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利用“割补法”求空间几何体的体积
方法点睛：在求空间几何体的体积时，对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解，而对于不规则几何体我们可以利用“割补法”把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积．
例1（2023天津联考三模）小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面是边长为(单位:)的正方形,,,,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积是（ ）
A B C D

例2（2023·陕西渭南·统考二模）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
例3 “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为,则其外接球的表面积为( )

A. B. C. D.
【对点训练】
1. 如图是某学生在劳动实习课上制作的一个模型,该模型为圆柱中挖去圆台余下的部分,圆柱和挖去的圆台上、下底面圆的圆心重合,圆柱的底面半径和高均为,挖去的圆台上底面半径为,下底面半径为,则该模型的体积为( )
A. B. C. D.
2. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图)出土于辽宁省略左县小波汰沟.此鼎直耳,深腹,柱足中空,胎壁微薄,口沿下及足上端分别饰单层兽面纹,足有扉棱,耳、腹、足皆有炱痕.它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度),如图所示.已知球的半径为,圆柱的高近似于半球的半径,则此鼎的容积约为( )

A. B. C. D.
3. 如图是某机械零件的几何结构,该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的,且前后、左右、上下均对称,每个四棱柱的底面都是边长为的正方形,高为,且两个四棱柱的侧棱互相垂直,则这个几何体的体积为( )

A. B. C. D.
4. （2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
5．如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为(　　)
A．90π B．63π C．42π D．36π
6.（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.
7.（2023·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，．
(1)求多面体的体积；
(2)求三棱锥的体积．
．利用“割补法”求空间几何体的体积
方法点睛：在求空间几何体的体积时，对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解，而对于不规则几何体我们可以利用“割补法”把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积．
例1（2023天津联考三模）小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面是边长为(单位:)的正方形,,,,均为正三角形,且它们所在的平面都与平面垂直，则该包装盒的容积是（ ）
A B C D
【答案】A
【解析】过点作于点,过点作于点,连接.
过点,分别作,,交,于点,,
连接,,,， ,分别为,的中点,为长方体,故该包装盒可分成一个长方体和四个相等的四棱锥组合而成.
由底面是边长为的正方形可得:,
∴所求该包装盒的容积为

.
例2（2023·陕西渭南·统考二模）某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，球心到截面圆所在的平面的距离，
设截面圆的半径为，球的半径为，则，解得，所以，
所以该球的体积为，
例3 “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体,它体现了数学的对称美.如图,将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,共可截去八个三棱锥,得到八个面为正三角形,六个面为正方形的“阿基米德多面体”.若该多面体的棱长为,则其外接球的表面积为( )

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题意可得,根据该几何体的对称性可知,该几何体的外接球即为底面棱长为,侧棱长为的正四棱柱的外接球,即,所以,则该正多面体外接球的表面积,
【对点训练】
1. 如图是某学生在劳动实习课上制作的一个模型,该模型为圆柱中挖去圆台余下的部分,圆柱和挖去的圆台上、下底面圆的圆心重合,圆柱的底面半径和高均为,挖去的圆台上底面半径为,下底面半径为,则该模型的体积为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题设,圆台上底面积,下底面积,圆台体积为,
而圆柱体积为,所以该模型的体积为.
2. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎(如图)出土于辽宁省略左县小波汰沟.此鼎直耳,深腹,柱足中空,胎壁微薄,口沿下及足上端分别饰单层兽面纹,足有扉棱,耳、腹、足皆有炱痕.它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(忽略鼎壁厚度),如图所示.已知球的半径为,圆柱的高近似于半球的半径,则此鼎的容积约为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题设,此鼎的容积为半球体积与圆柱体积的和,
所以容积约为.
故选:D
3. 如图是某机械零件的几何结构,该几何体是由两个相同的直四棱柱组合而成的,且前后、左右、上下均对称,每个四棱柱的底面都是边长为的正方形,高为,且两个四棱柱的侧棱互相垂直,则这个几何体的体积为( )

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】两个四棱柱的体积和,交叉部分的体积为四棱柱的体积的倍.
在等腰三角形中,,边上的高为,则.
所以,由该几何体前后、左右、上下均对称,知:四边形ABCD为边长为的菱形. 设的中点为,连接、,由题意,得为四棱锥的高.
,所以,在中,.
所以.
因为,所以.
所以这个几何体的体积.故选:D.
4. （2023·辽宁沈阳·高二学业考试）过棱长为2的正方体的三个顶点作一截面，此截面恰好切去一个三棱锥，则该正方体剩余几何体的体积为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【解析】截去的三棱锥的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2，
三棱锥的体积为
正方体的体积为，
则该正方体剩余几何体的体积为
故选：C
5．如图，一个底面半径为3的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为4和10，则该几何体的体积为(　　)
A．90π B．63π C．42π D．36π
【答案】B
【解析】　由几何体的直观图可知，该几何体是一个圆柱截去上面虚线部分所得，如图所示．将圆柱补全，并将圆柱从点A处水平分成上下两部分．由图可知，该几何体的体积等于下部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的，所以该几何体的体积V＝π×32×4＋π×32×6×＝63π.故选B.
6.（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______.
【答案】10
【解析】由题意可得，
因为是的中点，
所以，，
，，
所以，
故答案为：10.
7.（2023·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，．
(1)求多面体的体积；
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①，
因为，即S为的中点，所以，
又，故多面体的体积为．
（2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则，
易知，又点O到平面MDC的距离为，
所以．

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