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2023北京中考数学一模分类汇编——代数综合
1．（2023 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；
（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．
2．（2023 西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴为直线x＝t．
（1）若点（2，4）在抛物线上，求t的值；
（2）若点（x1，3），（x2，6）在抛物线上，
①当t＝1时，求a的取值范围；
②若t≤x1＜x2，且x2﹣x1≥1，直接写出a的取值范围．
3．（2023 东城区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＞0时，抛物线上有两点（﹣1，s），（k，t），若s＞t时，直接写出k的取值范围；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+3，y3）都在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
4．（2023 朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
5．（2023 丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，y1），B（a+1，y2）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上．
（1）当a＝2时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y1和y2的大小关系；
（2）抛物线经过点C（m，y3）．
①当m＝4时，若y1＝y3，则a的值为 　 　；
②若对于任意的4≤m≤6都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．
6．（2023 石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．
7．（2023 通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，n），（2，p）在二次函数y＝﹣x2+bx+2的图象上．
（1）当n＝p时，求b的值；
（2）当（2﹣n）（n﹣p）＞0，求b的取值范围．
8．（2023 平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上．
（1）求抛物线的对称轴用含（m的式子表示）；
（2）若y1＜y2，求m的取值范围；
（3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围．
9．（2023 门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）经过点（3，0）时：
①求此时抛物线的表达式；
②点M（n﹣2，y1），N（2n+3，y2）在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当y1＞y2时，求n的取值范围．
10．（2023 房山区一模）已知抛物线y＝x2﹣2ax+b经过点（1，1）．
（1）用含a的式子表示b及抛物线的顶点坐标；
（2）若对于任意a﹣1≤x≤a+2，都有y≤1，求a的取值范围．
11．（2023 延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，m）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当m＝1时，求b的值；
（2）点（x0，n）在抛物线上，若存在0＜x0＜b，使得m＝n，直接写出b的取值范围．
12．（2023 大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，y1），（2，y2），（3，y3）在抛物线y＝x2﹣2tx+t2+1上．
（1）抛物线的对称轴是直线（用含t的式子表示）；
（2）当y1＝y2，求t的值；
（3）点（m，y3）（m≠3）在抛物线上，若y2＜y3＜y1，求t取值范围及m的取值范围．
13．（2023 顺义区一模）已知：抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＞0）．
（1）求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点A（n，y1），B（n+1，y2）在该抛物线上，且位于对称轴的同侧．若|y2﹣y1|≤4，求a的取值范围．
14．（2023 燕山一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+5（a≠0）与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（6，y3）在该抛物线上，且y1，y2，y3中有且只有一个小于0，求a的取值范围．2023北京中考数学一模分类汇编——代数综合
参考答案与试题解析
1．（2023 海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（x0，m），B（x0+4，n）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当b＝5，x0＝3时，比较m与n的大小，并说明理由；
（2）若对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，求b的取值范围．
【分析】（1）抛物线的解析式化成顶点式，即可求得对称轴，根据二次函数的性质即可判断；
（2）求得抛物线与直线y＝1的交点，即可求得对称轴，由对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1得到，解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，从而得到，解得4＜b＜5．
【解答】解：（1）由题意可知A（3，m），B（7，n）在抛物线y＝x2﹣10x+1上，
∵y＝x2﹣10x+1＝（x﹣5）2﹣24，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝5，
∵A（3，m），B（7，n）到对称轴的距离相同，
∴m＝n；
（2）当y＝1时，则y＝x2﹣2bx+1＝1，
解得x1＝0，x2＝2b，
∴抛物线经过点（0，1），（2b，1），
∴对称轴为直线x＝b，
∵对于3≤x0≤4，都有m＜n＜1，
∴，
解得b﹣2＜x0＜2b﹣4，
∴，
解得4＜b＜5．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023 西城区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+4的对称轴为直线x＝t．
（1）若点（2，4）在抛物线上，求t的值；
（2）若点（x1，3），（x2，6）在抛物线上，
①当t＝1时，求a的取值范围；
②若t≤x1＜x2，且x2﹣x1≥1，直接写出a的取值范围．
【分析】（1）将点（2，4）代入抛物线表达式得：4＝4a+2b+4，则b＝﹣2a，即可求解；
（2）①当a＞0时，抛物线的顶点在y＝3之下，即a﹣2a+4≤3，即可求解；当a＜0时，抛物线的顶点在y＝6之上，同理可解；
②将点（x1，3）、（x2，6）代入抛物线表达式得：整理得到a（x2﹣x1）（x1+x2﹣2t）＝3，进而求解．
【解答】解：（1）将点（2，4）代入抛物线表达式得：4＝4a+2b+4，
则b＝﹣2a，
则t＝﹣＝1；
（2）①当t＝1时，b＝﹣2a，
则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣2ax+4，
当a＞0时，抛物线的顶点在y＝3之下，
即a﹣2a+4≤3，
解得：a≥1；
当a＜0时，抛物线的顶点在y＝6之上，
即a﹣2a+4≥6，
解得：a≤﹣2，
故a≥1或a≤﹣2；
②将点（x1，3）、（x2，6）代入抛物线表达式得：
3＝+bx1+4，6＝+bx2+4，
则（x2﹣x1）[a（x2+x1）+b]＝3，而t＝﹣，
则a（x2﹣x1）（x1+x2﹣2t）＝3，
∵x2﹣x1≥1，
则x2+x1﹣2t≥2x1+1﹣2t≥1，
∵t≤x1＜x2，
则x2﹣x1＞0，
则（x2﹣x1）（x1+x2﹣2t）≥1，
则a≤3，
故0＜a≤3．
【点评】本题为二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质等，熟悉二次函数图象和性质是本题解题的关键．
3．（2023 东城区一模）已知抛物线y＝ax2﹣2ax（a≠0）．
（1）求该抛物线的顶点坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a＞0时，抛物线上有两点（﹣1，s），（k，t），若s＞t时，直接写出k的取值范围；
（3）若A（m﹣1，y1），B（m，y2），C（m+3，y3）都在抛物线上，是否存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将抛物线y＝ax2﹣2ax化为顶点式，即可求解；
（2）当a＞0时，结合二次函数的图象以及抛物线的对称性即可求解；
（3）由y1＜y2＜y3≤﹣a可得抛物线开口向下，根据抛物线对称轴为直线x＝1，结合图象求解．
【解答】解：（1）抛物线y＝ax2﹣2ax＝a（x﹣1）2﹣a，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣a）；
（2）当a＞0时，如图，
当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣a），
∴抛物线的对称轴为为直线x＝1，
∴点（﹣1，s）关于直线x＝1的对称点为（3，s），
∵点（﹣1，s），（k，t），s＞t，
∴﹣1＜k＜3；
（3）存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立，
∵y1＜y3＜y2≤﹣a，抛物线的顶点坐标为（1，﹣a），
∴抛物线开口向下，
∴a＜0，
如图，当B（m，y2），C（m+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝1，
解得m＝﹣，
∴m＞﹣时，y3＜y2≤﹣a，
当A（m﹣1，y1），B（m，y2）关于抛物线对称轴对称时，＝1，
解得m＝，
∴m＜时，y1＜y2≤﹣a，
当A（m﹣1，y1），C（m+3，y3）关于抛物线对称轴对称时，＝1，
解得m＝0，
∴m＜0时，y1＜y3≤﹣a，
综上，存在实数m，使得y1＜y3＜y2≤﹣a恒成立，m的取值范围为﹣＜m＜0．
【点评】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的顶点坐标，二次函数的图象以及抛物线的对称性，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
4．（2023 朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+（2m﹣6）x+1经过点（1，2m﹣4）．
（1）求a的值；
（2）求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）；
（3）点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）在抛物线上，若y2＜y3≤y1，求m的取值范围．
【分析】（1）代入点（1，2m﹣4）即可求解；
（2）利用对称轴公式即可求解；
（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+（2m﹣6）+1＝2m﹣4，
解得：a＝1；
（2）∵a＝1，
∴y＝x2+（2m﹣6）x+1，
∴抛物线的对称轴为：直线x＝＝3﹣m；
（3）当m＞0时，可知点（﹣m，y1），（m，y2），（m+2，y3）从左至右分布，
∵y2＜y3≤y1，
∴，
解得1＜m≤2；
当m＜0时，
∴m＜﹣m＜﹣m+3，
∴y2≥y1，不合题意，
综上，m的取值范围是1＜m≤2．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
5．（2023 丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，y1），B（a+1，y2）在抛物线y＝x2﹣2ax+1上．
（1）当a＝2时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y1和y2的大小关系；
（2）抛物线经过点C（m，y3）．
①当m＝4时，若y1＝y3，则a的值为 　　；
②若对于任意的4≤m≤6都满足y1＞y3＞y2，求a的取值范围．
【分析】（1）由配方法可求出顶点坐标，x＝﹣3时，y1＝22，x＝3时，y2＝﹣2，则可得出答案；
（2）①由题意得出方程9+6a+1＝16﹣8a+1，求出a的值即可；
②分两种情况，当﹣3＜a+1＜m时，当﹣3＜m＜a+1时，由二次函数的性质可得出答案．
【解答】解：（1）当a＝2时，y＝x2﹣4x+1＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣3），
∵x＝﹣3时，y1＝9+12+1＝22，
x＝3时，y2＝9﹣12+1＝﹣2，
∴y1＞y2；
（2）①当m＝4时，y1＝y3，
∴9+6a+1＝16﹣8a+1，
∴a＝，
故答案为：；
②∵对于任意的4≤m≤6都满足y1＞y3＞y2，
∴点A，B，C存在如下情况：
情况1，如图1，当﹣3＜a+1＜m时，a，
∴，
解得3；
情况2，如图2，当﹣3＜m＜a+1时，＜a，
∴，
∴a＞m+1，解得a＞7，
综上所述，a＜3或a＞7．
【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
6．（2023 石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为x＝t，两个不同点（3，m），（t+1，n）在抛物线上．
（1）若m＝n，求t的值；
（2）若n＜m＜c，求t的取值范围．
【分析】（1）由m＝n得，点（3，m）与（t+1，n）关于对称轴x＝t对称，由中点坐标公式求出t的值即可．
（2）分t＜0，t＝0，t＞0结合图形进行讨论，只有t＞0时符合题意，当t＞0时，根据点（3，m）到对称轴x＝t的距离要大于点（t+1，n）到对称轴x＝t的距离，得到|3﹣t|＞1，由m＜c，得到3＜2t，从而得到t的范围．
【解答】解：（1）∵m＝n，
∴点（3，m）与（t+1，n）关于对称轴x＝t对称，
∴＝t，
∴t＝4．
（2）①如图1，当t＜0时，当x＝3时，m＞c，不符合题意．
②当t＝0时，c是最小值，不符合题意．
③如图2，当t＞0时，
∵m＜c，
∴3＜2t，
∴t＞，
∵m＞n，
∴点（3，m）到对称轴x＝t的距离要大于点（t+1，n）到对称轴x＝t的距离，
∴|3﹣t|＞1，
当t＞3时，t﹣3＞1，
∴t＞4，
当t＜3时，3﹣t＞1，
∴t＜2，
综上得，t的取值范围为：＜t＜2或t＞4．
【点评】本题考查了二次函数的性质以及点的坐标特征，掌握数形结合思想是解题关键．
7．（2023 通州区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点（﹣1，n），（2，p）在二次函数y＝﹣x2+bx+2的图象上．
（1）当n＝p时，求b的值；
（2）当（2﹣n）（n﹣p）＞0，求b的取值范围．
【分析】（1）把点（﹣1，n），（2，p）代入y＝﹣x2+bx+2中得，n＝﹣1﹣b+2，p＝﹣4+2b+2，解方程即可得到结论；（2）把点（﹣1，n），（2，p）代入y＝﹣x2+bx+2中得，n＝﹣1﹣b+2，p＝﹣4+2b+2，解不等式即可得到结论．
【解答】解：（1）把点（﹣1，n），（2，p）代入y＝﹣x2+bx+2中得，n＝﹣1﹣b+2，p＝﹣4+2b+2，
∵n＝p，
∴﹣1﹣b+2＝﹣4+2b+2，
解得b＝1；
（2）把点（﹣1，n），（2，p）代入y＝﹣x2+bx+2中得，n＝﹣1﹣b+2，p＝﹣4+2b+2，
∴（2﹣n）（n﹣p）＝（2+1+b﹣2）（﹣1﹣b+2+4﹣2b﹣2）＝﹣3b2+3＞0，
解得﹣1＜b＜1，
故b的取值范围为﹣1＜b＜1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，正确地求出b的取值范围是解题的关键．
8．（2023 平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上．
（1）求抛物线的对称轴用含（m的式子表示）；
（2）若y1＜y2，求m的取值范围；
（3）若点（x0，y0）在抛物线上，若存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，求m的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式求得即可；
（2）由y1＜y2，得到1﹣2m+m2＜9﹣6m+m2，解不等式即可；
（3）由题意可知m2≤9﹣6m+m2，1+2m+m2≥1﹣2m+m2，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2mx+m2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝m；
（2）∵点（1，y1），（3，y2）在抛物线y＝x2﹣2mx+m2上，且y1＜y2，
∴1﹣2m+m2＜9﹣6m+m2，
∴m＜2；
（3）∵点（x0，y0）在抛物线上，存在﹣1＜x0＜0，使y1＜y0＜y2成立，
∴，
解得0．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
9．（2023 门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）当抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）经过点（3，0）时：
①求此时抛物线的表达式；
②点M（n﹣2，y1），N（2n+3，y2）在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当y1＞y2时，求n的取值范围．
【分析】（1）把（3，0）代入y＝ax2﹣2ax+a﹣4即可求得；把解析式化成顶点式即可；
（2）①把a＝1代入解析式求解即可；
②分两种情况讨论，列出不等式组可求解．
【解答】解：（1）y＝ax2﹣2ax+a﹣4＝a（x﹣1）2﹣4，
∴抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；
（2）①∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣4（a≠0）过（3，0），
∴9a﹣6a+a﹣4＝0，
解得a＝1；
此时抛物线的表达式为y＝x2﹣2x﹣3；
②∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
若点M在对称轴直线x＝1的左侧，点N在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得，
∴﹣1＜n＜，
若点N在对称轴直线x＝1的左侧，点M在对称轴直线x＝1的右侧时，
由题意可得：，
不等式组无解，
综上所述：﹣1＜n＜．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，一元一次不等式组的应用，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
10．（2023 房山区一模）已知抛物线y＝x2﹣2ax+b经过点（1，1）．
（1）用含a的式子表示b及抛物线的顶点坐标；
（2）若对于任意a﹣1≤x≤a+2，都有y≤1，求a的取值范围．
【分析】（1）把点（1，1）代入y＝x2﹣2ax+b计算可求得含a的式子表示b的代数式，配方成顶点式，即可求解；
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x＝a，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，则当x＝a+2时，代入计算，解不等式即可求解．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2ax+b经过点（1，1），
∴1＝1﹣2a+b，
∴b＝2a，
∵y＝x2﹣2ax+b＝（x﹣a）2+2a﹣a2，
∴抛物线的顶点坐标为（a，2a﹣a2）；
（2）∵y＝x2﹣2ax+b＝（x﹣a）2+2a﹣a2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝a，
∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，且a﹣1≤x≤a+2，
∴当x＝a+2时，，
即a2﹣2a﹣3≥0，
∴（a﹣3）（a+1）≥0，
∴或，
解得a≥3或a≤﹣1．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键．
11．（2023 延庆区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（4，m）在抛物线y＝x2﹣2bx+1上．
（1）当m＝1时，求b的值；
（2）点（x0，n）在抛物线上，若存在0＜x0＜b，使得m＝n，直接写出b的取值范围．
【分析】（1）利用待定系数法求解；
（2）构建不等式解决问题即可．
【解答】解：（1）当m＝1时，点A的坐标为（4，1），
∵点A在抛物线y＝x2﹣2bx+1上，
∴1＝42﹣2b×4+1上，
∴b＝2；
（2）∵抛物线的对称轴x＝b，
观察图象可知，当x＝b＞2时，且b＝4时，存在0＜x0＜b，使得m＝n，
∴b＞2且b≠4．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握待定系数法，学会构建不等式解决问题．
12．（2023 大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，y1），（2，y2），（3，y3）在抛物线y＝x2﹣2tx+t2+1上．
（1）抛物线的对称轴是直线（用含t的式子表示）；
（2）当y1＝y2，求t的值；
（3）点（m，y3）（m≠3）在抛物线上，若y2＜y3＜y1，求t取值范围及m的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式即可求解；
（2）根据抛物线的对称性即可求解；
（3）利用二次函数的性质即可得出关于m的不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣2tx+t2+1，
∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝t；
（2）∵点（﹣2，y1），（2，y2），（3，y3）在抛物线y＝x2﹣2tx+t2+1上，且y1＝y2，
∴抛物线的对称轴为直线x＝＝0，
∴t＝0；
（3）∵点（m，y3）（m≠3）在抛物线上，
∴抛物线对称轴为直线x＝t＝，
∵y2＜y3＜y1，
∴＜t＜，即，
∴＜＜，即﹣2＜m＜2．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
13．（2023 顺义区一模）已知：抛物线y＝ax2﹣4ax﹣3（a＞0）．
（1）求此抛物线与y轴的交点坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点A（n，y1），B（n+1，y2）在该抛物线上，且位于对称轴的同侧．若|y2﹣y1|≤4，求a的取值范围．
【分析】（1）当x＝0时，求出y的值，即可确定抛物线与y轴交点坐标，根据对称轴公式x＝求解即可；
（2）根据点A（n，y1），B（n+1，y2）在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，可得y1＝an2﹣4an﹣3，y2＝a（n+1）2﹣4a（n+1）﹣3＝an2﹣2an﹣3a﹣3，根据|y2﹣y1|≤4，可得|2an﹣3a|≤4，①当点A、B在对称轴的右侧时，②当点A、B在对称轴的左侧时，分别求解a的取值范围即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，
∴抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），
对称轴x＝﹣＝2；
（2）∵点A（n，y1），B（n+1，y2）在该抛物线上，且位于对称轴的同侧，
∴y1＝an2﹣4an﹣3，y2＝a（n+1）2﹣4a（n+1）﹣3＝an2﹣2an﹣3a﹣3，
∵|y2﹣y1|≤4，
∴|2an﹣3a|≤4，
①当点A、B在对称轴的右侧时，n≥2，
∴2an﹣3a≤4，
解得a≤4，
∵a＞0，
∴0＜a≤4；
②当点A、B在对称轴的左侧时，n+1≤2，
解得n≤1，
∴﹣2an+3a≤4，
解得a≤4，
∵a＞0，
∴0＜a≤4，
综上所述，满足条件的a的取值范围是0＜a≤4．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
14．（2023 燕山一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+5（a≠0）与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标及抛物线的对称轴；
（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（6，y3）在该抛物线上，且y1，y2，y3中有且只有一个小于0，求a的取值范围．
【分析】（1）在y＝ax2﹣4ax+5中，令x＝0得C（0，5），由y＝ax2﹣4ax+5＝a（x﹣2）2+5﹣4a，知对称轴为直线x＝2；
（2）求得y1＝5a+5，y2＝5﹣4a，y3＝12a+5，分两种情况，根据y1，y2，y3中有且只有一个小于0，列出不等式组，即可解得答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣4ax+5中，令x＝0得y＝5，
∴C（0，5），
∵y＝ax2﹣4ax+5＝a（x﹣2）2+5﹣4a，
∴抛物线y＝ax2﹣4ax+5的对称轴为直线x＝2；
（2）在y＝ax2﹣4ax+5中，
令x＝﹣1得y1＝5a+5，
令x＝2得y2＝5﹣4a，
令x＝6得y3＝12a+5，
①当a＞0时，
∵y1，y2，y3中有且只有一个小于0，
∴，
解得a＞；
②当a＜0时，
∵y1，y2，y3中有且只有一个小于0，
∴，
解得﹣1≤a＜﹣，
综上所述，a的范围是a＞或﹣1≤a＜﹣．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是分类讨论思想的应用．
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