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2023年北京市部分名校中考数学备考——代数综合
参考答案与试题解析
1．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax﹣a﹣1的图象经过原点．
（1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标；
（2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转180°得到W'，W与W'组成一个新函数的图象．
①若点B（b，1）（b≠﹣1）在该新函数图象上，求b的值；
②若点（m，y1），（m+n，y2）是新函数图象上两点，若存在n≥2+，使得y1＞y2，直接写出m的取值范围．
【分析】（1）把原点（0，0）代入解析式，可求出a的值，即可求解；
（2）①根据旋转的性质，可得W'的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，从而得到W与W'组成一个新函数的解析式为y＝，再把点B（b，1）（b≠﹣1）代入，即可求解；②分五种情况讨论：当m＜﹣1，m+n＜1时，当m＜﹣1，﹣1≤m+n＜1时，当m≥﹣1，﹣1＜m+n≤1时，当﹣1≤m≤1，m+n＞1时，当m＞1，m+n＞1时，即可求解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+2ax﹣a﹣1的图象经过原点，
∴﹣a﹣1＝0，
解得：a＝﹣1，
∴该二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x，
∵y＝﹣x2﹣2x＝﹣（x+1）2+1，
∴顶点坐标为（﹣1，1）；
（2）解：①根据题意得：点（﹣1，1）绕原点旋转180°后得到（1，﹣1），
∵将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转180°得到W'，
∴W'的函数解析式为y＝（x﹣1）2﹣1＝x2﹣2x，
∴W与W'组成一个新函数的解析式为y＝，
∵点B（b，1）（b≠﹣1）在该新函数图象上，
当b＜0时，﹣b2﹣2b＝1，
解得：b＝﹣1，舍去；
当b≥0时，b2﹣2b＝1，
解得：或（舍去），
∴；
②如图，
根据题意得：m＜m+n，
当m＜﹣1，m+n＜﹣1时，y1＜y2，不符合题意，舍去；
当m＜﹣1，﹣1≤m+n＜1时，
∵y1＞y2，
∴﹣1﹣m＜m+n﹣（﹣1），
∴，
∵，
∴，
∴；
当m≥﹣1，﹣1＜m+n≤1时，y1＞y2，
∵，
∴，不符合题意，舍去；
当﹣1≤m≤1，m+n＞1时，
∵y1＞y2，
∴1﹣m＞m+n﹣1，
∴，
∵，
∴，
∴；
当m＞1，m+n＞1时，y1＜y2，不符合题意，舍去；
综上所述，m的取值范围为．
【点评】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键．
2．在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（﹣1，3），B（4，3），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围；
（3）点P（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1上，点Q（x2，y2）在一次函数y＝x+a+1的图象上，若对于任意，总存在x2≥0，使得y1≥y2，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）根据提公因式法和因式分解法，把抛物线解析式转化为顶点式，即可得出答案；
（2）分两种情况：当a＞0时和当a＜0时，然后根据二次函数的图象与性质，进行分析即可；
（3）对任意x1，存在x2，使得y1≥y2，故（y1）min≥（y2）min，再根据，则a≠0，然后分两种情况：当a＜0时和当a＞0时，根据二次函数与一次函数的图象与性质，进行分析，即可得出答案．
【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2ax+a+1＝a（x2﹣2x+1）+1＝a（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标（1，1）；
（2）当a＞0时，
当抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1经过点A（﹣1，3）时，
∵抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标（1，1），
把A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，可得：a+2a+a+1＝3，
解得：，
根据抛物线的开口，可知当时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；
当抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1经过点B（4，3）时，
∵抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标（1，1），
∴把B（4，3）代入y＝ax2﹣2ax+a+1，可得：16a﹣8a+a+1＝3，
解得：，
根据抛物线的开口，可知当时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，
综合可得：当时，抛物线与线段AB恰有一个公共点；
当a＜0时，
∵抛物线的对称轴为x＝1，顶点坐标（1，1），
∴抛物线与线段AB没有公共交点，
综上所述，抛物线与线段AB恰有一个公共点，a的取值范围为；
（3）对任意x1，存在x2，使得y1≥y2，故（y1）min≥（y2）min，
由于，则a≠0，
当a＜0时，抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1开口向下，
∴（y1）min为负的无穷大，不满足（y1）min≥（y2）min，
当a＞0时，由（2）可知：抛物线的对称轴为x＝1，
当时，x1＝1时，y1取得最小y1＝1，
一次函数y＝x+a+1中，y随x的增大而增大，
∴x2≥0，故x2＝0时，y2取得最小y2＝a+1，
∵y1≥y2，
∴2﹣a≥a+1，
解得：a＞1，
当时，时，y1取得最小，
∵y1≥y2，
∴，
解得：，
综合可得：a的取值范围．
【点评】本题考查了把抛物线解析式转化为顶点式、二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，解本题的关键在分类讨论，并熟练掌握相关的知识点．
3．在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．
（1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；
（2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．
【分析】（1）由解析式求得对称轴，由m＝n可得点（2，m），（a﹣1，n）关于抛物线的对称轴对称，即可得到＝a，解得a＝1，把（0，n）代入y＝x2﹣2x即可求得n＝0；
（2）根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x＝a，抛物线经过原点，再利用抛物线的对称性和二次函数的性质，分两种情况讨论得到关于a的不等式（组），解得即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，
∵x0＝2，m＝n，
∴点（2，m），（a﹣1，n）关于抛物线的对称轴对称，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝a，
∴a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x，
把点（0，n）代入得n＝0．
（2）∵抛物线y＝ax2﹣2a2x，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a，
当x＝0时，y＝0，
∴抛物线经过原点，
∴抛物线过点（2a，0），
当抛物线开口向下时，则a＜0，
∵﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴，
解得﹣＜a＜﹣1；
当抛物线开口向上时，则a＞0，
∵﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，
∴m＞0，n＜0，
∴a﹣1＞0，
解得a＞1；
故a的取值范围是或a＞1．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，掌握关于抛物线对称轴对称的两个点的坐标关系是解题关键．
4．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（a﹣1，y1）和B（a+3，y2），当y1 y2＜0，求a的取值范围．
【分析】（1）将（2，0）代入解析式求解．
（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．
（3）根据点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离以及y1 y2＜0，分a＞0和a＜0两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝ax2﹣2a2x，
得0＝4a﹣4a2，
解得a＝1或a＝0（舍去），
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣2x；
（2）∵y＝ax2﹣2a2x，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a；
（3）∵抛物线对称轴为x＝a，
∴点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，
当a＞0时，
∵y1 y2＜0，
∴y1＜0，y2＞0，
即，
解得1＜a＜3；
当a＜0时，
∵y1 y2＜0，
∴y1＞0，y2＜0，
即，
解得﹣3＜a＜﹣1，
综上所述，a的取值范围为1＜a＜3或﹣3＜a＜﹣1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
5．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用对称点与对称轴的关系：对称点的横坐标之和等于对称轴的2倍，即可求出该抛物线的对称轴．
（2）分别讨论2﹣m≤x≤2+2m的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y取最大值与最小值时，对应的x的取值，进而求出a，m的值．
（3）由于y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，取不到最大值和最小值，故不包含对称轴，分别讨论n﹣2＜x＜n在对称轴的左右两侧即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3，
∴x＝0时，y＝3，
∴抛物线y＝ax2+bx+3过点（0，3），
∵抛物线y＝ax2+bx+3过点（4，3），
∴该抛物线的对称轴为直线x＝2．
（2）∵抛物线y＝ax2+bx+3的对称轴为直线x＝2，
∴﹣，即b＝﹣4a①．
∵m＞0，
∴2﹣m＜2＜2+2m．
∵a＞0，抛物线开口向上，
∴当x＝2时，函数值在2﹣m＜x＜2+2m上取得最小值﹣1．
即4a+2b+3＝﹣1 ②．
联立①②，解得a＝1，b＝﹣4．
∴抛物线的表达式为y＝x2﹣4x+3，即y＝（x﹣2）2﹣1．
∵m＞0，
∴当2﹣m≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x＝2﹣m时取得最大值，
当2≤x≤2+2m时，y随x的增大而增大，当x＝2+2m时取得最大值，
∵对称轴为x＝2，
∴x＝2﹣m与x＝2+m时的函数值相等．
∵2＜2+m＜2+2m，
∴当x＝2+2m时的函数值大于当x＝2+m时的函数值，即x＝2﹣m时的函数值．
∴当x＝2+2m时，函数值在2﹣m＜2＜2+2m上取得最大值3．
代入有4m2﹣1＝3，舍去负解，得m＝1．
（3）存在，n＝1．
∵当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5，y无法取到最大值与最小值，
∴关于x的取值范围一定不包含对称轴，
①当n≤2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的左侧，
∵二次函数开口向上，
∴x＝n﹣2时，y有最大值，x＝n时，y有最小值，
由题意可知：，解得：n＝1，
故n＝1，
②当n﹣2≥2时，n﹣2＜x＜n在对称轴的右侧，
∵二次函数开口向上，
∴x＝n﹣2时，y有最小值，x＝n时，y有最大值，
由题意可知：，此时n无解，
故不符合题意，
∴n＝1．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．
6．已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）设直线y＝b与抛物线交于不同的两点A，B，若AB≤4，直接写出b的取值范围；
（3）若抛物线上存在两点M（m，m）和N（n，﹣n），且当m＜0，n＞0时，有m+n＞0，求a的取值范围．
【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，即可解答；
（2）根据题意可求出A，B两点的横坐标，根据两点的间的距离公式可表示出AB，根据AB≤4可算出b的取值范围；
（3）根据点M（m，m）和N（n，﹣n）在抛物线上可得M和N所在的象限，再根据m＜0，n＞0时，有m+n＞0得到两个临界值，从而求出a的取值范围．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2ax+a2﹣2＝（x﹣a）2﹣2，
∴抛物线的顶点坐标为（a，﹣2）；
（2）由题意得：，
以此可得方程（x﹣a）2﹣2＝b，
解得：，，
∴AB＝|x1﹣x2|＝，
∵AB≤4，
∴≤4，
∴，
∵直线y＝b与抛物线交于不同的两点A，B，
∴，
∴﹣2＜b≤2，
∴b的取值范围为﹣2＜b≤2；
（3）①∵M（m，m）和N（n，﹣n），
∴M在一象限或三象限，N在二象限或四象限，
∵当m＜0，n＞0时，有m+n＞0，
∴M在三象限，N在四象限时，有n＞﹣m，
∴此时N点到y轴的距离大于M点到y轴的距离，
如图所示，当顶点为（0，﹣2）时，a＝0，
∴只有当a＞0，才满足条件，
②∵抛物线过点（0，0）时，y＝x2﹣2ax+a2﹣2＝a2﹣2＝0，
∴a＝±，
∵a＞0，
∴a＝，此时抛物线不过第三象限，如图所示，
∴只有当a＜，才满足条件，
综上，a的取值范围为0＜a＜．
【点评】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
7．在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4a的顶点为点A，且0＜h＜3，
（1）若a＝2，
①点A到x轴的距离为 　8　；
②已知点M（﹣1，﹣6），N（3，﹣6），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点，求h的取值范围；
（2）已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y1＜yD＜y2，求a的值和h的取值范围．
【分析】（1）①由a＝2可得抛物线顶点坐标，进而求解．
②由抛物线解析式可得抛物线对称轴及顶点坐标，从而可得抛物线的运动规律，将M，N坐标代入解析式求解．
（2）由点A到x轴的距离为4可得a＝±1，分类讨论抛物线开口方向，由x1＜xD＜x2时，yD总满足y1＜yD＜y2，可得点B，C在抛物线对称轴的一侧，进而求解．
【解答】解：（1）①∵a＝2，
∴y＝2（x﹣h）2﹣8，
∴抛物线的顶点A坐标为（h，﹣8），
∴点A到x轴的距离为8，
故答案为：8．
②将（﹣1，﹣6）代入y＝2（x﹣h）2﹣8得﹣6＝2（﹣1﹣h）2﹣8，
解得h＝0或h＝﹣2，
当h＝0时，点M（﹣1，﹣6）关于对称轴的对称点为（1，﹣6）在对称轴右侧，
∴h＝0时，抛物线与MN有两个交点，
将（3，﹣6）代入y＝2（x﹣h）2﹣8得﹣6＝2（3﹣h）2﹣8，
解得h＝4或h＝2，
∴0＜h≤2时，抛物线与线段MN有两个交点，
当2＜h＜3时，抛物线与线段MN只有一个交点．
（2）∵y＝a（x﹣h）2﹣4a，
∴顶点A坐标为（h，﹣4a），
∵点A到x轴的距离为4，
∴﹣4a＝±4，
解得a＝1或a＝﹣1，
∵当x1＜xD＜x2时，yD总满足y1＜yD＜y2，
∴当抛物线开口向下时，点B，C在对称轴左侧，当抛物线开口向上时，点B，C在对称轴右侧，
当a＝1时，y＝（x﹣h）2﹣4，
令（x﹣h）2﹣4＝2x+1，
整理得x2﹣2（h+2）x+h2﹣5＝0，
∵抛物线与直线有两个交点，
∴Δ＝[﹣2（h+2）]2﹣4（h2﹣5）＝8h+24＞0，
解得h＞﹣3，
当抛物线顶点（h，﹣4）在直线y＝2x+1上时，﹣4＝2h+1，
解得h＝﹣，
∵0＜h＜3，
∴﹣3＜h＜﹣不符合题意，
当a＝﹣1时，抛物线开口向下，y＝﹣（x﹣h）2+4，
令﹣（x﹣h）2+4＝2x+1，
整理得x2+2（h﹣1）x+h2﹣3＝0，
∴Δ＝[2（h﹣1）]2﹣4（h2﹣3）＞0，
解得h＜2，
当顶点（h，4）在直线y＝2x+1上时4＝2h+1，
解得h＝，
∴≤h＜2，
又∵0＜h＜3，
∴≤h＜2满足题意．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
8．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，y1），，C（m，y3）三个点在抛物线y＝x2﹣2ax+c（a＞0）上．
（1）当a＝1时，求抛物线的对称轴，并直接写出y1和y2的大小关系．
（2）①若m＝5，y1＝y3，则a的值为 　　；
②若对于任意2≤m≤5，都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）将a＝1代入抛物线中，利用抛物线的对称轴公式和抛物线的性质可得出结论；
（2）①根据抛物线的对称性可直接得出结论；
②根据抛物线的对称性先求出A，C关于对称轴的对称点A′，C′，再根据抛物线的对称性可得出结论．
【解答】解：（1）当a＝1时，抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x+c，B（，y2），
∴抛物线的对称轴为直线：x＝1；
∴A（﹣4，y1）关于直线x＝1的对称点为A′（6，y1），
当x＞1时，y随x的增大而增大，
∴y1＞y2；
（2）①当m＝5时，y1＝y3，
∴抛物线的对称轴为直线：x＝＝；
故答案为：；
②由题意可知，抛物线y＝x2﹣2ax+c开口向上，对称轴为直线x＝a，
∴点A（﹣4，y1）关于对称轴的对称点A′（2a+4，y1），C（m，y3）关于对称轴的对称点C′（2a﹣m，y3），
∵对于任意2≤m≤5，都满足y1＞y3＞y2，
∴或，
解得＜a＜或a＞10．
∴a的取值范围为：＜a＜或a＞10．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定函数的解析式，二次函数的性质，平移的点的坐标的特征，数形结合法，利用待定系数法和数形结合法解答是解题的关键．
9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，﹣1）．
①求抛物线的对称轴；
②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；
（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）①把（4，﹣1）代入解析式，确定b＝﹣4a，再把b＝﹣4a代入对称轴公式计算即可；
②根据对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，判定抛物线经过（﹣1，0）和（5，0），代入解析式确定a，b的值即可；
（2）根据x＝﹣＝t，得到b＝﹣2at，从而解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）分别代入解析式，根据y3＞y1＞y2，列出不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）①若抛物线过点（4，﹣1），
∴﹣1＝16a+4b﹣1，
∴b＝﹣4a，
∴对称轴为x＝﹣＝﹣＝2；
②∵当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，
抛物线的对称轴为直线x＝2，且2﹣（﹣1）＝5﹣2，
∴抛物线必过点（﹣1，0）和（5，0）．
∴把（5，0），（﹣1，0）代入y＝ax2+bx﹣1（a＞0）得：
，
解得，
抛物线的表达式为，
如图所示：
（2）∵x＝﹣＝t，
∴b＝﹣2at，
∴解析式变形为y＝ax2﹣2atx﹣1（a＞0），
把（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）的坐标分别代入解析式，得：
y3＝a﹣2at﹣1，y1＝16a+8at﹣1，y2＝4a+4at﹣1，
∵y3＞y1＞y2，
∴，
解得：，
∴t的取值范围是﹣3＜t＜﹣．
【点评】本题考查了待定系数法，抛物线的对称性，二次函数与不等式的综合，熟练掌握待定系数法，对称性，与不等式的关系是解题的关键．
10．已知抛物线y＝ax2+（6a﹣2）x（a＞0），点（﹣3，m），（﹣1，n），（x0，t）在该抛物线上．
（1）若m＝n，t＞0，求x0的取值范围；
（2）若存在0≤x0≤1．使得n＜t＜m，求a的取值范围．
【分析】（1）将点（﹣3，m），（﹣1，n），（x0，t）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出a＝1，，求解不等式即可；
（2）根据m＞n可得0＜a＜1，进而求得，由直线对称轴为，展开讨论，①当时，即，此时，对称轴，当0≤x0≤1时，y随x增大而增大，若要存在n＜t＜m，则需要6﹣9a＞0，②当时，即：，此时，对称轴，且n＝2﹣5a＞0，比较函数7a﹣2与n的大小，发现不存在t＞n，进而可得a的取值范围．
【解答】解：（1）∵当x＝0时，y＝0，
∴抛物线与y轴交点的坐标为（0，0），
∵点（﹣3，m），（﹣1，n），（x0，t）在该抛物线y＝ax2+（6a﹣2）x（a＞0）上，m＝n，
∴9a﹣3（6a﹣2）＝a﹣（6a﹣2），，
∴a＝1，
∵t＞0，，
∴，即：x0（x0+4）＞0，
∴或，
∴x0的取值范围为：x0＞0或x0＜﹣4；
（2）∵点（﹣3，m），（﹣1，n）在该抛物线y＝ax2+（6a﹣2）x（a＞0）上，
∴m＝6﹣9a，n＝2﹣5a，
∵n＜t＜m，
∴2﹣5a＜6﹣9a，可得，0＜a＜1，
∵抛物线的对称轴为直线，
∵0＜a＜1，
∴，
①当时，即，
此时，对称轴为直线，
则当0≤x0≤1时，y随x增大而增大，
当x0＝0时，y＝0，
当x0＝1时，y＝7a﹣2，
则0≤t≤7a﹣2，
∴7a﹣2≥0，
即，
若要存在n＜t＜m，则需要6﹣9a＞0，
即，
亦即：；
②当时，即：，
此时，对称轴为直线，且n＝2﹣5a＞0，7a﹣2﹣（2﹣5a）＝12a﹣4≤0，
即2﹣5a≥7a﹣2
即当0≤x0≤1时，不存在t＞n，
综上，．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟悉二次函数的性质是解决问题的关键．
11．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
（2）若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
【分析】（1）①当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），将其代入函数解析式中解得a＝﹣1，则函数解析式为抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，再根据求对称轴的公式即可求解；
②令y＝0，求出抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），由题意可得p＜0，则点B在x轴的下方，以此即可解答；
（2）将点A坐标代入函数解析式，通过t＜0可得a的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B，C到对称轴的距离大小关系求解．
【解答】解：（1）当t＝0时，点A的坐标为（﹣2，0），
∵抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，0），
∴4a+2（a+2）+2＝0，
∴a＝﹣1，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣；
②令y＝0，则﹣x2﹣x+2＝0，
解得：x1＝1，x2＝﹣2，
∴抛物线与x轴交于（﹣2，0）和（1，0），
∵点A（﹣2，0），B（m，p），且p＜0，
∴点B（m，p）在x轴的下方，
∴m＜﹣2或m＞1．
（2）p＜q，理由如下：
将（﹣2，t）代入y＝ax2﹣（a+2）x+2得t＝4a+2（a+2）+2＝6a+6，
∵t＜0，
∴6a+6＜0，
∴a＜﹣1，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝+，
∵a＜﹣1，
∴﹣1＜＜0，
∴﹣+＜，
∵m＜n且3m+3n≤﹣4，
∴≤﹣＜﹣，
∴点B（m，p）到对称轴的距离大于点C（n，q）到对称轴的距离，
∴p＜q．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
12．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；
②先由y1＜y2得出（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，最后分两种情况，利用t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；
（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的对称轴为x＝t，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵t﹣1≤x1≤t+2，
∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，
∵y1的最小值是﹣2，
∴t＝2，
∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，
∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，
即y1的最大值为2；
②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，
∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，
∵对于x1，x2，都有y1＜y2，
∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，
∴，
Ⅰ、当时，
由①知，x2＞x1，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴1﹣t＞t+2，
∴t＜﹣，
由②知，x2+x1＞2t，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴0≤x2+x1≤3，
∴2t＜0，
∴t＜0，
即t＜﹣；
Ⅱ、当时，
由x2﹣x1＜0得：x2＜x1，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴1﹣t＜t﹣1，
∴t＞1，
由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t，
∵t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t，
∴0≤x2+x1≤3，
∴2t＞3，
∴t＞，
即t＞；
即满足条件的t的取值范围为t＜﹣或t＞．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为x＝　1　；抛物线与y轴的交点坐标为　（0，4）　；
（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴是直线x＝﹣求出对称轴即可；把x＝0代入函数解析式求出y即可；
（2）把点（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4，再求出a即可；
（3）先根据已知条件得出A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，求出1﹣（m﹣1）＞m+2﹣1＞1﹣m，再求出m的范围即可．
【解答】解：（1）x＝﹣＝1，
当x＝0时，y＝ax2﹣2ax+4＝4，
所以抛物线的对称轴是直线x＝1，抛物线与y轴的交点坐标是（0，4），
故答案为：1，（0，4）；
（2）∵抛物线的顶点恰好在x轴上；
∴抛物线的顶点坐标为（1，0），
把（1，0）代入y＝ax2﹣2ax+4得：0＝a×12﹣2a×1+4，
解得：a＝4，
∴抛物线的解析式为y＝4x2﹣8x+4；
（3）∵A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，
又∵m﹣1＜m＜m+2，抛物线的对称轴是直线x＝1，
∴A，B两点位于对称轴左侧，点C位于对称轴右侧，且点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，点C到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离，
∴1﹣（m﹣1）＞m+2﹣1＞1﹣m，
解得：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．
14．在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．
①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线与y轴交点坐标，再由抛物线经过（4，2）可得抛物线对称轴．
（2）①由t＝可得x1与x2的取值范围，从而可得点P，Q到对称轴的距离大小关系，进而求解．
②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠x2，通过解不等式求解．
【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+2得y＝2，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2），
又∵抛物线经过（4，2），
∴抛物线对称轴为直线x＝2．
（2）①∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
当t＝时，点＜x1＜，＜x2＜．
∴|x1﹣2|＜，|x2﹣2|，
∴点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离，
∴y1＜y2．
②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），
则x0＝4﹣x1，
∵t＜x1＜t+1，
∴3﹣t＜x0＜4﹣t，
∵4﹣t＜x2＜5﹣t，
∴x0≠x2，
当t+1≤4﹣t或5﹣t≤t时，x1≠x2，
解得t≤或t≥．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
15．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a　＝　b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；
（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式写成顶点式，即可得出答案；
（2）先确定出抛物线的对称轴，再用点C，D到对称轴的距离的大小，即可得出答案；
（3）先确定出n＝m2+1，得出直线AB的解析式为y＝kx+m2+1，再联立抛物线解析式，化简得x[x﹣（2m+k）]＝0，最后利用对于x1＜﹣3时，总有k＜0，即可求出答案．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（m，1）；
（2）由（1）知，抛物线的顶点坐标为（m，1），
∴抛物线的对称轴为x＝m，
∵|m+2﹣m|＝2，|m﹣2﹣m|＝2，
∴点C和点点D到抛物线的对称轴的距离相等，
∴a＝b，
故答案为：＝；
（3）针对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1①，
令x＝0，则y＝m2+1，
∴A（0，m2+1），
∵点A在直线y＝kx十n（k≠0）上，
∴n＝m2+1，
∴直线AB的解析式为y＝kx+m2+1②，
联立①②整理得，x2﹣2mx+m2+1＝kx+m2+1，
∴x[x﹣（2m+k）]＝0，
∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
∵点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，
∴x1≠0，
∴x1＝2m+k，
∵对于x1＜﹣3时，总有k＜0，
∴2m+k＜﹣3，总有k＜0，
∴k＜﹣2m﹣3，总有k＜0，
∴﹣2m﹣3≤0，
∴m≥﹣．
【点评】此题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，解不等式，求出x＝2m+k是解本题的关键．
16．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1 y2＜0时，求b的取值范围．
【分析】（1）将（2，0）代入解析式求解．
（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．
（3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y2＞0，y1＜0，将两点坐标代入解析式求解．
【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2﹣2bx得0＝4﹣4b，
解得b＝1，
∴y＝x2﹣2x．
（2）∵y＝x2﹣2bx，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝b．
（3）∵y＝x2﹣2bx，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，
∵b﹣（b﹣1）＜b+2﹣b，
∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，
∴y2＞y1，
∵y1 y2＜0，
∴y2＞0，y1＜0，
将（b﹣1，y1）代入y＝x2﹣2bx得y1＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝﹣b2+1＜0，
解得b＜﹣1或b＞1，
将（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx得y2＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝﹣b2+4＞0，
∴﹣2＜b＜2，
∴﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2满足题意．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．
（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；
（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；
（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，整理得：ax2﹣2ax+4＝0，根据抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，利用一元二次方程根的判别式即可求得答案；
（3）根据题意得：y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，由于当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，可得﹣＜at＜+，当a＜0时，+＜t＜﹣，可得＜a＜0；当a＞0时，﹣＜t＜+，可得0＜a＜．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2），
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y＝ax2﹣2ax﹣2，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
故c的值为﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）把y＝﹣6代入y＝ax2﹣2ax﹣2，得：ax2﹣2ax﹣2＝﹣6，
整理得：ax2﹣2ax+4＝0，
∵抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a×4＜0，
即a（a﹣4）＜0，
∵a≠0，
∴当a＜0时，a﹣4＞0，即a＞4，
此时，无解；
当a＞0时，a﹣4＜0，即a＜4，
∴0＜a＜4，
综上所述，a的取值范围为0＜a＜4；
（3）∵点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，
∴y1＝at2﹣2at﹣2，y2＝a（t+1）2﹣2a（t+1）﹣2＝at2﹣a﹣2，
∴|y2﹣y1|＝|（at2﹣a﹣2）﹣（at2﹣2at﹣2）|＝|a（2t﹣1）|，
∵当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜，
∴﹣＜a（2t﹣1）＜，
∴﹣＜at＜+，
∵a≠0，
∴当a＜0时，+＜t＜﹣，
∴，
解得：＜a＜0；
当a＞0时，﹣＜t＜+，
∴，
解得：0＜a＜；
综上所述，a的取值范围是＜a＜0或0＜a＜．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，能对a进行分类讨论，运用分类讨论思想是解题的关键．
18．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）：
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案；
（2）①先确定出当x＝t时，y1的最小值为t，进而求出t，再判断出当x＝t+2时，y1取最大值，即可求出答案；
②由①知，当x1＝t+2时，y1有最大值，且此时点P关于对称轴的对称点的横坐标为t﹣2，进而得出 1﹣t＞t+2或1﹣t＜t﹣2，解得即可．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；
（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，
∴抛物线的对称轴为x＝t，
∵1＞0，
∴抛物线开口向上，
∵t﹣1≤x1≤t+2，
∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，
∵y1的最小值是﹣2，
∴t＝2，
∵|t﹣1﹣t|＝1，|t+2﹣t|＝2，
∴当x＝t+2时，y1最大＝（t+2﹣t）2﹣t＝4﹣t＝4﹣2＝2，
即y1的最大值为2；
②由①知，当x1＝t+2时，y1有最大值，且此时点P关于对称轴的对称点的横坐标为t﹣2，
∵对于x1，x2，都有y1＜y2，
∴1﹣t＞t+2或1﹣t＜t﹣2，
∴t＜﹣或t＞．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数极值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键．
19．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）抛物线过点M（﹣1，m），N（2，n），P（6，p），
①判断：（m﹣3）（n﹣3）　＜　0（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②若M，N，P恰有一个点在x轴下方，求a的取值范围．
【分析】（1）令x＝0，得出y＝3，即可得出与y轴交点的坐标；根据对称轴公式即可求解；
（2）①将点M，N横坐标代入得出m，n，代入代数式进行计算即可求解；
②分别用含a的代数式表示m，n，p，根据二次函数的性质，分a＞0或a＜0，分别讨论进而即可求解．
【解答】解：（1）由y＝ax2﹣4ax+3（a≠0），令x＝0，
解得：y＝3，
∴该二次函数的图象与y轴交点的坐标为（0，3），
对称轴为直线，
（2）①当x＝﹣1时，
m＝a+4a+3
＝5a+3，
当x＝2时，
n＝4a﹣8a+3
＝3﹣4a，
∴（m﹣3）（n﹣3）
＝（5a+3﹣3）（3﹣4a﹣3）
＝﹣20a2＜0，
故答案为：＜．
②∵二次函数的对称轴为直线x＝2，
∴x＝﹣1时的函数值与x＝5时的函数值相等，即经过点（5，m），记为Q，
∴N（2，n）在对称轴上，Q（5，m），P（6，p）在对称轴的右侧，
当x＝6时，p＝36a﹣24a+3＝12a+3，
当a＜0时，抛物线开口向下，当x＞2时，y随x的增大而减小，如图所示，
依题意p＜0，m≥0，
即，
解得：﹣，
当a＞0时，抛物线开口向上，当x＞2时，y随x的增大而增大，如图所示，
依题意，n＜0，
即3﹣4a＜0，
解得：，
综上所述，或﹣．
【点评】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数的对称性以及增减性是解题的关键．
20．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式x＝﹣，求解即可．
（2）①y1＞y2．利用图象法，根据函数的增减性判断即可．
②通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：分三种情形：如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），分别求解即可．
【解答】解：（1）抛物线y＝x2﹣2mx+m2的对称轴为直线x＝﹣＝m．
（2）①y1＞y2．
理由：当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴；
所以图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小；
∵x1＜x2，
∴y1＞y2．
②通过计算可知，P（m﹣2，4），Q（m+2，4）为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，
下面讨论当m变化时，y轴于点P，Q的相对位置：
如图2，当y轴在点P左侧时（含点P），
经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，y1＝y2，不符题意；
如图3，当y轴在点Q右侧时（含点Q），
点M，N分别和点P，Q重合，y1＝y2，不符题意；
如图4，当y轴在点P，Q之间时（不含P，Q），
经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y1＞y2，符合题意．
此时有m﹣2＜0＜m+2，即﹣2＜m＜2．
综上所述，m的取值范围为﹣2＜m＜2．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称翻折变换，函数的增减性等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，正确作出图形是解决问题的关键．
21．已知：抛物线y＝mx2﹣nx+2m+1（m≠0）过点A（1，0）．
（1）用含m代数式表示n；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为点B，且点B在点A的左侧，求m的取值范围；
（3）若m＜﹣1，点、D（3，y2）、在抛物线上，请比较y1、y2、y3的大小，并说明理由．
【分析】（1）将A点坐标代入y＝mx2﹣nx+2m+1（m≠0）可得n＝3m+1；
（2）解方程mx2﹣（3m+1）x+2m+1＝0得x1＝1，x2＝2+，则B（2+，0），由于点B在点A（1，0）左侧，所以2+＜1，解得﹣1＜m＜0；
（3）利用抛物线的对称轴为直线x＝＝+和m＜﹣1得到1＜+＜，再分别求出点C关于对称轴对称的点为C'（2，y1），点E关于对称轴对称的点为E′（0，y3），而点D（3，y2），则可判断点C'到对称轴的距离小于点E'到对称轴的距离，而点D到对称轴的距离最大，然后根据二次函数的性质可得到y1＞y3＞y2．
【解答】解：（1）将A（1，0）代入y＝mx2﹣nx+2m+1（m≠0），得m﹣n+2m+1＝0，
∴n＝3m+1；
（2）当y＝0，mx2﹣（3m+1）x+2m+1＝0，
（x﹣1）（mx﹣2m﹣1）＝0，
解得x1＝1，x2＝2+，
∴B（2+，0），
∵点B在点A（1，0）左侧，
∴2+＜1，
解得﹣1＜m＜0，
即m的取值范围为﹣1＜m＜0；
（3）抛物线对称轴为直线x＝﹣＝
即x＝＝+，
∵m＜﹣1，
∴1＜+＜，
点C（1+，y1）关于对称轴对称的点为C'（2，y1），点E（3+，y3）关于对称轴对称的点为E′（0，y3），
又∵点D（3，y2），
∴点C'到对称轴的距离小于点E'到对称轴的距离，点D到对称轴的距离最大，
又∵m＜﹣1，抛物线开口向下，
∴y1＞y3＞y2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）．也考查了根的判别式、二次函数图象上点的坐标特征和抛物线与x轴交点问题．
22．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．
（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．
【分析】（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴直线是x＝﹣，由此即可求解；
（2）﹣1≤x≤3时，得出当x＝3时，函数的最大值为4，即可求出a的值，从而求出二次函数的顶点坐标；
（3）由条件得到抛物线两点M（x1，y1），N（x2，y2）不关于对称轴x＝对称，推出x1+x2≠1由，t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，即可求出t的取值范围．
【解答】解：y＝（x+a）（x﹣a﹣1）＝x2﹣x﹣a2﹣a，
（1）二次函数对称轴是直线x＝＝；
（2）∵二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）图象开口向上，﹣（﹣1）＜3﹣，
∴﹣1≤x≤3，当x＝3时，二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）取得最大值，是4，
∴当x＝3时，y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝9﹣3﹣a2﹣a＝4，
∴a2+a﹣2＝0，
∴a1＝1，a2＝﹣2，
∵a＞0，
∴a＝1，
∴y＝x2﹣x﹣a2﹣a＝x2﹣x﹣2＝﹣，
∴此二次函数的顶点坐标是（，﹣）；
（3）∵抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2），对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，
∴点M（x1，y1），N（x2，y2）不关于对称轴x＝对称，
∴x1+x2≠1，
∵t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，
∴2t+2＜x1+x2＜2t+4，
∴2t+2≥1或2t+4≤1，
∴t≥﹣或t≤﹣．
【点评】本题考查二次函数的性质，关键是掌握二次函数对称轴，顶点坐标的求法及由二次函数的性质列不等式．
23．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式：x＝﹣，即可得到答案；
（2）分三种情况讨论，得到关于a的不等式，解不等式即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax﹣3，
∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝a；
（2）①当a＜x2＜x1时，y1＞y2，
则a+1＜1﹣2a，即a＜0；
②当x1﹣a＞a﹣x2时，y1＞y2，
则1﹣2a﹣a＞a﹣（a+1），即a＜；
③当x1﹣a＜a﹣x2时，y1＞y2，
则1﹣2a﹣a＜a﹣（a+1），即a＞，
综上，a＜0或a＞．
【点评】本题考查二次函数的性质，二次函数上的点的特征，熟练掌握对称轴公式以及分类讨论思想的运用是解本题的关键；确定a的范围是本题的难点．
24．在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．
【分析】（1）将a＝1，b＝﹣2代入函数解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解．
（2）由抛物线解析式可得抛物线经过原点，分别讨论a＞0与a＜0两种情况．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝﹣2，
∴y＝x2﹣2x，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝1，
∵1﹣（﹣1）＞2﹣1＞1﹣1，
∴y1＞y3＞y2．
（2）把x＝0代入y＝ax2+bx得y＝0，
∴抛物线经过原点（0，0），
①a＞0时，抛物线开口向上，
∵y2＜0，
∴t＞0，
当y3＝y1时，t＝＝，
∵y3＜y1，
∴t＞，
当y3＝0时，t＝＝1，
∴＜t＜1满足题意．
②a＜0时，抛物线开口向下，
∵y2＜0，
∴t＜0，
∴x＞0时，y随x增大而减小，
∴y3＜y2，不符合题意．
综上所述，＜t＜1．
【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系．
25．在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2﹣3mx（m≠0）．
（1）当二次函数经过点A（﹣1，4）时．
①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；
②一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点A，点（n，y1）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，点（n+2，y2）在二次函数y＝mx2﹣3mx的图象上．若y1＜y2，求n的取值范围．
（2）点M（t，yM），N（t+1，yN）在二次函数图象上，且|m|≤|yM﹣yN|≤|4m|时，求t的取值范围．
【分析】（1）①利用待定系数法求出二次函数解析式，再把二次函数解析式化为顶点式求出其顶点坐标即可；②先用待定系数法求出一次函数解析式，再求出y1＝﹣2n+2，，根据y1＜y2，得到n2+3n﹣4＞0，令y＝x2+3x﹣4，利用二次函数的性质求出当x＞1或x＜﹣4时，y＝x2+3x﹣4＞0，则当n＞1或n＜﹣4时，y1＜y2；
（2）先求出，，则yM﹣yN＝﹣2mt+2m，再由|m|≤|yM﹣yN|≤|4m|，得到1≤|﹣2t+2|≤4，解不等式组即可得到答案．
【解答】解：（1）①∵二次函数y＝mx2﹣3mx（m≠0）经过点A（﹣1，4），
∴m+3m＝4，
∴m＝1，
∴二次函数解析式为，
∴二次函数的顶点坐标为；
②∵一次函数y＝﹣2x+b的图象经过A（﹣1，4），
∴4＝2+b，
∴b＝2，
∴一次函数解析式为y＝﹣2x+2，
∵点（n，y1）在一次函数y＝﹣2x+2的图象上，点（n+2，y2）在二次函数y＝x2﹣3x的图象上，
∴y1＝﹣2n+2，，
∵y1＜y2，
∴﹣2n+2＜n2+n﹣2，
∴n2+3n﹣4＞0，
令y＝x2+3x﹣4，
在y＝x2+3x﹣4中，当y＝0时，即x2+3x﹣4＝0，
解得x＝1或x＝﹣4，
∴由函数图象可知，当x＞1或x＜﹣4时，y＝x2+3x﹣4＞0，
∴当n＞1或n＜﹣4时，y1＜y2；
（2）∵点M（t，yM），N（t+1，yN）在二次函数图象上，
∴，，
∴，
∵|m|≤|yM﹣yN|≤|4m|，
∴|m|≤|﹣2mt+2m|≤|4m|，
∴1≤|﹣2t+2|≤4，
∴1≤﹣2t+2≤4或1≤2t﹣2≤4，
解得：或．
【点评】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，待定系数法求函数解析式，解不等式组，灵活运用所学知识是解题的关键．
26．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（﹣1，y1）和（3，y2），其对称轴为直线x＝t；
（1）当a＝﹣1，b＝4时，求此时t的值，判断y1、y2的大小关系并说明理由；
（2）若在此函数上有A（m，n），且﹣1≤m≤3．
①若n总是不小于y1、y2中的任何一个数，直接写出此时t的值；
②当时，存在A点使得y1、y2、n三个数中最大值和最小值的差不小于1，直接写出此时t的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式得出t＝2，根据抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，（﹣1，y1）与（5，y1）关于x＝2对称，即可得出y2＞y1；
（2）①根据题意，对称轴为x＝1；
②根据题意计算，根据题意得出或，根据对称轴公式即可求解．
【解答】解：（1）∵a＝﹣1，b＝4，
∴对称轴为直线：，
∴t＝2，
∵a＝﹣1，
∴抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，（﹣1，y1）和（3，y2）在抛物线上，
∴（﹣1，y1）与（5，y1）关于x＝2对称，
∵3＜5，
∴y2＞y1；
（2）①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（﹣1，y1）和（3，y2），A（m，n），且﹣1≤m≤3，若n总是不小于y1、y2中的任何一个数，
∴抛物线开口向下，且对称轴为：；
②当x＝﹣1时，，
当x＝3时，，
∵，
∴当时，
解得：或，
∵，
∴或，
∴当存在A点使得y1、y2、n三个数中最大值和最小值的差不小于1，或．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
27．在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，y1），B（，y2），C（m，y3）在抛物线y＝﹣x2+2ax+c（a＞0）上．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝　a　，直接写出y1和y2的大小关系y1　＜　y2；
（2）若m＝4，且y1＝y3，则a的值是 　　；
（3）若对于任意1≤m≤4，都有y1＜y3＜y2，求a的取值范围．
【分析】（1）将a＝1代入抛物线中，利用抛物线的对称轴公式和抛物线的性质可得出结论；
（2）根据抛物线的对称性先求出A关于对称轴的对称点A′，再根据二次函数的性质可得出结论．
【解答】解：（1）∵抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2ax+c（a＞0），
∴抛物线开口向下，对称轴为直线：x＝﹣＝a，
∴当x＜a时，y随x的增大而增大，
∵﹣3＜＜a，
∴y1＜y2；
故答案为：a，＜；
（2）当m＝4时，y1＝y3，
∴抛物线的对称轴为直线：x＝＝，
∴a＝，
故答案为：；
②由题意可知，抛物线y＝﹣x2+2ax+c开口向下，对称轴为直线x＝a，
∴点A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点A′（2a+3，y1），C（m，y3）关于对称轴的对称点C′（2a﹣m，y3），
∵对于任意1≤m≤4，都有y1＜y3＜y2，
∴或＞4，
解得＜a＜或a＞8．
∴a的取值范围为：＜a＜或a＞8．
【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，利用数形结合法解答是解题的关键．
28．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）和直线l：y＝．
（1）抛物线M的对称轴是 　x＝2　；
（2）若直线y＝n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标记为x1，x2，直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3．若当﹣1＜n＜0时，总有x1＜x3＜x2，请结合函数图象，求a的取值范围．
【分析】（1）由抛物线解析式直接求出抛物线对称轴即可；
（2）画出符合要求的函数图象草图，根据图象列出不等式，即可求出a的取值范围．
【解答】解：（1）抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣＝2，
故答案为：x＝2；
（2）①当a＞0时，抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）中，
当y＝0时，ax2﹣4ax+4a+1＝0，
∵Δ＝（﹣4a）2﹣4a（4a+1）＝﹣4a＜0，
∴一元二次方程ax2﹣4ax+4a+1＝0无实数解，
∵抛物线y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）开口向上，
∴抛物线与直线y＝n（﹣2＜n＜﹣1）没有交点，不符合题意，
∴此种情况不存在；
②当a＜0时，抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）中，
当y＝0时，ax2﹣4ax+4a+1＝0，
∵Δ＝（﹣4a）2﹣4a（4a+1）＝﹣4a＞0，
∴一元二次方程ax2﹣4ax+4a+1＝0有两个不等实数根，
∴抛物线与直线y＝n（﹣2＜n＜﹣1）有两个交点，它们的横坐标记为x1，x2，
如图所示：
当y＝﹣2时，由l：y＝x﹣得：x﹣＝﹣2，
解得：x＝﹣1，
当x＝﹣1时，y＝ax2﹣4ax+4a+1＝9a+1；
∵直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3．若当﹣1＜n＜0时，总有x1＜x3＜x2，
∴可得到：9a+1≥﹣2
解得：a≥﹣，
∴a的取值范围为﹣≤a＜0．
【点评】本题考查了抛物线的对称轴，二次函数图象与性质，解不等式组等知识，关键在于根据函数图象得出关于a的不等式．
29．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+4mx﹣4m2﹣1与y轴交于点P．点Q（a，b）是抛物线上的任意一点，且不与点P重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过P，Q两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若PQ∥x轴，且线段PQ长为6，求m的值；
（3）若对于0＜a＜6时，总有k＞0，求m的取值范围．
【分析】（1）将解析式化为顶点式，即可求顶点坐标；
（2）由题意可得Q（a，﹣4m2﹣1），则|a|＝6，求出a的值，再将Q点坐标代入函数的解析式即可求m的值；
（3）由题意可得﹣a2+4ma﹣4m2﹣1＞﹣4m2﹣1，则有m＞a，再由0＜＜，可求m≥．
【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4mx﹣4m2﹣1＝﹣（x﹣2m）2﹣1，
∴顶点为（2m，﹣1）；
（2）令x＝0，则y＝﹣4m2﹣1，
∴P（0，﹣4m2﹣1），
∵PQ∥x轴，
∴Q（a，﹣4m2﹣1），
∴PQ＝|a|，
∵PQ＝6，
∴a＝±6，
当a＝6时，Q（6，﹣4m2﹣1），﹣36+24m﹣4m2﹣1＝﹣4m2﹣1，解得m＝；
当a＝6时，Q（﹣6，﹣4m2﹣1），﹣36﹣24m﹣4m2﹣1＝﹣4m2﹣1，解得m＝﹣；
∴m的值为±；
（3）∴0＜a＜6时，总有k＞0，
∴b＞﹣4m2﹣1，
∴﹣a2+4ma﹣4m2﹣1＞﹣4m2﹣1，
∴a（a﹣4m）＜0，
∵0＜a＜6，
∴a﹣4m＜0，
∴m＞a，
∵0＜＜，
∴m≥．
【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象及性质，不等式的恒成立问题是解题的关键．
30．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，m），B（x0，n）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若存在﹣1＜x0＜1，使得m＜n，求a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴公式即可求解；
（2）利用图象法，构建不等式求解．
【解答】解：（1）抛物线的对称轴为：，
（2）观察图象可知，当对称轴x＝a﹣1＞﹣2，即a＞﹣1时，存在﹣1＜x0＜1，使得m＜n．
【点评】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
31．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值；
（3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．
【分析】（1）令x＝0可得A的坐标，用配方法把解析式化为顶点式即可得抛物线对称轴；
（2）由0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，可知抛物线开口向上，且对称轴x＝2，故最小值是顶点纵坐标，可求出a及抛物线解析式，又抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，可知x＝5时函数取最大值，即可得到答案；
（3）分两种情况讨论：（一）当t+1＜2时，需满足x＝t+3时的函数值小于x＝t+1时的函数值，（二）当t+1＞2时，需满足x＝t+2的函数值大于x＝t的函数值，分别列出不等式即可得到答案．
【解答】解：（1）令x＝0得y＝2，
∴A（0，2），
∵y＝ax2﹣4ax+2＝a（x2﹣4x+4）+2﹣4a＝a（x﹣2）2+2﹣4a，
∴二次函数图象的对称轴是直线x＝2；
（2）由a＞0可知抛物线开口向上，
∵对称轴是直线x＝2，在0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，
∴最小值在顶点处取得，
∴2﹣4a＝﹣2，解得a＝1，
∴二次函数表达式为y＝x2﹣4x+2，
∵抛物线开口向上时，离对称轴越远，函数值越大，且|0﹣（﹣2）|＜|2﹣5|，
∴当x＝5时，y有最大值，y＝52﹣4×5+2＝7；
（3）对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，分两种情况：
（一）当t+1＜2时，需满足x＝t+3时的函数值不大于x＝t+1时的函数值，如图：
∴a（t+3）2﹣4a（t+3）+2≤a（t+1）2﹣4a（t+1）+2，
解得t≤0；
（二）当t+1＞2时，需满足x＝t+2的函数值不小于x＝t的函数值，如图：
∴a（t+2）2﹣4a（t+2）+2≥at2﹣4at+2，
解得t≥1，
综上所述，对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，则t≤0或t≥1．
方法2：y1≠y2即是P（x1，y1），Q（x2，y2）不关于对称轴x＝2对称，
∴x1+x2≠4恒成立，即x1+x2＞4成立或x1+x2＜4成立，
∴t+（t+2）≥4或（t+1）+（t+3）≤4，
解得t≤0或t≥1．
【点评】本题考查二次函数的综合知识，解题的关键是分类画出图形，根据二次函数性质列不等式．
32．已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0）N（x2，0）（其中x1＜x2），且满足x2＞3﹣2x1；
①直接写出x1+x2的值；
②求a的取值范围．
【分析】（1）根据对称轴的公式代入计算即可；
（2）分a＞0，a＜0两种情况讨论，利用二次函数图象上点的坐标特征可得到关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围．
【解答】解：（1）二次函数图象的对称轴为：x＝﹣＝2，
二次函数图象的对称轴为直线：x＝2．
（2）①由根与系数的关系得：
，
②∵x2＞3﹣2x1，
∴x2+2x1＞3，
∴x2+x1+x1＞3，
∴4+x1＞3，
∴x1＞﹣1，
∴x2＜5，
若a＞0时，
当x＝﹣1时，y＝a+4a+3＞0，即，Δ＝16a2﹣12a＞0，即或a＜0，
∴，
若a＜0时，当x＝﹣1时，y＝a+4a+3＜0，即，Δ＝16a2﹣12a＞0，即或a＜0，
∴a＜﹣．
综上所述：或a＜﹣．
【点评】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图象的性质和分类讨论的思想，熟记二次函数图象特征是解题的关键．
33．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1（m≠0）．
（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（1，2）．试说明抛物线总经过点A；
（3）已知点B（0，2），将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．
【分析】（1）求出抛物线的解析式，由配方法可得出答案；
（2）把x＝1，y＝2代入y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1，可得出答案；
（3）分三种情况：①当抛物线的顶点是点A（1，2）时，抛物线与线段BC只有一个公共点，求出m＝3；
②当抛物线过点B（0，2）时，将点B（0，2）代入抛物线表达式，得2m﹣1＝2．解得m＝，则当0＜m＜时，抛物线与线段BC只有一个公共点．
③当抛物线过点C（3，2）时，将点C（3，2）代入抛物线表达式，得m＝﹣3＜0．则当﹣3＜m＜0时，抛物线与线段BC只有一个公共点．
【解答】解：（1）把m＝3代入y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1中，得y＝3x2﹣6x+5＝3（x﹣1）2+2，
∴抛物线的顶点坐标是（1，2）．
（2）当x＝1时，y＝m﹣3（m﹣1）+2m﹣1＝m﹣3m+3+2m﹣1＝2．
∵点A（1，2），
∴抛物线总经过点A．
（3）∵点B（0，2），由平移得C（3，2）．
①当抛物线的顶点是点A（1，2）时，抛物线与线段BC只有一个公共点．
由（1）知，此时，m＝3．
②当抛物线过点B（0，2）时，
将点B（0，2）代入抛物线表达式，得
2m﹣1＝2．
∴m＝＞0．
此时抛物线开口向上（如图1）．
∴当0＜m＜时，抛物线与线段BC只有一个公共点．
③当抛物线过点C（3，2）时，
将点C（3，2）代入抛物线表达式，得
9m﹣9（m﹣1）+2m﹣1＝2．
∴m＝﹣3＜0．
此时抛物线开口向下（如图2）．
∴当﹣3＜m＜0时，抛物线与线段BC只有一个公共点．
综上，m的取值范围是m＝3或0＜m＜或﹣3＜m＜0．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象及其性质，二次函数图象上点的坐标特征，平移的性质等知识，熟练利用数形结合的解题方法是解决本题的关键．
34．在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；
（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．
【分析】（1）由对称轴为直线x＝﹣求解．
（2）由抛物线的对称性及m＝0可得抛物线关于y轴对称，从而可得a的值，进而求解．
（3）分别将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3），解不等式组．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2ax+1，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝a．
（2）∵m＝0，y1＝y3，
∴（﹣2，y1），（2，y3）关于抛物线对称轴对称，
∴抛物线关于y轴对称，即a＝0，
∴y＝x2+1，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（0，1），
∴y2＝1为函数最小值，
∴y1＞y2．
（3）将（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）代入y＝x2﹣2ax+1得y1＝m2﹣4m﹣2am+4a+5，
y2＝m2﹣2am+1，
y3＝m2﹣4m+2am﹣4a+5，
∵y1＞y2＞y3，
∴m2﹣4m﹣2am+4a+5＞m2﹣2am+1＞m2﹣4m+2am﹣4a+5，
解得m﹣1＜a＜1，
∵m＞1，
∴0＜a＜1．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
35．在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．
（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；
（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．
②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．
【分析】（1）根据抛物线的对称轴x＝﹣求解即可解决问题，再利用平移的性质求出点C的坐标即可．
（2）①画出图形即可解决问题．
②分两种情形：a＜0或a＞0分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0），
∴对称轴x＝﹣＝1，
∵一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，
∴A（0，3），
∵点A向右平移5个单位得到点C，
∴C（5，3）．
（2）①如图1中，观察图象可知，抛物线与图象G的交点有3个，
②∵抛物线的顶点（1，﹣4a），
当a＜0时，由①可知，a＝﹣1时，抛物线经过A，B，
∴当a＜﹣1时，抛物线与图象G有且只有一个公共点，
当抛物线的顶点在线段AC上时，如图2中，也满足条件，
∴﹣4a＝3，
∴a＝﹣，
当a＞0时，如图3中，
抛物线经过点C时，25a﹣10a﹣3a＝3，
解得a＝，
抛物线经过点B时，﹣4a＝﹣a+3，
解得a＝﹣1（舍弃）不符合题意．
观察图象可知a≥时，满足条件，
综上所述，满足条件的a的取值范围：a＜﹣1或a≥．
【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会由分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
36．在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知m＞0，当1﹣2m≤x≤1+m时，y的取值范围是2≤y≤6，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，当n﹣1≤x≤n+1时，若函数值y的最大与最小值的差不超过4，直接写出n的取值范围．
【分析】（1）将点（2，3）代入抛物线解析式，求出b＝﹣2a，根据对称轴公式求出对称轴即可；
（2）分别讨论1﹣2m≤x≤1+m的取值范围与对称轴的位置，分别求出不同情况下y取最大值与最小值时，对应的x的取值，进而求出a、m的值；
（3）分四种情况，①当n＜0时，②当0≤n≤1时，③当1≤n≤2时，④当n＞2时，分别求出最大值与最小值，列不等式求出范围即可．
【解答】解：（1）将点（2，3）代入抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0），
∴4a+2b+3＝3，
∴b＝﹣2a，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）由（1）知，抛物线的对称轴为直线x＝1
∵m＞0，
∴1﹣2m＜m＜1+m，
∵a＞0，抛物线的开口向上，
∴当x＝1时，函数值在1﹣2m≤x≤1+m上取得最小值2，
∴抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+2，
将点（0，3）代入，得a+2＝3，
∴a＝1，
∴函数解析式为y＝（x﹣1）2+2，
∵m＞0，
∴当1﹣2m＜x＜1时，y随x的增大而减小，当x＝1﹣2m时取得最大值，
当1＜x＜1+m时，y随x的增大而增大，当x＝1+m时取得最大值，
∵对称轴为直线x＝1
∴x＝1﹣m与x＝1+m的函数值相等，
∵1﹣2m＜1﹣m
∴当x＝1﹣2m时的函数值大于当x＝1﹣m的函数值，
∴当x＝1﹣2m时，函数值在1﹣2m≤x≤1+m上取得最大值6，
∴（1﹣2m﹣1）2+2＝6，
解得m＝1（负值舍去）；
（3）由（2）知，y＝（x﹣1）2+2，a＝1，
①当n＜0时，n﹣1≤x≤n+1在对称轴的左侧，
∵二次函数的开口向上，
∴当x＝n﹣1时有最大值，当x＝n+1时有最小值，
∴（n﹣1﹣1）2+2﹣[（n+1﹣1）2+2]≤4，
解得n≥0，不合题意，舍去；
②当0≤n≤1时，在n﹣1≤x≤n+1中最小值为2，
当x＝n﹣1时取得最大值，
∴（n﹣1﹣1）2+2﹣2≤4，
解得0≤n≤1；
③当1≤n≤2时，在n﹣1≤x≤n+1中最小值为2，
当x＝n+1时取得最大值，
∴（n+1﹣1）2+2﹣2≤4，
解得﹣2≤n≤2，
∴1≤n≤2；
④当n＞2时，n﹣1≤x≤n+1在对称轴的右侧，
∵二次函数的开口向上，
∴当x＝n+1时有最大值，当x＝n﹣1时有最小值，
∴[（n+1﹣1）2+2]﹣[（n﹣1﹣1）2+2]≤4，
解得n≤2，不合题意，舍去；
综上，n的取值范围为0≤n≤2．
【点评】此题是二次函数的综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的最值，解方程组，解不等式，分类讨论，待定系数法，正确进行分类讨论是解题的关键．2023年北京市部分名校中考数学备考——代数综合
1．（2023 海淀区人大附中开学）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+2ax﹣a﹣1的图象经过原点．
（1）求该二次函数的解析式以及顶点坐标；
（2）将该二次函数的图象在y轴左侧的部分记作W，将W绕原点旋转180°得到W'，W与W'组成一个新函数的图象．
①若点B（b，1）（b≠﹣1）在该新函数图象上，求b的值；
②若点（m，y1），（m+n，y2）是新函数图象上两点，若存在n≥2+，使得y1＞y2，直接写出m的取值范围．
2．（2023春 海淀区101月考）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（﹣1，3），B（4，3），若抛物线与线段AB恰有一个公共点，求a的取值范围；
（3）点P（x1，y1）在抛物线y＝ax2﹣2ax+a+1上，点Q（x2，y2）在一次函数y＝x+a+1的图象上，若对于任意，总存在x2≥0，使得y1≥y2，直接写出a的取值范围．
3．（2023 海淀区首师大附中模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（x0，m），（a﹣1，n），是抛物线y＝ax2﹣2a2x上的点，x0≠a﹣1．
（1）当x0＝2，m＝n时，求a和n的值；
（2）若﹣4≤x0≤﹣3时，mn＜0，求a的取值范围．
4．（2023 海淀区玉渊潭中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2a2x（a≠0）．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含a的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（a﹣1，y1）和B（a+3，y2），当y1 y2＜0，求a的取值范围．
5．（2023 海淀区北师大三附一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知m＞0，当2﹣m≤x≤2+2m时，y的取值范围是﹣1≤y≤3．求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数n，使得当n﹣2＜x＜n时，y的取值范围是3n﹣3＜y＜3n+5．若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
6．（2023 海淀区首师大附中开学）已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2﹣2．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）设直线y＝b与抛物线交于不同的两点A，B，若AB≤4，直接写出b的取值范围；
（3）若抛物线上存在两点M（m，m）和N（n，﹣n），且当m＜0，n＞0时，有m+n＞0，求a的取值范围．
7．（2023 海淀区十九中+八一中学模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝a（x﹣h）2﹣4a的顶点为点A，且0＜h＜3，
（1）若a＝2，
①点A到x轴的距离为 　 　；
②已知点M（﹣1，﹣6），N（3，﹣6），若抛物线与线段MN有且只有一个公共点，求h的取值范围；
已知点A到x轴的距离为4，此抛物线与直线y＝2x+1的两个交点分别为B（x1，y1），C（x2，y2），其中x1＜x2，若点D（xD，yD）在此抛物线上，当x1＜xD＜x2时，yD总满足y1＜yD＜y2，求a的值和h的取值范围．
8．（2023春 海淀区人大附中月考）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，y1），，C（m，y3）三个点在抛物线y＝x2﹣2ax+c（a＞0）上．
（1）当a＝1时，求抛物线的对称轴，并直接写出y1和y2的大小关系．
（2）①若m＝5，y1＝y3，则a的值为 　 　；
②若对于任意2≤m≤5，都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．
9．（2023 海淀区玉渊潭中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣1（a＞0）．
（1）若抛物线过点（4，﹣1）．
①求抛物线的对称轴；
②当﹣1＜x＜0时，图象在x轴的下方，当5＜x＜6时，图象在x轴的上方，在平面直角坐标系中画出符合条件的图象，求出这个抛物线的表达式；
（2）若（﹣4，y1），（﹣2，y2），（1，y3）为抛物线上的三点且y3＞y1＞y2，设抛物线的对称轴为直线x＝t，直接写出t的取值范围．
10．（2023春 海淀区清华附中月考）已知抛物线y＝ax2+（6a﹣2）x（a＞0），点（﹣3，m），（﹣1，n），（x0，t）在该抛物线上．
（1）若m＝n，t＞0，求x0的取值范围；
（2）若存在0≤x0≤1．使得n＜t＜m，求a的取值范围．
11．（2023 海淀区清华附中开学）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣（a+2）x+2经过点A（﹣2，t），B（m，p）．
（1）若t＝0，
①求此抛物线的对称轴；
②当p＜t时，直接写出m的取值范围；
若t＜0，点C（n，q）在该抛物线上，m＜n且3m+3n≤﹣4，请比较p，q的大小，并说明理由．
12．（2023春 21+22中月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
13．（2023春 西城区三十五中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线：y＝ax2﹣2ax+4（a＞0）．
（1）抛物线的对称轴为x＝　 　；抛物线与y轴的交点坐标为　 　；
（2）若抛物线的顶点恰好在x轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+2，y3）为抛物线上三点，且总有y1＞y3＞y2，结合图象，求m的取值范围．
14．（2023 海淀区清华附中模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a＞0）上．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．
①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．
15．（2023 海淀区五十七中学二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a　 　b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；
（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．
16．（2023 海淀区人大附中经开区校区模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．
（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；
（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；
（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1 y2＜0时，求b的取值范围．
17．（2023春 海淀区师达中学月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，﹣2），（2，﹣2）．
（1）直接写出c的值和此抛物线的对称轴；
（2）若此抛物线与直线y＝﹣6没有公共点，求a的取值范围；
（3）点（t，y1），（t+1，y2）在此抛物线上，且当﹣2≤t≤4时，都有|y2﹣y1|＜．直接写出a的取值范围．
（2023春 海淀区首师大附中月考）
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）：
（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣1≤x1≤t+2，x2＝1﹣t．
①若y1的最小值是﹣2，求y1的最大值；
②若对于x1，x2，都有y1＜y2，直接写出t的取值范围．
19．（2023春 北京四中月考）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求该二次函数的图象与y轴交点的坐标及对称轴．
（2）抛物线过点M（﹣1，m），N（2，n），P（6，p），
①判断：（m﹣3）（n﹣3）　 　0（填“＞”，“＜”或“＝”）；
②若M，N，P恰有一个点在x轴下方，求a的取值范围．
20．（2023春 西城区北师大附属实验中学月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴．
（1）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（2）将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G．点M（x1，y1），N（x2，y2）为图形G上任意两点．
①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；
②若对于x1＝m﹣2，x2＝m+2，都有y1＞y2，求m的取值范围．
21．（2023春 西城区北师大附属实验中学月考）已知：抛物线y＝mx2﹣nx+2m+1（m≠0）过点A（1，0）．
（1）用含m代数式表示n；
（2）若抛物线与x轴的另一个交点为点B，且点B在点A的左侧，求m的取值范围；
（3）若m＜﹣1，点、D（3，y2）、在抛物线上，请比较y1、y2、y3的大小，并说明理由．
（2023 西城区铁路二中模拟）
在平面直角坐标系中，设二次函数y＝（x+a）（x﹣a﹣1）（a＞0），
（1）求二次函数对称轴；
（2）若当﹣1≤x≤3时，函数的最大值为4，求此二次函数的顶点坐标．
（3）抛物线上两点M（x1，y1），N（x2，y2）若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3都有y1≠y2，求t的取值范围．
23．（2023 西城区北师大二附西城实验学校模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax﹣3．
（1）求该抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）A（x1，y1），B（x2，y2）为该抛物线上的两点，若x1＝1﹣2a，x2＝a+1，且y1＞y2，求a的取值范围．
24．（2023 西城区北师大二附西城实验学校模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝ax2+bx上．
（1）若a＝1，b＝﹣2，求该抛物线的对称轴并比较y1，y2，y3的大小；
（2）已知抛物线的对称轴为x＝t，若y2＜0＜y3＜y1，求t的取值范围．
25．（2023春 西城区三帆中学月考）在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2﹣3mx（m≠0）．
（1）当二次函数经过点A（﹣1，4）时．
①求该二次函数的解析式以及二次函数的顶点坐标；
②一次函数y＝﹣2x+b的图象经过点A，点（n，y1）在一次函数y＝﹣2x+b的图象上，点（n+2，y2）在二次函数y＝mx2﹣3mx的图象上．若y1＜y2，求n的取值范围．
点M（t，yM），N（t+1，yN）在二次函数图象上，且|m|≤|yM﹣yN|≤|4m|时，求t的取值范围．
26．（2023春 东城区166中学月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）过点（﹣1，y1）和（3，y2），其对称轴为直线x＝t；
（1）当a＝﹣1，b＝4时，求此时t的值，判断y1、y2的大小关系并说明理由；
（2）若在此函数上有A（m，n），且﹣1≤m≤3．
①若n总是不小于y1、y2中的任何一个数，直接写出此时t的值；
②当时，存在A点使得y1、y2、n三个数中最大值和最小值的差不小于1，直接写出此时t的取值范围．
27．（2023 北京二中一模）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，y1），B（，y2），C（m，y3）在抛物线y＝﹣x2+2ax+c（a＞0）上．
（1）抛物线的对称轴为直线x＝　 　，直接写出y1和y2的大小关系y1　 　y2；
（2）若m＝4，且y1＝y3，则a的值是 　 　；
（3）若对于任意1≤m≤4，都有y1＜y3＜y2，求a的取值范围．
28．（2023 东城区171开学考）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线M：y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0）和直线l：y＝．
（1）抛物线M的对称轴是 　 　；
（2）若直线y＝n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标记为x1，x2，直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3．若当﹣1＜n＜0时，总有x1＜x3＜x2，请结合函数图象，求a的取值范围．
29．（2023 东城区广渠门中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+4mx﹣4m2﹣1与y轴交于点P．点Q（a，b）是抛物线上的任意一点，且不与点P重合，直线y＝kx+b（k≠0）经过P，Q两点．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）若PQ∥x轴，且线段PQ长为6，求m的值；
（3）若对于0＜a＜6时，总有k＞0，求m的取值范围．
30．（2023 东城区广渠门中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，m），B（x0，n）在抛物线y＝﹣x2+（2a﹣2）x﹣a2+2a上．
（1）求抛物线的对称轴（用含a的式子表示）；
（2）若存在﹣1＜x0＜1，使得m＜n，求a的取值范围．
31．（2023 东城区广渠门中学模拟）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）当0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值；
（3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．
32．（2023春 东城区171中学月考）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）．
（1）求此二次函数图象的对称轴；
（2）设此二次函数的图象与x轴交于不重合两点M（x1，0）N（x2，0）（其中x1＜x2），且满足x2＞3﹣2x1；
①直接写出x1+x2的值；
②求a的取值范围．
33．（2023 清华附中朝阳学校模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝mx2﹣3（m﹣1）x+2m﹣1（m≠0）．
（1）当m＝3时，求抛物线的顶点坐标；
（2）已知点A（1，2）．试说明抛物线总经过点A；
（3）已知点B（0，2），将点B向右平移3个单位长度，得到点C，若抛物线与线段BC只有一个公共点，求m的取值范围．
34．（2023 首师大苹果园分校模拟）在平面直角坐标系xOy中，点（m﹣2，y1），（m，y2），（2﹣m，y3）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上，其中m≠1且m≠2．
（1）直接写出该抛物线的对称轴的表达式（用含a的式子表示）；
（2）当m＝0时，若y1＝y3，比较y1与y2的大小关系，并说明理由；
（3）若存在大于1的实数m，使y1＞y2＞y3，求a的取值范围．
35．（2023 石景山区京源学校模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣ax+3的图象与y轴交于点A，与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）的对称轴交于点B，将点A向右平移5个单位得到点C，连接AB，AC得到的折线段记为图形G．
（1）求出抛物线的对称轴和点C坐标；
（2）①当a＝﹣1时，直接写出抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G的公共点个数．
②如果抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与图形G有且只有一个公共点，求出a的取值范围．
36．（2023春 丰台区12中月考）在平面直角坐标系xOy中，点（2，3）在抛物线y＝ax2+bx+3（a＞0）上．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）已知m＞0，当1﹣2m≤x≤1+m时，y的取值范围是2≤y≤6，求a，m的值；
（3）在（2）的条件下，当n﹣1≤x≤n+1时，若函数值y的最大与最小值的差不超过4，直接写出n的取值范围

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