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中考数学专题训练 ：反比例函数 综合解答题及解答
一、济南中考示例：
2022济南中考 ：
25（本题满分10分）.
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴交于点B．
（1）求a，k的值；
（2）直线CD过点A，与反比例函数图象交于点C，与x轴交于点D，AC＝AD，连接CB．
① 求△ABC的面积；
② 点P在反比例函数的图象上，点Q在x轴上，若以点A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有符合条件的点P坐标．
二、针对性训练 ：
1.（2021济南中考，25题，10分 ）如图，直线y＝与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，
点A的坐标为（m，﹣3），点C是双曲线第一象限分支上的一点，
连接BC并延长交x轴于点D，且BC＝2CD．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接GB，GC，求GB + GC的最小值；
（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形ABPQ是矩形？
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2020济南中考，25题，10分 ）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，
顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，
当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
3如图1，点A(0，8)、点B(2，a)在直线y＝－2x＋b上，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过点B．
(1)求a和k的值；
(2)将线段AB向右平移m个单位长度(m＞0)，得到对应线段CD，连接AC、 BD．
①如图2，当m＝3时，过D作DF⊥x轴于点F，交反比例函数图象于点E，求的值；
②在线段AB运动过程中，连接BC，若△BCD是以BC为腰的等腰三形，求所有满足条件的m的值．
4. 如图，直线y＝ax+2与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，b）．
将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移t（t＞0）个单位长度，得到对应线段CD，
反比例函数y＝（x＞0）的图象恰好经过C、D两点，连接AC、BD．
（1）求a和b的值；
（2）求反比例函数的表达式及四边形ABDC的面积；
（3）点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y＝（x＞0）的图象上的一个点，
若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点M的坐标．
5.如图1，△ABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A（2，1），
反比例函数y=（x＞0）的图象经过的B．
（1）求点B的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，
若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；
如图3，将线段OA延长交y=（x＞0）的图象于点D，
过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．
6.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，
点A在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，点D的坐标为（4，3）．
（1）求反比例函数的关系式；
（2）若将菱形边OD沿x轴正方向平移，当点D落在函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上时，
求线段OD扫过图形的面积．
（3）在x轴上是否存在一点P使PA+PB有最小值，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．
7.如图1，直线AB与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于A（1，3）和B（3，n），
与x轴交于C，与y轴交于D．
（1）求反比例函数的表达式及n的值；
（2）将△OCD沿直线AB翻折，点O落在第一象限内的点E处，EC与反比例函数的图象交于点F，
①请求出点F的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形？
若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．
8.直线l：y= 2x+2m(m>0)与x，y轴分别交于A,B，点M是双曲线(x>0)上一点，分别连接MA、MB．
(1)如图，当点A(，0)时，恰好AB=AM，∠MAB=90°，试求M的坐标；
(2)如图，当m=3时，直线l与双曲线交于C． D两点，分别连接OC、OD，试求△OCD面积；
(3)如图，在双曲线上是否存在点M，使得以AB为直角边的△MAB与△AOB相似
如果存在，请直接写出点M的坐标；如果不存在，请说明理由.
9.如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，
过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．
（1）求m的值和直线AB的函数关系式；
（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD﹣DB向B点运动，
同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，
当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
① 设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
② 如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，
是否存在某时刻t，使得点O′恰好落在反比例函数的图象上？
若存在，求O′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．
10如图1，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴的正半轴上，点B（4，3），
反比例函数y＝（x＞0）的图象与AB、BC分别交于D、E两点，BD＝1，点P是线段OA上一动点．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）如图2，连接DE、PE、PD，求△PDE周长的最小值；
（3）如图3，当∠PDO＝45°时，求线段OP的长．
中考数学专题训练 ：反比例函数 综合解答题及解答
一、济南中考示例：
2022济南中考 ：
25（本题满分10分）.
解：（1）将点代入，得，，
将点代入，得，
反比例函数的解析式为．
①如图，过A作轴于点，过作轴于点，交于点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
②分两种情况：设，．
ⅰ、如图，当四边形为平行四边形时，
∵点向下平移1个单位、向右平移个单位得到点，
∴点向下平移1个单位，向右平移个单位得到点，
∴，，
∴．
ⅱ、如图，当四边形为平行四边形时，
∵点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴点向上平移1个单位，向左平移个单位得到点，
∴，，
∴．
综上所述，符合条件的点坐标是和．
二、针对性训练 ：
1.解：（1）将点A的坐标为（m，﹣3）代入直线y＝x中，
得﹣3＝m，
解得：m＝﹣2，
∴A（﹣2，﹣3），
∴k＝﹣2×（﹣3）＝6，
∴反比例函数解析式为y＝，
由，得或，
∴点B的坐标为（2，3）；
（2）如图1，作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，
∴BE∥CF，
∴△DCF∽△DBE，
∴＝，
∵BC＝2CD，BE＝3，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝1，
∴C（6，1），
作点B关于y轴的对称点B′，连接B′C交y轴于点G，
则B′C即为BC+GC的最小值，
∵B′（﹣2，3），C（6，1），
∴B′C＝＝2，
∴BC+GC＝B′C＝2；
（3）存在．理由如下：
①当点P在x轴上时，如图2，设点P1的坐标为（a，0），
过点B作BE⊥x轴于点E，
∵∠OEB＝∠OBP1＝90°，∠BOE＝∠P1OB，
∴△OBE∽△OP1B，
∴＝，
∵B（2，3），
∴OB＝＝，
∴＝，
∴a＝，
∴点P1的坐标为（，0）；
②当点P在y轴上时，过点B作BN⊥y轴于点N，如图2，
设点P2的坐标为（0，b），
∵∠ONB＝∠P2BO＝90°，∠BON＝∠P2OB，
∴△BON∽△P2OB，
∴＝，即＝，
∴b＝，
∴点P2的坐标为（0，）；
综上所述，点P的坐标为（，0）或（0，）．
2.解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OB＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF cos∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3），这两个点都在反比例函数图象上．
3解：（1）将点A(0，8)代入y＝－2x＋b，
得b＝8．
∴直线AB的解析式为y＝－2x＋8．
将点B(2，a)代入y＝－2x＋8，
得a＝－2×2＋8＝4．
∴点B(2，4)．
将点B(2，4)代入y＝(x＞0)，
得k＝2×4＝8．
∴反比例函数的解析式为y＝(x＞0)．
当m＝3时，D（5，4）．
∴F（5，0）．
将x＝5代入y＝，
得y＝．
∴E（5，）．
∴DE＝4－＝，EF＝．
∴＝＝．
（3）根据题意，得C（m，8），D（2＋m，4）．
∴BC2＝(m－2)2＋(8－4)2＝m2－4m＋20，
BD2＝(2＋m－2)2＋(4－4)2＝m2，
CD2＝AB2＝(2－0)2＋(4－8)2＝20．
①若BC＝CD，则m2－4m＋20＝20．
解得m1＝4，m2＝0（不合题意，舍去）．
②若BC＝BD，则m2－4m＋20＝m2．
解得m＝5．
∴满足条件的m的值为4或5．
4. 解：（1）将点A（1，0）代入y＝ax+2，得0＝a+2．
∴a＝﹣2．
∴直线的解析式为y＝﹣2x+2．
将x＝0代入上式，得y＝2．
∴b＝2．
（2）由（1）知，b＝2，∴B（0，2），
由平移可得：点C（2，t）、D（1，2+t）．
将点C（2，t）、D（1，2+t）分别代入y＝，得
∴．
∴反比例函数的解析式为y＝，点C（2，2）、点D（1，4）．
如图1，连接BC、AD．
∵B（0，2）、C（2，2），
∴BC∥x轴，BC＝2．
∵A（1，0）、D（1，4），
∴AD⊥x轴，AD＝4．
∴BC⊥AD．
∴S四边形ABDC＝×BC×AD＝×2×4＝4．
（3）①当∠NCM＝90°、CM＝CN时，
如图2，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G．过点M作MF⊥直线l于点F，交x轴于点H．过点N作NE⊥直线l于点E．
∵∠MCN＝90°，
∴∠MCF+∠NCE＝90°．
∵NE⊥直线l于点E，
∴∠ENC+∠NCE＝90°．
∴∠MCF＝∠ENC．
又∵∠MFC＝∠NEC＝90°，CN＝CM，
∴△NEC≌△CFM（AAS）．
∴CF＝EN＝2，FM＝CE．
∴FG＝CG+CF＝2+2＝4．
∴xM＝4．
将x＝4代入y＝，得y＝1．
∴点M（4，1）；
②当∠NMC＝90°、MC＝MN时，
如图3，过点C作直线l⊥y轴与点F，则CF＝xC＝2．
过点M作MG⊥x轴于点G，MG交直线l与点E，则MG⊥直线l于点E，EG＝yC＝2．
∵∠CMN＝90°，
∴∠CME+∠NMG＝90°．
∵ME⊥直线l于点E，
∴∠ECM+∠CME＝90°．
∴∠NMG＝∠ECM．
又∵∠CEM＝∠NGM＝90°，CM＝MN，
∴△CEM≌△MGN（AAS）．
∴CE＝MG，EM＝NG．
设CE＝MG＝n，则yM＝n，xM＝CF+CE＝2+n．
∴点M（2+n，n）．
将点M（2+n，n）代入y＝，得n＝．
解得n1＝﹣1，n2＝﹣﹣1（因为点M在第一象限，所以n大于0，所以舍去）．
∴xM＝2+n＝+1．
∴点M（+1，﹣1）．
综合①②可知：点M的坐标为（4，1）或（+1，﹣1）．
解：（1）如图1中，
∵四边形OABC是平行四边形，∴AB=OC=3，
∵A（2，1），∴B（2，4），把B（2，4）代入y=中，得到k=8，∴反比例函数的解析式为y=．
（2）如图2中，设K是OB的中点，则K（1，2）．
∵直线OB的解析式为y=2x，
∴直线MN的解析式为y=﹣x+，
∴N（0，），
∴ON=．
（3）结论：BF=DE．理由如下：
如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=，DM=．
∵△EDM∽△EBN，
∴=，
∴=，可得a=n，
∵NK∥EF，
∴∠KNO=∠DEM，∠KON=∠DME=90°，ON=EM，
∴△KNO≌△DEM，
∴DE=KN，
∵FK∥BN，NK∥FB，
∴四边形NKFB是平行四边形，
∴NK=BF，
∴BF=DE．
6.解：（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F，如图1所示．
∵点D的坐标为（4，3），
∴OF＝4，DF＝3，
∴OD＝＝5．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD＝OD＝5，
∴点A坐标为（4，8）．
∵点A在反比例函数y＝的图象上，
∴k＝4×8＝32，
∴反比例函数的关系式为y＝（x＞0）.
（2）将OD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数y＝的图象D′点处，过点D′做x轴的垂线，垂足为F′，如图2所示．
∵DF＝3，
∴D′F′＝3，
∴点D′的纵坐标为3，
∵点D′在反比例函数y＝的图象上，
∴3＝，解得：x＝，
∴点D′坐标为（，3），
∴DD′＝﹣4＝．
又∵OD扫过图形为平行四边形，
∴平行四边形面积＝×3＝20．
（3）存在．
作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，此时PA+PB取最小值，如图3所示．
∵OB＝OD＝5，
∴点B的坐标为（0，5），
∴点B′的坐标为（0，﹣5）．
设直线AB′的关系式为y＝kx+b（k≠0），
将A（4，8），B′（0，﹣5）代入y＝kx+b得：，
解得：，
∴直线AB′的关系式为y＝x﹣5．
当y＝0时，x﹣5＝0，
解得：x＝，
∴PA+PB最小时，点P的坐标为（，0）．
7.解：（1）∵点A（1，3）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝1×3＝3，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∵点B（3，n）在反比例函数y＝的图象上，∴3n＝3，∴n＝1；
（2）①由（1）知，n＝1，
∴B（3，1），设直线AB的解析式为y＝ax+b，
∵点A（1，3），B（3，1）在直线AB上，∴，∴，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
令x＝0，则y＝4，∴D（0，4），∴OD＝4，
令y＝0，则﹣x+4＝0，∴x＝4，∴C（4，0），∴OC＝4，∴OC＝OD，
∵∠COD＝90°，∴∠OCD＝∠ODC＝45°，
由折叠知，∠OCD＝∠ECD＝45°，∴∠OCE＝90°，∴CE⊥x轴，
∴点F的横坐标为4，∴y＝，∴F（4，）；
②存在，理由：假设存在，设P（m，0），
由①知，F（4，），D（0，4），
∴PF2＝（m﹣4）2+（）2，PD2＝m2+42，DF2＝42+（﹣4）2，
∵△DPF是以DF为斜边的直角三角形，
∴DF2＝PF2+PD2，
∴42+（﹣4）2＝（m﹣4）2+（）2+m2+42，
∴m2﹣4m+3＝0，∴m＝1或m＝3，
即在x轴上是存在点P，点P（1，0）或（3，0），使得△DPF是以DF为斜边的直角三角形．
8.解：(1)把A(，0)代入y= 2x+2m得：+2m=0，
解得：m=.
则直线的解析式是：y= 2x+，
令x=0,解得y=，
则B的坐标是(0, ).
如图所示，作ME⊥x轴于点E.
∵∠BAM=90°，
∴∠BAO+∠MAE=90°，
又∵直角△AEM中,∠AME+∠MAE=90°，
∴∠BAO=∠AME.
在△OAB和△EMA中，
∴△OAB≌△EMA(AAS)，
∴ME=OA=,AE=OB=.
∴OE=OA+AE=，
则M的坐标是(，)；
(2)当m=3时，一次函数的解析式是y= 2x+6.
解不等式组，
得或，
则D的坐标是(1,4),C的坐标是(2,2).
如图，作DF⊥y轴于点F，CG⊥y轴,则F和G的坐标分别是(0,4)，(0,2).
则S△OCG=S△ODF=×4=2，
S梯形CDFG=×(1+2)×(4 2)=3，
则S△OCD=S梯形CDFG+S△OCG S△ODF=3;
(3)如图，作MH⊥x轴于点H.
则△AOB、△ABM、△AMH都是两直角边的比是1:2的直角三角形.
①当∠BAM=∠BOA=90°时，OA=m，OB=2m，得：
AM=AB=m，MH=OA=；
从而得到点M的坐标为(2m, ).
代入双曲线解析式为：=，
解得：m=2,则点M的坐标为(4,1)；
同理当∠BAM=∠OBA时,可求得点M的坐标为(，).
②当∠ABM=90°时，过点M作MH⊥y轴于点H，
则△AOB、△ABM、△BMH都是直角边的比是1:2的直角三角形；
当∠AMB=∠OAB时，OB=m，OA=2m，
得：AH=2OB=2m，MH=2OA=4m，
从而点M的坐标为(4m,4m)
代入双曲线的解析式得：4m×4m=4，
解得：m=,点M的坐标为(2,2)；
同理,当∠AMB=∠OBA时,点M的坐标为(,).
综上所述，满足条件的点M的坐标是：（4，1），（2，2），（，），（，）.
9.解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=的图象上，
∴m=8×1=8，∴y=，∴8=，即n=1，
设AB的解析式为y=kx+b，
把（8，1）、B（1，8）代入上式得：
，解得：．
∴直线AB的解析式为y=﹣x+9；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，
当P在OD上运动时，
S==t2（0＜t≤4），
当P在DB上运动时，
S=t×8=4t（4＜t≤4.5）；
②存在，
当O′在反比例函数的图象上时，
作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，
则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，
由题意知：∠PO′Q=∠POQ，∠QO′F=90°﹣∠PO′E，
∠EPO′=90′﹣∠PO′E，
∴△PEO′∽△O′FQ，
∴，
设QF=b，O′F=a，
则PE=OF=t+b，O′E=2t﹣a，
∴，
解得：a=，b=，
∴O′（t， t），
当O′在反比例函数的图象上时，
，
解得：t=±，
∵反比例函数的图形在第一象限，
∴t＞0，∴t=．∴O′（4，2）．
当t=个长度单位时，O′恰好落在反比例函数的图象上．
10解：（1）∵点B的坐标为（4，3），
∴OC＝AB＝3，OA＝BC＝4．
∵BD＝1，
∴AD＝2，
∴点D的坐标为（4，2）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象过点D，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的关系式为y＝．
当y＝3时，3＝，解得：x＝，
∴点E的坐标为（，3）．
（2）在图2中，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，连接PD，此时PD+PE取得最小值，最小值为D′E．
∵点D的坐标为（4，2），
∴点D′的坐标为（4，﹣2）．
又∵点E的坐标为（，3），
∴D′E＝＝．
∵BE＝4﹣＝，BD＝1，
∴DE＝＝，
∴△PDE周长的最小值＝D′E+DE＝+＝.
（3）在图3中，过点P作PF⊥OD于点F，则△PDF为等腰直角三角形．
∵OA＝4，AD＝2，
∴OD＝＝2．
设AP＝m，则OP＝4﹣m，
∴PD＝＝．
∵△PDF为等腰直角三角形，
∴DF＝PF＝PD＝，
∴OF＝OD﹣DF＝2﹣．
∵OF2+PF2＝OP2，即（2﹣）2+（）2＝（4﹣m）2，
整理得：3m2+16m﹣12＝0，
解得：m1＝，m2＝﹣6（不合题意，舍去），
∴OP＝4﹣m＝．

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