资源简介

(共23张PPT)
余弦定理
课堂教学部分
一、引言
我们知道，三角形两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的. 也就是说，已知三角形两边及其夹角，其他的边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么？这就是本节课我们主要探讨的问题.
二、研究探讨
探究：在中，三个角所对的边分别是，怎样用和表示？
问题1 在中，记,,, 那么在中，用和表示的本质就是用和向量的夹角来表示，你能表示出来吗？
因为
故
所以
同理可得
解：
三、概念形成
通过以上探究，我们得到了三角形边角关系：
三角形任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.
余弦定理
探究思考：你还能用其它方法证明余弦定理吗？
问题2 在问题1中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？
解：如图所示，以点为坐标原点建立直角坐标系，
根据任意角三角函数的定义，
,
则有,
所以
同理可得
则有
解：当为直角时，根据勾股定理得
当为锐角时，如问题1(2)图，,
,
.
当为钝角时，如问题1(3)图，,
,
,
.
综上，一般情况时，都有
问题3 我们发现，当三角形其中一个角为时，余弦定理就是初中阶段所学 的勾股定理，那你能否用平面几何方法证明余弦定理呢
同理可得
四、概念深化
问题4 (1)根据余弦定理，我们可以从三角形已知的两条边及其夹角直接求出第三边，其余的两个角如何求呢？
根据余弦定理，可以得到下列推论
(2)一般地，三角形的三个角和它们的对边叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫做解三角形. 已知三角形的哪些元素，可以使用余弦定理及推论来解？
已知三角形两边及其夹角和已知三边,都可以可以使用余弦定理来解.
五、应用举例
例1 在中，已知,, ,解这个三角形(角度精确到，边长精确到1cm).
分析：这是已知三角形的两边及其夹角的解三角形问题，故先使用余弦定理求出第三边，然后根据推论求出其余的角.
解：由余弦定理，得
所以
根据余弦定理的推论，得
可得
所以.
计算器
练习 在中，,锐角满足，求(已知)
分析：由条件可求,再利用余弦定理及其推论可求出的值.
解：因为,且为锐角，
所以
由余弦定理，得
所以
进而
考虑，
，
又,故.
六、归纳总结
(2)余弦定理可以解决哪些解三角形问题？蕴含了什么思想？
(1)比较余弦定理的三种证法，总结其思想方法.
问题3
坐标法
向量法
几何直观，代数精确，向量兼具数与形,更加强大！
问题1
问题2
几何法
代数法
可以解决“SAS、SSS”问题，本质是方程的思想.
我国著名数学家华罗庚说过：
“数缺形时少直观，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休”.
七、课后作业
教材第44页练习第1-3题.
教学阐述部分
教学内容及解析
学情分析
教学目标
教学过程设计
重难点的突破
【教学内容及解析】
（一）教学内容
余弦定理的推导；余弦定理及推论；利用余弦定理解三角形.
（二）教学内容解析
余弦定理是解决斜三角形问题的一个重要定理，是初中”勾股定理”内容的直接延拓，也是三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体应用。教材安排在向量的应用这章节，旨在通过向量的方法研究三角形边与角的数量关系，从而把初中阶段对三角形边与角的定性描述转化为定量计算。余弦定理与下一节的正弦定理成为解三角形问题的重要定理.
【学情分析】
一方面，学生在初中阶段已经知道：已知三角形的两边及夹角，那么这个三角形是唯一确定的，对此有一个定性的认识，不过还不能定量去描述它们的关系。另一方面，学生学习余弦定理之前已经学习了向量和三角函数等相关知识，具备自主探究推导余弦定理的知识储备.
教学目标：
1. 通过问题探究，学生能运用向量推导出余弦定理，发展学生的逻辑推理能力，达到逻辑推理核心素养水平一的要求；
2. 通过多种方法证明余弦定理，发展培养学生的数学思想方法；
3.通过解决简单的解三角形问题，巩固学生对余弦定理的理解与应用，达到数学运算核心素养水平一的要求.
【教学重难点】
重点：1.探究和证明余弦定理的过程；
2.运用余弦定理解三角形.
难点：余弦定理的证明.
【教学过程设计】
提出问题
问题1
数学背景
分层递进`
向量法
余弦定理
余弦定理的推论
解三角形
问题2
问题3
坐标法
几何法
【重难点突破】
问题1在中，记,,, 那么在中，用和表示的本质就是用和向量的夹角来表示，你能表示出来吗？
问题2 在问题1中我们是用向量的线性运算和数量积来得到余弦定理的，那你能否利用向量的坐标运算证明余弦定理呢？
问题3 我们发现，当三角形其中一个角为时，余弦定理就是初中阶段所学的勾股定理，那你能否用平面几何方法证明余弦定理呢？
【设计意图】学生刚学完向量，通过问题1的引导，可以得到问题1的解答，从而得到余弦定理.问题1的解答是利用向量的线性运算和数量积运算，向量还有坐运算，由此设计了问题2，帮助学生更全面的应用向量，在运算过程中需要注意B点坐标的求法.问题3的设置目的是鼓励学生建立数学知识之间的联系，培养学生解题思维的灵活性，比较起来也更进一步说明了向量强大之处！
谢谢

展开更多......

收起↑