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洛阳市2023 届高三综合练习题
理科数学(三)
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2.考试结束，将答题卡交回.
一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 在复平面内，复数z对应的点为(1，-1)，则
A.2 B.1 C. D.
2. 记为数列{}的前项积,已知则
A.8 B.9 C.10 D.11
3. 已知定义在上的函数满足,当时, 则=
C.1
4. 已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角为60°，其侧面面积为54π，则该圆台的体积为
A.56π B.63π
5. 市场占有率指在一定时期内，企业所生产的产品在其市场的销售量(或销售额)占同类产品销售量(或销售额)的比重.一般来说，市场占有率会随着市场的顾客流动而发生变化，如果市场的顾客流动趋向长期稳定，那么经过一段时期以后的市场占有率将会出现稳定的平衡状态(即顾客的流动，不会影响市场占有率)，此时的市场占有率称为“稳定市场占有率”.有A，B，C三个企业都生产某产品，2022年第一季度它们的市场占有率分别为：40%，40%，20%.经调查，2022年第二季度A，B，C三个企业之间的市场占有率转移情况如右图所示，若该产品以后每个季度的市场占有率转移情况均与2022年第二季度相同，则当市场出现稳定的平衡状态，最终达到“稳定市场占有率”时，A企业该产品的“稳定市场占有率”为
A.45% B.48% C.50% D.52%
6. 已知的一个极值点为,若tan,则实数a的值为
A.﹣ 3 C.3 D.
7. 如图四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为正方形，且各棱长均相等，E是PB的中点， 则异面直线AE与PC所成角的余弦值为
D.
8. 某班课外学习小组利用“镜面反射法”来测量学校内建筑物的高度.步骤如下：①将镜子(平面镜)置于平地上，人后退至从镜中能看到房顶的位置，测量出人与镜子的距离；②将镜子后移，重复①中的操作；③求建筑物高度.如图所示，前后两次人与镜子的距离分别 ,两次观测时镜子间的距离为am，人的“眼高”为hm，则建筑物的高度为
9. 已知数列{}满足: 则
A.2 B.2
C.2
10. 已知函数 的图象关于点对称，则
A.在 单调递增
B.直线是曲线的一条对称轴
C.曲线在点处的切线方程为
D.是一个极值点
11. 已知分别为双曲线 的左、右焦点，过F 的直线与双曲线左支交于A、B两点,且,以为圆心,为半径的圆经过点，则的离心率为
12. 已知则
A. B. C. D.
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
13. 已知向量若,则 .
14. 在 的展开式中的系数为 .
15. 核桃(又称胡桃、羌桃)、扁桃、腰果、榛子并称为世界著名的“四大干果”.它的种植面积很广，但因地域不一样，种植出来的核桃品质也有所不同：现已知甲、乙两地盛产核桃，甲地种植的核桃空壳率为2%(空壳率指坚果，谷物等的结实性指标，因花未受精，壳中完全无内容，称为空壳)，乙地种植的核桃空壳率为4%，将两地种植出来的核桃混放在一起，已知甲地和乙地核桃数分别占总数的40%，60%，从中任取一个核桃，则该核桃是空壳的概率是 .
16. 已知直线圆E:,则以下命题正确的是 .
①直线均与圆E不一定相交；②直线被圆E截得的弦长的最小值2 ;③直线被圆E截得的弦长的最大值为6；④若直线与圆交于两点，与圆交于两点，则四边形ABCD的面积最大值为14.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23 为选考题，考生根据要求作答.)
(一)必考题：共60分
17. (12分)已知为△的内角所对的边,向量,且.
(1)求C;
(2)若2,△ABC 的面积为2 ,且 求线段CD的长.
18. (12分)如图,平面ABCD是圆柱OO 的轴截面,EF是圆柱的母线,AF∩DE =G,BF∩CE =H,∠ABE=60°,AB =AD =2.
(1)求证:GH∥平面ABCD;
(2)求平面ABF与平面CDE夹角的正弦值.
19. (12分)甲、乙足球爱好者决定加强训练提高球技，两人轮流进行定位球训练(每人各踢一次为一轮)，在相同的条件下，每轮甲、乙两人在同一位置，一人踢球另一人扑球，甲先踢，每人踢一次球，两人有1人进球另一人不进球，进球者得1分，不进球者得-1分；两人都进球或都不进球，两人均得0分，设甲每次踢球命中的概率为 ，乙每次踢球命中的概率为 ，甲扑到乙踢出球的概率为 ，乙扑到甲踢出球的概率 ，且各次踢球互不影响.
(1)经过一轮踢球，记甲的得分为X，求X 的分布列及数学期望；
(2)若经过两轮踢球，用P 表示经过第2轮踢球后，甲累计得分高于乙累计得分的概率,求P .
20. (12分)已知椭圆的左，右顶点分别为A，B，左焦点为 点 在椭圆上.
(1)求C的方程;
(2)设直线l与C交于不同于B的M,N两点,且BM⊥BN,求|BM|·|BN|的最大值.
21. (12分)已知函数
(1)证明:存在唯一零点;
(2)设若存在∈(-1,+∞),使得 ,证明:.
(二)选考题：共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.
22. [选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为 (为参数).
(1)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求曲线C极坐标方程；
(2)若点A，B为曲线C上的两个点，且OA⊥OB，求证：O到直线AB的距离为定值.
23. [选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数
(1)求不等式的解集;
(2)若 且 ,求满足条件的整数的所有取值的和.
理数参考答案(三)
一、选择题：
1 -5BDDCD 6-10 BAABD 11 -12 BC
二、填空题：
13.-4 14.- 120 15.3.2% 16.②③④
三、解答题：
17. 解:(1)因为,所以.
由正弦定理，得, 即 ,
由余弦定理，得
因为,所以
，解得.
因为则
所以
18. 解:(1)由题意知,CD ∥AB,CD 平面CDE,AB 平面CDE,
所以AB∥平面CDE,
因为AF∩DE =G,BF∩CE =H,
所以平面CDE∩平面ABF =GH,
因为AB 平面ABF,所以AB ∥GH,又AB 平面ABCD,
GH 平面ABCD,所以GH∥平面ABCD;
在Rt△ABE中,由∠ABE =60°,AB =AD =2,得
所以E(0,0,0),A(,0,0),B(0,1,0),C(0,1,2),D(，0,2),F(0,0,2),
(2)以点E为原点建立如图所示空间直角坐标系，
在Rt△ABE中,由∠ABE =60°,AB =AD =2,得
所以E(0,0,0) ,A( ，,0,0),B( 0,1,0),C(0,1,2),D(
设平面CDE的一个法向量为,则
由令得
设平面ABF的一个法向量为则
由得令，得
所以
所以平面ABF与平面CDE的夹角的正弦值为
19. 解：(1)记一轮踢球甲进球为事件A，乙进球为事件B，由题意知A，B相互独立，
由题意得：
甲得分X的可能取值为-1，0，1，
则
所以X的分布列为：
X -1 0 1
P
所以
(2)根据题意，经过第2轮踢球累计得分后甲得分高于乙得分的情况有三种，
分别是：甲两轮中第1轮得0分，第2轮得1分；
或者甲第1轮得1分，第2轮得0分；
或者甲两轮各得1分，
于是=
20.解:(1)C 的方程为
(2)由题意知，直线l的斜率不为0，
则不妨设直线l的方程为
联立消去得
, 化简整理得,
设 ,则
因为BM ⊥BN,所以
因为B(2,0),所以.
得 ,
将代入上式
得
得
解得，或t =2(舍去).
所以直线l的方程为 则直线l恒过点
所以
设则
易知在（0，）上单调递增
所以时,S△BMN取得最大值
又
所以
21. 解:(1)由题意可得. -1)-
记则
因为0时,恒成立,所以在(-1,+∞)上单调递增,
因为,所以在(-1,0)上恒小于0,在(1,+∞)上恒大于0,
所以在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,
因为,所以有唯一零点0.
(2)由可得
若是方程的根,则是方程的根
因为x都单调递增，
所以,,
设
所以 的解为(1,+∞),的解为( 1,1),
所以在(-1,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
所以h(x)的最小值为,即的最小值为
故原不等式成立.
22. 解:(1)由得
所以曲线C的直角坐标方程为
将代入到得
化简得
所以曲线C的极坐标方程为
(2)由于OA ⊥OB,故可设
所以
即为定值
由于0到直线AB的距离
所以O到的直线AB距离为定值
解: (1)当时,
∴,∴,∴
当时,,∴
当时,,
综上,不等式的解集为
(2)因为,
∴为偶函数,
当时,,
当时,,
当3时,,
作出函数图象如图所示，
若 , 则
①;
②或
③,
综上整数的取值为0,1,2,3,故和为6.

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