弧的半径R＝10 m，AD＝10 m，A、B、C、D在同一水平面内，重力加速度g取10 m/s2，欲使小球恰能通过C点，其初速度v应为________．
　第48讲　简谐运动
及其图象
知识整合
基础自测
一、1.平衡位置　位移　2.振动　某个力　分力　合力　平衡位置　3.平衡位置　最大　一次全振动　次数　振动系统本身　无关
　4.(1)往复　(2)小
二、2.F＝－kx　3.具有对称性
　4.变加速
三、1.平衡位置　平衡位置　现在所处　零　2.相反零　最大　最大　零　两　3.相同
四、1.任意　位移　正弦　余弦　轨迹　2.(1)位移　(2)振幅　周期　(3)速度　加速度　大小
五、x＝A·sin(ωt＋φ)快慢　初相位　初相
六、1.重力沿切线方向的分力　2.F＝－kx　mgsinθ　0
七、1.振幅　重量　2.悬点　球心　3.纬度　高度　运动状态　4.差
重点阐述
【典型例题1】 如图所示为某弹簧振子在0～5 s内的振动图象，由图可知，下列说法中正确的是(　　)
A．振动周期为5 s，振幅为8 cm
B．第2 s末振子的速度为零，加速度为负向的最大值
C．第3 s末振子的速度为正向的最大值
D．从第1 s末到第2 s末振子在做加速运动
【答案】　C　【解析】　根据图象，周期T＝4s，振幅A＝8cm，选项A错误；第2s末振子到达负向位移最大处，速度为零，加速度最大，但沿x轴正方向，选项B错误；第3s末振子经过平衡位置，速度达到最大，且向x轴正方向运动，选项C正确；从第1s末到第2s末振子由平衡位置运动到达负向位移最大处，速度逐渐减小，选项D错误．本题答案为C.
变式训练1　BCD　【解析】 由振动图象可直接得到周期为T＝4s，振动频率f＝＝0.25Hz，故选项A错误．一个周期内，简谐运动的质点经过的路程是4A＝8cm，10s为2.5个周期，质点经过的路程是20cm，选项B正确．在5s末，质点位移达到最大，为2cm，此时加速度最大，速度为零，选项C正确．在1.5s和4.5s两时刻，质点位移大小相等，选项D也正确．
【典型例题2】 关于单摆的运动有下列说法，正确的是(　　)
　①单摆的回复力是摆线的拉力与重力的合力
　②单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力
　③单摆的周期与质量、振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关
　④单摆做简谐运动的条件是摆角很小如小于5°
　⑤在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．①③④ B．②③④
C．③④⑤ D．①④⑤
【答案】　B　【解析】 单摆的回复力是重力沿摆球运动轨迹切向的分力，千万不要误认为是摆球所受的合外力，所以说法①错误，②正确；根据单摆的周期公式T＝2π可知，单摆的周期与质量、振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关，说法③正确；当摆角很小时，摆球的运动轨迹可以近似地看做直线，回复力或重力沿摆球运动轨迹切向的分力可以近似地看作沿这条直线作用，这时可以证明：F＝－mgsinθ＝－x＝－kx，可见，在摆角很小时，单摆近似做简谐运动，说法④正确；将摆钟从山脚移到高山上时，摆钟所在位置的重力加速度g变小，根据T＝2π可知，摆钟振动的周期变大，计时变慢，说法⑤错误．综上可知，只有说法②③④正确，本题答案为B.
变式训练2　C　【解析】 简谐运动中的位移是以平衡位置作为起点，摆球在正向最大位移处时位移为A，在平衡位置时位移应为零．摆球的回复力由合外力沿圆弧切线方向的分力(等于重力沿圆弧切线方向的分力)提供，合外力在摆线方向的分力提供向心力，摆球经最低点(振动的平衡位置)时回复力为零，但向心力不为零，所以合外力不为零(摆球到最高点时，向心力为零，回复力最大，合外力也不为零)．
随堂演练
　1.AC　【解析】 质点从平衡位置起第1次到达最大位移所需时间，A对；质点走过一个振幅那么长的路程所用的时间并不总是，质点做变速直线运动，B错；质点在时间内走过的路程可能大于．小于或等于一个振幅的长度，C对；质点在时间内走过的路程总是大于一个振幅的长度，D错．故选AC.
　2.D　【解析】 由振动图象可知t1和t3时刻摆球偏离平衡位置位移最大，此时摆球速度为零，悬线对摆球拉力最小；t2和t4时刻摆球位移为零，正在通过平衡位置，速度最大，悬线对摆球拉力最大，故选项D正确．
　3.D　【解析】 T＝2π，t＝＝T，x－t图中D图在t＝T时加速度负向最大，D正确．
　4.B　【解析】 由题可知，振子振动＝0.3 s，T＝1.2 s，故A错B对；乙图中振子在向平衡位置移动，加速度逐渐减小，C错；由图乙可知，再经过0.2 s后振子在10 cm～20 cm之间位置，D错；选B.
　5.ACD　【解析】　若振幅A＝0.1m, T＝ s，则 s为半周期，从－0.1m处运动到0.1m，符合运动实际，4s－ s＝ s为一个周期，正好返回0.1m处，所以A项正确．若A＝0.1m, T＝8s, s只是T的，不可能由负的最大位移处运动到正的最大位移处，所以B错．若A＝0.2m, T＝ s, s＝，振子可以由－0.1m运动到对称位置，4s－ s＝ s＝T，振子可以由0.1m返回0.1m，所以C对．若A＝0.2m, T＝8s, s＝2×，而sin＝，即时间内，振子可以从平衡位置运动到0.1m处；再经 s又恰好能由0.1m处运动到0.2m处后，再返回0.1m处，故D项正确．
　6.T＝2π　T＝2π　【解析】 单摆做简谐运动的周期公式为T＝2π；由题知场力下重力加速度g′＝，当风力作用下单摆偏离竖直方向θ角力F＝，则g′＝，代入单摆周期公式可得：T＝2π.
　7.(1)8　0.2　
　(2)x＝8sin　8 cm
　【解析】 (1)由质点的振动图象
　可得振幅A＝8 cm，周期T＝0.2 s，初相是φ＝.
　(2)由于ω＝＝10π rad/s，质点做简谐运动的表达式为x＝8sin
　当t＝1 s时质点的位移与0时刻相差5个周期，位移相同，x＝8 cm.
　8.(1)1.0s　(2)200cm　(3)x＝12.5sin2πt(cm)　图象见解析　
　【解析】 (1)弹簧振子简谐运动示意图，如图甲，由对称性可得：T＝0.5×2s＝1.0s.
甲
(2)若B、C之间距离为25cm，则振幅A＝×25cm＝12.5cm，振子4.0s内通过的路程s＝4×4×12.5cm＝200cm.(3)根据x＝Asinω t，A＝12.5cm，ω＝＝2π.得x＝12.5sin2πt(cm)．振动图象如图乙
乙
第8题图
　
　9.(1)C　(2)m/s(n＝0，1，2，3…)
　【解析】 (1)由图象知单摆振幅为8 cm，周期T＝2 s，则单摆角速度ω＝＝π rad/s，根据正弦公式：x＝A·sinωt，知x＝8sin(πt)cm，A对；根据T＝2π，求得l＝≈1.0 m，B对；从2.5 s到3.0 s的过程中，单摆从最大位移到平衡位置，高度降低，重力势能减小，同时回复力逐渐减小，C错，D对．
　(2)小球m的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是：以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面上AB方向上的往复运动．因为AB?R，所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，符合类单摆模型，其圆弧半径R即为类单摆的摆长，小球m恰好能通过C，则有AD＝vt，且满足t＝T(n＝0，1，2，3…)又T＝2π，解以上方程得v＝m/s(n＝0，1，2，3…)课时作业(四十九)　受迫振动和共振
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．弹簧振子在振动过程中振幅逐渐减小，这是由于(　　)
A．振子开始振动时振幅太小
B．在振动过程中要不断克服外界阻力做功，消耗能量
C．动能和势能相互转化
D．振子的机械能逐渐转化为内能
2．在飞机的发展史中有一个阶段，飞机上天后不久，飞机的机翼很快就抖动起来，而且越抖越厉害，后来人们经过了艰苦地探索，利用在飞机机翼前缘处装置一个配重杆的方法解决了这一问题，在飞机机冀前装置配重杆的主要目的是(　　)
A．放大飞机的惯性
B．使机体更加平衡
C．硬机翼更加牢固
D．改变机翼的固有频率
3．如图所示，五个摆悬挂于同一根绷紧的水平绳上，A是摆球质量较大的摆，让它摆动后带动其他摆运动．下列结论正确的是(　　)
第3题图
A．其他各摆的振动周期与A摆的相同
B．其他各摆的振幅都相等
C．其他各摆的振幅不同，E摆的振幅最大
D．其他各摆的振动周期不同，D摆周期最大
4．有A，B两个弹簧振子，A的固有频率为f，B的固有频率为4f.如果它们都在频率为3f的驱动力作用下做受迫振动．那么，下列结论正确的是(　　)
A．振子A的振幅较大，振动频率为f
B．振子B的振幅较大，振动频率为3f
C．振子A的振幅较大，振动频率为3f
D．振子B的振幅较大，振动频率为4f
5．某简谐振子，自由振动时的振动图象如图(a)中的曲线Ⅰ所示，而在某驱动力作用下做受迫振动时，稳定后的振动图象如图(a)中的曲线Ⅱ所示，那么，此受迫振动对应的状态可能是如图(b)中的(　　)
　　　
(a)　　　　　　　　　　　(b)
第5题图
A．a点 B．b点
C．c点 D．一定不是c点
6．铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留一定的间隙，匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受一次冲击．由于每一根钢轨长度相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长12.6m，列车固有振动周期为0.315s.下列说法正确的是(　　)
A．列车的危险速率为40m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
7．一个单摆做受迫振动，其共振曲线(振幅A与驱动力的频率f的关系)如图所示，则(　　)
第7题图
A．此单摆的固有周期约为0.5s
B．此单摆的摆长约为1m
C．若摆长增大，单摆的固有频率增大
D．若摆长增大，共振曲线的峰将向右移动
8．一单摆做阻尼振动，则在振动过程中(　　)
A．振幅越来越小，周期也越来越小
B．振幅越来越小，周期不变
C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变
9．两个弹簧振子，甲的固有频率是100Hz，乙的固有频率是400Hz，若它们均在频率是300Hz的驱动力作用下做受迫振动则(　　)
A．甲的振幅较大，振动频率是100Hz
B．乙的振幅较大，振动频率是300Hz
C．甲的振幅较大，振动频率是300Hz
D．乙的振幅较大，振动频率是400Hz
10．如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是(　　)
第10题图
A．摆球A时刻的动能等于B时刻的动能
B．摆球A时刻的势能等于B时刻的势能
C．摆球A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．摆球A时刻的机械能大于B时刻的机械能
11．铁轨上每根钢轨长12m，若支持车厢的弹簧固有频率是2Hz，那么列车以多大速度行驶时，车厢振动最厉害(　　)
A．6m/s B．12m/s
C．24m/s D．48m/s
12．某振动系统的固有率f1，该振动系统在频率为f2的驱动力的作用下做受迫振动，系统的振动频率为(　　)
A．f1 B．f2
C．f1＋f2 D．(f1＋f2)/2
13．如图所示是物体受迫振动的共振曲线，其纵坐标表示了物体(　　)
第13题图
A．在不同时刻的振幅
B．在不同时刻的位移
C．在不同驱动力下的振幅
D．在不同驱动力下的位移
14．如图为一单摆的共振曲线，则该单摆的摆长约为多少？共振时单摆的振幅多大？共振时摆球的最大加速度和最大速度大小各为多少？
第14题图
课时作业(四十九)　受迫振动和共振
　1.B D　【解析】 由于有阻力，振子的机械能减小，振幅减小，损失的机械能转化为内能．
　2.D　【解析】 飞机飞上天后，在气流周期性驱动力作用下受迫振动，机翼越抖越厉害说明气流驱动力周期与机翼的固有周期非常接近或相等．在机翼前缘处装置配重杆，目的是通过改变机翼的质量来改变其固有频率，使驱动力频率与固有频率相差较大，从而达到减振的目的，故D选项正确．
　3.AC　【解析】 本题主要考查对受迫振动的理解．受迫振动的周期都应等于驱动力的周期(A摆的周期)．A、E两摆为双线摆，其等效摆长相等，LA＝LE，A摆振动后迫使水平绳振动，水平绳再迫使其他摆振动，由于E摆的固有周期与驱动力A摆的周期相同，所以E摆的振幅最大，B、C、D三个摆的固有周期偏离驱动力A摆的周期各不相同，所以它们振动的振幅各不相同．
　4.B　【解析】 当f驱与f固越接近，振子的振幅越大，做受迫振动的振动频率f＝f驱，故B正确．
　5.AD　【解析】 振子的固有周期与驱动力周期的关系是T驱＝T固，所以受迫振动的状态一定不是图(b)中的c点，可能是a点，故A、D正确．
　6.AD　【解析】 对于受迫振动，当驱动力的频率等于固有频率时发生共振．本题中当列车运行时受到钢轨的冲击力的周期等于固有周期时，列车会产生共振，此时列车最危险，其速度v＝＝ m/s＝40 m/s，故A正确．列车运行时的振动频率不一定比固有频率大或小，减速是接近固有频率还是远离固有频率并不知道，故B、C错，钢轨越长，由v＝可知L大，则v变大，故D正确．
　7.B　【解析】 由图可知，此单摆的振动频率与固有频率相等，则周期为2 s，故A错；由图可知，此单摆的振动频率与固有频率相等，则周期为2 s．由公式T＝2π.可得L≈1 m，故B正确；若摆长增大，单摆的固有周期增大，则固有频率减小，故C错误；若摆长增大，则固有频率减小，所以共振曲线的峰将向左移动，故D错误；故选：B.
　8.B D　【解析】 由单摆周期公式可知T＝2π，则周期不变，且振幅越来越小，故A错B对；由于阻力作用．振动过程中机械能不守恒，故C错D对．
　9.B　【解析】 因为甲、乙两个弹簧振子都在做受迫振动，所以它们的振动频率都等于驱动力频率300 Hz.乙的固有频率与驱动力频率更接近，所以乙的振动更激烈，即乙的振幅较大；选B.
　10.BD　【解析】 由于振幅逐渐减小，故摆球的机械能逐渐减少，选项C错误，选项D正确．摆球的势能是由摆球相对于零势能点的高度h和摆球的质量m共同决定的(Ep＝mgh)．单摆摆球的质量是定值，由于A、B两时刻摆球的位移相同，故在这两个时刻摆球相对零势能点的高度相同，势能也相同，选项B正确．由于A时刻的机械能大于B时刻的机械能，而A、B两时刻的势能相等，故A时刻的动能大于B时刻的动能，选项A错误．
　11.C　【解析】 当驱动力的频率等于固有频率是振幅最大射速率v，则12/v＝1/2，解得v＝24 m/s；故选C.
　12.B　【解析】 振动系统的振动频率一定与驱动力的频率相同，与固有频率无任何关系，故选B.
　13.C　【解析】 此图符合物体受迫振动的A－f曲线，故纵坐标为物体在不同驱动力下的振幅，故选C.
　14.1m　8 cm　0.25 m/s　0.8 m/s2
　【解析】 从共振曲线可知，单摆的固有频率f＝0.5 Hz，因为T＝1，所以代入数据解得l＝1 m；从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅A＝8 cm.设单摆的最大偏角为θ，摆球所能达到的最大高度为h，由机械能守恒定律得：mv＝mgh.
又h＝1(1－cos θ)mgsinθ＝mam.
当θ很小时1－cos2θ＝2sin2θ　解得：vm＝0.25 m/s.
摆球在最大位移处加速度最大，有：am＝gsin θ
代入数据解得am＝0.8 m/s2.第49讲　受迫振动和共振
　考情 剖析　
受迫振动和共振在近四年高考中均未考查过，预测14年考查的可能性不是很大．
知识 整合　
一、振动的分类
按振子受力的不同可将振动分为：
1．自由振动(又称固有振动)
回复力是系统内部的相互作用力，弹簧振子的____________是系统内部的力，单摆的____________也是系统内部的力．
2．阻尼振动
系统受到摩擦力或其他阻力，系统克服阻尼的作用要消耗____________，因而________减小，最后停下来，阻尼振动的图像如图所示．
物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化．例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅起来越小，锣声减弱，但音调不变．
3．受迫振动
如系统受到周期性外力的作用，就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量，使系统持续地振动下去．
这种周期性的外力叫________．
系统在驱动力作用下的振动叫____________．
二、受迫振动的频率
系统做受迫振动的频率总是等于____________的频率，与系统的____________无关．
三、共振
系统做受迫振动时，如果驱动力的频率可以调节，把不同频率的驱动力先后作用于同一个振动系统，其受迫振动的振幅将不同，如图是共振曲线图．____________是物体的固有频率，横轴表示____________的频率，当____________时物体的振幅最大，f驱与f固差____________，物体做受迫振动的振幅____________．
驱动力频率f____________系统的固有频率f0时，受迫振动的振幅____________，这种现象叫做共振．
四、共振的应用与防止
1．共振的应用：由共振的条件知，要利用共振就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致，如：共振筛、共振转速计、共鸣箱、核磁共振仪等．
2．共振的防止：由共振曲线可知，在需要防止共振时，要尽量使驱动力的频率和物体振动的固有频率不相等，而且相差越多越好．
如：部队过桥时，为避免周期性的驱动力使桥发生共振，应便步走．
3．自由振动、受迫振动和共振的关系比较
　　　振动类型项　目　　　 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 周期性驱动力作用 周期性驱动力作用
振动周期或频率 由系统本身性质决定，即固有周期或固有频率 由驱动力的周期或频率决定，即T＝T驱或f＝f驱 T驱＝T固或f驱＝f固
振动量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤10°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、转速计等
随堂 演练　
1．下列说法中正确的是(　　)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．实际的自由振动必然是阻尼振动
B．在外力作用下的振动是受迫振动
C．阻尼振动的振幅越来越小
D．受迫振动稳定后的频率与自身物理条件无关
2．下列振动，属于受迫振动的是(　　)
A．用重锤敲击一下悬吊着的钟后，钟的振动
B．打点计时器接通电源后，振针的振动
C．小孩睡在自由摆的吊床上，小孩随着吊床一起摆动
D．弹簧振子在竖直方向上沿上下方向振动
3．把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛，筛子自由振动时，完成20次全振动用15 s，在某电压下，电动偏心轮转速是88 r/min，已知增大电动偏心轮的电压，可以使其转速提高：增加筛子质量，可以增大筛子的固有周期，要使筛子振幅增大，下列做法中正确的有(　　)
①降低输入电压　②提高输入电压　③增加筛子质量　④减小筛子质量
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
第4题图
4．在图中，当A振动起来后，通过水平绳迫使B、C振动，下列说法中正确的是(　　)
A．只有A、C的振动周期相等
B．A的振幅比B小
C．C振动的振幅比B大
D．A、B、C的振动周期相等
5．某振动系统的固有频率为f0，在周期性驱动力作用下做受迫振动，驱动力的频率为f.若驱动力的振幅保持不变，下列说法正确的是(　　)
A．当fB．当f>f0时，该振动系统的振幅随f减小而增大
C．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f0
D．该振动系统的振动稳定后，振动的频率等于f
6．实验室可以做“声波碎杯”的实验．用手指轻弹一只酒杯，可以听到清脆的声音，测得这声音的频率为500 Hz.将这只酒杯放在两只大功率的声波发生器之间，操作人员通过调整其发出的声波，就能使酒杯碎掉．下列说法中正确的是(　　)
A．操作人员一定是把声波发生器的功率调到很大
B．操作人员可能是使声波发生器发出了频率很高的超声波
C．操作人员一定是同时增大了声波发生器发出声波的频率和功率
D．操作人员一定要将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz
7．如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线，则下列说法正确的是(　　)
第7题图
A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振曲线．
B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比lⅠ∶lⅡ＝25∶4
C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为1 m
D．若摆长均为1 m，则图线Ⅰ是在地面上完成的
8．如果把人当一个整体来看，在水平方向的固有频率为3 Hz～6 Hz，竖直方向的固有频率为4 Hz～8 Hz，拖拉机驾驶员，风镐、风铲、铆钉机等操作工在工作时将做________振动，这些操作工的振动频率跟振动源的频率________．为保障操作工的安全与健康，有关部门作出规定：用手操作的各类振动机械的频率必须大于20 Hz，这是为了防止发生________造成对人体健康的危害．
第49讲　受迫振动
和共振
知识整合
基础自测
一、1.弹力　重力的切向分量
　2.机械能　振幅
　3.驱动力　受迫振动
二、驱动力　固有频率
三、f′　驱动力　f＝f′　越大　越小　等于　最大
随堂演练
　1.ACD　【解析】 实际的自由振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，故A、C正确．只有在周期性外力(驱动力)的作用下，物体所做的振动地才是受迫振动，故B错．受迫振动稳定后的频率由驱动力频率决定，与自身物理条件无关，故D对．
　2.B　【解析】 受迫振动是指在周期性驱动力作用下的振动，故A、C、D都是自由振动，B是受迫振动．
　3.B　【解析】 增大振幅，应使驱动力的频率与筛子的固有频率接近，最好相等．由题意知驱动力周期：T驱＝s＝s，筛子的固有周期：T固＝s，T驱＞T固．办法：可以减小T固，即减小筛子质量，也可以增加T驱，即减小转速．降低电压．故①、④正确．
　4.CD　【解析】 A振动后迫使水平绳振动，水平绳再迫使B、C振动，所以B、C做受迫振动，其振动周期等于驱动力周期，即A的振动周期，TB＝TC＝TA固＝2π，则C发生共振，B不发生共振，C的振幅比B大．
　5.BD　【解析】　受迫振动的频率与驱动力的频率一致，当驱动力的频率与固有频率越接近时，振动系统的振幅越大，故A、C错误，B、D正确．
　6.D　【解析】 通过调整发生器发出的声波就能使酒杯碎掉，是利用共振的原理，因此操作人员一定要将声波发生器发出的声波频率调到500 Hz，故D选项正确．
　7.A　B　C　【解析】 受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期公式T＝2π，可以得到单摆固有频率f＝＝，根据图象中f的信息可以推断摆长或重力加速度的变化情况．
　8.受迫　几乎相同　共振　【解析】 拖拉机、风镐等在工作时，由于内燃机、电动机等动力设备运转的不平衡性，往往产生较剧烈的振动，与其靠近或密切接触的人一定会做受迫振动，如果设备的振动频率接近人体振动固有频率，则人体的各部分将做较剧烈的振动，造成对人体的损伤．因此，对于用手操作的机械振动频率必须大于20 Hz，以保障人体健康．课时作业(五十)　实验、探究：单摆的周期与摆长的关系　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．在“用单摆测重力加速度”的实验中，下列说法正确的是(　　)
A．要求摆线长度适当，在摆动过程中不会伸缩，且质量很小
B．用秒表测出单摆完成一次全振动的时间，这就是单摆振动的周期；反复测三次，在算出测得周期的平均值
C．用刻度尺测量摆长时，摆长下端应从球心算起，量到悬点处
D．测量周期T时，从摆球经过平衡位置时开始计时
2．针对用单摆测重力加速度的实验，下面各种对实验误差的影响的说法中正确的是(　　)
A．在摆长和时间的测量中，时间的测量对实验误差影响较大
B．在摆长和时间的测量中，长度的测量对实验误差影响较大
C．将振动次数n记为(n＋1)，测算出的g值比当地的公认值偏大
D．将摆线长当作摆长，未加摆球的半径测算出的g值比当地的公认值偏大
3．为了提高周期的测量精度，下列哪些做法是可取的(　　)
A．用秒表直接测量一次全振动的时间
B．用秒表测30次至50次全振动的时间，计算出平均周期
C．在平衡位置启动秒表计时和结束计时
D．在最大位移处启动秒表计时和结束计时
4．在做“探究单摆的周期与摆长的关系”的实验中，有人提出以下几点建议，其中对提高测量结构精确度有利的是(　　)
A．适当加长摆线
B．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的
C．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
D．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期
5．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到
　第5题图
球心的距离当作摆长L，通过改变摆线的长度，测得6组L和对应的周期T，画出LT2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝______.请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________．(填“偏大”、“偏小”或“相同”)
6．两个同学利用假期分别去参观北京大学和南京大学的物理实验室，各自在那里利用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2—L图象，如图甲所示，去北大的同学所测实验结果对应的图线是________(选填“A”或“B”)．另外，在南大做探究的同学还利用计算机绘制了两种单摆的振动图象(如图乙)，由图可知，两单摆摆长之比＝________.
　
　　　　甲　　　　　　　　　　乙
　第6题图
7．下表是用单摆测定重力加速度实验中获得的有关数据：
摆长l(m) 0.5 0.6 0.8 1.1
周期T2(s2) 2.0 2.4 3.2 4.4
(1)利用上述数据，在如图所示的坐标系中描绘出l－T2图象．
　第7题图
(2)利用图象，取T2＝4.2 s2时，l＝________m．重力加速度g＝________m/s2.
8．如图所示，某同学采用双线摆和光电计数器测量重力加速度．已知每根悬线长l，两悬点间相距为s，金属小球半径为r，AB为光电计数器．
第8题图
现将小球垂直于纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个较小的角度并由静止释放，同时启动光电计数器，当小球第一次经过图中虚线(光束)位置O时，由A射向B的光束被挡住，计数器计数一次，显示为“1”，同时由零开始计时，而后每当小球经过O点时，计数器都要计数一次．当计数器上显示的计数次数刚好为n时，计数器都要计数一次．当计数器上显示的计数次数刚好为n时，计时时间为t.由此可知双线摆的振动周期T为________；计算重力加速度g时，双线摆的等效摆长L为________；最后依据公式g＝________，代入周期T和等效摆长L的值即可求出重力加速度．
9．在“用单摆测重力加速度”的实验中，
第9题图
(1)某同学的操作步骤为：
a．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
b．用米尺量得细线长度l
c．用摆线偏离竖直方向5°位置释放小球
d．用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T＝t/n
e．用公式g＝计算重力加速度
按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比________ (填“偏大”、“相同”或“偏小”)．
(2)已知单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T′＝T0，式中T0为摆角θ趋近于0°时的周期，a为常数．为了用图象法验证该关系式，需要测量的物理量有________；若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图象中的横轴表示________________________________________________________________________．
10．在“用单摆测定重力加速度”的实验中．(1)测摆长时，若正确测出悬线长l和摆球直径d；则摆长为______；(2)测周期时，当摆球经过__________位置时开始计时并数1次，测出经过该位置N次(约60～100次)的时间为t，则周期__________．
此外，请你从下列器材中选用所需器材，再设计一个实验，粗略测出重力加速度g，并参照示例填写下表(示例的方法不能再用)．
A．天平；B.刻度尺；C.弹簧秤；D.电磁打点计时器；E.带夹子的重锤；F.纸带；G.导线若干；H.铁架台；I.低压交流电源；J.低压直流电源；K.小车；L.螺旋测微器；M.斜面(高度可调，粗糙程度均匀)．
第10题图
所选器材
(只填器材序号) 简述实验方法
(不要求写出具体步骤)
示例 B、D、E、F、G、H、J 　安装仪器，接通电源，让纸带随重锤竖直下落．用刻度尺测出所需数据，处理数据，得出结果
实验设计
　　11.在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
(1)某同学分别选用四种材料不同、直径相同的实心球做实验，各组实验的测量数据如下．若要计算当地的重力加速度值，应选用第________组实验数据.
组别 摆球材料 摆长L/m 最大摆角 全振动次数N/次
1 铜 0.40 15° 20
2 铁 1.00 5° 50
3 铝 0.40 15° 10
4 木 1.00 5° 50
(2)甲同学选择了合理的实验装置后，测量出几组不同摆长L和周期T的数值，画出如图T2 L图象中的实线OM，并算出图线的斜率为k，则当地的重力加速度g＝________.
第11题图
(3)乙同学也进行了与甲同学同样的实验，但实验后他发现测量摆长时忘了加上摆球的半径，则该同学做出的T2 L图象为(　　)
A．虚线①，不平行OM B．虚线②，平行OM
C．虚线③，平行OM D．虚线④，不平行OM
课时作业(五十)　实验、探究：单摆的周期与摆长的关系
　1.AD　【解析】 由实验原理易知A、D正确，单摆周期通常要测量50次全振动的时间，然后取平均而得到，而小球半径是用卡尺来测量．
　2.AC　【解析】 对于单摆测重力加速度的实验，重力加速度的表达式由于与周期是平方关系，它若有误差，在平方后会更大，所以时间的测量影响更大些，A对．另外，如果振动次数多数了一次，会造成周期的测量值变小，重力加速度测量值变大，C也对；若当摆长未加小球的半径，将使摆长的测量值变小，g值变小．D项错．
　3.BC　【解析】 为了提高精确度应测30～50次全振动的时间，且在平衡位置开始计时和结束计时，B、C正确．
　4.AC　【解析】 为了提高测量结果的精度有利的做法是摆线不能过短，摆球体积不能太大，单摆偏离平衡位置的角度不能超过10°，应用累积法测周期，AC对．
　5.　相同
　【解析】 由公式T＝2π 易推出
　g＝而当L改变时，ΔL不变，g也不变．
　6.B　　【解析】 根据T＝2π，T2＝，根据图象可知kA>kB，则gA　7.(1)如图所示　(2)1.05π2
　【解析】 　(1)做图如图所示；(2)读图知T2＝4.2S2时，L＝1.05 m，重力加速度g＝＝4π2·＝π2.
第7题图
8.　＋r　
第8题图
　【解析】 注意计数器开始计时以后，每两次经过平衡位置才算一个周期，T＝＝，等效摆长如图，所以L＝l′＋r＝＋r，g＝
　9.(1)偏小　(2)T′(或t、n)，θ　T′　【解析】 (1)单摆的摆长L＝l＋，本题中用线长l代替摆长L，从而使得重力加速度的测量值偏小．
(2)因要验证T′与θ的关系，所以需要测量周期T′(也可测t和n，T′＝t/n)和摆角θ，由于该图线在横轴上的截距大于零，结合题意知，图像中的横轴表示T′.
　10.(1)l＋　(2)平衡；
所选器材
(只填器材序号) 简述实验方法(不要求写出具体步骤)
实验设计 A、C、E 　用弹簧秤称出带夹子重锤的重力大小
G，再用天平测出其质量m，则g＝G/m.
或实验
设计 B、D、F、
G、I、K、M 　安装仪器，接通电源，让纸带随小车一
起沿斜面下滑．用该度尺测出所需数据.
改变斜面高度再测一次，利用两次数据，
由牛顿第二定律算出结果．
　【解析】 单摆的摆长是从悬线的悬挂点到小球重心的距离，题中小球视为质量分布均匀，故摆长为： l＋；测定周期时，摆球在最低处平衡位置速度最大，因此应从最低位置开始计时并计数N次，则小球完成了次全振动，故其周期T＝.测重力加速度的方法有多种，其中一种用斜面和打点计时器由牛顿第二定律来测，方法见答案．
　11.(1)2　(2)　　(3)B　
　【解析】 (1)本实验应选择细、轻又不宜伸长的线，长度一般在1m左右；小球应选用直径较小、密度较大的金属球；单摆的最大摆角不能超过5°； 振动次数N应该在30次到50次之间．比较四种材料，只有第2组实验数据合适．
　(2)根据图象可知，k＝T2/l，又因为单摆的周期公式T＝2π，可得g＝4π2 ＝＝.
(3)由g＝4π2，可得＝＝k(常数)，所以＝＝k，可见，若错把摆线长作为摆长，根据所得数据连成的直线的斜率是不变的；若乙同学错把摆线长作为摆长，那么记录的周期T所对应的摆长偏小，即在题图中，取周期T相同时，乙同学描出的点偏左，据此可知，该同学做出的T2L图象应该为虚线．②.本题答案为B.

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