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第二节：函数的性质
一、反函数
定义：只有满足，函数才有反函数．
注：（１）同一坐标系中，函数和它的反函数图象关于对称；
（２）单调函数必有反函数，反之不一定成立．例；
（３）不为的反函数．
二、函数的性质
(1)单调性：在区间上单调递增，有；
在区间上单调递减，有；
(2)奇偶性：为偶函数；
为奇函数．
(3)对称性
（a）自对称：若，则函数关于直线对称；
若，则函数关于点对称；
(b)互对称：函数和函数关于直线对称；
函数和函数关于点对称．
(4)周期性
（a），则函数的最小正周期为；
（b），则函数的最小正周期为；
（c），则函数的最小正周期为；
（d）若函数有2条对称轴，则函数为周期函数，．
三、例题讲解
例1、求函数的反函数．
解：由得

所以，反函数为．
例2、设函数的定义域为，给出下列命题：(1)若为偶函数，则的图象关于轴对称；(2) 若为偶函数，则的图象关于轴对称；(3)若，则的图象关于对称；(4)和
的图象关于直线对称，其中正确的命题序号为 .
解：（2）（4）
例3、若为定义在上的函数，且，则函数的奇偶性和周期性如何．
解法一：画简图说明
解法二：
所以为奇函数
又
所以的周期为．
例4、已知函数，的图象的对称中心为，则等于 .
解：易知原函数的对称中心为
函数的对称中心为
所以：.
例5、函数的定义域为，且恒满足和，当时，，求函数的解析式.
解：，
例6、设为一个从实数集映射到自身的函数，并且对任何均有以及
，求证：为周期函数.
证明：
则
即：………………………………(1)
又
即：…………………………(2)
由⑴⑵得：
即：
因此：
又，所以有界，
所以为周期函数.
例7、设函数式严格递增的，且对每个，都有，求证：对每一个都有.
证明：由严格单调递增且取整数值得
从而时有
取得
又.
作业
1.已知偶函数的定义域为，且恒满足，若方程在区间上只有三个实根，且一根为4，求方程在区间中的所有根.
解：-6，-4，-2,0,2,4,6,8,10
2.若函数在区间上的最小值为，最大值为，求的值.
解：或
3.(1)方程和的实根分别为和，则= .
(2)设，若方程的解为，则方程的解为 .
解：(1)-1 (2)
4.当时，求函数的值域.
5.设，求证：.
解：构造函数
6.试求方程的解集中各元素之和的整数部分.
解：5

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