资源简介

第五节：数列的求和和综合应用
一、知识概要
数列求和的常用方法：
1、直接法：对于等差数列、等比数列，以及可以通过变形化为这两种数列的数列求和，可直接应用求和公式；
等差数列求和公式：
等比数列求和公式：

2、利用等差数列或等比数列的性质；
3、裂项相减法：如果一个数列的每一项都可拆为两项之差，且拆后相邻两项（有时隔项）之间消去一部分；
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
(6)
(7)
(8)

4、错位相减法：如果数列是等差数列，是等比数列，则数列 的前项和都可用此法求之；
5、通项展开法：从通项公式入手，把握住与的多项式的特征，将一个数列的求和转化为两个基本数列（等差数列或等比数列）的求和．
数列与不等式综合问题：
通常要利用到数列的单调性比较大小，方法有：
1.利用放缩法，把数列转化为特殊数列或可用特殊方法求出通项或前项和的数列；
2.利用函数思想，把数列看成关于与的函数进行求解．
二、例题讲解
例1、在数列中，，
（1）求证：数列为等差数列，并求的通项；
（2）若对任意的整数恒成立，求实数的取值范围；
（3）设数列，的前项和为，求证：．
解：（1）由得：
又，∴数列是首项为1，公差为3的等差数列
∴，即：
（2）∵对任意的整数恒成立，即恒成立
∴对任意的整数恒成立
设，则
∴当时，为递增数列 ∴
所以的取值范围为：
（3）由，得
所以，
．
例２、设，数列满足,
（1）求数列的通项公式；（2）证明：对于一切正整数，．
解：（1）由，
令
当


①当
②当时，

（2）当
只需



综上所述．
例３、已知数列前项和.数列满足，数列满足．
（1）求数列和数列的通项公式；（2）求数列的前项和；
（3）若对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
解：（1）由已知得，当时，

又，符合上式．故数列的通项公式
又∵，∴，
故数列的通项公式为，
（2），
，……①
，……②
①-②得
，
∴
（3）∵,
∴
,
当时，；当时，，∴
若对一切正整数恒成立，则即可，
∴，即或．
例4、设数列满足，其前项和乘积
(1)证明是等比数列；
(2)求中所有不同两项的乘积之和．
证明：(1)由题意，
从而，所以是公比为的等比数列．
(2) 中所有不同两项的乘积之和为：
当即时，
当即时，．
例５、定义在上的函数，
(1)求；
(2)是否存在常数，使得，有．
解：(1)．
(2)
．．．
所以，当时，无界
所以不存在常数，使得，有．
例６、某人总贷款为元，还款期限为月，设月利率为，问：
(1)若采取等额本息还款法，则每月还款额是多少？
(2) 若采取等额本金还款法，则第个月还款额是多少？
解：(1)；
(2)．
例７、已知，满足且
，求证：
．
证明：
则中每一个数要么是，要么是
，设其中有个，个
所以
因为为奇数，所以，于是
从而，所以．

展开更多......

收起↑