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2022学年第一学期浙大附中期中考试
高一数学试卷
命题人：陈金康、刘晓娜
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合,，则（ ）
A B. C. D.
2. 设命题，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与
③与；④与
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
4. 下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
5. 命题“，”是命题“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
7. 若不等式对一切都成立，则a的最大值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D.
8. 已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
二、多选题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．
9. 设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）
A. 是函数一个“和谐区间”
B. 是函数一个“和谐区间”
C. 是函数的一个“和谐区间”
D. 是函数的一个“和谐区间”
11. 已知不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. 的解集为 D.
12. 若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13. ______．
14. 幂函数在上是减函数，则实数的值为______.
15. 已知函数，若在上单调递减，则取值范围为______．
16. 已知函数，有下列结论：
①，等式恒成立；
②，方程有两个不等实根；
③、，若，则一定有；
④存在无数多个实数，使得函数在上有三个零点.
则其中正确结论序号为______.
四、解答题：本题共6小题，共52分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 若集合，集合
（1）若，求．
（2）当时，求实数m的取值范围．
18. 已知关于x不等式的解集为M．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若M不为空集，求的值域．
19. 已知函数的定义域为．
（1）判断并证明函数的奇偶性和单调性；
（2）解不等式．
20 已知函数．
（1）若函数的解集为，其中，求实数a，b的值；
（2）当时，求关于x的不等式的解集．
21. 某店国庆期间对某新上市商品开展促销活动，已知a（万件）该商品的进价成本总共为（万元），每件商品的售价定为元．开展该促销活动需要一笔促销费用，该商品的销售量由促销费用决定，经测算该商品的销售量a（万件）与促销费用x（万元）满足以下关系：．
（1）将该商品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？
22. 已知，函数．
（1）当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；
（2）记在区间上的最小值为，求的表达式；
（3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．2022学年第一学期浙大附中期中考试
高一数学试卷
命题人：陈金康、刘晓娜
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效．
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合,，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先解一元二次不等式化简，再根据交集的概念可求出结果.
【详解】由，得，
所以，
因为，所以.
故选：C
2. 设命题，，则为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】A
【解析】
【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，
命题“，”的否定“，”.
故选：A.
3. 下列各组函数是同一函数的是（ ）
①与；②与
③与；④与
A. ①② B. ②④ C. ①③ D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】解：根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，来判断它们是同一函数即可.
【详解】解：对于①函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
对于②函数的定义域为，函数定义域为，且两函数的对应关系也相同，故为同一函数；
对于③函数的定义域满足，则定义域为，
函数定义域为满足或，则定义域为，定义域不同，故不是同一函数；
对于④函数的定义域为，函数定义域为，且两函数的对应关系也相同，故为同一函数.
故选：B.
4. 下列四个函数中是偶函数，且在上单调递减的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据偶函数的定义及函数在上单调递减，逐一判断即可．
【详解】对于A，，，，所以为偶函数；
当时，，在上单调递增，不符题意；
对于B，，定义域为，，为奇函数，不符题意；
对于C，，，，所以为偶函数；
当时，，在上单调递增，不符题意；
对于D，，定义域为，，所以为偶函数，
当时，，上单调递减，符合题意．
故选：D．
5. 命题“，”是命题“”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质分析判断.
【详解】若，，则，，∴.
若，则，，或，.
当，时，，.
所以命题“，”是命题“”的充分不必要条件.
故选：A.
6. 二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系下中的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由抛物线开口向下，可得，可排除A，C，根据抛物线过点得，可知过原点可排除B，进而可得正确选项.
【详解】因为二次函数开口向下，所以，
所以的图象必在二四象限，可排除选项A，C
因为过点，所以，所以，
所以即过点，故选项B不正确，选项D正确；
故选：D.
7. 若不等式对一切都成立，则a的最大值为（ ）
A. 0 B. 2 C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由不等式分离参数，然后结合函数的单调性求得的最大值.
【详解】依题意，不等式对一切都成立，
即对一切都成立，
令，任取，
，
由于，
所以，
所以在区间上递减，，
所以，所以的最大值为.
故选：D
8. 已知函数，若关于的不等式恰有1个整数解，则实数的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. 5 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】
画出函数的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出.
【详解】解：函数，如图所示
当时，，
由于关于的不等式恰有1个整数解
因此其整数解为3，又
∴，，则
当时，，则不满足题意；
当时，
当时，，没有整数解
当时，，至少有两个整数解
综上，实数的最大值为
故选：D
【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于较难题.
二、多选题：本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得3分，部分选对的得1分，有选错的得0分．
9. 设，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，由不等式的基本性质求解；
BD选项，可举出反例；
C选项，作差法比较大小.
【详解】因为，为分母，所以，由不等式的基本性质可知：，A正确；
不妨设，满足，但，B错误；
，
因为，所以，且恒成立，
所以，故，C正确；
当时，，D错误.
故选：AC
10. 已知函数的定义域为，若存在区间，使得，则称区间为函数的“和谐区间”.下列说法正确的是（ ）
A. 是函数的一个“和谐区间”
B. 是函数的一个“和谐区间”
C. 是函数的一个“和谐区间”
D. 是函数的一个“和谐区间”
【答案】BC
【解析】
【分析】利用“和谐区间”的定义，逐一判断即可.
【详解】对于A选项：，当时，，不满足题意，错误；
对于B选项：，当时，，满足题意，正确；
对于C选项：，当时，，满足题意，正确；
对于D选项：，当时，，不满足题意，错误.
故选：BC.
11. 已知不等式的解集为，则（ ）
A. B.
C. 的解集为 D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用二次不等式的解集与方程之间的关系可判断ABC选项；利用二次不等式的解法可判断C选项.
【详解】因为不等式的解集为，则，A对；
且、是关于的二次方程的两根，则，
所以，，，则，B错；
不等式即为，即，解得，C对；
对于D选项，，D对.
故选：ACD.
12. 若实数，，满足，以下选项中正确的有（ ）
A. 的最小值为
B. 的最小值为
C. 的最小值为
D. 的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，利用“1”的代换的方法判断C；对作平方处理，结合均值不等式判断D.
【详解】实数，，，
整理得，当且仅当即时取等号，故选项A错误；
，
当且仅当即时取等号，故选项B正确；
，，
，当且仅当时取等号，故选项C正确；
，
，
，当且仅当时取等号，故选项D正确，
故选：BCD
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分．
13. ______．
【答案】8
【解析】
【分析】根据给定条件化根式为分数指数幂求解作答.
【详解】.
故答案为：8
14. 幂函数在上是减函数，则实数的值为______.
【答案】-1
【解析】
【分析】根据幂函数的定义及幂函数的单调性，即可求解.
【详解】由幂函数知，
得或.
当时，在上是增函数，
当时，在上是减函数，
∴
故答案为
【点睛】本题主要考查了幂函数的定义及单调性，属于中档题.
15. 已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.
【详解】由题意得,即，
解得：．
所以的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知函数，有下列结论：
①，等式恒成立；
②，方程有两个不等实根；
③、，若，则一定有；
④存在无数多个实数，使得函数在上有三个零点.
则其中正确结论序号为______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，可判断①的正误；取可判断②的正误；判断函数的单调性，可判断③的正误；数形结合可判断④的正误.
【详解】对于①，函数的定义域为，，
所以，，①正确；
对于②，当时，，
当时，则有，可得，故②错误；
对于③，当时，，则函数为增函数，
又因为函数为奇函数，故函数在上单调递增，从而可知函数在上单调递增，
所以，、，若，则一定有，③对；
对于④，令，即，
则为函数在上的一个零点，
当时，则有，令，
作出函数的图象如下图所示：
由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，
故存在无数多个实数，使得函数在上有三个零点，④对.
故答案为：①③④.
四、解答题：本题共6小题，共52分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 若集合，集合
（1）若，求．
（2）当时，求实数m的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据集合并集的定义进行求解即可；
（2）根据集合交集的性质进行求解即可.
【小问1详解】
因为，所以，
因此；
【小问2详解】
因为，所以，
因此有，
所以实数m的取值范围为.
18. 已知关于x不等式的解集为M．
（1）若，求实数m的取值范围；
（2）若M不为空集，求的值域．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意列不等式求解，
（2）由题意得的取值范围，再分离常数后求解值域，
【小问1详解】
若，则，即，
解得，故m的取值范围是，
【小问2详解】
若M不空集，则，解得或，
而，而，
，故
即的值域为
19. 已知函数定义域为．
（1）判断并证明函数的奇偶性和单调性；
（2）解不等式．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用函数奇偶性、单调性的定义判断、证明即可得出结论；
（2）由函数的单调性与奇偶性、定义域可的关于的不等式组，即可解得的取值范围.
【小问1详解】
解：函数为奇函数，且在上为增函数，理由如下：
奇偶性：函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数；
单调性：任取、且，则，
则
，即，
所以，函数在上为增函数.
【小问2详解】
解：由可得，
所以，，解得，
所以，不等式的解集为.
20. 已知函数．
（1）若函数的解集为，其中，求实数a，b的值；
（2）当时，求关于x的不等式的解集．
【答案】（1），
（2）当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为．
【解析】
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根，结合韦达定理列方程求解实数a，b的值即可；
（2）化简不等式，由再分类讨论求不等式的解集即可．
【小问1详解】
解：根据题意，的解集为，
则1，是方程的解，且，则有，
解得：，；
【小问2详解】
解：不等式，即，则有，其中，
①当时，不等式为，则不等式的解集为；
②当时，不等式为，则不等式的解集为，
③当时，则，不等式的解集为或，
④当时，则，不等式的解集为．
综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为．
21. 某店国庆期间对某新上市商品开展促销活动，已知a（万件）该商品的进价成本总共为（万元），每件商品的售价定为元．开展该促销活动需要一笔促销费用，该商品的销售量由促销费用决定，经测算该商品的销售量a（万件）与促销费用x（万元）满足以下关系：．
（1）将该商品的利润y（万元）表示为促销费用x（万元）的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，商家的利润最大？最大利润为多少？
【答案】（1）
（2）促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元
【解析】
【分析】（1）根据产品的利润销售额产品的成本建立函数关系；
（2）利用基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件．
【小问1详解】
解：由于，则
则该商品的利润
小问2详解】
解：，
当且仅当，即时，等号成立，所以的最大值为960（万元），
促销费用投入10万元时，商家的利润最大，最大利润为960万元．
22. 已知，函数．
（1）当，请直接写出函数的单调递增区间（不需要证明）；
（2）记在区间上的最小值为，求的表达式；
（3）对（2）中的，当，时，恒有成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当时，将函数的解析式表示为分段函数的形式，可直接写出函数的单调递增区间；
（2）分、两种情况讨论，分析函数在上的单调性，即可得出的表达式；
（3）令，分、两种情况讨论，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【小问1详解】
解：当时，，
所以，函数的单调递增区间为.
【小问2详解】
解：由题意可知，
①当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，；
②当时，函数在上单调递减，则.
综上所述，.
【小问3详解】
解：当，时，令，则，
①若，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
且，，
此时，，此时；
②若时，当时，函数在上单调递减，
此时，，此时.
综上所述，.
【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：
（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；
（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；
（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.

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