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小升初立体图形能力提高卷（专项训练）-小学数学六年级下册北师大版
一、选择题
1．下列说法正确的有（ ）。
①一种商品打“七折”，也就是按这种商品原价的70%出售。
②吨煤准备烧2天，平均每天烧。
③等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍。
④10克盐放入100克水中，那么盐水的含盐率为10%。
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③
2．图（ ）是下面正方体的展开图。
B．
C． D．
3．下面的两个物体都是用相同的小正方体摆成的，两个物体的表面积相比，（ ）。
A．正方体大 B．长方体大 C．一样大 D．无法比较
4．如图：一块长方体橡皮正好能分割成两个相等的小正方体。已知这块长方体橡皮表面积是60平方厘米，那么其中一个正方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．24 B．30 C．33 D．36
5．要焊成一个棱长5厘米的正方体框架，至少需要（ ）厘米的铁丝。
A．20 B．30 C．40 D．60
6．一个从里面量底面直径是20厘米的圆柱形玻璃杯内盛有一些水，恰好占杯子容量的，将一块石块放入，待完全浸没在水中后（水未溢出），这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，这个玻璃杯的容积是（ ）毫升。
A．6280 B．7536 C．7850 D．9420
二、填空题
7．用含有π的最简表达式表示：一个底面半径为3分米、高为4分米的圆柱，它的侧面积是( )平方分米，与它等底、等高的圆锥的体积是( )立方分米。
8．一个盛满水的圆锥形容器，水深21厘米，将水全部倒入和它等底等高的圆柱形容器里，水深是( )厘米。
9．联想圆的面积计算公式的推导过程，把圆柱的底面分成许多相等的扇形，把圆柱切开，再像图的样子拼起来，拼成图形的底面积相当于圆柱的( )，高相当于圆柱的( )，如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是( )。
10．等底等高的圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，那么圆柱的体积是( )立方厘米，这个圆柱的体积比圆锥的体积大( )立方厘米。
11．把一个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱如图①，表面积增加了40平方厘米，把它横截成两个圆柱如图②，表面积增加了25.12平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。
12．把一个底面半径为2cm的圆柱的侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱的体积是( )cm3。
三、判断题
13．如图不是圆柱。( )
14．棱长为6cm的正方体的表面积与体积一样大。( )
15．一个圆柱，底面直径是10cm，侧面展开后得到一个正方形，这个圆柱的高是31.4cm。( )
16．圆柱形容器的容积就是它的体积。( )
17．一个圆锥的体积是63.9立方厘米，与它等底等高的圆柱的体积一定是191.7立方厘米。( )
四、图形计算
18．求下面机器零件的圆柱体表面积以及圆锥体的体积（单位：厘米）。
19．计算图形的表面积。
20．求下列图形的体积。
五、解答题
21．学校要挖一个长∶宽∶高是25∶15∶1的长方体游泳池，已知游泳池蓄满水的深度是2米。
（1）这个游泳池的占地面积是多少平方米？
（2）容积是多少立方米？
22．芳芳在学习完长方体展开图后，打算创作一个火柴盒，她在方格纸上设计了一个火柴盒内盒的展开图（硬纸板的厚度忽略不计）。
（1）请你帮她在右图设计出外盒的展开图。
（2）芳芳设计的这个火柴盒的体积是（ ）立方厘米。
23．如图是一个长方体展开图的两个面，请画出其余的四个面，使它成为一个完整的展开图，并请你算一算，这个长方体的体积是多少？（图中每个小方格表示边长1厘米的正方形）
24．一堆沙为近似的圆锥形，底面周长50.24米，高6米。将这堆沙运去铺一条宽8米的路，铺路厚度为0.2米，可以铺多少米路？
25．张大伯新建一个圆柱形水池（无盖），底面直径8米，池深2米。
①这个水池的占地面积是多少平方米？
②如果在水池的底面和四周做一层新型的防渗水涂料，涂料每平方米的造价为20元，张大伯最少要付多少元？
③这个水池的容积是多少立方米？
26．有一圆柱形容器，该容器的底面半径为10厘米，侧面积为300π平方厘米。
（1）如图1，求该圆柱形容器的高为多少厘米？
（2）如图2，有一实心铁圆柱体，实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的，实心铁圆柱的底面半径比圆柱形容器的底面半径小，求该实心铁圆柱体的体积？（结果保留π）
（3）在（2）的条件下，现有底面半径为5厘米，高为12厘米的实心冰圆锥若干，水变成冰体积会增加，现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，如图3，将冰圆锥化成的水注入圆柱形容器内，注入的水将实心铁圆柱体全部浸没。求至少需要多少个冰圆锥（整数个）？并求此时水面与容器口的距离h为多少厘米？
参考答案：
1．A
【分析】把每个选项逐个分析，再进行选择即可。
【详解】①理解打折，打几折，就是按原价的百分之几十，所以选项说法正确；
②吨煤准备烧2天，根据分数的意义，将这吨煤当作单位“1”平均分成2份，则平均每天烧全部的1÷2＝；选项说法错误；
③根据等底等高的圆锥体积与圆柱体积的关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，选项说法正确；
④先用“10＋100”求出盐水的重量，进而根据“含盐率＝盐的重量÷盐水的重量×100%”，即10÷（10＋100）×100%
＝10÷110×100%
≈0.09×100%
＝9%
那么盐水的含盐率为9%，选项说法错误。
故答案为：A
【点睛】本题考查折扣的意义、分数的意义。圆锥体积与圆柱体积的关系，一个数占另一个数的百分之几。
2．C
【分析】要判断所给四个展开图中，哪个不是正方体的展开图，关键是判断画有圆圈的面和涂色的面的位置关系；观察正方体可知，画有圆圈的面和涂色的面相邻；接下来，判断四个展开图折成正方体后这两个面的位置关系即可得到答案。
【详解】A选项：不能折叠成正方体，不是所给正方体的展开图；
B选项：能折叠成正方体，但阴影面和圆形面是相对的，不是所给正方体的展开图；
C选项：能折叠成正方体，阴影面和圆形面是相邻的，是所给正方体的展开图；
D选项： 能折叠成正方体，但阴影面和圆形面是相对的，不是所给正方体的展开图；
故答案为：C
【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住，能快速解答此类题。
3．A
【分析】假定小正方体的棱长是1，根据正方体表面积＝棱长×棱长×6、长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，将数值代入求得各自的表面积，再比较大小即可。
【详解】假定小正方体的棱长是1。
正方体表面积：
正方体的表面积大。
故答案为：
【点睛】掌握长方体和正方体表面积计算公式是解答本题的关键。
4．D
【分析】根据题干可知，把长方体平均切开，正好成为两个相同的小正方体，则表面积比原来增加了2个小正方体的面的面积；所以长方体的表面积是10个小正方体的面的面积之和，所以1个小正方体的面的面积是（60÷10）平方厘米，进而乘6即可求出1个小正方体的表面积，由此即可解决问题。
【详解】60÷（12－2）×6
＝60÷10×6
＝6×6
＝36（平方厘米）
每个小正方体的表面积是36平方厘米。
故答案为：D
【点睛】此题考查了正方体的表面积公式的计算应用，这里关键是根据题干求出每个小正方体的面的面积。
5．D
【分析】根据正方体的特征：12条棱的长度都相等，正方体的棱长总和＝棱长×12，把数据代入棱长总和公式求出棱长总和。
【详解】棱长总和：12×5＝60（厘米）
即至少需要60厘米的铁丝。
故答案为：D
【点睛】本题考查正方体的棱长总和的计算知识，解答本题的关键是掌握正方体的棱长总和的计算公式。
6．A
【分析】根据题意，可以先求出圆柱形杯子的高，已知原来杯子里面的水占杯子容量的，即杯中水的高也占杯子高，将一块石块放入浸没在水中，这时水面上升了12厘米，刚好与杯子口相平，把杯子的高看作单位“1”，12厘米占杯子高的，由此可以求出杯子的高；再根据圆柱体的体积（容积）公式，V＝πr2h，列式解答。
【详解】
（厘米）
＝3.14×100×20
＝6280（立方厘米）
6280立方厘米＝6280毫升
所以这个玻璃杯的容积是6280毫升。
故答案为：A
【点睛】此题解答关键是求出杯子的高，再根据圆柱体的体积（容积）计算公式解答即可。
7． 24π 12π
【分析】根据S侧＝2πrh求出圆柱的侧面积，V锥＝πr2h求出圆锥的体积。
【详解】2×π×3×4＝24π（平方分米）
π×32×4×
＝π×9×4×
＝12π（立方分米）
圆柱的侧面积是24π平方分米，与它等底、等高的圆锥的体积是12π立方分米。
【点睛】本题考查圆柱的侧面积、圆锥的体积公式的运用。
8．7
【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，圆柱的体积＝底面积×高，再据这些水的体积不变，即可求出倒入圆柱中的水的高度。
【详解】解：设圆锥的底面积为S，
则圆锥的体积为×S×21＝7S（立方厘米）
因为圆柱与圆锥等底等高，所以圆柱中水面高为：7S÷S＝7（厘米）
水深为7厘米。
【点睛】此题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法，关键是明白：水的体积不变。
9． 底面积 高 V＝Sh
【分析】把一个圆柱切开拼成一个近似长方体，拼成的长方体的体积等于圆柱的体积，长方体的底面积等于圆柱的底面积，高等于圆柱的高，因为长方体的体积＝底面积×高，由此可以推导出圆柱的体积＝底面积×高。
【详解】拼成图形的底面积相当于圆柱的底面积，高相当于圆柱的高，如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么圆柱的体积计算公式是V＝Sh。
【点睛】掌握圆柱体积公式的推导过程，理解拼成的长方体和圆柱之间的联系是解题的关键。
10． 27 18
【分析】当圆柱和圆锥等底等高时，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱的体积看作单位“1”，圆柱和圆锥体积之和是36立方厘米，根据量÷对应的分率＝单位“1”求出圆柱的体积，圆柱比圆锥大的体积占圆柱体积的（1－），最后用分数乘法求出圆柱比圆锥大的体积，据此解答。
【详解】36÷（1＋）
＝36÷
＝36×
＝27（立方厘米）
27×（1－）
＝27×
＝18（立方厘米）
所以，圆柱的体积是27立方厘米，这个圆柱的体积比圆锥的体积大18立方厘米。
【点睛】掌握等底等高的圆柱与圆锥的体积关系，并利用分数除法求出圆柱的体积是解答题目的关键。
11．62.8
【分析】通过观察图1可知，把这个圆柱沿底面直径切成两个半圆柱，表面积增加的是两个切面的面积，每个切面的长等于圆柱的高，每个切面的宽等于圆柱的底面直径；若把这个圆柱从中间切成两个圆柱（如图2），表面积就会增加25.12平方厘米，表面积增加的是与圆柱底面相等的两个切面的面积，据此可以求出一个切面（圆柱的底面）的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，可以求出圆柱的底面半径，进而求出圆柱的高，然后根据圆柱的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。
【详解】25.12÷2÷3.14
＝12.56÷3.14
＝4（厘米）
因为2×2＝4，所以圆柱的底面半径是2厘米
40÷2÷（2×2）
＝20÷4
＝5（厘米）
3.14×22×5
＝3.14×4×5
＝12.56×5
＝62.8（立方厘米）
则这个圆柱的体积是62.8立方厘米。
【点睛】此题主要考查圆柱的体积，求出圆柱的底面半径和高是解题的关键。
12．157.7536
【分析】这个圆柱的侧面展开图是一个正方形，说明这个圆柱的高和底面周长相等。底面周长＝2×3.14×半径，据此求出圆柱的底面周长，即高，再根据圆柱体积＝底面积×高，求出这个圆柱的体积即可。
【详解】高：2×3.14×2＝12.56（cm）
体积：
3.14×22×12.56
＝12.56×12.56
＝157.7536（cm3）
所以，这个圆柱的体积是157.7536cm3。
【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图和体积，熟记公式是解题关键。
13．√
【分析】根据圆柱的特征，圆柱有两个圆面，上下一样粗细。据此判断。
【详解】上下两个圆不一样大，所以它不是圆柱。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解掌握圆柱的特征及应用。
14．×
【分析】一个物体表面所有面的面积之和叫做它的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；物体所占空间的大小，叫做这个物体的体积，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此解答。
【详解】表面积：6×6×6
＝36×6
＝216（cm2）
体积：6×6×6
＝36×6
＝216（cm3）
所以，棱长为6cm的正方体的表面积是216cm2，体积是216cm3，表面积和体积的计量单位不相同不能比较大小。
故答案为：×
【点睛】理解表面积和体积是两种不同的概念，明确只有同类量才能比较大小，不是同类量无法比较大小是解答题目的关键。
15．√
【分析】由圆柱的侧面展开后是个正方形可知：这个圆柱的底面周长等于圆柱的高，利用圆的周长公式即可求解。
【详解】3.14×10＝31.4（cm）
所以，这个圆柱的高是31.4cm。
故答案为：√
【点睛】解答此题的主要依据是：圆柱的侧面展开图的特点。
16．×
【分析】根据体积的意义，物体所占空间的大小叫做物体的体积，根据容积的意义，某容器所能容纳别的物体的体积叫做容器的容积，体积、容积是两个不同的概念；据此判断。
【详解】体积、容积是两个不同的概念，因此，圆柱形容器的容积就是它的体积这种说法是错误的。
故答案为：×
【点睛】此题主要是考查体积、容积的意义。体积、容积意义不同，但计算方法与计量单位相同，度量方法不，计算体积从外面量，计算容积从里面量，一个容器壁再薄也有厚度，因此，一个物体的容积要小于它的体积。
17．√
【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，已知圆锥的体积，用圆锥的体积乘3，即可求出圆柱的体积。
【详解】63.9×3＝191.7（立方厘米）
所以与圆锥等底等高的圆柱的体积一定是191.7立方厘米。
因此题干中的结论是正确的。
故答案为：√
【点睛】此题考查的目的是理解掌握等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用。
18．282.6平方厘米；25.12立方厘米
【分析】根据圆柱的表面积公式：S＝2πr2＋πdh，用2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×12即可求出圆柱的表面积；再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，用×3.14×（4÷2）2×6即可求出圆锥的体积。
【详解】2×3.14×（6÷2）2＋3.14×6×12
＝2×3.14×32＋3.14×6×12
＝2×3.14×9＋3.14×6×12
＝56.52＋226.08
＝282.6（平方厘米）
圆柱体表面积是282.6平方厘米；
×3.14×（4÷2）2×6
＝×3.14×22×6
＝×3.14×4×6
＝25.12（立方厘米）
圆锥体的体积是25.12立方厘米。
19．329.04cm2
【分析】根据图示，图形的表面积包括正方体的表面积和圆柱的侧面积，据此解答。
【详解】3.14×6×6＋6×6×6
＝3.14×36＋216
＝113.04＋216
＝329.04（cm2）
表面积是329.04cm2。
20．125.6cm3；125.6cm3
【分析】左图：用圆柱的体积加上圆锥的体积，求出组合体的体积；
右图：将大圆柱的体积减去小圆柱的体积，求出这个几何体的体积。
【详解】3.14×22×8＋×3.14×22×6
＝100.48＋25.12
＝125.6（cm3）
3.14×（6÷2）2×8－3.14×（4÷2）2×8
＝3.14×72－3.14×32
＝3.14×（72－32）
＝3.14×40
＝125.6（cm3）
所以，这两个几何体的体积都是125.6cm3。
21．（1）1500平方米；（2）3000立方米
【分析】（1）已知长∶宽∶高的比是25∶15∶1，把长看作25份，宽看作15份，高看作1份，已知深度是2米，也就是高是2米，用2÷1即可求出1份是多少，进而求出长和宽；根据占地面积＝长×宽求出游泳池的占地面积即可。
（2）根据长方体体积公式：长方体的体积＝长×宽×高求出游泳池的容积即可。
【详解】（1）2÷1＝2（米）
长：2×25＝50（米）
宽：2×15＝30（米）
高：2×1＝2（米）
50×30＝1500（平方米）
答：这个游泳池的占地面积是1500平方米。
（2）50×30×2＝3000（立方米）
答：容积是3000立方米。
【点睛】本题主要考查了比的应用以及长方体体积公式的灵活应用。
22．（1）见详解
（2）12
【分析】（1）结合生活实际，火柴盒的外盒是一个只有左、右和上、下面的空心长方体，由火柴内盒展开图折叠可知，外盒的长是4厘米，宽是3厘米，高是1厘米；那么左右面的是长3厘米和宽1厘米围成的长方形，上下面是长4厘米和宽3厘米围成的长方形，据此画图；
（2）根据：长方体的体积＝长×宽×高，将数据代入计算即可。
【详解】|（1）外盒展开图如下：
（2）4×3×1
＝12×1
＝12（立方厘米）
所以，芳芳设计的这个火柴盒的体积是12立方厘米。
【点睛】此题考查了长方体的展开图以及体积计算，关键要有空间想象能力。
23．见详解；24立方厘米
【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）相对面的面积相等。根据长方体的展开图的“一四一”型画出其他4个面。再根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式解答。
【详解】作图如下：
4×2×3
＝8×3
＝24（立方厘米）
答：这个长方体的体积是24立方厘米。
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体体积公式的灵活运用。
24．251.2米
【分析】先求出圆锥形沙堆的体积，再用这个体积除以长方体的宽和高，求出长方体的长，据此求出铺路的长度即可。
【详解】
（米）
答：可以铺251.2米路。
【点睛】本题考查长方体、圆锥的体积，解答本题的关键是掌握长方体、圆锥的体积计算公式。
25．①50.24平方米
②2009.6元
③100.48立方米
【分析】（1）这个水池的占地面积，也就是这个圆柱形水池的底面积。先用底面直径÷2求出底面半径，再根据圆的面积求出这个水池的占地面积。
（2）先根据圆柱的侧面积求出这个水池四周的面积，再用水池四周的面积＋水池的一个底面积求出涂防渗水涂料的面积，最后用涂防渗水涂料的面积×单价20元求出一共要付的钱数。
（3）根据圆柱的体积（容积）求出这个水池的容积。
【详解】①
＝
＝3.14×16
＝50.24（平方米）
答：这个水池的占地面积是50.24平方米。
②（3.14×8×2＋50.24）×20
＝（25.12×2＋50.24）×20
＝（50.24＋50.24）×20
＝100.48×20
＝2009.6（元）
答：张大伯最少要付2009.6元。
③50.24×2＝100.48（立方米）
答：这个水池的容积是100.48立方米。
【点睛】此题考查了圆柱的底面积、侧面积、容积的计算方法。在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。
26．（1）15厘米
（2）160π立方厘米
（3）10个；4.4厘米
【分析】（1）先根据圆的底面周长公式C＝2πr，求出圆柱的底面周长；再根据圆柱的侧面积公式S侧＝Ch可知，圆柱的高h＝S侧÷C，代入数据计算即可求出圆柱形容器的高。
（2）根据“实心铁圆柱的高为圆柱形容器高的”，把圆柱形容器的高看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法求出实心铁圆柱的高；
根据“实心铁圆柱的底面半径比圆柱形容器的底面半径小”，把圆柱形容器的底面半径看作单位“1”，单位“1”已知，用乘法求出实心铁圆柱的底面半径；
然后根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这个实心铁圆柱的体积。
（3）已知实心冰圆锥的底面半径和高，根据圆锥的体积公式V＝πr2h，求出一个实心冰圆锥的体积；
已知水变成冰体积会增加，即冰的体积比水的体积增加，把水的体积看作单位“1”，冰的体积是水体积的（1＋），单位“1”未知，用除法计算，求出一个实心冰圆锥化成水后的体积；
现将实心铁圆柱体放入圆柱形容器，水要浸没实心铁圆柱体，水的高度至少等于实心铁圆柱体的高10厘米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出水和实心铁圆柱体的总体积；再减去实心铁圆柱体的体积，就是至少需要水的体积；用水的体积除以一个实心冰圆锥的体积，即可求出至少需要实心冰圆锥的个数，得数用进一法取整数。
用实心铁圆柱体的体积加上10个实心冰圆锥的体积，除以圆柱形容器的底面积，求出此时水面的高度，再用圆柱形容器的高减去水面的高度，即可求出此时水面与容器口的距离。
【详解】（1）圆柱的底面周长：2×π×10＝20π（厘米）
圆柱的高：300π÷20π＝15（厘米）
答：该圆柱形容器的高为15厘米。
（2）实心铁圆柱的高：15×＝10（厘米）
实心铁圆柱的底面半径：
10×（1－）
＝10×
＝4（厘米）
实心铁圆柱体的体积：
π×42×10
＝π×16×10
＝160π（立方厘米）
答：该实心铁圆柱体的体积是160π立方厘米。
（3）一个实心冰圆锥的体积：
×π×52×12
＝×π×25×12
＝100π（立方厘米）
一个实心冰圆锥化成水的体积：
100π÷（1＋）
＝100π÷
＝100π×
＝90π（立方厘米）
与实心铁圆柱体高相等的水的体积：
π×102×10
＝π×100×10
＝1000π（立方厘米）
恰好浸没实心铁圆柱体需要水：
1000π－160π＝840π（立方厘米）
需要实心冰圆锥：
840π÷90π≈10（个）
水面的高度：
（160π＋90π×10）÷（π×102）
＝1060π÷100π
＝10.6（厘米）
水面与容器口的距离：
15－10.6＝4.4（厘米）
答：此时水面与容器口的距离h为4.4厘米。
【点睛】本题考查圆柱底面周长、圆柱侧面积、圆柱的体积、圆锥的体积公式的灵活运用，以及分数乘除法的应用。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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