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不等式
一、知识精讲
基本不等式
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
二、一元二次函数（方程、不等式）
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
不等式 解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数的图象
一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
5、分式不等式解法
（1）（2）
（3）（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
【补充两个重要结论】（1）一元二次不等式对任意实数恒成立
（2）一元二次不等式对任意实数恒成立
二、考法分析
考法一、利用基本不等式求最值
配凑法
1、当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3、（2022·安徽省蚌埠第三中学高三开学考试）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4
4、（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数满足，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2）“1”的代换
5、（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知，均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．16 B．4 C．24 D．12
6、（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
7、（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知为正实数，且，则的最小值为__________.
（3）二次与二次（一次）商式
8、（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
9、（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
10、（2022·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.
11、（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
（4）条件等式求最值
12、（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知，，若，则xy的最小值是（ ）
A． B． C． D．
13、（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
14、（2022·江苏·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
15、（2022·重庆·高三期末）已知，，，则的最小值为______．
考法二、利用基本不等式求参数值或取值范围
1、（2022·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
4、（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
考法三、利用基本不等式解决实际问题
1、（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
2、（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
3、（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ）
A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙
4、（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
5、如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米，当=_______时，矩形花坛的面积最小.
考法四、基本不等式等号不成立，优先对勾函数
1、（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2、（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3、（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．不存在
4、（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5、（2022·全国·高二课时练习）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0 B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值 D．有最大值为，无最小值
考法五、一元二次（分式）（绝对值）不等式解法（不含参）
1、（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2、（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
3、（2022·河南·信阳高中高一期末（理））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
4、不等式的解集为________________
5、不等式的解集是________________
考法六、一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；
如：，最高项系数为讨论时，从开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如两根分别为：，，讨论时从开始讨论
③根是否在定义域内：
如此时两根，，讨论时注意（舍去）
1、解关于的不等式：
2、解关于的不等式：.
考法七、一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
1、已知一个一元二次不等式的解集为.
若关于的一元二次不等式为，求、的值。
若关于的一元二次不等式为，求关于的一元二次不等式的解集。
2、已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则______．
3、关于x的不等式的解集为，其中，求不等式的解集.
考法八、一元二次不等式恒成立问题
①上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
1、（2022·福建宁德·高一期末）不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
2、（2022·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
3、（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高三阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
4、（2021·全国·高三课时练习）若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
②上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
5、（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））如果“，使.”是真命题，那么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6、（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．）D．
7、（2022·江苏南通·高一期末）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
8、（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
③上恒成立（优选分离变量法）
9、（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
11、（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
12、（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13、（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14、设函数．
(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；
(2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围．
④上恒成立（优选分离变量法）
15、（2021·河南信阳·高二期中（理））若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
16、（2021·安徽·池州市第一中学高一期中）若关于x的不等式在上有解则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
17、（2021·河南·高二期中（理））已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
18、（2021·山西·大同一中高一期中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19、（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围是__________．
⑤已知参数，求取值范围（变更主元法）
20、（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
21、（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
22、（2021·全国·高一课时练习）对任意的，函数的值总大于0，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
23、（2021·江西吉安·高一期中）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
三、巩固练习
一、单选题
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
3．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab满足，则的最小值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．40
4．（多选）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
5.（多选）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
6.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
7.（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
B．
C． D．
8．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
9．（2022·江苏南京·高一期末）已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·重庆八中高一期末）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
12．三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：
甲：，可用基本不等式求解；
乙：，可用二次函数配方法求解；
丙：，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，
可求得当 时，（，）有最小值
13．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
14．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田，其中.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域试种新品种的西红柿，点E在边上，则该矩形区域的面积最大值为___________.
15．（2022·河南驻马店·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________.
16．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.
17．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
18．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
19、某网店有3（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品（万件），经市场调查测算，
花费（万元）进行促销后，商品的剩余量与促销费之间的关系为
（其中为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品.
（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费至少为多少（万元）？
（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平
均成本为（元），若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每
件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费为多少（万元）时，该网店售出商品的
总利润最大？此时商品的剩余量为多少？第2讲 不等式
基本不等式
1、基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱）
①如果，，，当且仅当时，等号成立．
②其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数．
2、两个重要的不等式
①（）当且仅当时，等号成立．
②（）当且仅当时，等号成立．
3、利用基本不等式求最值
①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值；
②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值；
4、常用技巧
利用基本不等式求最值的变形技巧——凑、拆（分子次数高于分母次数）、除（分子次数低于分母次数））、代（1的代入）、解（整体解）.
①凑：凑项，例：；
凑系数，例：；
②拆：例：；
③除：例：；
④1的代入：例：已知，求的最小值.
解析：.
⑤整体解：例：已知,是正数，且，求的最小值.
解析：，即，解得.
二、一元二次函数（方程、不等式）
1、二次函数
（1）形式：形如的函数叫做二次函数.
（2）特点：
①函数的图象与轴交点的横坐标是方程的实根.
②当且()时，恒有()；当且()时，恒有().
2、一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
3.或型不等式的解集
不等式 解集
4、一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系
判别式
二次函数的图象
一元二次方程 的根 有两相异实数根，() 有两相等实数根 没有实数根
一元二次不等式 的解集
一元二次不等式 的解集
5、分式不等式解法
（1）（2）
（3）（4）
6、单绝对值不等式
（1）
（2）
【补充两个重要结论】（1）一元二次不等式对任意实数恒成立
（2）一元二次不等式对任意实数恒成立
考法一、利用基本不等式求最值
配凑法
1、当时，的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，，，又，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为故选：B
2、（2022·山西·怀仁市第一中学校二模（文））函数的最小值为（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】D，因为，所以3x－1>0，所以，当且仅当，即x =1时等号成立，故函数的最小值为5．故选：D．
3、（2022·安徽省蚌埠第三中学高三开学考试）已知x>3，则对于，下列说法正确的是（ ）
A．y有最大值7 B．y有最小值7 C．y有最小值4 D．y有最大值4
【答案】B，解：因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以有最小值；故选：B
4、（2022·江苏省天一中学高一期末）设实数满足，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A，，函数，当且仅当，即时取等号．因此函数的最小值为3．故选：A．
（2）“1”的代换
5、（2022·河南·夏邑第一高级中学高二期末（文））已知，均为正数，若，则当取得最小值时，的值为（ ）
A．16 B．4 C．24 D．12
【答案】A，因为，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，，所以.
故选：A.
6、（2022·安徽·高三阶段练习（文））已知，，，则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．6
【答案】C，解：因为，，，所以，当且仅当，即，时取等号；故选：C
7、（2022·四川·泸县五中高二开学考试（文））已知为正实数，且，则的最小值为__________.
【答案】##，
，当且仅当时等号成立.故答案为：
（3）二次与二次（一次）商式
8、（2022·全国·高三专题练习（理））若 ，则有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值
【答案】A，因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A
9、（2022·全国·高三专题练习）函数的最大值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．-1
【答案】D，
，当且仅当,即等号成立.故选：D.
10、（2022·上海·高三专题练习）若，则函数的最小值为___________.
【答案】3
由题意，，
因为，所以，当且仅当，即时等号成立.所以函数的最小值为3.故答案为：3.
11、（2022·全国·高三专题练习）求下列函数的最小值
（1）；
（2）.
【答案】（1）3；（2）10.（1）∵（当且仅当，即x=1时取等号）的最小值为3；
（2）令，则，
当且仅当即t=3时取等号y的最小值为10
（4）条件等式求最值
12、（2022·陕西咸阳·高二期末（文））已知，，若，则xy的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C，因为，，由基本不等式得：，所以，解得：，当且仅当，即，时，等号成立故选：C
13、（2022·全国·高三专题练习）已知，且，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．7 D．6
【答案】D【详解】,,当且仅当，即时等号成立，解得或（舍去），的最小值为6故选：D
14、（2022·江苏·高三专题练习）已知，且满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】C，由可得，又因为，，所以，当且仅当即时等号成立，所以的最小值为8，故选：C
15、（2022·重庆·高三期末）已知，，，则的最小值为______．
【答案】4，解：由题知由基本不等式得，即，
令，，则有，整理得，解得(舍去)或，
即，当且仅当时等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：4.
考法二、利用基本不等式求参数值或取值范围
1、（2022·全国·高三专题练习）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D当时，（当且仅当时取等号），，即的取值范围为.故选：D.
2、（2022·浙江·高三专题练习）若关于的不等式在区间上恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B当时，由可得，则，
由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，.故选：B.
3、（2022·全国·高三专题练习）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
【答案】D，由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，，当且仅当时取等所以．故选：D．
4、（2022·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．D．
【答案】A，因为，，且，所以，当且仅当时，等号成立；
又不等式恒成立，所以只需，即，解得.故选：A.
考法三、利用基本不等式解决实际问题
1、（2022·北京市十一学校高二期末）某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　）
A．72元 B．300元 C．512元 D．816元
【答案】D，设这个箱子的箱底的长为x m，则宽为 m，设箱子总造价为f (x)元，
∴f (x)＝15×16+12×3(2x)＝72(x)+240≥144240＝816，当且仅当x，即x＝4时，f（x）取最小值816元．故选：D．
2、（2022·河南开封·高一期末）中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ）
A．6 B． C．12 D．
【答案】B，由题意得：，
，当且仅当，即时取等号，故选：B．
3、（2022·江苏常州·高一期末）2021年初，某地区甲、乙、丙三位经销商出售钢材的原价相同．受钢材进价普遍上涨的影响，甲、乙计划分两次提价，丙计划一次提价．设，甲第一次提价，第二次提价；乙两次均提价；丙一次性提价．各经销商提价计划实施后，钢材售价由高到低的经销商依次为（ ）
A．乙、甲、丙 B．甲、乙、丙
C．乙、丙、甲 D．丙、甲、乙
【答案】A，设提价前价格为1，则甲提价后的价格为：，
乙提价后价格为：，
丙提价后价格为：，因为，所以，
所以，即乙>甲>丙.故选：A
4、（2022·河南·模拟预测（理））一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里购买10黄金，售货员先将5的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客.若顾客实际购得的黄金为，则（ ）
A． B． C． D．以上都有可能
【答案】A，由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则，
再设先称得黄金为，后称得黄金为，则，，
，，，
当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立，即.
因此，顾客购得的黄金.故选：A.
5、如图所示，将一矩形花坛扩建为一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米，当=_______时，矩形花坛的面积最小.
【答案】4，设，则由得，解得，
∴矩形的面积为，当且仅当，即时等号成立．故答案为：4．
考法四、基本不等式等号不成立，优先对勾函数
1、（2022·重庆南开中学模拟预测）已知命题：“”为真命题，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B，命题p：“，”，即，设，对勾函数在时取得最小值为4，在时取得最大值为，故，故选：B．
2、（2022·浙江·高三专题练习）若不等式对一切恒成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C，若不等式对一切恒成立，则，即，在单调递增，，所以.故选：C
3、（2022·全国·高三专题练习）函数的最小值为（ ）
A．2 B． C．1 D．不存在
【答案】B，令，函数在上是增函数，在上也是增函数．当，即，时，．故选：B．
4、（2022·新疆·石河子第二中学高二阶段练习）已知函数，，若，，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A，解：，使得，等价于， ，由对勾函数的单调性知在上单调递减，所以，又在上单调递增，所以，
所以，解得，所以实数的取值范围是.故选：A.
5、（2022·全国·高二课时练习）函数在区间上（ ）
A．有最大值为，最小值为0 B．有最大值为，最小值为0
C．有最大值为，无最小值 D．有最大值为，无最小值
【答案】A，当时，，
设，易知在上单调递增，故.，，当时，，双勾函数在上单调递减，在上单调递增，且，故，，综上所述：，，即，.故选：A.
考法五、一元二次（分式）（绝对值）不等式解法（不含参）
1、（2022·河北·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，解不等式 ， ，解不等式 得， ， ；故选：B.
2、（2022·湖南·高一课时练习）下面四个不等式中解集为空集的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D对于A选项，解不等式得，A不满足条件；
对于B选项，由得，该不等式的解集为，B不满足条件；对于C选项，由可得，解得或，C不满足条件；
对于D选项，因为，故不等式的解集为空集，D满足条件.故选：D.
3、（2022·河南·信阳高中高一期末（理））设集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C，，即，解得：，故解得：，又，故，故.故选：C
4、不等式的解集为________________
【答案】
5、不等式的解集是________________
【答案】
考法六、一元二次不等式解法（含参）
一元二次不等式解法（含参问题）谈论三原则：
①最高项系数含参，从参数等于0开始讨论；
如：，最高项系数为讨论时，从开始讨论.
②两根大小不确定，从两根相等开始讨论；
如两根分别为：，，讨论时从开始讨论
③根是否在定义域内：
如此时两根，，讨论时注意（舍去）
1、解关于的不等式：
【答案】
2、解关于的不等式：.
【答案】由得，
∵，
当，即时，不等式的解为或.
当，即时，不等式的解为或，
当，即时，不等式的解，
所以当时原不等式的解集为，
当时原不等式的解集为，
当时不等式的解集为.
考法七、一元二次不等式与相应的二次函数（方程）的关系
1、已知一个一元二次不等式的解集为.
若关于的一元二次不等式为，求、的值。
若关于的一元二次不等式为，求关于的一元二次不等式的解集。
【答案】
2、已知a为常数，若关于x的不等式的解集为，则______．
【答案】，因关于x的不等式的解集为，则，2是方程的两个根，因此有，解得，所以.
3、关于x的不等式的解集为，其中，求不等式的解集.
【答案】
考法八、一元二次不等式恒成立问题
①上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
1、（2022·福建宁德·高一期末）不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B．或
C． D．
【答案】A，不等式恒成立，当时，显然不恒成立，
所以，解得：.故选：A.
2、（2022·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，当时，，对恒成立；
当时，若，对恒成立，
则必须有，解之得，
综上，的取值范围为.故“对恒成立”的一个充要条件是，故选：B
3、（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高三阶段练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】C，当时，，不符合题意，所以舍去；
当时，由题得且，所以.
综上：.故选：C
4、（2021·全国·高三课时练习）若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A，解：原不等式等价于，
①当时，对任意的不等式都成立；
②当时，，所以；
③当时，显然不能成立.
综合①②③，得的取值范围是.故选：A
②上恒成立
二次型+（范围）优选法（注意最高项系数含参数，从0开始讨论）
5、（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（文））如果“，使.”是真命题，那么实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
“，使.”是真命题，
∴，则或.
故选：B
6、（2020·宁夏·隆德县中学高三阶段练习（理））已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围（ ）
A． B． C．）D．
【答案】D，由题意，命题“，”是真命题
故，解得或.则实数的取值范围是故选：D.
7、（2022·江苏南通·高一期末）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】A，若命题“”是真命题，即有解，
则对应的判别式，即，解得，故选：A
8、（2021·山西·朔州市平鲁区李林中学高一阶段练习）若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D，即函数的最小值小于0即可，，故，解得：故选：D
③上恒成立（优选分离变量法）
9、（2022·海南·嘉积中学高一阶段练习）对任意的，恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D，当时，由得：，
（当且仅当，即时取等号），，解得：，
即的取值范围为.故选：D.
10、（2021·河北·石家庄市藁城区第一中学高三开学考试）若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为　　
A． B． C． D．
【答案】B，解：当时，不等式恒成立；当时，由题意可得恒成立，
由，当且仅当时，取得等号．所以，解得．
综上可得，的取值范围是．故选：B．
11、（2021·福建·泉州市第六中学高一期中）已知关于的不等式对任意恒成立，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A，因为关于的不等式对任意恒成立，
所以，令，，所以当时，取得最小值，所以故选：A
12、（2021·黑龙江·鸡西市第一中学校高一期中）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，解：因为在上恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，令，任取，
则，
因为，所以，所以，即，
所以函数在上递增，所以，所以.故选：B.
13、（2022·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A，解：因为对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，因为当，，
所以，，即m的取值范围是故选：A
14、设函数．
(1)若不等式的解集是，求不等式的解集；
(2)当时，在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)或(2)
(1)因为不等式的解集是，所以是方程的解由韦达定理解得
故不等式为，
即解得或
故不等式得其解集为或
(2)当时，在上恒成立，
所以 令，则
令，则，
由于均为的减函数故在上为减函数所以当时，取最大值，且最大值为3 所以所以所以实数的取值范围为.
④上恒成立（优选分离变量法）
15、（2021·河南信阳·高二期中（理））若关于的不等式在有解，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B，令，其对称轴为，
关于的不等式在有解，当时，有，
，即，可得或．故选：B．
16、（2021·安徽·池州市第一中学高一期中）若关于x的不等式在上有解则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A，解：依题意，，令，
故问题转化为求函数在上的最大值；
因为二次函数的对称轴为，且，
故，故，故选：A.
17、（2021·河南·高二期中（理））已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A，由，，可得在上有解，令，则，当且仅当时取等号，所以.故选：A.
18、（2021·山西·大同一中高一期中）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D，依题意关于的不等式在内有解，
，，所以.故选：D
19、（2021·河北·石家庄市第四十四中学高一期中）若关于x的不等式在区间上有解，则实数m的取值范围是__________．
【答案】，因为，所以，由得，
因为关于的不等式在区间(0，2]上有解，所以只需小于等于的最大值，又，当且仅当时，等号成立，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.
⑤已知参数，求取值范围（变更主元法）
20、（2022·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为　　
A．，， B．，，
C．，， D．
【答案】C，解：令，则不等式恒成立转化为在上恒成立．有，即，
整理得：，解得：或．的取值范围为．故选：C．
21、（2022·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A，令，对一切均大于0恒成立，
所以 ，或，
或，解得或，，或，
综上，实数的取值范围是，或.故选：A.
22、（2021·全国·高一课时练习）对任意的，函数的值总大于0，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，对任意，函数的值恒大于零
设，即在上恒成立.
在上是关于的一次函数或常数函数，其图象为一条线段，
则只需线段的两个端点在轴上方，即 ，解得或
故选：B【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数，将问题转化为在上恒成立，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于中档题.
23、（2021·江西吉安·高一期中）若不等式对任意成立，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A，由题得不等式对任意成立，
所以，即，解之得或.故选：A
一、单选题
1．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）下列说法正确的为（ ）
A．
B．函数的最小值为4
C．若则最大值为1
D．已知时，，当且仅当即时，取得最小值8
【答案】C
对于选项,只有当时，才满足基本不等式的使用条件，则不正确；
对于选项,，令，
即在上单调递增，则最小值为,
则不正确；
对于选项,，则正确；
对于选项,当时，，当且仅当
时，即，等号成立，则不正确.
故选：.
2．（2022·福建·莆田一中高一期末）函数有（ ）
A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2
【答案】D
（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.
（方法2）令，，，.
将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.
故选：D
3．（2022·河南·郏县第一高级中学高二开学考试（理））正实数ab满足，则的最小值为（　　）
A．16 B．24 C．32 D．40
【答案】C
正实数ab满足,所以当且仅当时取等号，化简得，所以
故选：C.
4．（多选）已知，是两个正数，4是与的等比中项，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是1 B．的最大值是1
C．的最小值是 D．的最大值是
【答案】BC
【详解】因为，所以，所以，可得，当且仅当时等号成立，
所以的最大值为1，故错误，B正确．因为，故的最小值为，无最大值，故C正确，D错误．故选：BC
5.（多选）下列函数最小值为2的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【详解】
对于A，，最小值为2；
对于B，，当且仅当，时取得最小值2；
对于C，，当且仅当，即时取得最小值2；
对于D，，当时取得最小值1，综上可知：ABC正确.
故选：ABC.
6.（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
7.（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
B．
C． D．
【答案】A
结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
8．（2022·浙江·安吉县高级中学高一开学考试）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ）
A． B．不等式的解集为
C． D．不等式的解集为
【答案】B
解：因为关于的不等式的解集为或，所以，所以选项A错误；
由题得，所以为.所以选项B正确；
设，则，所以选项C错误；
不等式为，所以选项D错误.
故选：B
9．（2022·江苏南京·高一期末）已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
因为不等式的解集为，所以即，
不等式等价于，解得.故选：A.
10．（2022·重庆八中高一期末）关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
由恰有2个整数解，即恰有2个整数解，
所以，解得或，
①当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为1和2，
则，即，解得；
②当时，不等式解集为，因为，故2个整数解为，
则，即，解得.
综上所述，实数的取值范围为或.
故选：B.
11．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为____________．
【答案】，，，
当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
12．三个同学对问题“已知，且，求的最小值”提出各自的解题思路：
甲：，可用基本不等式求解；
乙：，可用二次函数配方法求解；
丙：，可用基本不等式求解；参考上述解题思路，
可求得当 时，（，）有最小值
【答案】，∵，∴
，当且仅当时，
等号成立，∵，，∴，解得，符合题意
13．（2022·浙江·高三阶段练习）已知函数，，若存在，任意，使得，则实数的取值范围是___________.
【答案】
若在上的最大值，在上的最大值，
由题设，只需即可.在上，当且仅当时等号成立，由对勾函数的性质：在上递增，故.在上，单调递增，则，所以，可得.故答案为：.
14．（2022·安徽合肥·高一期末）如图所示，某农科院有一块直角梯形试验田，其中.某研究小组计则在该试验田中截取一块矩形区域试种新品种的西红柿，点E在边上，则该矩形区域的面积最大值为___________.
【答案】，设，，，，所以矩形的面积，当且仅当时等号成立.故选：
15．（2022·河南驻马店·高一期末）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家．用其名字命名的“高斯函数”为：，表示不超过x的最大整数，如，，[2]=2，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】，∵，∴，∴，
故答案为：
16．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值是___________.
【答案】
因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两个不相等的实根，
因此有，
因为，所以，当且仅当时取等号，
即时取等号，
，设，
因为函数在上单调递增，
所以当时，函数单调递增，所以，
故答案为：
17．（2022·云南玉溪·高一期末）设关于x的二次函数．
(1)若，解不等式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)；(2).
(1)由题设，等价于，即，解得，
所以该不等式解集为.
(2)由题设，在上恒成立．
令，则对称轴 且，
①当时，开口向下且，要使对恒成立，
所以，解得，则．
②当时，开口向上，只需，即.
综上，．
18．（2021·江苏·高考真题）某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本万元与年产量吨之间的函数关系可以近似地表示为，已知此生产线的年产量最小为60吨，最大为110吨.
（1）年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低 并求最低平均成本;
（2）若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品能全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润 并求最大利润.
【答案】（1）年产量为100吨时，平均成本最低为16万元；（2）年产量为110吨时，最大利润为860万元.
（1），
当且仅当时，即取“=”，符合题意；
∴年产量为100吨时，平均成本最低为16万元.
（2）
又，∴当时，.
答：年产量为110吨时，最大利润为860万元.
19、某网店有3（万件）商品，计划在元旦旺季售出商品（万件），经市场调查测算，
花费（万元）进行促销后，商品的剩余量与促销费之间的关系为
（其中为常数），如果不搞促销活动，只能售出1（万件）商品.
（1）要使促销后商品的剩余量不大于0.1（万件），促销费至少为多少（万元）？
（2）已知商品的进价为32（元/件），另有固定成本3（万元），定义每件售出商品的平
均成本为（元），若将商品售价定为：“每件售出商品平均成本的1.5倍”与“每
件售出商品平均促销费的一半”之和，则当促销费为多少（万元）时，该网店售出商品的
总利润最大？此时商品的剩余量为多少？
【答案】（1）由，当时，得：，∴， ……4分
由解得：. ……7分
（2）网店的利润（万元），由题意可得：
……10分
， ……12分
当且仅当，即时取等号，此时，
∴当促销费为7万时，网店利润最大为42万，此时商品剩余量为0.25（万件）.……14分

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