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人教版七年级数学第九章不等式与不等式组复习讲义
一、知识结构
知识点精准记忆
１.不等式（组）有关概念
不等式：用不等号“>”，“<”“”“”“”表示不相等关系的式子.
不等式的解：能使不等式成立的末知数的值.
不等式的解集：一个不等式的所有解的组成.
解不等式：求出不等式的解集或确定不等式无解的过程.
一元一次不等式：只含有一个末知数且末知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式“其标准形式为ax一b>0，或ax一b<0（a0）”
一元一次不等式组：两个或两个以上含有相同末知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组.
不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集.
解不等式组：求出不等式组的解集的过程叫解不等组，其解集的四种基本类型（如下表）
不等式组类型（a>b） 解集 数轴显示 语言描述
（I） 大大取较大
（II） 小小取较小
（III） b（IV） 无解 大大小小解不了
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
3.不等式组的基本解法[]
不等式的基本解法：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
不等式组的基本解法：（1）先分别求出不等式组中每个不等式的解集；（1）再求出它们解集的公共部分.
4.不等式（组）的应用
（1）认真审题.找出题中的已知条件和所求问题，以及题中的相等关系和不等关系；
（2）设未知数.要用含未知数的代数式表示相关量；
（3）根据题目中的不等关系例如出不等式（组）；
（4）解不等式（组）求出未知数的取值（或范围）；
（5）检验是否符合实际情况，写出答案.
三、考点探究
考点一、不等式及其性质
【例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）．
2个 B．3个 C．4个 D．5个
针对训练
若，则（ ）
B． C． D．
若不等式的解是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
请先阅读下列材料，再解决问题．
例题:已知，求证:
证明:因为，又因为，根据不等式基本性质2，得，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得
仿照上例，证明下题：已知，求证．
考点二、解不等式，并把解集在数轴上表示出来
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(2)
针对训练
6 .解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(2) (3)
考点三、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
例7 .解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
针对训练
不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
考点四、一元一次不等式参数问题——有（无）解
例10 .若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（ ）
B． C． D．
针对训练
11.若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是 ( )
B． C． D．
考点五、一元一次不等式组参数问题——整数解个数
例13.．（1）已知不等式组的解集为1≤x＜2，求a、b的值．
（2）已知关于x的不等式组无解，试化简|a+1|－|3－a|．
针对训练
14 .若关于的不等式的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15 .若关于x的不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围．
考点六、一元一次不等式（组）应用——方案问题
例16．学校购进一批节能灯，已知2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元；3只A型节能灯和4只B型节能灯共需43元．
求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，不少于B型节能灯数量的2倍，有几种购买方案，哪种方案最省钱？
针对训练
17 .某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？
考点七、一元一次不等式（组）应用——最值问题
19．已知某服装厂现从纺织厂购进A种、B种两种布料共122米，用去4180元．已知A种布料每米30元，B种布料每米40元．
求A、B两种布料各购进多少米？
现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
甲 乙
A种（米 0.6 1.1
B种（米） 0.9 0.4
①设生产甲种型号的时装为x套，求x的取值范围；
②若一套甲种型号的时装的销售价为100元，一套乙种型号的时装的销售价为90元．该服装厂在生产和销售这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大？最大利润是多少元？
针对训练
20 .某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元．
（1）求百乐笔、展光笔的单价；
（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？
人教版七年级数学第九章不等式与不等式组复习讲义（解析版）
一、知识结构
知识点精准记忆
１.不等式（组）有关概念
不等式：用不等号“>”，“<”“”“”“”表示不相等关系的式子.
不等式的解：能使不等式成立的末知数的值.
不等式的解集：一个不等式的所有解的组成.
解不等式：求出不等式的解集或确定不等式无解的过程.
一元一次不等式：只含有一个末知数且末知数的次数是1的不等式叫一元一次不等式“其标准形式为ax一b>0，或ax一b<0（a0）”
一元一次不等式组：两个或两个以上含有相同末知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，称为一元一次不等式组.
不等式组的解集：组成不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫这个不等式组的解集.
解不等式组：求出不等式组的解集的过程叫解不等组，其解集的四种基本类型（如下表）
不等式组类型（a>b） 解集 数轴显示 语言描述
（I） 大大取较大
（II） 小小取较小
（III） b（IV） 无解 大大小小解不了
2. 不等式的性质：
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)．
3.不等式组的基本解法[]
不等式的基本解法：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
不等式组的基本解法：（1）先分别求出不等式组中每个不等式的解集；（1）再求出它们解集的公共部分.
4.不等式（组）的应用
（1）认真审题.找出题中的已知条件和所求问题，以及题中的相等关系和不等关系；
（2）设未知数.要用含未知数的代数式表示相关量；
（3）根据题目中的不等关系例如出不等式（组）；
（4）解不等式（组）求出未知数的取值（或范围）；
（5）检验是否符合实际情况，写出答案.
三、考点探究
考点一、不等式及其性质
【例1】式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中是不等式的有（ ）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C.
【解析】解：①3＜5；②4x+5＞0；⑤x≠-4；⑥x+2≥x+1是不等式，
∴共4个不等式．
故答案为：C．
针对训练
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：A．∵x>y，∴2x>2y， A不正确；
B．∵x>y，∴x+1>y+1， B不正确；
C．∵x>y，∴-2x-2<-2y-2， C正确；
D．∵x>y，∴x-1>y-1， D不正确；
故答案为：C．
若不等式的解是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：不等式（a-2）x＞a-2的解集为x＜1，
∴a-2＜0，
解得：a＜2，
故答案为：C．
请先阅读下列材料，再解决问题．
例题:已知，求证:
证明:因为，又因为，根据不等式基本性质2，得，再根据不等式基本性质1，在不等式的两边同时加上m，得
仿照上例，证明下题：已知，求证．
【分析】根据材料的证明方法，结合不等式性质，即可得到结论成立.
解：∵，且，
∴，
不等式两边同时减去5y，则
∴.
考点二、解不等式，并把解集在数轴上表示出来
解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(2)
【答案】(1) ，见分析 (2) ，见分析
【分析】（1）移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解；
（1）解：，
5x-2x<-3+9，
3x<6，
x<2；
解集在数轴上表示为：
（2）解：，
4x-(6x-1)≤6，
4x-6x+1≤6，
4x-6x≤6-1，
-2x≤5，
．
解集在数轴上表示为：
【点拨】本题考查解不等式，用数轴表示不等式解集，熟练掌握解不等式的一般步骤是解题的关键．
针对训练
6 .解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来．
(2) (3)
【答案】(1) ，数轴见详解； (2) ，数轴见详解； (3)，数轴见详解
【分析】（1）先移项再合并同类项，再把系数化为1，解得不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来；
（2）先去括号再移项，再合并同类项，再把系数化为1，解得不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来；
（3）先去分母，然后去括号，然后合并同类项，然后把系数化为1，就可得到不等式的解集，再将解集在数轴上表示出来．
（1）解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
此不等式的解集在数轴上表示如下：
（2）解：去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
此不等式的解集在数轴上表示如下：
（3）解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
此不等式的解集在数轴上表示如下：
【点拨】此题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是注意不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向要改变；注意去分母时，要将不等式两边每一项都乘以分母不要漏乘；在数轴上表示解集时 “<或≤”向左打折线， “>或≥”向右打折线，注意实点和虚点．
考点三、解不等式组，并把解集在数轴上表示出来
例7 .解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】不等式组的解集是，在数轴上表示见分析
【分析】先求出每个不等式的解集，再找出不等式解集的公共部分，即可得到不等式组的解集，再把解集表示在数轴上即可．
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
在数轴上表示如下
【点拨】本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法和在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
针对训练
不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A.
【解析】解：，
由①得：x＞-3，由②得：x≤1，
∴不等式组的解为：-3＜x≤1，
在数轴上表示如下：
故答案为：A．
解不等式组：，并在数轴上表示它的解集．
【答案】x≤1．
【解析】解：，
∵解不等式①得：x≤1，解不等式②得：x＜4，
∴不等式组的解集为：x≤1，
在数轴上表示不等式组的解集为：
．
考点四、一元一次不等式参数问题——有（无）解
例10 .若关于x的一元一次不等式组有解，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：∵不等式组有解，
∴m＜2，
故答案为：A．
针对训练
11.若关于的不等式组无解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C.
【解析】解：∵不等式组无解，
∴m-1≥1，
解得：m≥2，
故答案为：C．
若不等式组有实数解．则实数m的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A.
【解析】解：
由①，得x；由②，得x≥m，
∵不等式组有实数解，
∴m．
故答案为：A．
考点五、一元一次不等式组参数问题——整数解个数
例13.．（1）已知不等式组的解集为1≤x＜2，求a、b的值．
（2）已知关于x的不等式组无解，试化简|a+1|－|3－a|．
【答案】（1）a＝－1，b＝2；（2）4．
【分析】（1）先解出含参数的不等式的解集，再根据已知的解集求出a、b的值；
（2）根据不等式无解得a－3＞15－5a，即可求出a的取值范围，再根据绝对值的运算法则进行化简．
解：（1）
由①，得x≥－2，
由②，得x＜3+a，
所以不等式组的解集为－2≤x＜3+a，
因为已知不等式组的解集委1≤x＜2，
所以－2＝1，3+a＝2，
所以a＝－1，b＝2．
（2）∵关于x的不等式组无解，
∴a－3＞15－5a
∴a＞3，
原式＝a+1－（a－3）＝4．
【点拨】此题主要考查了根据不等式的解集情况求番薯，化简绝对值，解题的关键是熟知不等式的解法．
针对训练
14 .若关于的不等式的整数解共有个，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D.
【解析】解：
解不等式，由①式得，x故m的取值范围是：6故答案为：D．
15 .若关于x的不等式组恰有三个整数解，求实数a的取值范围．
【答案】
【分析】根据不等式组恰有三个整数解，即可确定不等式组的解集，从而即可得到一个关于a不等式组，解之即可．
解：解得：；
解得：．
∴不等式组的解为．
∵关于x的不等式组恰有三个整数解，
∴，解得．
∴实数a的取值范围为．
考点六、一元一次不等式（组）应用——方案问题
例16．学校购进一批节能灯，已知2只A型节能灯和1只B型节能灯共需17元；3只A型节能灯和4只B型节能灯共需43元．
求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；
学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，不少于B型节能灯数量的2倍，有几种购买方案，哪种方案最省钱？
【答案】(1) 一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元 (2) 共计有4种方案：方案一：A型34只，B型16只；方案二：A型35只，B型15只；方案三：A型36只，B型14只；方案四：A型37只，B型13只．方案四最省钱
【分析】（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程即可；
（2）设购买A型m只，购买B型为只，根据题中A型节能灯与B型节能灯的数量不等关系列不等式组，解不等式组即可解题．
解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，
根据题意，得：，
解得：，
答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；
（2）设购买A型m只，购买B型为只，
由题意得：，
解得：，
∵m为整数，
∴m可以为34、35、36、37，
即方案共计有4种：
方案一：A型34只，B型16只；
方案二：A型35只，B型15只；
方案三：A型36只，B型14只；
方案四：A型37只，B型13只．
∵B型单价贵，
∴为省钱应少买B型，
故方案四最省钱，即应买A型37只，B型13只．
【点拨】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，其中涉及二元一次方程组的解法、分类讨论法的数学思想，是常见考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
针对训练
17 .某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．
（1）求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；
（2）若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．
【答案】见解析．
【解析】解：（1）根据题意，得：y=90x+70（21﹣x）=20x+1470，
所以函数解析式为：y=20x+1470；
（2）∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，
∴21﹣x＜x，
解得：x＞10.5，
又∵y=20x+1470，且x取整数，
∴当x=11时，y有最小值=1690，
∴使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元
某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？
【答案】(1) 购进甲种钢笔每支需5元，乙种钢笔每支需10元； (2) 共有6种进货方案．
【分析】（1）设购进甲种钢笔每支需x元，乙种钢笔每支需y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据题意列不等式组进行求解即可．
（1）解：设购进甲种钢笔每支需x元，乙种钢笔每支需y元，由题意得：
，解得：，
∴购进甲种钢笔每支需5元，乙种钢笔每支需10元．
（2）解：设购进乙钢笔a支，甲钢笔 支，根据题意可得：
解得： ，
∵为整数，
∴共六种方案，
∴该文具店共有6种进货方案．
【点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意准确的列出方程组和不等式组是解题的关键．
考点七、一元一次不等式（组）应用——最值问题
19．已知某服装厂现从纺织厂购进A种、B种两种布料共122米，用去4180元．已知A种布料每米30元，B种布料每米40元．
求A、B两种布料各购进多少米？
现计划用这两种布料生产甲、乙两种型号的时装共80套．已知做一套甲种型号的时装或一套乙种型号的时装所需A、B两种布料如下表：
甲 乙
A种（米 0.6 1.1
B种（米） 0.9 0.4
①设生产甲种型号的时装为x套，求x的取值范围；
②若一套甲种型号的时装的销售价为100元，一套乙种型号的时装的销售价为90元．该服装厂在生产和销售这批时装中，当生产两种型号的时装各多少套时，获得的总利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1) A、B两种布料各购进70米，52米 (2) ①（且x为整数）；②当生产两种型号的时装各40套，40套是，获得的利润最大，最大为3480元
【分析】（1）设A、B两种布料各购进x米，y米，然后根据题意列出方程组求解即可；
（2）①设生产甲种型号的时装为x套，则生产乙种型号的时装套，再根据生产两种时装所用的布料不能超过（1）中所求列出不等式组求解即可；②分别求出生产一套甲时装和一套乙时装的利润，从而确定生产甲时装越多，获利越大，据此求解即可．
（1）解：设A、B两种布料各购进x米，y米，
由题意得：，
解得，
答：A、B两种布料各购进70米，52米；
（2）解：①设生产甲种型号的时装为x套，则生产乙种型号的时装套，
由题意得：，
解得（且x为整数）；
②∵生产一套甲种时装需要元，生产一套乙种时装需要元，
∴生产一套甲时装获利元，生产一套乙种时装获利元，
∴生产甲种时装越多，获利越大，
∴当生产甲种时装40套，乙种时装80-40=40套时获利最大，最大为 元，
答：当生产两种型号的时装各40套，40套时，获得的利润最大，最大为3480元；
【点拨】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，有理数四则运算的应用，正确理解题意列出对应的式子求解是解题的关键．
针对训练
20 .某班对期中考试进步的同学进行表彰，若购买百乐笔15支，晨光笔20支，需花费250元；若购买百乐笔10支，晨光笔25支，需花费225元．
（1）求百乐笔、展光笔的单价；
（2）如果再次购买百乐笔、晨光笔共35支，并且购买两种笔的总费用不超过300元，求至多购买多少支百乐笔？
【答案】见解析．
【解析】解：（1）设百乐笔的单价为x元/支、展光笔的单价为y元/支，根据题意得，
，整理得：
①×2－②×3得：y=5
把y=5代入①得：x=10
答：百乐笔的单价为10元、展光笔的单价为5元．
（2）设购买百乐笔m支，则晨光笔（35-m）支，
由题意得：，
解得：m≤25，
答：至多购买25支百乐笔．
不等式的性质
一元一次不等式和一元一次不等式组
一元一次不等式（组）的应用
一元一次不等式（组）的解法
一元一次不等式（组）解集的含义
一元一次不等式（组）的概念
不等式的性质
一元一次不等式和一元一次不等式组
一元一次不等式（组）的应用
一元一次不等式（组）的解法
一元一次不等式（组）解集的含义
一元一次不等式（组）的概念
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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