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2023北京部分名校中考数学备考——几何综合
参考答案与试题解析
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠B＝α＜30°，线段BC的垂直平分线分别交线段AB、BC于点D，E．
（1）如图1，用等式表示DE和AC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F，
①依题意补全图形；
②用等式表示AF，EF，DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）通过证明△ACB∽△DEB，可得，即可求解；
（2）①由题意画出图形即可；
②由角的数量关系可证AC＝AH，DF＝HF，即可求解．
【解答】解：（1）AC＝2DE，理由如下：
∵DE垂直平分BC，
∴CE＝BE＝BC，DE⊥BC，
∴AC∥DE，
∴△ACB∽△DEB，
∴，
∴AC＝2DE；
（2）①如图所示：
②AF＝3DE﹣EF，理由如下：
如图，连接DC交AF于H，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴DC＝DB，
∴∠DBC＝∠DCB＝α，
∴∠ACD＝∠CDE＝90°﹣α，
∵将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F，
∴∠CAF＝2α，
∴∠AHC＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α＝∠ACD，
∴AC＝AH，
∵∠DHF＝∠CDF＝90°﹣α，
∴DF＝HF，
∵AC＝2DE，
∴AH＝2DE，
∴AF＝AH+HF＝2DE+DF＝3DE﹣EF．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，线段垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
2．如图，等边△ABC中，点D在边BC上，且BD＜CD，点E在边AB上，且AE＝BD，连接AD，CE交于点F．
（1）求∠DFC的度数；
（2）在线段FC上截取FG＝FA，连接BG交AD于点H，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段BH与GH之间的数量关系，并证明；
（3）若等边△ABC是的边长是2，直接写出线段BH的最小值．
【分析】（1）根据△ABC是等边三角形得到AB＝CA，∠BAC＝∠ABC＝60°，结合AE＝BD即可得到△AEC≌△BDA，得到∠ACE＝∠BAD，根据三角形外角关系即可得到答案；
（2）如图所示，延长FD到 M，使得FM＝FC，连接BM，CM，则△FMC是等边三角形，∠AFC＝120°，先证明△ACF≌△BCM，得到AF＝BM，∠BMC＝∠AFC＝120°，再证明△BHM≌△GHF，即可证明BH＝GH；
（3）如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN，由全等三鱼形的性质得到FH＝MH，即点H为MF的中点，则∠ACH＝90°，推出点H在以AC为直径的圆上运动，故当B、H、N三点共线时，BH有最小值，求出BN＝，则BH最小＝﹣1．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝CA，∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△AEC和△BDA中，
∴△AEC≌ABDA（SAS），
∴∠ACE＝∠BAD，
∵∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝60°，
∴∠DFC＝∠CAD+∠ACE＝60°；
（2）BH＝GH，证明如下：
如图所示，延长FD到M，使得FM＝FC，连接BM、CM，
∵FM＝FC，∠MFC＝60°，
∴△FMC是等边三角形，∠AFC＝180°﹣∠MFC＝120°，
∴CM＝CF，∠FCM＝∠FMC＝60°．
∵ABC是等边三角形，
∴CA＝CB，∠ACB＝60°，
∴∠ACF＝∠BCM，
∴△ACF≌△BCM（SAS），
∴AF＝BM，∠BMC＝∠AFC＝120°，
∴∠BMH＝∠BMC﹣∠CMH＝60°，
∴∠BMH＝∠GFH，
∵AF＝GF，
∴BM＝GF，
又∠BHM＝∠GHF，
∴△BHM≌△GHF（AAS），
∴BH＝GH；
（3）解：如图所示，连接CH，取AC的中点N，连接BN，
∵△BHM≌△GHF，
∴FH＝MH，即点H为MF的中点，
∵△FMC 是等边三角形，
∴CH⊥MF，即∠AHC＝90°，
∴点H在以AC为直径的圆上运动，
∴当B、H、N三点共线时，BH有最小值，
∴△ABC是等边三角形，N是AC的中点，
∴BN⊥AC，CN＝AC＝1，
∴BN＝＝，
∴BH最小＝﹣1．
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定以及最值问题，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
3．如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB边中点，点P为CE上一点．作线段DP的垂直平分线交线段EF于点M，连接AD，AM，MP．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠MAD＝α，
①请用含α的式子表示∠AMP；
②判断△DMP的形状，并证明．
【分析】（1）根据要求作出图形；
（2）①证明MA＝MP，用α表示出∠MAP，∠MPA即可；
②△DMP是等边三角形，证明∠MDP＝60°，MD＝MP即可．
【解答】解：（1）图形如图所示．
（2）①∵△ABC是等边三角形，BD＝DC，
∴AD⊥BC，∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵AF＝FB，AE＝EC，
∴EF∥CB，
∴EF垂直平分线段AD，
∴MA＝MD，
∵点M在BC的垂直平分线上，
∴MD＝MP，
∴MA＝MP，
∴∠MAP＝∠MPA＝30°﹣α，
∴∠AMP＝180°﹣2（30°﹣α）＝120°+2α；
②△DPM是等边三角形．
理由：∵MA＝MD＝MP，
∴点M是△ADP的外心，
∴∠ADP＝∠AMP＝60°+α，
∵MA＝MD，
∴∠MAD＝∠MDA＝α，
∴∠MDP＝60°，
∵MD＝MP，
∴△MDP是等边三角形．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等边三角形的判定，线段的垂直平分线的性质，三角形的外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
4．如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠A＝90°，∠C＝45°，作∠CDE＝135°，使得点E和点A在直线CD异侧，连接AC，将射线AC绕点A逆时针旋转90°交射线DE于点F．
（1）：①依题意，补全图形；
②证明：DF＝BC．
（2）连接BD，若G为线段BD的中点，连接CG，请用等式表示线段CG与AF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①按要求画图即可；
②由“ASA”可证△ABC≌△ADF，即可证明；
（2）由“AAS”可证△DGH≌△BGC，可得CG＝HG，BC＝DH，由“SAS”可证△CDH≌△CDF，可得CF＝CH＝2CG，由等腰直角三角形的性质可得结论．
【解答】（1）①解：如图1所示：
②证明：∵将射线AC绕点A逆时针旋转90°，
∴∠FAC＝90°＝∠DAB，
∴∠FAD＝∠CAB，
∵∠DAB＝90°，∠DBC＝45°，
∴∠ADC+∠ABC＝225°，
∵∠ADC+∠CDF+∠ADF＝360°，
∴∠ADC+∠ADF＝225°，
∴∠ADF＝∠ABC，
又∵AD＝AB，
∴△ABC≌△ADF（ASA），
∴DF＝BC；
（2）如图2，过点D作DH∥BC，交CG的延长线于H，连接CF，
∵点G是BD的中点，
∴DG＝BG，
∵DH∥BC，
∴∠DHC＝∠BCH，∠HDC+∠BCD＝180°，
∴∠HDC＝135°，
∵∠DGH＝∠BGC，
∴△DGH≌△BGC（AAS），
∴CG＝HG，BC＝DH，
∴DF＝DH＝BC，CH＝2CG，
又∵∠CDF＝∠CDH＝135°，CD＝CD，
∴△CDH≌△CDF（SAS），
∴CF＝CH＝2CG，
∵△ABC≌△ADF，
∴AC＝AF，∠FAC＝90°，
∴CF＝AF，
∴CG＝AF．
【点评】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
5．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将线段CB绕点C顺时针旋转α角得到线段CD，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，连接AD交CB，CE于点F，G．
（1）当α＝60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出∠AGC的大小；
（2）当α≠60°时，如图2，试判断线段AG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若F为BC的中点，直接写出BD的长．
【分析】（1）根据题意作图，根据等腰三角形的性质和角的和差即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出∠GDE＝45°；再根据等腰直角三角形的判定和性质得出，连接BG，可证明∠AGB是直角，进而证明△AGB～△CED，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）过点F作FN⊥AB，通过△ANF～△AGB，再利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）依题意补全图形，如图所示：
∵∠BCD＝α＝60°，AC＝BC，CE⊥BD，
∴，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC+∠BCD＝90°+α＝150°，
∵AC＝CD，
∴，
∴∠GDE＝∠BDC﹣∠CDA＝45°，
∴∠DGE＝90°﹣45°＝45°＝∠AGC；
（2），证明如下：
连接BG，
∵∠BCD＝α，DC＝BC，CE⊥BD，
∴，BE＝DE，
∴BG＝DG，
∵∠BCA＝90°，
∴∠ACD＝∠BAC+∠BCD＝90°+α，
∵AC＝CD，
∴，
∴∠GDE＝∠BDC﹣∠CDA＝45°＝∠GBE，
∴∠CBG＝∠CDG，∠BGD＝90°＝∠AGB，△DEG是等腰直角三角形，
∴，
∵AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
∴，
∴∠CDE＝∠ABG，
∵∠CED＝∠AGB，
∴△AGB～△CED，
∴，
∴；
（3）过点F作FN⊥AB，则∠ANF＝90°＝∠AGB＝∠BNF，
∵∠ANF＝∠AGB，
∴△ANF～△AGB，
∴，
∵F为BC的中点，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，
∴，，∠ABC＝45°，
∴，，
∴，
∴，
∵△BEG是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
6．已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）如图1，当α＝20°时，
①直接写出∠CDE的度数；
②判断线段AE与BE的数量关系，并证明；
（2）当45°＜α＜90°时，依题意补全图2，请直接写出线段AE与BC的数量关系（用含α的式子表示）．
【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；
②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；
（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE，可得结论．
【解答】解：（1）①∵以CB为斜边作等腰直角三角形△BCD，
∴∠CDB＝90°，∠CBD＝45°．
∵∠ABC＝20°，
∴∠EBD＝25°．
∵过点D作DE⊥AB于E，
∴∠DEB＝90°．
∴∠EBD+∠EDB＝90°．
∵∠CDB＝90°，即∠CDE+∠EDB＝90°．
∴∠CDE＝∠EBD＝25°．
②结论：AE＝BE．理由如下：
如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，
∵BD＝DH，CD⊥BD，
∴CH＝BC，
∴∠CHB＝∠CBH＝45°，
∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，
∴点A，点C，点B，点H四点共圆，
∵∠HCB＝90°，
∴BH是直径，D是圆心，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE；
（2）结论： AE＝BC cos（α﹣45°）．
理由：如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，
∵BD＝DH，CD⊥BD，
∴CH＝BC，
∴∠CHB＝∠CBH＝45°，
∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，
∴点A，点B，点C，点H四点共圆，
∵∠HCB＝90°，
∴BH是直径，D是圆心，
∵DE⊥AB，
∴AE＝BE，
∵BE＝BD cos（α﹣45°），BD＝BC ，
∴AE＝ BC cos（α﹣45），
∴ AE＝BC cos（α﹣45°）．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，垂径定理等知识，证明点A，点B，点C，点H四点共圆是本题的关键．
7．在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点（不与A、D重合），连接EB、EC．
将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上，在图1中补全图形：
（1）求∠CEF的度数；
（2）探究线段AC，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；
（3）将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边AB交于点H，连接CH，若AB＝5，当AE＝BH时，请写出CH+CE的最小值．
【分析】（1）可推出∠AFE＝∠ABE＝∠ACE，从而得出低昂A、E、C、F共圆，从而得出∠CEF＝∠CAF＝120°；
（2）在AC上截取C＝AF，作EH⊥AC于H，可推出△AEF≌△GEC，从而AE＝EG，∠AEF＝∠CEG，进而得出∠AEG＝∠FEC＝120°，进一步可得出结果；
（3）将AC绕点A顺时针旋转90°至AN，连接NE，连接CN，结合全等三角形的判定和性质进行分析求解．
【解答】解：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°，AB＝AC，
∴∠CAF＝120°，
∵点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∵BE＝CE，
∴∠DBE＝∠DCE，
∴∠ABC﹣∠DBE＝∠ACB﹣∠DCE，
∴∠ABE＝∠ACE，
由旋转可知：BE＝EF，
∴∠ABE＝∠AFE，
∴∠AFE＝∠ABE，
∴点A、E、C、F共圆，
∴∠CEF＝∠CAF＝120°；
（2）如图2，
AC＝AF+AE，理由如下：
在AC上截取CG＝AF，作EH⊥AC于H，
由（1）知：∠AFE＝∠ACE，
∵EF＝BE＝CE，
∴△AEF≌△GEC（SAS），
∴AE＝EG，∠AEF＝∠CEG，
∴∠AEF+∠FEG＝∠CEG+∠FEG，AH＝HG＝AG
∴∠AEG＝∠FEC＝120°，
∴∠AEH＝∠GEH＝，
∴AH＝AE sin∠AEH＝AE sin60°＝AE，
∴AG＝2AH＝，
∴AC＝CG+AG＝AF+AE．
（3）如图，将AC绕点A顺时针旋转90°至AN，连接NE，连接CN，
则∠NAE＝90°﹣∠CAD＝60°，AN＝AC＝BC＝5，
∴∠NAE＝∠CBH＝60°，
又∵AE＝BH，
∴△NAE≌△CBH（SAS），
∴CH＝EN，
∴CH+CE＝NE+EC≥CN，
当N、E、C三点共线时NE+EC最小，
在等腰直角△CAN中：CN＝，
∴CH+CE的最小值为5．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，确定圆的条件，等边三角形的性质，旋转的性质，锐角三角函数等，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
8．在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段BC上动点（与点B，C不重合），连接AP，过点C作CD⊥AP交AB于点D，在线段AC上截取CQ＝CP，过点Q作QE⊥AP交AB干点E．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠PAC＝∠BCD；
（3）用等式表示线段DB与DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意画出图形，可求解；
（2）由余角的性质可求解；
（3）由“AAS”可证△CPF≌△CQH，△ACF≌△CBM，可得CF＝CH＝EN＝BM，由“AAS”可证△BDM≌△EDN，可得DE＝DB．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵CD⊥AP，
∴∠CAP+∠ACD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠PAC＝∠BCD；
（3）BD＝ED，理由如下：
如图，过点C作CH⊥QE，交直线QE于H，过点E作EN⊥CD于N，过点B作BM⊥CD，交CD的延长线于M，设CD与AP于点F，
∵CD⊥AP，QE⊥AP，CH⊥QE
∴∠HCD＝90°，
又∵CH⊥HE，EN⊥CD，
∴四边形CHEN是矩形，
∴CH＝EN，
∵∠HCD＝∠ACP＝90°，
∴∠HCQ＝∠PCF，
又∵∠CHQ＝∠CFP＝90°，CQ＝CP，
∴△CPF≌△CQH（AAS），
∴CF＝CH，
∵∠PAC＝∠BCD，∠AFC＝∠M＝90°，AC＝BC，
∴△ACF≌△CBM（AAS），
∴CF＝BM，
∴BM＝EN，
又∵∠M＝∠END，∠BDM＝∠EDN，
∴△BDM≌△EDN（AAS），
∴BD＝ED．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
9．如图，已知∠MON＝90°，A为射线OM上一点（点A不与点重合），将线段OA绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BA，再将线段BA绕点A逆时针旋90°得到线段CA，连接BC，并延长BC交射线ON于点D，连接AD．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段CD，BD和AD的数量关系，并证明；
（3）已知CD＝1，BC＝2，平面内是否存在点E，使得∠OEC＝∠OAC，∠AED＝90°，若存在，直接写出OE的长；若不存在，说明理由．
【分析】（1）画∠BAC＝90°，截取AC＝AB，连接BC交ON于D，连接AD；
（2）作AE⊥BC，表示出AE和DE，根据勾股定理得AE2+DE2＝AD2，化简求得关系式；
（3）以AD为直径作圆I，以A为圆心，OA为半径作圆，两圆交于点E，建立坐标系，设E（x，y），根据IE＝和QE＝，列出方程组，求得点E坐标，进而求得OE的长．
【解答】解：（1）如图1，
（2）如图2，
BD2+CD2＝2AD2，理由如下：
作AE⊥BC于E，
∵AB＝AC，
∴BE＝CE＝，
∵∠BAC＝90°，
∴AE＝BC，
∵BC＝BD﹣CD，
∴AE＝CE＝（BD﹣CD），DE＝CD+CE＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
AE2+DE2＝AD2，
∴（BD﹣CD）2+（BD+CD）2＝AD2，
∴BD2+CD2＝2AD2；
（3）如图3，
存在AE＝，理由如下：
∵∠AED＝90°，
∴点E在以AD为直径的⊙I上运动，
以A为圆心，OA为半径作⊙A，与⊙I交于点E，
则∠OEC＝，
以ON为x轴，OM为y轴建立坐标系，
BD＝CD+BC＝3，
由（2）知：2AD2＝CD2+BD2，
∴2AD2＝12+32，
∴AD＝，
∵OA＝AC＝＝，
∴OD＝＝，
∴I（，），
设点E（x，y），
由AE＝，IE＝＝得，
，
∴，，
∴OE2＝（）2+（）2＝，
∴OE＝，
故OE的长是．
【点评】本题考查了等腰三角形性质，勾股定理，圆周角定理及其推论等知识，解决问题的关键是作辅助线，确定点的位置．
10．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）①根据题意画图即可，②由条件可证△ABE≌△ACF（SAS），得到∴ABE＝∠ACF＝45°，从而有CF⊥BC，再通过平行线分线段成比例即可证出G为BF的中点；
（2）由（1）知△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，G为BF的中点仍然成立，设AD＝CD＝x，CE＝y，表示出AE，BE，AG即可发现它们之间的数量关系．
【解答】解：（1）①如图1：
②如图，连接CF，
∵∠BAC＝∠EAF＝90°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠ABE＝∠ACF＝45°，
∵∠ACB＝45°，
∴∠BCF＝45°+45°＝90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD∥CF，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴BG＝FG，
∴G为BF的中点．
（2）2AE2﹣4AG2＝BE2.理由如下：
如图2，连接CF，
由（1）可知：△ABE≌△ACF（SAS），
∴∠BCF＝90°，G为BF的中点仍然成立，
且BE＝CF，
设AD＝CD＝x，CE＝y，
则BE＝CF＝2x+y，
∵DG＝，
∴AG＝，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得：AE2＝x2+（x+y）2，
∴AE2＝2x2+2xy+y2，BE2＝（2x+y）2＝4x2+4xy+y2，AG2＝，
∴2AE2﹣4AG2＝BE2．
【点评】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，表示出AE，BE，AG的长度是解决问题的关键．
11．如图，点D为等边△ABC外一点，且点A，D位于直线BC的两侧，∠BDC＝60°，过点A作AE⊥CD于E，记∠CAE＝α
（1）求∠CBD（用含α的式子表示）
（2）证明：；
（3）直接写出CE，BD与AE的数量关系．
【分析】（1）首先根据等边三角形的性质可得∠ACB＝60°，根据直角三角形的性质可得∠ACD＝90°﹣α，可得∠BCD＝30°﹣α，再根据三角形内角和定理，即可求解；
（2）延长DC到点F，使CF＝BD，首先根据等边三角形的性质，可证得AC＝CB，根据∠ACD＝90°﹣α，可证得∠ACF＝∠CBD，即可证得△ACF≌△CBD（SAS），再根据全等三角形的性质及解直角三角形，即可证得结论；
（3）根据解直角三角形即可求解．
【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵AE⊥CD，
∴∠AEC＝90°，
∵∠CAE＝α，
∴∠ACD＝90°﹣∠CAE＝90°﹣α，
∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，
∴∠CBD＝180°﹣∠BCD﹣∠BDC＝180°﹣（30°﹣α）﹣60°＝90°+α；
（2）证明：如图：延长DC到点F，使CF＝BD，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝CB，
∵∠ACD＝90°﹣α，
∴∠ACF＝180°﹣∠ACD＝180°﹣（90°﹣α）＝90°+α，
∴∠ACF＝∠CBD，
在△ACF与△CBD中，
，
∴△ACF≌△CBD（SAS），
∴AF＝CD，∠F＝∠BDC＝60°，
在Rt△AEF中，，
∴；
（3）解：如上图：在Rt△AEF中，∠F＝60°，
∴AE＝EF tanF＝EF＝（CF+CE），
∵CF＝BD，
∴．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，作出辅助线是解决本题的关键．
12．在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．
（1）如图1，当AE＜EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当AE＞EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CG，AC之间的数量关系．
【分析】（1）在EC上截取EM＝AE，可证明得∠ADE＝∠F，进而证明△ABM≌△BFG，进一步得出结论；
（2）方法和（1）相同，△ABM≌△BFG，从而得出BG＝AM，进而得出CM＝CG，AC＝BC，根据三角形中位线定理得BM＝2DE，在直角三角形BCM中，根据勾股定理得出关系式．
【解答】解：（1）∠ADE＝∠BFG，BG＝2AE，证明如下：
在AC上截取EM＝AE，
∵FH⊥DE，
∴∠FHE＝∠GHE＝90°，
∵∠ACB＝∠ECG＝90°，
在四边形BDHF中，
∵∠ABC+∠DHF＝180°，
∴∠F+∠BDH＝180°，
∵∠DEC+∠DEA＝180°，
∴∠DEA＝∠HGC，
∵AD＝DB，AE＝EM，
∴DE∥BM，
∴∠ABM＝∠ADE，
∴∠ABM＝∠F，
在△ABM和△BFG中，
，
∴△ABM≌△BFG（ASA），
∴AM＝BG，
∴BG＝2AE；
（2）补全图形如图所示，
延长AC至M，使EM＝AE，
∵AD＝BD，
∴BM＝2DE，
由（1）知：△ABM≌△BFG（ASA），
∴AM＝BG，
∴AC+CM＝BC+CG，
∵AC＝BC，
∴CM＝CG，
在Rt△BCM中，由勾股定理得，
BC2+CM2＝BM2，
∴AC2+CG2＝4DE2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，旋转性质等知识，解决问题的关键是作辅助线构造三角形的中位线和全等三角形．
13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD交CA，CE于点F，G．
（1）当α＝60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出∠BGC的大小；
（2）当α≠60°时，如图2，试判断线段BG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若F为AC的中点，直接写出AD的长．
【分析】（1）根据题意作图，根据等腰三角形的性质和角的和差即可求解；
（2）根据等腰三角形的性质和角的和差即可求出∠GDE＝45°；再根据等腰直角三角形的判定和性质得出AG＝DE，连接AG，可证明∠AGB是直角，进而证明△BGA∽△CED，根据相似三角形的性质求解即可；
（3）过点F作FN⊥AB，通过证明△BNF∽△BGA，再利用相似三角形的性质和等腰三角形的性质进行求解即可．
【解答】解：（1）依题意补全图形，如图所示：
∵∠ACD＝α＝60°，AC＝BC，CE⊥AD，
∴∠ADC＝（180°﹣∠ACD）＝90α＝60°，∠DCE＝α＝30°，∠CED＝90°，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCD＝∠ABC+∠ACD＝90°+α＝150°，
∵BC＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝45°﹣α＝15°，
∴∠GDE＝∠ADC﹣∠CDB＝45°，
∴∠DGE＝90°﹣45°＝45°＝∠AGC；
（2）BG＝CE，证明如下：
连接AG，
∵∠ACD＝α，DC＝AC，CE⊥AD，
∴∠ADC＝（180°﹣∠ACD）＝90α，∠DCE＝α＝∠DAC，∠CED＝90°，AE＝DE，
∴AG＝DG，
∵∠BCA＝90°，
∴∠BCD＝∠ABC+∠ACD＝90°+α，
∵BC＝CD，
∴α，
∴∠GDE＝∠ADC﹣∠CDB＝45°＝∠GAE，
∴∠CAG＝∠CDG，∠AGD＝90°＝∠AGB，△DEG是等腰直角三角形，
∴AG＝DE，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝45°，
∴∠BAG＝∠BAC+∠CAG＝90°﹣α，
∴∠CDE＝∠BAG，
∵∠CED＝∠BGA，
∴△BGA∽△CED，
∴，
∴BG＝CE；
（3）过点F作FN⊥AB，则∠BNF＝90°＝∠BGA＝∠ANF，
∵∠BNF＝∠AGB，
∴△BNF∽△BGA，
∴，
∵F为AC的中点，AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴CF＝AC＝2＝AF，AB＝＝4，∠BAC＝45°，
∴BF＝＝2，NF＝，
∴，
∴AG＝，
∵△AEG是等腰直角三角形，
∴AE＝AG＝，
∴AD＝．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握知识点，准确作出辅助线是解题的关键．
14．已知AB＝BC，∠ABC＝90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．
（1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，
①求证：CE+DE＝AD；
②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；
（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．
【分析】（1）①先证明△ABD≌△BCE（AAS），可得：AD＝BE，BD＝CE，由BD+DE＝BE，运用等量代换即可得出答案；
②补全图形如图2所示，先证明△ADF≌△BEA（AAS），得出DF＝AE，再由勾股定理可得：AD2+DE2＝AE2，运用等量代换即可得出答案；
（2）由于AD＝BE，设AD＝BE＝x，由勾股定理得AB2＝AD2+BD2，当DE最大时，BD最小，AB的值最小，又AB2＝x2+（x﹣3）2＝2x2﹣6x+9＝2（x﹣）2+，运用二次函数的最值即可得出答案．
【解答】（1）证明：①∵AD⊥l，CE⊥l，
∴∠ADB＝∠BEC＝90°，
∴∠A+∠ABD＝90°，
∵∠ABD+∠CBE＝∠ABC＝90°，
∴∠A＝∠CBE，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，BD＝CE，
∵BD+DE＝BE，
∴CE+DE＝AD；
②补全图形如图2所示，BE2+DE2＝DF2，
∵AH⊥DF，
∴∠FAE+∠F＝90°，
∵AF∥BC，
∴∠FAB＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴∠FAE+∠BAE＝90°，
∴∠F＝∠BAE，
∵∠ADF+∠EDH＝90°，∠AEB+∠EDH＝90°，
∴∠ADF＝∠AEB，
由①知：AD＝BE，
在△ADF和△BEA中，
，
∴△ADF≌△BEA（AAS），
∴DF＝AE，
在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，
∴BE2+DE2＝DF2；
（2）设AD＝BE＝x，
∵DE的最大值为3，
∴BD＝|x﹣3|，
∵AB2＝AD2+BD2，当DE最大时，BD最小，AB的值最小，
∴AB2＝x2+（x﹣3）2＝2x2﹣6x+9＝2（x﹣）2+，
∵2＞0，
∴AB2有最小值，
∴当DE的最大值为3时，AB的值为．
【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，二次函数性质的运用，勾股定理等，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．
15．如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．
（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；
（2）求证：BF⊥DF；
（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由轴对称的性质得出∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，由正方形的性质得出∠BAD＝90°，AB＝AD，得出∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，由等腰三角形的性质即可得出答案；
（2）由轴对称的性质得出∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．得出AE＝AD．由等腰三角形的性质得出∠ADE＝∠AED．证出∠BFD+∠BAD＝180°，得出∠BFD＝90°即可；
（3）过点B作BM⊥BF交AF于点M，证明△BMF是等腰直角三角形，得出BM＝BF，FM＝BF，证明△AMB≌△CFB（SAS），得出AM＝CF，即可得出结论．
【解答】（1）解：由轴对称的性质得：∠EAP＝∠BAP＝α，AE＝AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∴∠DAE＝90°﹣2α，AD＝AE，
∴∠ADF＝∠AED＝（180°﹣∠DAE）＝（90°+2α）＝45°+α；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴∠AEF＝∠ABF，AE＝AB．
∴AE＝AD．
∴∠ADE＝∠AED．
∵∠AED+∠AEF＝180°，
∴在四边形ABFD中，∠ADE+∠ABF＝180°，
∴∠BFD+∠BAD＝180°，
∴∠BFD＝90°
∴BF⊥DF；
（3）解：线段AF，BF，CF之间的数量关系为AF＝BF+CF，理由如下：
过点B作BM⊥BF交AF于点M，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠ABM＝∠CBF，
∵点E与点B关于直线AP对称，∠BFD＝90°，
∴∠MFB＝∠MFE＝45°，
∴△BMF是等腰直角三角形，
∴BM＝BF，FM＝BF，
在△AMB和△CFB中，，
∴△AMB≌△CFB（SAS），
∴AM＝CF，
∵AF＝FM+AM，
∴AF＝BF+CF．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 　互相垂直　，若BC＝a，则CD的长为 　a　；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得AD与CB'的位置关系是互相垂直，过点A作AM⊥BC于点M，根据等腰三角形性质得到CM＝BM＝BC＝a，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得出CD＝CM＝a；
（2）当点E与点C不重合时，①过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB'点N，利用AAS证明△ACD≌△ACM，根据全等三角形性质即可得到∠BAC＝2∠DAE；
②在BC上截取BF＝CD，连接AF，利用SAS证明△ABF≌△ACD，根据全等三角形性质得到AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，根据角的和差得到∠FAE＝∠DAE，再利用SAS证明△FAE≌△DAE，根据全等三角形性质及线段和差即可得到BE＝CD+DE．
【解答】解：（1）当点E与点C重合时，∠DAE＝∠DAC，
∵∠DAE+∠ACD＝90°，
∴∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥CB'，
即AD与CB'的位置关系是互相垂直，
若BC＝a，过点A作AM⊥BC于点M，如图：
则∠AMC＝90°＝∠ADC，
∵AB＝AC，
∴CM＝BM＝BC＝a，
在△ACD与△ACM中，
，
∴△ACD≌△ACM（AAS），
∴CD＝CM＝a，
即CD的长为a，
故答案为：互相垂直；a；
（2）①当点E与点C不重合时，用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系是：∠BAC＝2∠DAE，证明如下：
过点A作AM⊥BC于点M、AN⊥CB'点N，如图：
则∠AMC＝∠ANC＝90°，
∴∠CAN+∠ACB'＝90°，
∵∠DAE+∠ACD＝90°，
即∠DAE+∠ACB'＝90°，
∴∠DAE＝∠CAN，
∵AB＝AC，AM⊥BC，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠BAM，
在△ACN与△ACM中，
，
∴△ACN≌△ACM（AAS），
∴∠CAN＝∠CAM，
∴∠BAC＝2∠CAM＝2∠CAN＝2∠DAE；
②用等式表示线段BE、CD、DE之间的量关系是：BE＝CD十DE，证明如下：
在BC上截取BF＝CD，连接AF，如图：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∵∠ACB'＝∠ACB，
∴∠B＝∠ACB′＝∠ACD，
在△ABF和△ACD中，
，
∴△ABF≌△ACD（SAS），
∴AF＝AD，∠BAF＝∠CAD，
∴∠BAF+∠CAE＝∠CAD+∠CAE＝∠DAE，
由①知：∠BAC＝2∠DAE，
即∠DAE＝∠BAC，
∴∠BAF+∠CAE＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠BAC﹣（∠BAF+∠CAE）＝∠BAC，
∴∠FAE＝∠DAE，
在△FAE和△DAE中，
，
∴△FAE≌△DAE （SAS），
∴FE＝DE，
∴BE＝FE+BF＝CD+DE．
【点评】此题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．
17．已知等边△ABC，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点．
（1）如图1，∠ADB＝∠CEB＝60°，求证：AD＝BE；
（2）如图2，∠ADB＝∠CEB＝90°，BD＝1，BE＝2，求AD的长．
【分析】（1）由等边三角形的性质结合题意易证△CBE≌△BAD（AAS），即得出AD＝BE；
（2）分别作∠AMB＝∠CNB＝60°，且角的顶点落在直线l上．由（1）可知△ABM≌△BCN，即得出AM＝BN，BM＝CN．设EN＝x，则AM＝BN＝2+x．在Rt△ADM中，利用锐角三角函数可求出，，从而可求出．再在Rt△CEN中，利用锐角三角函数可得出，即可列出关于x的等式，解出x的值，即可求出AD的长．
【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴∠ABD+∠CBE＝120°，
∵∠ADB＝∠CEB＝60°，
∴∠ABD+∠BAD＝120°，
∴∠CBE＝∠BAD，
∴△CBE≌△BAD（AAS），
∴AD＝BE；
（2）解：如图，分别作∠AMB＝∠CNB＝60°，且角的顶点落在直线l上，
由（1）可知△ABM≌△BCN，
∴AM＝BN，BM＝CN．
设EN＝x，则AM＝BN＝2+x．
在Rt△ADM中，，，
∴．
在Rt△CEN中，，
∴，即，
解得：，
∴．
【点评】本题考查等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形等知识．掌握三角形全等的判定定理是解题关键．在解（2）时作出辅助线构造全等三角形也是关键．
18．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，连接CD．过C点做CD的垂线，并在这条线上（C的下方）截取CE＝2CD，连接BE．
（1）根据题目条件补全图形；
（2）证明：∠A＝∠BCE；
（3）用等式表示AC、BC和BE的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题目中的条件作图即可．
（2）根据∠ACB＝90°，CE⊥CD，可得∠ACD＝∠BCE，再根据D为斜边AB的中点，得到∠A＝∠ACD，即可得到结论．
（3）过点E作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，根据题目条件证明△ABC≌△CEH，得到对应边相等，在Rt△BHE中，用勾股定理得到，从而得出结论．
【解答】（1）解：如图所示：
（2）证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠BCE+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
∵D为斜边AB的中点，
∴AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠A＝∠BCE．
（3）解：结论：．
理由：过点E作EH⊥CB，交CB的延长线于点H，如图所示，
∵CE＝2CD，D为AB的中点
∴AB＝CE，
∵∠A＝∠ECH，∠ACB＝∠H，
∴△ABC≌△CEH（AAS），
∴AC＝CH，CB＝HE，
∵CH＝BC+BH，，
∴．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定及性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．
19．已知：线段AB，点C是线段AB的中点，点D在直线AB上，线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，过B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，交直线DE于点G．
（1）补全图形；
（2）在（1）中补全图形中，求AE与BG的数量关系；
（3）在（1）中补全图形中，用等式表示AB、EG、CD的数量关系，并证明．
【分析】（1）按照题目要求补全图形即可；
（2）连接BE，先证明∠A+∠GEF＝45°，再表示出∠G＝90°﹣∠GEF，∠BEG＝90°﹣∠GEF，问题随之得解；
（3）过B作BH⊥DG交DG于点H，根据等腰直角三角形的性质即可作答．
【解答】解：（1）补全图形如下：
（2）AE＝BG，理由如下：
连接BE，如图，
∵线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，
∴CD＝CE，AB⊥CE，即∠CDE＝∠CED＝45°，
∵点C是线段AB的中点，
∴CE垂直平分线段AB，
∴AE＝BE，
∴∠A＝∠ABE，
∵∠CDE＝∠CED＝45°，
∴∠A+∠AED＝45°，
∵∠AED＝∠GEF，
∴∠A+∠GEF＝45°，
∵BF⊥AE，
∴∠G+∠GEF＝90°，
∴∠G＝90°﹣∠GEF，
∵∠A＝∠ABE，∠A+∠ABE＝∠FEB，
∴2∠A＝∠FEB，
∴∠BEG＝∠FEB+∠GEF＝2∠A+∠GEF，
∵∠A+∠GEF＝45°，
∴∠BEG＝90°﹣∠GEF，
∴∠BEG＝∠G，
∴BE＝BG，
∴AE＝BG；
（3），理由如下：
过B作BH⊥DG交DG于点H，如图，
在（2）中已证明AE＝BG，∠CDE＝∠CED＝45°，
∵BH⊥DG，
∴，∠CDE＝∠HBD＝45°，
利用勾股定理可得：，
∵∠CDE＝∠CED＝45°，AB⊥CE，
利用勾股定理可得：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
整理：．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质以及三角形外角的性质等知识，掌握等腰三角形的判定与性质是解答本题的关键．
20．如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，BD＜CD，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求∠DFC的度数．
（2）在线段FC上截取FG＝FA，连接BG交AD于点H，根据题意，补全图形，用等式表示线段BH与GH之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由等边三角形的性质易得BA＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，，再根据全等三角形的性质得∠BDA＝∠AEC，由三角形外角的性质，等量代换，即可求解；
（2）在FD上取点M，使FM＝EF，推出△AEF≌△GMF，过点B作BN交AD的延长线于点N，使BN＝BD，推出△BHN≌△GHM（AAS），即可得出结论．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴∠BDA＝∠AEC，
∵∠BDA＝∠DFC+∠ECB，
∴∠DFC＝∠EBC＝60°；
（2）解：BH＝GH，补全图形如下：
在FD上取点M，使FM＝EF，
在△AEF和△GMF中，
，
∴△AEF≌△GMF（SAS），
∴MG＝EA，∠FMG＝∠FEA，
∵AE＝BD，
∴MG＝BD，
过点B作BN交AD的延长线于点N，使BN＝BD，
∴BN＝MG，∠N＝∠BDN，
由（1）知△ABD≌△CAE，
∴∠CEA＝∠ADB，
∵∠FMG＝∠FEA，
∴∠ADB＝∠FMG，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠FMG，
∴∠BDN＝∠GMH，
∴∠N＝∠GMH，
在△BHN和△GHM中，
，
∴△BHN≌△GHM（AAS），
∴BH＝GH．
【点评】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键．
21．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．
（1）∠BAC+∠DAE＝　180　°；
（2）取CD中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明．
【分析】（1）由旋转可知∠DAE＝180°﹣α，所以得到：∠BAC+∠DAE＝α+180°﹣α＝180°；
（2）连接并延长AF，使FG＝AF，连接DG，CG；因为DF＝CF，AF＝GF；可以得到四边形ADGC为平行四边形；从而有∠DAC+∠ACG＝180°，再证∠ACG＝∠BAE，继而证明△ABE≌△CAG，得到BE＝AG，即可得线段AF与BE的数量关系．
【解答】解：（1）由旋转可知∠DAE＝180°﹣α，
∴∠BAC+∠DAE＝α+180°﹣α＝180°；
故答案为：180；
（2）如图，连接并延长AF，使FG＝AF，连接DG，CG；
∵DF＝CF，AF＝GF；
∴四边形ADGC为平行四边形；
∴∠DAC+∠ACG＝180°，
即∠ACG＝180°﹣∠DAC，
∴∠BAE＝∠BAC+∠DAE﹣∠DAC＝180°﹣∠DAC，
∴∠ACG＝∠BAE，
∵四边形ADGC为平行四边形，
∴∠AD＝CG，
∵AD＝AE，
∴AE＝CG，
∴△ABE≌CAG（SAS），
∴BE＝AG，
∴AF＝AG＝BE，
∴线段AF与BE的数量关系为：AF＝BE．
【点评】本题考查了旋转的性质，旋转角的定义，全等三角形的性质与判定，解题的关键是得出△ABE≌CAG．
22．如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图1所示，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE，求证：AD＝BE；
（2）若D是△ABC外部一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，并使AE＝AB，连结BD，猜想：线段CD和BD满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明．
（3）如图3所示，若O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，且OM＝，CM＝，∠BMC＝45°，则BM＝　7　．
【分析】（1）由等腰直角三角形性质得AC＝BC，再由旋转的性质得CD＝CE，∠DCE＝90°，然后由SAS证△∠ACD≌△BCE，即可得出结论；
（2）连接AD、BE，AD交BE于点O，AD交BC于点N，连接DE，证△ACD≌△BCE（SAS），得∠DAC＝∠EBC，再证AD⊥BE，则OE＝OB，然后由等腰三角形的性质得DE＝BD，即可得出结论；
（3）过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，证△POC≌△MOB（SAS），得CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，再证∠PQM＝∠POM＝90°，则△CMQ是等腰直角三角形，得CQ＝MQ＝5，设PC＝x，则PQ＝（x+5），然后在Rt△PQM中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴AC＝BC，
由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∵∠ACD+∠DCB＝90°，∠BCE+∠DCB＝90°，
∴∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△∠ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（2）解：如图2，BD＝CD，连接AD、BE，AD交BE于点O，AD交BC于点N，连接DE，
由旋转的性质得：CD＝CE，∠DCE＝90°，
∴△DCE是等腰直角三角形，
∴DE＝CD，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB+∠DCB＝∠DCE+∠DCB，
即∠ACD＝∠BCE，
又∵AC＝BC，CD＝CE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴∠DAC＝∠EBC，
∵∠ANC＝∠BNO，
∴∠ACN＝∠BON，
∵∠ACB＝90°，
∴∠BOA＝90°，
即AD⊥BE，
∵AE＝AB，
∴OE＝OB，
∴DE＝BD，
∴BD＝CD；
（3）解：如图3，过点O作OP⊥OM，且OP＝OM，连接PM、PC，并延长PC交BM于点Q，交QM于点H，连接OC，
则∠POM＝90°，
∵△ABC是等腰直角三角形，O是斜边AB的中点，
∴CO⊥AB，CO＝AB＝OB，
∴∠COB＝∠POM＝90°，
∴∠POC＝∠MOB，
∴△POC≌△MOB（SAS），
∴CP＝BM，∠OPC＝∠OMB，
又∵∠OHP＝∠QHM，
∴∠PQM＝∠POM＝90°，
∠BMC＝45°，
∴△CMQ是等腰直角三角形，
∴CQ＝MQ＝CM＝5，
在Rt△POM中，PM＝OM＝13，
设PC＝x，则PQ＝（x+5），
在Rt△PQM中，由勾股定理得：52+（x+5）2＝132，
解得：x＝7（负值已舍去），
∴PC＝7，
∴BM＝PC＝7，
故答案为：7．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）连接CM，由等腰三角形的性质得出AD垂直平分线段CD，∠ABD＝∠ACD，证出BM＝CM＝EM，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）在线段AC上取一点G，使得AG＝AM，连接MG，证出△AMG是等边三角形，由等边三角形的性质得出AG＝AM＝MG，∠EGM＝60°，证明△BAM≌△EGM（AAS），由全等三角形的性质得出AB＝EG，则可得出结论．
【解答】解：（1）∠ABM＝∠AEM，
理由如下：连接CM，
∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD垂直平分线段CB，∠ABD＝∠ACD，
即∠ABM+∠MBD＝∠ACM+∠MCD，
∴BM＝CM，
∵ME＝MB，
∴BM＝CM＝EM，
∴∠MBD＝∠MCD，∠AEM＝∠ACM，
∵∠ABM+∠MBD＝∠ACM+∠MCD，
∴∠ABM＝∠AEM；
（2）AB＝AM+AE．
证明：在线段AC上取一点G，使得AG＝AM，连接MG，
∵AB＝AC，D是BC的中点，∠BAC＝120°，
∴∠BAM＝∠CAD＝60°，
∵AG＝AM，
∴△AMG是等边三角形，
∴AG＝AM＝MG，∠EGM＝60°，
∴∠BAM＝∠EGM，
在△BAM和△EGM中，
，
∴△BAM≌△EGM（AAS），
∴AB＝EG，
∵EG＝AE+AG，AG＝AM，
∴AB＝AM+AE．
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
24．已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F．过点C作直线BE的垂线CH，垂足为点H．
（1）当α为锐角时，依题意补全图形，并直接写出∠DEB的度数；
（2）在（1）的条件下，写出线段BE和FH之间的数量关系，并证明；
（3）设直线CH与直线DE相交于点P，若AB＝2，直接写出线段AP长的最大值和最小值．
【分析】（1）依题意补全图形，连接DE，以AE为半径A为圆心作⊙A，根据圆周角定理即可求解；
（2）过点A作AM⊥EF于点M，连接AC，FC，DF，设ED，AF交于点G，证明△AMB≌△BHC，得出BM＝CH，△MAB∽△FAC，得出∠AFC＝∠AMF＝90°，进而得出FH＝HC，即可得证；
（3）以CD为斜边在右侧作等腰直角三角形ODC，以O为圆心，为半径作⊙O，连接AO，根据（1）的结论得出P在⊙O上运动，过点O作OQ⊥AD交延长线于点Q，则OQ＝DQ＝1，进而勾股定理求得OA，根据点到圆上的距离，进而即可求解．
【解答】解：（1）补全图形，如图所示，
连接DE，以AE为半径A为圆心作⊙A，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，
∵，
∴；
（2）BE＝2FH，
理由：如图所示，过点A作AM⊥EF于点M，连接AC，FC，DF，设ED，AF交于点G，
∵AB＝AE，AM⊥EF
∴EM＝MB，∠1＝∠2，
∵CH⊥BH，∴∠H＝∠AMB＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBH＝90°﹣∠ABM＝∠1，
在△AMB，△BHC中，
，
∴△AMB≌△BHC（AAS），
∴BM＝CH，
∵AF平分∠EAD，又AE＝AD，
∴AF⊥ED，
又（1）可得∠DEF＝45°，
∴∠AFE＝45°，
∴∠AFM＝45°，又AM⊥EF，则△AMF是等腰直角三角形，
∴∠2+∠3＝45°，，
又∵AC是正方形的对角线，
∴∠BAC＝∠3+∠4＝45°，，
∴∠2＝∠4，，
∴△MAB∽△FAC，
∴∠AFC＝∠AMF＝90°，
∴∠CFH＝180°﹣∠AFC﹣∠AFE＝45°，
∴△FCH是等腰直角三角形，
∴FH＝HC，
∴，
即BE＝2FH；
（3）解：如图所示，
以CD为斜边在右侧作等腰直角三角形ODC，以O为圆心，为半径作⊙O，连接AO，
∵∠DEH＝45°，∠H＝90°，
∴，
∴P在⊙O上运动，
∵AB＝2，则⊙O的半径，
如图所示，过点O作OQ⊥AD交延长线于点Q，则OQ＝DQ＝1，
∴AQ＝AD+DQ＝2+1＝3，
∴，
∴线段AP长的最大值为，最小值为．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了圆周角定理，正方形的性质，求一个点到圆上的距离，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知识是解题的关键．
25．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边AC上，将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM，过点D作DE⊥BM于E，延长CB到F，使BF＝AD，连接EF．
（1）依题意，补全图形，判断线段AE与EF的位置关系与数量关系，并证明；
（2）若H为线段BD的中点，连接AH，请用等式表示线段AE与AH之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形，证明△ADE≌△FBE（SAS），即可得到结论；
（2）延长AH到点T，使HT＝AH，证明△AHD≌△THB（SAS），推出AD＝BT，∠CAT＝∠BTI，求得∠ABT＝135°，∠ABF＝135°，证明△ABT≌△ABF（SAS），即可求解．
【解答】解：（1）补全图形，如图，AE＝EF，且AE⊥EF；理由如下，
∵将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM，过点D作DE⊥BM于E，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴DE＝BE，
设BC与DE相交于点G，
∵∠DCG＝∠BEG＝90°，∠DGC＝∠BGE，
∴∠CDG＝∠EBG，
∴∠ADE＝∠FBE，
又∵DE＝BE，AD＝BF，
∴△ADE≌△FBE（SAS），
∴AE＝EF，∠AED＝∠FEB，
∴∠AEB＝∠DEB＝90°，
∴AE＝EF，且AE⊥EF；
（2）．理由见解析，
延长AH到点T，使HT＝AH，连接BT、ET、FT、AF，
∵H为线段BD的中点，HT＝AH，∠AHD＝∠THB，
∴△AHD≌△THB（SAS），
∴AD＝BT，∠CAT＝∠BTI，
∵∠AIC＝∠TIB，
∴∠ACI＝∠TBI＝90°，
∴∠TBF＝90°，
∴BF＝AD＝BT，
∵∠ABT＝45°+90°＝135°，∠ABF＝360°﹣90°﹣135°＝135°，
∴∠ABT＝∠ABF＝135°，
又∵BT＝BF，AB＝AB，
∴△ABT≌△ABF（SAS），
∴AT＝AF，
∴AF＝2AH，
由（1）得△AEF是等腰直角三角形，
∴，
∴．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26．在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②直接写出CD，AD，ED之间的数量关系 　AD2+CD2＝DE2　；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
【分析】（1）如图，连接AE，证明△BCD≌△BAE，得到，AE＝CD，∠BAE＝∠C，推出∠DAE＝90°，即可得出CD，AD，ED之间的数量关系；
（2）如图，设BF交CE于H，延长BF至G，使GF＝BF，连接AG，证明△BCD≌△BAE（SAS）和△GAB≌△EBC（SAS），即可得证．
【解答】解：（1）①补全图形如下：
②结论：AD2+CD2＝DE2．
理由：连接AE，
∵将线段BD绕点B顺旋转90°，得到线段BE，
∴∠DBE＝90°，BD＝BE，
∵∠CBA＝90°，
∴∠CBD+∠DBA＝∠ABE+∠DBA，
∴∠CBD＝∠ABE，
又∵AB＝BC，
∴△BCD≌△BAE（SAS），
∴AE＝CD，∠BAE＝∠C，
∵∠C+∠CAB＝90°，
∴∠BAE+∠CAB＝90°，即：∠DAE＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2，
∴AD2+CD2＝DE2；
（2）CE＝2BF，CE⊥BF，证明如下：
如图，设BF交CE于H，延长BF至G，使GF＝BF，连接AG，
∵F是AD中点，
∴AF＝DF，
∵FG＝BF，∠AFG＝∠DFB，
∴△AFG≌△DFB（SAS），
∴∠GAF＝∠FDB，AG＝BD，
∵BD＝BE，
∴AG＝BE，
∵∠ABC＝90°，BA＝BC，
∴BCD＝∠CAB＝45°，
∴∠FDB＝∠DBC+∠DCB＝∠DBC+45°，
∴∠GAF＝∠DBC+45°，
∴∠GAB＝∠GAF+∠BAC＝∠DBC+45°+45°＝∠DBC+90°，
∵∠CBE＝∠DBC+∠DBE＝∠DBC+90°，
∴∠GAB＝∠CBE，
∵AB＝BC，
∴△GAB≌△EBC（SAS），
∴BG＝CE，∠ABG＝∠BCE，
∵BG＝2BF，
∴CE＝2BF，
∵∠ABG+∠GBC＝90°，
∴∠BCE+∠GBC＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴CE⊥BF．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握旋转的性质，三角形全等的判定方法，证明三角形全等是解题的关键．
27．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．
【分析】（1）证明∠CDE＝∠C'DE和∠ADF＝∠C'DF，可得∠FDP'＝∠ADC＝45°；
（2）作辅助线，构建全等三角形，证明△BAP≌△DAP'（SAS），得BP＝DP'，从而得△PAP'是等腰直角三角形，可得结论；
（3）先作高线C'G，确定△ACC′的面积中底边AC为定值2，根据高的大小确定面积的大小，当C'在BD上时，C'G最大，其△ACC′的面积最大，并求此时的面积．
【解答】解：（1）由对称得：CD＝C'D，∠CDE＝∠C'DE，
在正方形ABCD中，AD＝CD，∠ADC＝90°，
∴AD＝C'D，
∵F是AC'的中点，
∴DF⊥AC'，∠ADF＝∠C'DF，
∴∠FDP＝∠FDC'+∠EDC'＝∠ADC＝45°；
（2）结论：BP+DP＝AP，
理由是：如图，作AP'⊥AP交PD的延长线于P'，
∴∠PAP'＝90°，
在正方形ABCD中，DA＝BA，∠BAD＝90°，
∴∠DAP'＝∠BAP，
由（1）可知：∠FDP＝45°，
∵∠DFP＝90°，
∴∠APD＝45°，
∴∠P'＝45°，
∴AP＝AP'，
在△BAP和△DAP'中，
∵，
∴△BAP≌△DAP'（SAS），
∴BP＝DP'，
∴DP+BP＝PP'＝AP；
（3）如图，过C'作C'G⊥AC于G，则S△AC'C＝AC C'G，
Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝＝2，即AC为定值，
当C'G最大值，△AC'C的面积最大，
连接BD，交AC于O，当C'在BD上时，C'G最大，此时G与O重合，
∵CD＝C'D＝，OD＝AC＝1，
∴C'G＝﹣1，
∴S△AC'C＝AC C'G＝＝﹣1．
【点评】本题考查四边形综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．D是AB边上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E．
（1）用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；
（2）连接BE，延长BE至F，使EF＝BE．连接DC，CF，DF．
①依题意补全图形；
②判断△DCF的形状，并证明．
【分析】（1）结论：AD＝2AE．利用直角三角形30度角的性质证明即可；
（2）①根据要求作出图形即可；
②结论：△DFC是等边三角形．延长AE到R，使得ER＝AE，连接BR，RF，DR．证明△RFD≌△ACD（SAS），推出DF＝DC，∠RDF＝∠ADC，可得结论．
【解答】解：（1）结论：AD＝2AE．
理由：∵DE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∴AD＝2AE；
（2）①图形如图所示：
②结论：△DFC是等边三角形．
理由：延长AE到R，使得ER＝AE，连接BR，RF，DR．
∵DE⊥AR．AE＝ER，
∴DR＝DA，
∵∠DAE＝60°，
∴△ADR是等边三角形，
∴∠ADR＝∠DRA＝60°，
∵AE＝RE，∠AEB＝∠REF，EB＝EF，
∴△AEB≌△REF（SAS），
∴AB＝RF，∠EAB＝∠ERF＝60°，
∵AB＝AC，
∴RF＝AC，
∵∠DRF＝∠DAC＝120°，RD＝AD，
∴△RFD≌△ACD（SAS），
∴DF＝DC，∠RDF＝∠ADC，
∴∠FDC＝∠RDA＝60°，
∴△DFC是等边三角形．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
29．在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠BAC＝∠BDC＝α，将射线AD绕点A顺时针旋转α，与BD相交于点E．
（1）如图1，探究∠AEB和∠ADC的数量关系并证明；
（2）如图2，当α＝90°时，过点E作EG∥AD交BC于点G，射线AD与射线BC相交于点F．请补全图形，写出FG与AB的数量关系，并证明．
【分析】（1）结论：∠AEB＝∠ADC；利用三角形的外角的性质证明即可；
（2）结论：GF＝AB．证明△BAE≌△CAD（ASA），推出BE＝CD，AE＝AD，再证明△BEG≌△CTF（AAS），推出BC＝GF，可得结论．
【解答】解：（1）结论：∠AEB＝∠ADC．
理由：由题意得：∠DAE＝a，∠BDC＝∠BAC＝α，
∴∠AEB＝∠EAD+∠ADE＝∠ADE+a＝∠ADE+CDB＝∠ADC；
（2）图形如图所示．结论：GF＝AB．
理由：设AC交BD于点O．过点C作CT∥BD交AF于点T．
∵∠BAC＝∠EAD＝90°，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵∠BAO＝∠ODC＝90°，∠AOB＝∠DOC，
∴∠ABE＝∠ACD，
在△BAE和△CAD中，
，
∴△BAE≌△CAD（ASA），
∴BE＝CD，AE＝AD，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∵CT∥BD，
∴∠ADB＝∠DTC＝45°，∠EBG＝∠TCF，
∵∠BDC＝90°，
∴∠CDT＝∠CTD＝45°，
∴CD＝CT，
∵EG∥AF，
∴∠BGE＝∠CFT，
在△BEG和△CTF中，
，
∴△BEG≌△CTF（AAS），
∴BG＝CF，
∴BC＝GF，
∵BC＝AB，
∴GF＝AB．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
30．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由旋转的性质画出图形即可；
（2）延长BC与DE交于F，由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB，根据旋转的性质得出∠ACD＝∠ADC，由四边形内角和得出∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，求出∠DCE＝60°．可得出△CDE为等边三角形；
（3）作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，得出△PCQ为等边三角形，证明四边形PBQC是菱形，可根据AAS证明△ACP≌△DBQ，得出AP＝DQ．则PA﹣PB＝CD成立．
【解答】解：（1）补全图形如图1．
（2）△CDE为等边三角形，证明如下：
延长BC与DE交于F，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，①
∵线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，
∴AD＝AB＝AC，∠BAD＝60°，
∴∠ACD＝∠ADC，②
∵四边形ABCD中，∠BAD+∠ABC+∠BCD+∠CDA＝360°．
∴∠ABC+∠ACB+∠ACD+∠ADC＝300°，③
∴由①②③，得∠ACB+∠ACD＝150°，
即∠BCD＝150°，
∴∠DCF＝180°﹣∠BCD＝30°，
∵点E与点D关于直线BC对称，
∴∠ECF＝∠DCF＝30°，DC＝CE，
∴∠DCE＝60°．
∴△DCE是等边三角形；
（3）存在，作AG⊥BC于G，直线EC与AG的交点即为点P，
证明：延长AG与DC交于点Q，连接QB，BD，
由（2）可知，∠PCD＝180°﹣∠DCE＝120°，∠PCQ＝∠DCE＝60°，∠PCG＝∠FCE＝30°，
∴∠CPG＝90°﹣∠PCG＝60°，
∴∠PQC＝∠CPQ＝∠PCQ＝60°，
∴△PCQ为等边三角形，
∴PC＝CQ，∠APC＝120°﹣∠PCD，①
∵AG⊥BC，AC＝AB，
∴AG垂直平分BC，
∴PB＝PC＝QB＝QC，
∴四边形PBQC是菱形，
∴PB＝QC，∠PBQ＝∠PCQ＝60°，②
∵QB＝QC，
∴∠QBC＝∠QCB，
∴∠ABQ＝∠ACQ，
∵AB＝AD，∠BAD＝60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴∠ABD＝60°＝∠PCQ，
∴∠ABQ﹣∠ABD＝∠ACQ﹣∠PCQ，
∴∠DBQ＝∠ACP，③
∴由①②③得△ACP≌△DBQ（AAS），
∴AP＝DQ．
∵CQ＝PB，
∴AP＝DQ＝DC+CQ＝DC+PB．
即PA﹣PB＝CD成立．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，四边形内角和，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，轴对称的性质，图形旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质，轴对称的性质是解题的关键．
31．在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．
（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB＝∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由平行线的性质可得出∠AGH＝∠GHC．证得∠EAB＝∠AGH．则结论得证；
（2）①依题意补全图形即可；
②连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．证得NA＝NE．得出∠ANE＝∠ANQ＝90°．则可得出AE＝NE＝CN．
【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，
∴∠AGH＝∠GHC．
∵GH⊥AE，
∴∠EAB＝∠AGH．
∴∠EAB＝∠GHC．
（2）①补全图形，如图所示．
②证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q．
∵四边形ABCD是正方形，
∴点A，点C关于BD对称．
∴NA＝NC，∠BAN＝∠BCN．
∵PN垂直平分AE，
∴NA＝NE．
∴NC＝NE．
∴∠NEC＝∠NCE．
在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD＝90°，
∴∠AQE＝∠NEC．
∴∠BAN+∠AQE＝∠BCN+∠NCE＝90°．
∴∠ANE＝∠ANQ＝90°．
在等腰Rt△ANE中，
∴AE＝NE＝CN．
【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，轴对称的性质，中垂线的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
32．如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
【分析】（1）由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，再由∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，可得∠B+∠BCA＝180°﹣α，即可证明∠B＝∠ACD；
（2）①在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，先证明△CDM≌△BCN（ASA），再证明△ECM≌△CAN（ASA），即可求解；
②由①可知CM＝BN，CM＝AN，则CM＝AN＝BN＝AB＝a，即可求出AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【解答】解：（1）∠B＝∠ACD，理由如下：
由旋转可知∠BCD＝180°﹣α，
∴∠ACD+∠BCA＝180°﹣α，
∵∠A＝α，
∴∠B+∠BCA＝180°﹣α，
∴∠B＝∠ACD；
（2）①DM＝EM，理由如下：
在AB上取点N使得∠BCN＝∠CDM，
∵BC＝CD，∠B＝∠ACD，
∴△CDM≌△BCN（ASA），
∴CN＝DM，
∵∠CMD＝∠E+∠BEM，∠BNC＝∠ACN+∠A，
又∵∠ECM＝∠A＝α，
∴∠E＝∠ACN，
∴△ECM≌△CAN（ASA），
∴CN＝EM，
∴DM＝EM；
②由①可知，CM＝BN，CM＝AN，
∴CM＝AN＝BN＝AB＝a，
∴AM＝AC﹣CM＝b﹣a．
【点评】本题考查图形旋转的性质，熟练掌握图形旋转的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
33．如图，在等边△ABC中，点D是边CB延长线上一动点（BD＜BC），连接AD，点B关于直线AD的对称点为E，过D作DF∥AB交CE于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AD＝CF；
（3）当∠DCE＝15°时，直接写出线段AD，EF，BC之间的数量关系．
【分析】（1）根据要求画出图形即可解决问题．
（2）如图2中，连接AE，BE，BF，设AD交EC于O．想办法证明△FBC≌△DBA（SAS）可得结论．
（3）证明△AEC是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质可得结论．
【解答】（1）解：图形如图1所示，
（2）证明：如图2中，连接AE，BE，BF，设AD交EC于O．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠ABC＝60°
∵B，E关于AD对称，
∴AE＝AB，
∴AE＝AB＝AC，
∴点A是△BCE的外接圆的圆心，
∴∠BEC＝∠BAC＝30°，
∵AD垂直平分线段BE，
∴OE＝OB，
∴∠OEB＝∠OBE＝30°，
∴∠COB＝∠OEB+∠OBE＝60°，
∴∠BOC＝∠BAC，
∴O，B，C，A四点共圆，
∴∠AOC＝∠ABC＝60°，
∴∠BOD＝60°，
∴∠DOF＝60°，∠BOF＝120°，
∵DF∥AB，
∴∠FDB＝∠ABC＝60°，
∴∠FDB+∠FOB＝180°，
∴D，F，O，B四点共圆，
∴∠DFB＝∠DOB＝60°，
∴△DFB是等边三角形，
∴∠FBD＝60°，BD＝BF，
∵AB＝CB，∠DBA＝∠FBC＝120°，
∴△FBC≌△DBA（SAS），
∴CF＝AD．
（3）解：如图3中，结论：AD+EF＝BC．
理由：∵∠ECD＝15°，∠ACB＝60°，
∴∠ACE＝45°，
∵AE＝AB＝AC，
∴∠AEC＝∠ACE＝45°，
∴AE＝AC，EC＝AC＝BC，
∵AD＝CF，
∴AD+EF＝CF+EF＝EC，
∴AD+EF＝BC．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆，圆周角定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
34．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
（2）用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系；并证明．
【分析】（1）根据三角形内角和定理可得结论；
（2）作DH⊥CD，交AE于H点，利用ASA证明△ADH≌△CDE，得CE＝AH，DH＝ED，即可证明结论．
【解答】解：（1）如图，∠BAE＝∠BCD，
证明：∵CD⊥AB，AE⊥BC，
∴∠ADC＝∠AEC＝90°，
∵∠AGD＝∠CGE，
∴∠BAE＝∠BCD；
（2）AE＝CE+DE，
证明：作DH⊥ED，交AE于H点，
则∠EDH＝∠ADC＝90°，
∴∠ADH＝∠CDE，
∵∠BAC＝45°，∠ADC＝90°，
∴AD＝CD，
∴△ADH≌△CDE（ASA），
∴CE＝AH，DH＝ED，
∴EH＝DE，
∴AE＝CE+DE．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2023/5/20 9:45:13；用户：笑涵数学；邮箱：15699920825；学号：369061112023北京部分名校中考数学备考——几何综合
1．（2023春 海淀区人大附中月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，令∠B＝α＜30°，线段BC的垂直平分线分别交线段AB、BC于点D，E．
（1）如图1，用等式表示DE和AC之间的数量关系，并证明．
（2）如图2，将射线AC绕点A逆时针旋转2α交线段DE于点F，
①依题意补全图形；
②用等式表示AF，EF，DE之间的数量关系，并证明．
2．（2023 海淀区人大附中开学考）如图，等边△ABC中，点D在边BC上，且BD＜CD，点E在边AB上，且AE＝BD，连接AD，CE交于点F．
（1）求∠DFC的度数；
（2）在线段FC上截取FG＝FA，连接BG交AD于点H，根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段BH与GH之间的数量关系，并证明；
（3）若等边△ABC是的边长是2，直接写出线段BH的最小值．
3．（2023 海淀区清华附中开学考）如图，在等边△ABC中，D，E，F分别是BC，CA，AB边中点，点P为CE上一点．作线段DP的垂直平分线交线段EF于点M，连接AD，AM，MP．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠MAD＝α，
①请用含α的式子表示∠AMP；
②判断△DMP的形状，并证明．
4．（2023 海淀区理工附中模拟）如图，在四边形ABCD中，AD＝AB，∠A＝90°，∠C＝45°，作∠CDE＝135°，使得点E和点A在直线CD异侧，连接AC，将射线AC绕点A逆时针旋转90°交射线DE于点F．
（1）：①依题意，补全图形；
②证明：DF＝BC．
（2）连接BD，若G为线段BD的中点，连接CG，请用等式表示线段CG与AF之间的数量关系，并证明．
5．（2023春 海淀区101中学月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将线段CB绕点C顺时针旋转α角得到线段CD，连接BD，过点C作CE⊥BD于点E，连接AD交CB，CE于点F，G．
（1）当α＝60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出∠AGC的大小；
（2）当α≠60°时，如图2，试判断线段AG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若F为BC的中点，直接写出BD的长．
6．（2023 海淀区交大附中模拟）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）如图1，当α＝20°时，
①直接写出∠CDE的度数；
②判断线段AE与BE的数量关系，并证明；
（2）当45°＜α＜90°时，依题意补全图2，请直接写出线段AE与BC的数量关系（用含α的式子表示）．
7．（2023 海淀区首师大附中模拟）在等边△ABC中，点D为BC的中点，点E为AD上一点（不与A、D重合），连接EB、EC．
将线段EB绕点E顺时针旋转至EF，使点F落在BA的延长线上，在图1中补全图形：
（1）求∠CEF的度数；
（2）探究线段AC，AE，AF之间的数量关系，并加以证明；
（3）将线段EC绕点E旋转，在旋转过程中与边AB交于点H，连接CH，若AB＝5，当AE＝BH时，请写出CH+CE的最小值．
8．（2023 海淀区首师大附中开学考）在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P是线段BC上动点（与点B，C不重合），连接AP，过点C作CD⊥AP交AB于点D，在线段AC上截取CQ＝CP，过点Q作QE⊥AP交AB干点E．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠PAC＝∠BCD；
（3）用等式表示线段DB与DE之间的数量关系，并证明．
9．（2022春 海淀区清华附中月考）如图，已知∠MON＝90°，A为射线OM上一点（点A不与点重合），将线段OA绕点A顺时针旋转α（45°＜α＜90°）得到线段BA，再将线段BA绕点A逆时针旋90°得到线段CA，连接BC，并延长BC交射线ON于点D，连接AD．
（1）依题意补全图形；
（2）用等式表示线段CD，BD和AD的数量关系，并证明；
（3）已知CD＝1，BC＝2，平面内是否存在点E，使得∠OEC＝∠OAC，∠AED＝90°，若存在，直接写出OE的长；若不存在，说明理由．
10．（2023 海淀区首师大附中模拟）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，过点A作BC的垂线AD，垂足为D，E为射线DC上一动点（不与点C重合），连接AE，以点A为中心，将线段AE逆时针旋转90°得到线段AF，连接BF，与直线AD交于点G．
（1）如图1，当点E在线段CD上时，
①依题意补全图形；
②求证：点G为BF的中点．
（2）如图2，当点E在线段DC的延长线上时，用等式表示AE，BE，AG之间的数量关系，并证明．
11．（2023春 海淀区首师大附中月考）如图，点D为等边△ABC外一点，且点A，D位于直线BC的两侧，∠BDC＝60°，过点A作AE⊥CD于E，记∠CAE＝α
（1）求∠CBD（用含α的式子表示）
（2）证明：；
（3）直接写出CE，BD与AE的数量关系．
12．（2023春 海淀区首师大附中月考）在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，D是AB的中点，E为边AC上一动点（不与点A，C重合），连接DE，将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到线段BF，过点F作FH⊥DE于点H，交射线BC于点G．
（1）如图1，当AE＜EC时，比较∠ADE与∠BFG的大小；用等式表示线段BG与AE的数量关系，并证明；
（2）如图2，当AE＞EC时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CG，AC之间的数量关系．
13．（2023 海淀区十九中+八一学校模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD交CA，CE于点F，G．
（1）当α＝60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出∠BGC的大小；
（2）当α≠60°时，如图2，试判断线段BG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若F为AC的中点，直接写出AD的长．
14．（2023 海淀区玉渊潭中学模拟）已知AB＝BC，∠ABC＝90°，直线l是过点B的一条动直线（不与直线AB，BC重合），分别过点A，C作直线l的垂线，垂足为D，E．
（1）如图1，当45°＜∠ABD＜90°时，
①求证：CE+DE＝AD；
②连接AE，过点D作DH⊥AE于H，过点A作AF∥BC交DH的延长线于点F．依题意补全图形，用等式表示线段DF，BE，DE的数量关系，并证明；
（2）在直线l运动的过程中，若DE的最大值为3，直接写出AB的长．
15．（2023春 海淀区师达中学月考）如图，在正方形ABCD中，P是边BC上的一动点（不与点B，C重合），点B关于直线AP的对称点为E，连接AE．连接DE并延长交射线AP于点F，连接BF．
（1）若∠BAP＝α，直接写出∠ADF的大小（用含α的式子表示）；
（2）求证：BF⊥DF；
（3）连接CF，用等式表示线段AF，BF，CF之间的数量关系，并证明．
16．（2023 海淀区北师大三附一模）在△ABC中，AB＝AC，过点C作射线CB'，使∠ACB'＝∠ACB（点B'与点B在直线AC的异侧）点D是射线CB'上一动点（不与点C重合），点E在线段BC上，且∠DAE+∠ACD＝90°．
（1）如图1，当点E与点C重合时，AD与CB'的位置关系是 　 　，若BC＝a，则CD的长为 　 　；（用含a的式子表示）
（2）如图2，当点E与点C不重合时，连接DE．
①用等式表示∠BAC与∠DAE之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段BE，CD，DE之间的数量关系，并证明．
17．（2023 海淀区五十七中学二模）已知等边△ABC，其中点D、E是过顶点B的一条直线l上两点．
（1）如图1，∠ADB＝∠CEB＝60°，求证：AD＝BE；
（2）如图2，∠ADB＝∠CEB＝90°，BD＝1，BE＝2，求AD的长．
18．（2023 海淀区人大附中经开区校区模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点，连接CD．过C点做CD的垂线，并在这条线上（C的下方）截取CE＝2CD，连接BE．
（1）根据题目条件补全图形；
（2）证明：∠A＝∠BCE；
（3）用等式表示AC、BC和BE的数量关系，并证明．
19．（2023春 西城区三帆中学月考）已知：线段AB，点C是线段AB的中点，点D在直线AB上，线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，过B作BF⊥AE交AE的延长线于点F，交直线DE于点G．
（1）补全图形；
（2）在（1）中补全图形中，求AE与BG的数量关系；
（3）在（1）中补全图形中，用等式表示AB、EG、CD的数量关系，并证明．
20．（2023 西城区师大二附西城实验学校模拟）如图，在等边△ABC中，点D，E分别在边BC，AB上，BD＜CD，且BD＝AE，AD与CE交于点F．
（1）求∠DFC的度数．
（2）在线段FC上截取FG＝FA，连接BG交AD于点H，根据题意，补全图形，用等式表示线段BH与GH之间的数量关系，并证明．
21．（2023 西城区北师大附属实验中学模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D在边BC上（不与点B，C重合），连接AD，以点A为中心，将线段AD逆时针旋转180°﹣α得到线段AE，连接BE．
（1）∠BAC+∠DAE＝　 　°；
（2）取CD中点F，连接AF，用等式表示线段AF与BE的数量关系，并证明．
22．（2023 西城区铁路二中模拟）如图所示，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．
（1）如图1所示，若D是△ABC内一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，连结AD，BE，求证：AD＝BE；
（2）若D是△ABC外部一点，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，并使AE＝AB，连结BD，猜想：线段CD和BD满足什么数量关系？请在图2中画出符合要求的图形（一种即可），并在你所画图形的基础上完成证明．
（3）如图3所示，若O是斜边AB的中点，M为BC下方一点，且OM＝，CM＝，∠BMC＝45°，则BM＝　 　．
23．（2023 西城区十三中模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC中点，连接AD．点M在线段AD上（不与点A，D重合），连接MB，点E在CA的延长线上且ME＝MB，连接EB．
（1）比较∠ABM与∠AEM的大小，并证明；
（2）用等式表示线段AM，AB，AE之间的数量关系，并证明．
24．（2023 西城区师大二附西城实验学校模拟）已知正方形ABCD，将边AB绕点A顺时针旋转α至线段AE，∠DAE的角平分线所在直线与直线BE相交于点F．过点C作直线BE的垂线CH，垂足为点H．
（1）当α为锐角时，依题意补全图形，并直接写出∠DEB的度数；
（2）在（1）的条件下，写出线段BE和FH之间的数量关系，并证明；
（3）设直线CH与直线DE相交于点P，若AB＝2，直接写出线段AP长的最大值和最小值．
25．（2023 东城区广渠门中学模拟）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D在边AC上，将射线BD绕点B逆时针旋转45°得到射线BM，过点D作DE⊥BM于E，延长CB到F，使BF＝AD，连接EF．
（1）依题意，补全图形，判断线段AE与EF的位置关系与数量关系，并证明；
（2）若H为线段BD的中点，连接AH，请用等式表示线段AE与AH之间的数量关系，并证明．
26．（2023 东城区142宏志中学模拟）在△ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC，点D为线段AC上一点，将线段BD绕点B顺时针旋转90°，得到线段BE，连接DE．
（1）①请补全图形；
②直接写出CD，AD，ED之间的数量关系 　 　；
（2）取AD中点F，连接BF、CE，猜想CE与BF的位置关系与数量关系，并证明．
27．（2023 东城区广渠门中学模拟）如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B、C重合），连接DE、点C关于直线DE的对称点为C′，连接AC′并延长交直线DE于点P，F是AC′的中点，连接DF．
（1）求∠FDP的度数；
（2）连接BP，请用等式表示AP、BP、DP三条线段之间的数量关系，并证明；
（3）连接AC，若正方形的边长为，请直接写出△ACC′的面积最大值．
28．（2023 东城区广渠门中学模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．D是AB边上一点，DE⊥AC交CA的延长线于点E．
（1）用等式表示AD与AE的数量关系，并证明；
（2）连接BE，延长BE至F，使EF＝BE．连接DC，CF，DF．
①依题意补全图形；
②判断△DCF的形状，并证明．
29．（2023 东城区二中模拟）在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC外一点，且∠BAC＝∠BDC＝α，将射线AD绕点A顺时针旋转α，与BD相交于点E．
（1）如图1，探究∠AEB和∠ADC的数量关系并证明；
（2）如图2，当α＝90°时，过点E作EG∥AD交BC于点G，射线AD与射线BC相交于点F．请补全图形，写出FG与AB的数量关系，并证明．
30．（2023 朝阳区清华附中朝阳学校模拟）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＜60°，将线段AB绕点A逆时针旋转60°得到点D，点E与点D关于直线BC对称，连接CD，CE，DE．
（1）依题意补全图形；
（2）判断△CDE的形状，并证明；
（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA﹣PB＝CD成立？若存在，请用文字描述出点P的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．
31．（2022 朝阳区清华附中朝阳学校开学考）在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE＞DE），AE，BD交于点F．
（1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H．
求证：∠EAB＝∠GHC；
（2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN．
①依题意补全图形；
②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明．
32．（2023 丰台区十八中学模拟）如图，在△ABC中，∠A＝α（0°＜α≤90°），将BC边绕点C逆时针旋转（180°﹣α）得到线段CD．
（1）判断∠B与∠ACD的数量关系并证明；
（2）将AC边绕点C顺时针旋转α得到线段CE，连接DE与AC边交于点M（不与点A，C重合）．
①用等式表示线段DM，EM之间的数量关系，并证明；
②若AB＝a，AC＝b，直接写出AM的长．（用含a，b的式子表示）
33．（2023春 丰台区十二中学月考）如图，在等边△ABC中，点D是边CB延长线上一动点（BD＜BC），连接AD，点B关于直线AD的对称点为E，过D作DF∥AB交CE于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：AD＝CF；
（3）当∠DCE＝15°时，直接写出线段AD，EF，BC之间的数量关系．
34．（2023 石景山区京源学校模拟）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，连接DE．
（1）依题意补全图形，猜想∠BAE与∠BCD之间的数量关系并证明；
（2）用等式表示线段AE，CE，DE的数量关系；并证明．

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