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第4讲 单调性与奇偶性
一、知识精讲
函数的单调性
一：函数单调性：
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
二、函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义
偶函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数．　
奇函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数．
【注】：奇偶函数的图像特征
函数是奇函数曲线关于原点对称；
函数是偶函数曲线关于轴对称．
二、函数奇偶性的判断
证明（判断）函数奇偶性的一般步骤：
【注】：一、7个常用奇函数模型
，，，，
，
二、6个常用偶函数模型
，，，，，
三、奇偶函数的运算性质
、是定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝奇”．
利用以上三条，直接用眼睛奇偶性；再代特值或者看单调性选图.
三、函数奇偶性的应用
关于函数奇偶性的几个重要结论
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）．
（2）若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数．
（3）若函数的定义域关于原点对称，则可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．
其中，为偶函数，为奇函数．
（4）既是奇函数又是偶函数（定义域关于原点对称）．
（5）若奇函数在处有定义，则．
（6）对于多项式函数
若是奇函数偶次项的系数全为零；
若是偶函数奇次项的系数全为零．
二、考法分析
考法一、函数的单调性
函数单调性定义和单调区间的求解
1、设是定义在上的函数．
①若存在，当时、有成立，则函数在上单调递增；
②若存在，当时，有成立，则函数在上不可能单调递减；
③若存在，对于任意，都有成立，则函数在上单调递增；
④任意，当时，都有成立，则函数在上单调递减．
以上命题正确的序号是（ ）
（A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）②
2、下列命题中正确的命题是（ ）
A．若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
B.若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
C．函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
D．若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数．
3、【2021全国甲高考】下列函数是增函数的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
4、【2019北京卷】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
5、【2023衡水中学调研】下列函数在为减函数的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
6、已知函数在R上单调递减，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
7、（1）函数的增区间是（ ）
A． B． C． D．
（2） 的单调递增区间是__________，递减区间是__________。
8、求下列函数的单调区间：
（1）（2）
（2）复合函数的单调性
9、已知函数，则该函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
10、函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
11、的单调递增区间
12、已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
（3）根据函数单调性解不等式
13、设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14、若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
15、（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
16、已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
17、若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
18、已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
19、已知函数在上是增函数，求实数的取值范围.
20、（1）若函数的单调递减区间是，则实数的取值范围是________________
（2）若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是________________
（4）函数的最大值和最小值
21、设函数的定义域为，有下列三个命题：
（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；
（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值.
这些命题中，真命题的个数是 ( )
A．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
22、【2021北京卷】已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
23、函数在上的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24、设函数在上的最小值为7，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
25、用表示两个数中的最小值，设函数，则函数的最大值是
考法二、不等式恒成立问题
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：
(1)，，使得成立等价于，
(2)，，不等式恒成立等价于，
(3)，，使得成立等价于，
(4)，，使得成立等价于，
1、对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2、对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________________.
3、已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
4、已知函数f(x)＝x，g(x)＝2x+a，若 x1∈[，1]， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2
5、已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，故.
6、已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7、已知，，若对，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考法三、函数单调性的应用问题
1、若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________________；
2、若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ；
3、若函数在上单调递减，求实数的取值范围。
4、（2020新高考II）函数在上单调递增，则实数的取值范围是
5、若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_________
6、已知函数在区间上是增函数，则常数的取值范围是
7、如果是上的增函数，那么的取值范围是_____________
8、已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____．
9、已知函数在上是增函数，求实数的取值范围.
10、已知函数在上是增函数，求实数的取值范围.
考法四、函数奇偶性的判断
1、给定函数：①；②；③；④.其中奇函数是（ ）.
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
2、下列函数在其定义域内为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
3、判断下列函数的奇偶性．
（1）； （2）；
（3） （4）
4、函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【2021全国乙卷】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
6、【补充练习1】函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
7、【补充练习2】函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
考法五、已知奇偶性求分段函数的解析式问题
1、（1）已知是奇函数，且当时，，求时，的解析式；
（2）已知是偶函数，且当时，，求时，的解析式．
2、若函数是上的奇函数，且当时，，则的解析式是
3、已知的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 ， ．
考法六、奇偶性性质的应用问题
①已知函数是定义在区间上的奇函数,则对任意的,都有.
②特别地,若奇函数在上有最值,则;
③若，则有.（若是奇函数，且，特别提醒反之不成立）
④若函数满足模型，其中是奇函数，则必有
1、已知，且，则的值为 ．
2、设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
3、已知，且，则 ．
4、若函数在上有最小值－6，（a，b为常数），则函数在上（ ）
A．有最大值5 B．有最小值5
C．有最大值9 D．有最大值12
5、设函数的最大值为，最小值为，则
6、已知函数是偶函数，则 ．
7、已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
8、已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为
9、已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为
10、【2021全国甲卷】已知函数为奇函数，.若，则____________
11、【2021新高考I】设，，若函数是偶函数，则的值为
12、【2022全国乙卷T16】若函数是奇函数，则 ， .
13、【2021江苏卷】已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
14、【补充题】若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
考法七、利用函数单调性+奇偶性解不等式
1、定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________
2、设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______
3、定义在上的奇函数在上的图像如右图所示，
则不等式的解集是 ．
4、已知偶函数和奇函数的定义域都是，他们在上的图像如图所示，求解关于的不等式
5、（2020新高考I卷）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
6、已知在上单调递减，则满足的实数的取值范围是__________
7、若在上是减函数，且的图像经过点，则不等式的解集是____________
8、若奇函数在其定义域内单调递减,求满足的取值范围
9、设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数m的取值范围.
10、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围；
11、已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若有，求的取值范围.
12、是奇函数
(1)求
(2)判断并证明的单调性
(3)若，求的取值范围
13、函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1．
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2．
14、已知函数的定义域为，对任意实数都有
求证：
判断函数的奇偶性；
已知，用表示
15、已知函数满足：，，则_____
16、已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数、都有，则函数（ ）
A. 是偶函数，且在上单调递减 B. 是偶函数，且在上单调递增
C. 是奇函数，且单调递减 D. 是奇函数，且单调递增
三、巩固训练
一、单选题
1、已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有恒成立. 则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
3、函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3
4、若函数则“”是“在上单调增函数”的（ ）
A．充分非必要条件 　　　　　B．必要非充分条件
C．充要条件 　　　　　D．既非充分也非必要条件
5、定义两种运算：，，则函数为（ ）
A．奇函数且为偶函数 B．偶函数
C．奇函数 D．非奇函数且非偶函数
6、设函数，则使得成立的x的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7、已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
8、已知函数()，如果（），那么的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．
9、已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10、已知实数x，y满足，．若，，则的值为 ．
11、问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．
12、已知是定义在上的偶函数，当，且，总有，则不等式的解集为
13、设偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是___________.
14、已知函数 , 是偶函数，则 = ,=
15、设，，且满足则________．
16、函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______．
17、已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．
(1) 判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；
(2) 解不等式：f(x＋)(3) 若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
18、（2022·上海·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.第4讲 单调性与奇偶性
一、知识精讲
函数的单调性
一：函数单调性：
（1）单调性的定义
一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值，；
①当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数
②当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数
（2）单调性简图：
（3）单调区间（注意先求定义域）
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间上具有（严格的）单调性，区间叫做函数的单调区间．
（4）复合函数的单调性（同调增；异调减）
对于函数和，如果当时，，且在区间上和在区间上同时具有单调性，则复合函数在区间上具有单调性，并且具有这样的规律：增增(或减减)则增，增减(或减增)则减．
2、函数的最值
（1）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最大值
（2）设函数的定义域为，如果存在实数满足
①对于任意的，都有；
②存在，使得
则为最小值
3、常用高频结论
（1）设，.
①若有或，则在闭区间上是增函数；
②若有或，则在闭区间上是减函数.此为函数单调性定义的等价形式.
（2）函数相加或相减后单调性：
设，两个函数，在区间上的单调性如下表，则在上的单调性遵循（增+增=增；减+减=减）
增 增 增
减 减 减
增 减 增
减 增 减
二、函数的奇偶性
一、函数奇偶性的定义
偶函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做偶函数．　
奇函数：如果对于函数定义域内的任意实数，都有，那么就把函数叫做奇函数．
【注】：奇偶函数的图像特征
函数是奇函数曲线关于原点对称；
函数是偶函数曲线关于轴对称．
二、函数奇偶性的判断
证明（判断）函数奇偶性的一般步骤：
【注】：一、7个常用奇函数模型
，，，，
，
二、6个常用偶函数模型
，，，，，
三、奇偶函数的运算性质
、是定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝奇”．
利用以上三条，直接用眼睛奇偶性；再代特值或者看单调性选图.
三、函数奇偶性的应用
关于函数奇偶性的几个重要结论
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）．
（2）若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数．
（3）若函数的定义域关于原点对称，则可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和．
其中，为偶函数，为奇函数．
（4）既是奇函数又是偶函数（定义域关于原点对称）．
（5）若奇函数在处有定义，则．
（6）对于多项式函数
若是奇函数偶次项的系数全为零；
若是偶函数奇次项的系数全为零．
二、考法分析
考法一、函数的单调性
函数单调性定义和单调区间的求解
1、设是定义在上的函数．
①若存在，当时、有成立，则函数在上单调递增；
②若存在，当时，有成立，则函数在上不可能单调递减；
③若存在，对于任意，都有成立，则函数在上单调递增；
④任意，当时，都有成立，则函数在上单调递减．
以上命题正确的序号是（ ）
（A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）②
【答案】
2、下列命题中正确的命题是（ ）
A．若存在，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
B.若存在（，当时，有，则说函数在区间上是增函数；
C．函数的定义域为，若对任意的，都有，则函数在上一定是减函数；
D．若对任意，当时，有，则说函数在区间上是增函数．
【答案】，
3、【2021全国甲高考】下列函数是增函数的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
4、【2019北京卷】下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是
A． B．y= C． D．
【答案】A
5、【2023衡水中学调研】下列函数在为减函数的是 （ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
6、已知函数在R上单调递减，则函数的增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C，由函数在上单调递减可知，∴开口向下，对称轴为，
∴在上单调递增.故选：C
7、（1）函数的增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C，由二次函数的图象可知 在上是增函数
（2） 的单调递增区间是__________，递减区间是__________。
【答案】，
8、求下列函数的单调区间：
（1）（2）
【答案】（1）（2）（2）复合函数的单调性
9、已知函数，则该函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
10、函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
11、的单调递增区间
【答案】和
12、已知函数的图象如图所示，则函数的单调递增区间为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
（3）根据函数单调性解不等式
13、设函数，则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D，函数的图象如图所示，若，则需满足或，
解得或，即x的取值范围是，故选：D.
14、若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C，因为，且函数的定义域为，故函数为定义域上的偶函数，
又当时，在上单调递增，所以，则有，解得.故选：C
15、（2022·浙江·高三专题练习）已知函数是定义在上的增函数，则满足的实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D，因为函数是定义在上的增函数，则满足，
所以，，解得.故选：D.
16、已知，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C，，当时，，且单调递增；当时，，且单调递增，所以在单调递增，不等式等价于，解得.故选：C
17、若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C，解：f（x）＝＝1+，若f（x）在（﹣2，+∞）上单调递增，
则，故k≤﹣2，故选：C．
18、已知函数是R上的增函数，则a的取值范围为（ ）
A．[-4，0) B．[-4，-2] C． D．
【答案】B.解：因为且在上单调递增，所以，解得，即故选：B
19、已知函数在上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】在上是增函数，设，则，
，，
因为，所以，而，所以
20、（1）若函数的单调递减区间是，则实数的取值范围是________________
（2）若函数在区间单调递减，则实数的取值范围是________________
【答案】（1）（2）
（4）函数的最大值和最小值
21、设函数的定义域为，有下列三个命题：
（1）若存在常数，使得对任意，有，则是函数的最大值；
（2）若存在，使得对任意，且，有，则是函数的最大值；
（3）若存在，使得对任意，有，则是函数的最大值.
这些命题中，真命题的个数是 ( )
A．0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】C，（2）（3）；（1）中M不一定在函数值域中.
22、【2021北京卷】已知是定义在上的函数，那么“函数在上单调递增”是“函数在上的最大值为”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A若函数在上单调递增，则在上的最大值为，
若在上的最大值为，比如，但在为减函数，在为增函数，故在上的最大值为推不出在上单调递增，故“函数在上单调递增”是“在上的最大值为”的充分不必要条件，故选：A.
23、函数在上的最大值为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C，由题意，时，函数在，上单调递减，，，
24、设函数在上的最小值为7，则在上的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D，，其中为奇函数．由条件知上有，故在上有，所以在上有，故选：D．
25、用表示两个数中的最小值，设函数，则函数的最大值是
【答案】6
考法二、不等式恒成立问题
【点睛】本题考查不等式恒成立问题，解题关键是转化为求函数的最值，转化时要注意全称量词与存在量词对题意的影响．等价转化如下：
(1)，，使得成立等价于，
(2)，，不等式恒成立等价于，
(3)，，使得成立等价于，
(4)，，使得成立等价于，
1、对于，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B，由题意在时恒成立，函数是减函数，∴，∴，
∴．故选：B．解题方法是利用分离参数法转化为求函数的最值．转化方法：
（1）恒成立，
（2）恒成立，
2、对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是________________.
【答案】
3、已知，且，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D，因为，所以．
当且仅当，即时取等号，又因为恒成立，所以，解得．
4、已知函数f(x)＝x，g(x)＝2x+a，若 x1∈[，1]， x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)
A．a≤1 B．a≥1 C．a≤2 D．a≥2
【答案】A，解：由f(x)＝x得，，当x∈[，1]时,，∴f(x)在[，1]单调递减，∴f(1)＝5是函数的最小值，当x∈[2，3]时，g(x)＝2x+a为增函数，∴g(2)＝a+4是函数的最小值，
又∵ x1∈[，1]，都 x2∈[2，3]，使得f(x1)≥g(x2)，可得f(x)在x1∈[，1]的最小值不小于g(x)在x2∈[2，3]的最小值，即5≥a+4，解得：a≤1，故选：A．
5、已知函数，，对于任意的，存在，使，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A，因为对于任意的，存在，使，则，
显然在上单调递减，则，当时，，即在上单调递增，则，由解得：，所以实数a的取值范围为.
故选：A
【点睛】结论点睛：函数，，若，，有成立，故.
6、已知函数，，对于任意，存在有，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B，对于任意，存在有等价于.
由，函数单调递增，可得，，对称轴为，时，，，解得.故选：B
7、已知，，若对，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C，因为，，使得，所以
因为在时，单调递减，在时，单调递增，故，而在上单调递减，，故 ，解得：，
考法三、函数单调性的应用问题
1、若函数在上单调递减，则实数的取值范围是_________________；
【答案】
2、若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是 ；
【答案】
3、若函数在上单调递减，求实数的取值范围。
【答案】
4、（2020新高考II）函数在上单调递增，则实数的取值范围是
【答案】 ，
5、若函数在上是增函数，则实数的取值范围是_________
【答案】
6、已知函数在区间上是增函数，则常数的取值范围是
【答案】
7、如果是上的增函数，那么的取值范围是_____________
【答案】
8、已知满足对任意都有成立，那么的取值范围是_____．
【答案】
9、已知函数在上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】在上是增函数，设，则，
，，
因为，所以，而，所以
10、已知函数在上是增函数，求实数的取值范围.
【答案】求导或者定义法
考法四、函数奇偶性的判断
1、给定函数：①；②；③；④.其中奇函数是（ ）.
A．①② B．③④ C．②④ D．①③
【答案】D
2、下列函数在其定义域内为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
3、判断下列函数的奇偶性．
（1）； （2）；
（3） （4）
【答案】（1）即奇又偶函数 （2）偶函数
（3）偶函数，化简得 （4）偶函数
4、函数为奇函数，为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（ ）
A．为奇函数 B．为偶函数
C．为奇函数 D．为偶函数
【答案】C，，则,且，
既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令，则,且，是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C
5、【2021全国乙卷】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B，利用的对称中心（-1,-1）或者直接代入求解析式
6、【补充练习1】函数的图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【详解】令,则,所以函数为偶函数,其图像关于轴对称,故不正确,当时,,,由,得,由,得,所以在上递减,在上递增,结合图像分析,不正确.故选:D
7、【补充练习2】函数的大致图象为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】定义域为，因为，
所以为奇函数，所以其图象关于原点对称，所以排除BC，极限思想也行。
由，得，令
所以，当时，，
所以在上递减，所以当增大时，图象上切线的斜率在减小，所以排除D，故选：A
考法五、已知奇偶性求分段函数的解析式问题
1、（1）已知是奇函数，且当时，，求时，的解析式；
【答案】
（2）已知是偶函数，且当时，，求时，的解析式．
【答案】
2、若函数是上的奇函数，且当时，，则的解析式是
【答案】
3、已知的定义域均为，是偶函数，是奇函数，且，则 ， ．
【答案】
考法六、奇偶性性质的应用问题
①已知函数是定义在区间上的奇函数,则对任意的,都有.
②特别地,若奇函数在上有最值,则;
③若，则有.（若是奇函数，且，特别提醒反之不成立）
④若函数满足模型，其中是奇函数，则必有
1、已知，且，则的值为 ．
【答案】1
2、设函数的最大值为，最小值为，则=___________ .
【解析】，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即.答案为：2.
3、已知，且，则 ．
【答案】6
4、若函数在上有最小值－6，（a，b为常数），则函数在上（ ）
A．有最大值5 B．有最小值5
C．有最大值9 D．有最大值12
【答案】D
5、设函数的最大值为，最小值为，则
【答案】
6、已知函数是偶函数，则 ．
【答案】5， b=3，a=2
7、已知，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则______.
【答案】，因为，所以有，因为，分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以，因此由，故
8、已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为
【答案】，观察解析式可知，为定义在上的偶函数，关于轴对称，∴当其零
点有且只有一个时，只能是，∴
9、已知函数的零点有且只有一个，则实数的取值集合为
【答案】
10、【2021全国甲卷】已知函数为奇函数，.若，则____________
【答案】.因为，，所以， ，因为为奇函数，所以，由，得，因为，所以.故答案为：6.
11、【2021新高考I】设，，若函数是偶函数，则的值为
【答案】1
12、【2022全国乙卷T16】若函数是奇函数，则 ， .
【答案】
13、【2021江苏卷】已知奇函数是定义在上的单调函数，若正实数，满足则的最小值是（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B，解：因为，所以，因为奇函数是定义在上的单调函数，所以，所以，即，所以，即，
所以
，当且仅当，即时取等号，所以的最小值是.故选：B
14、【补充题】若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
【答案】B【详解】对，有，令，有，
令，有，则，令，则，则为奇函数，又设函数，为奇函数，则，而为奇函数，由于奇函数在关于原点对称的单调区间内的最大值与最小值互为相反数，则的最大值与最小值之和为6.选B.
【补充结论】若函数关于对称，函数关于对称，则函数关于对称.
考法七、利用函数单调性+奇偶性解不等式
1、定义在上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为__________
【答案】
2、设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为______
【答案】
3、定义在上的奇函数在上的图像如右图所示，
则不等式的解集是 ．
【答案】
4、已知偶函数和奇函数的定义域都是，他们在上的图像如图所示，求解关于的不等式
【答案】
5、（2020新高考I卷）定义在上的奇函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
【答案】D
6、已知在上单调递减，则满足的实数的取值范围是__________
【答案】
7、若在上是减函数，且的图像经过点，则不等式的解集是____________
【答案】
8、若奇函数在其定义域内单调递减,求满足的取值范围
【答案】
9、设定义在上的偶函数在区间上单调递减，若，求实数m的取值范围.
【答案】
10、已知奇函数是定义在上的减函数，若，求实数的取值范围；
【答案】
11、已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，若有，求的取值范围.
【答案】
12、是奇函数
(1)求
(2)判断并证明的单调性
(3)若，求的取值范围
【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3)
(1)为奇函数，，即，，解得：；
(2)在上单调递减，证明如下：设，则；
为上的增函数，，又，，，在上单调递减；
(3)由得：，为奇函数，，；
由（2）知：在上单调递减，，解得：，即的取值范围为.
13、函数f(x)对任意的m、n∈R，都有f(m＋n)＝f(m)＋f(n)－1，并且x>0时，恒有f(x)>1．
(1)求证：f(x)在R上是增函数；
(2)若f(3)＝4，解不等式f(a2＋a－5)<2．
【答案】（1）（2）
14、已知函数的定义域为，对任意实数都有
求证：
判断函数的奇偶性；
已知，用表示
【答案】1、；2、奇函数，3、偶函数
15、已知函数满足：，，则_____
【答案】
16、已知是定义在上的奇函数，对任意两个不相等的正数、都有，则函数（ ）
A. 是偶函数，且在上单调递减 B. 是偶函数，且在上单调递增
C. 是奇函数，且单调递减 D. 是奇函数，且单调递增
【答案】A，当，，，，
∴为偶函数. 当，，即
，即在上单调递减.
三、巩固训练
一、单选题
1、已知设，则函数的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】B
2、定义在R上的偶函数满足：对任意的，有恒成立. 则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】
3、函数y＝在(－1，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．a＝－3 B．a<3 C．a≤－3 D．a≥－3
【答案】
4、若函数则“”是“在上单调增函数”的（ ）
A．充分非必要条件 　　　　　B．必要非充分条件
C．充要条件 　　　　　D．既非充分也非必要条件
【答案】
5、定义两种运算：，，则函数为（ ）
A．奇函数且为偶函数 B．偶函数
C．奇函数 D．非奇函数且非偶函数
【答案】C，利用定义域去掉绝对值
6、设函数，则使得成立的x的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】
7、已知，，则“”是“”的（ ）
A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】
8、已知函数()，如果（），那么的值是（ ）
A． B．3 C．5 D．
【答案】A
9、已知函数的定义域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
10、已知实数x，y满足，．若，，则的值为 ．
【答案】, 构造函数
11、问题“求方程的解”有如下的思路：方程可变为，考察函数可知，，且函数在上单调递减，∴原方程有唯一解．仿照此解法可得到不等式：的解是_____．
【答案】构造函数
12、已知是定义在上的偶函数，当，且，总有，则不等式的解集为
【解析】，由题意，关于对称，且在递减，
∴（舍）或，解得
13、设偶函数在区间上单调递增，则满足的x的取值范围是___________.
【答案】
14、已知函数 , 是偶函数，则 = ,=
【答案】1、3
15、设，，且满足则________．
【答案】4，
16、函数为奇函数，且对任意互不相等的，，都有成立，且，则的解集为______．
【答案】
17、已知f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a，b∈[－1,1]，a＋b≠0时，有>0成立．
(1) 判断f(x)在[－1,1]上的单调性，并证明它；
(2) 解不等式：f(x＋)(3) 若f(x)≤m2－2am＋1对所有的a∈[－1,1]恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）增函数，定义法
（2）
（3）
18、（2022·上海·高三专题练习）已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.

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