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第一章 安培力与洛伦兹力
3、带电粒子在匀强磁场中的运动
第二课时
专题：带电粒子在有界匀强磁场中运动的求解方法
　在研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，着重把握“一找圆心，二求半径，三定时间”的方法。
1.圆心的确定方法：两线定一“心”
类型一：已知两个速度的方向，可通过入射点和出射点作速度的垂线，两条直线的交点就是圆心。
依据：圆心一定在垂直于速度的直线上。方法：由两个半径的交点确定圆心
vt
①
—
v0
v0
O
O
②
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
×
－
－
θ
O
A
v0
B
vt
③
O
－
+
v0
vt
o
④
(2) 类型二：已知入射速度方向和出射点位置，做入射点和出射点连线的中垂线，与其一速度的垂线的交点为圆心。
依据：圆心一定在弦的中垂线上。方法：由半径和弦的中垂线交点确定圆心
O
+
v0
A
B
O
A
v0
B
－
V
+q
①
②
③
θ
θ
vt
2、求半径：主要由三角形几何关系求出
（一般是三角形的边角关系、或者勾股定理确定）。
r
r-h
h
2. 若已知d与θ，则由边角关系知
3. 若已知d与h(θ未知)，则由勾股定理知
1.
3、三个角的关系
(1)、圆心角：
(2)、偏向角：
(3)、弦切角：
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间由下式表示：
②当v 一定时，粒子在磁场中运动的时间 = ，l为带电粒子通过的弧长。
由φ ＝α＝2θ＝ωt得，在磁场内运动方向的偏转角越小，运动时间越短。
4、运动的时间的确定
入射角600时:
O
入射角1200时:
O
入射角900时:
O
入射角1800时:
O
例1.如图所示,一束电子(电量为e)以速度V垂直射入磁感应强度为B、宽度为d的匀强磁场,穿透磁场时的速度与电子原来的入射方向的夹角为300.求:
(1)电子的质量 m
(2)电子在磁场中的运动时间t
d
B
e
θ
v
v
θ
　　分析：本题已知轨迹上两点的速度方向即轨迹的切线方向，就可以确定圆心的位置，再由此解出半径.
　　解：因为速度方向改变30°，因此此段轨迹所对应的圆心角为30°，如图所示，由几何关系可得：
半径 R=2d
再由半径公式
可以求出电子的质量
穿过磁场的时间　　　　　 .
　　【答案】
　　【点评】由速度方向的改变确定圆心角的大小是解本题的第一个关键点，通过解直角三角形求出半径R是解本题的第二个关键点.
（一）直线边界(单边有界)：进出磁场具有对称性。
2、从同一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角（弦切角）相等。
1、因速度速度方向不同，存在四种可能的运动轨迹，如图。
半圆，优弧，劣弧，圆周
二、三类边界磁场中的轨迹特点
例3.如图所示，在垂直纸面向里的匀强磁场的边界上，有两个电荷量绝对值相同、质量相同的正负粒子（不计重力），从O点以相同的速度先后射入磁场中，入射方向与边界成θ角，则正负粒子在磁场中（　 ）　　
A.运动时间相同
B.运动轨迹的半径相同
C.重新回到边界时的速度相同
D.重新回到边界时与O点的距离相等
　　解析：两偏转轨迹的圆心都在射入速度的垂直线上，可假设它们的半径为某一长度，从而画出两偏转轨迹，如图所示.
由此可知它们的运动时间分别为　　　　　　　　　；轨迹半径 相等；射出速度方向都与边界成θ角；射出点与O点距离相等，为：d=2R·sin θ.故选项B、C、D正确.
例4.如图所示，一带电量为2.0×10 -9 C，质量为1.8×10 -16 kg的粒子，在直线上一点O沿30 0 角方向进入磁感强度为B的匀强磁场中，经历1.5 ×10 -6 s后到达直线上另一点P。求
(1)粒子作圆周运动的周期
(2)磁感强度B的大小
(3)若OP距离为0.1 m，则粒子的运动速度多大
　
　　带电粒子垂直射入单边界的匀强磁场中，可分两类模型分析：一为同方向射入的不同粒子；二为同种粒子以相同的速率沿不同方向射入.无论哪类模型，都遵守以下规律：
　（1）轨迹的圆心在入射方向的垂直线上，常可通过此垂线的交点确定圆心的位置. 　
（2）粒子射出方向与边界的夹角等于射入方向与边界的夹角.
方法概述1：
（二）平行边界（双边有界）：存在临界条件。
1、因入射速度方向不同，有三类可能的运动轨迹a,b,c
初速度方向与边界平行、垂直、斜交
2、存在4种从另一边界穿出的临界情况：a中2种，b中1种，c中1种
1、因入射速度方向不同，有三类可能的运动轨迹a,b,c
初速度方向与边界平行、垂直、斜交
2、存在4种从另一边界穿出的临界情况：a中2种，b中1种，c中1种
例5.如图所示，宽度为d的有界匀强磁场，其磁感应强度为B，MM′和NN′是它的两条边界线.现有质量为m、电荷量为q的带负电粒子沿图示方向垂直磁场方向射入，要使粒子不能从边界NN′射出，则粒子入射速率v的最大值是（　 ）
　　A.
　　B.
　　C.
　　D.
　　【解析】如图所示，由半径公式可知，当粒子的运动轨迹与NN′相切时，粒子入射速率v最大.
设此时轨迹半径为R，则有：
　　R+Rcos 45°=d，解得：
　　将上式代入　　　，得：　　　　 .
　　
【答案】D
　　【点评】解决这类问题的关键在于画出与另一边界相切的粒子轨迹，以及确定轨迹的圆心位置和轨迹的半径大小.
　　
　　
1.与另一边界相切时轨迹的作图步骤：
　（1）作入射方向的延长线与MN交于B点.
　（2）过入射点作入射方向的垂线.
（3）分别作∠ABN和∠ABM的角平分线，两角平分线与入射方向的垂线的交点为O1和O2.
（4）O1、O2分别为正负电荷临界偏转轨迹的圆心，通过圆心和入射点可作出两临界轨迹，如图所示.
2.与另一边界相切轨迹的半径
方法概述2：
(三)圆形边界：(进出磁场具有对称性)
(1)沿径向射入必沿径向射出，如图3所示.
(2)不沿径向射入时速度方向与对应点半径的夹角相等（等角进出），如图4所示.
图3
图4
例6.在真空中半径 r =3×10-2m的圆形区域内有一匀强磁场，磁场的磁感应强度B=0.2 T，方向如图所示，一个带正电的粒子以v0=1×106 m/s的初速度从磁场边界上的a点沿直径ab射入磁场，已知该粒子的荷　　　　　　，不计粒子重力. 　
（1）求粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径.
（2）若要使粒子飞离磁场时有最大的偏转角，其入射时粒子的方向应如何（用v0与Oa的夹角θ表示）？最大偏转角多大？
解：（1）设粒子做圆周运动的半径为R，则：
　　
（2）当粒子的速率一定时,粒子在磁场中的轨迹半径一定，当轨迹圆弧的弦长最大时，对应的圆心角最大、偏转角最大.
　　由图可知，弦长的最大值为：
ab=2r=6×10-2m　
　　设最大偏转角为αmax，此时初速度方向与ab连线
的夹角为θ，则：
得：αmax=74°
　　所以
当粒子以与ab夹角为37°斜向右上方入射时，粒子飞离磁场时有最大偏转角，最大值为74°.
【点评】从圆形区域的圆周上某点以相同速率射入的同种电荷，它们的轨迹半径相等.当射出点与射入点在同一直径上时，有最大的偏转角.
带电粒子垂直进入圆形区域的匀强磁场中，只受洛伦兹力作用的运动轨迹有以下规律：
1、沿半径方向入射的粒子一定沿另一半径方向射出.
　　证明：如图所示，连接OO′和OB.
　　因为AO=BO，OO′为两三角形的公共边，AO′=BO′
　　所以△AOO′≌△BOO′
　　所以O′B⊥OB
　　即OB为 的切线，
电荷射出的方向得证.
2、同种带电粒子以相同的速率从同一点垂直射入圆形区域的匀强磁场时，入射点与出射点的连线为直径,则轨迹的弧长最长，偏转角有最大值：
方法概述3：
拓展：带电粒子射入环形磁场区域问题
例7.在受控热核聚变装置中，聚变原料有极高的温度，因而带电粒子将没有通常意义上的“容器”可装，而是由磁场约束使其在某个区域内运动.现按下面的简化条件来讨论这个问题：图中是一个内半径R1=1.0 m、外半径R2=2.0 m的环状区域的截面，区域内有垂直截面向外的匀强磁场.已知氦核的比荷　　　　　　 ，磁场的磁感应强度B=0.4 T，不计氦核的重力.设O点为氦核源，它能沿半径方向射出各种速率的氦核，求该磁场能约束住的氦核的最大速度vm.
解：设速率为vm的氦核运
动至外边缘时恰好与边界相切而返
回，其轨迹如图所示.
设∠BOA=θ，由几何关系有：
　　R3=R1·tan θ
　　
　　联立解得：
又因为氦核运动轨迹的半径
　　解得：vm=1.44×107 m/s.
　　带电粒子从内圆垂直射入环形区域的匀强磁场中，可分以下两种情形总结规律：
（1）若沿区域圆半径方向射入时，临界速率为：
（2）若在内边沿上某点沿各方向射入时，临界速率为：　　　
　　　　　　　　（即此时轨迹半径　　　　）.
　　
　　　　　　　　　　.
方法概述4
解决带电粒子在磁场中的临界问题的关键
(1)通常以题目中的“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,运用动态思维,寻找临界点,确定临界状态,根据磁场边界和题设条件画好轨迹,定好圆心,建立几何关系。
(2)寻找临界点常用的结论
①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
②当速度v 一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
③当速度v 变化时,圆心角越大的,运动时间越长。
④在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时,则入射点和出射点为磁场直径的两个端点,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)。
三、带电粒子运动的临界和极值问题
带电粒子在平行直线边界磁场中的运动
-q
B
P
+q
+q
Q
P
Q
Q
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
圆心在过入射点跟边界垂直的直线上
圆心在磁场原边界上
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态．
构建模型：速度方向不变，大小改变——“吹气球模型”
用动态变化的思想分析出临界状态
图有误，应该是优弧
带电粒子在矩形边界磁场中的运动
o
B
d
a
b
c
θ
B
圆心在磁场原边界上
圆心在过入射点跟速度方向垂直的直线上
量变积累到一定程度发生质变，出现临界状态（轨迹与边界相切）
速度方向不变，大小变化——“放缩圆”
2R
R
2R
M
N
O
s
a
b
P1
P2
N
L
求ab上被α粒子打中的区域的长度
速度大小不变，方向变化——“旋转圆”
例8.(多选)如图所示,带正电的A粒子和B粒子先后以同样大小的速度从宽度为d的有界匀强磁场的边界上的O点分别以30°和60°(与边界的夹角)射入磁场,又都恰好不从另一边界飞出,则下列说法中正确的是 (　　)
A.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
B.A、B两粒子在磁场中做圆周运动的半径之比是
C.A、B两粒子 之比是
D.A、B两粒子 之比是
BD
答案 BD　由题意知,粒子在磁场中运动时由洛伦兹力提供向心力,根
据qvB=m ,得r= 。由几何关系可得,对粒子B:rB cos 60°+rB=d,对粒子
A:rA cos 30°+rA=d,联立解得 = ,所以A错误,B正确。再根据r= ,
可得A、B两粒子 之比是 ,故C错误,D正确。
例9.如图所示,△ABC为与匀强磁场垂直的边长为a的等边三角形,比荷为 的电子以速度v0从A点沿AB边入射,欲使电子经过BC边,磁感应强度B的取值为 (　　)
A.B> 　 B.B<
C.B> 　 D.B<
D
答案 D　由题意,如图所示,电子正好经过C点,此时圆周运动的半径R= = ,要想电子从BC边经过,电子做圆周运动的半径要大于 ,由带电粒子在磁场中运动的半径公式R= ,可得 < ,即B< ,选D。

方法技巧：
带电粒子进入有界匀强磁场区域,一般存在临界问题。解决这类问题的方法思路如下:
(1)直接分析、讨论临界状态,找出临界条件,从而通过临界条件求出临界值。
(2)以定理、定律为依据,首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式,然后再分析、讨论临界条件下的特殊规律和特殊解。
(3)许多临界问题、题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时一定要抓住此类特定的词语,挖掘出隐藏的规律,找出临界条件。
　　带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由于多种因素的影响,使问题形成多解。多解的形成原因一般包含4个方面:
带电粒子电性不确定形成多解 受洛伦兹力作用的带电粒子,可能带正电,也可能带负电,当粒子具有相同初速度时,
正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,导致多解。如图所示,带电粒子以速度v垂直匀
强磁场进入,若带正电,其轨迹为a,若带负电,其轨迹为b
磁场方向不确定形成多解 磁感应强度是矢量,如果题述条件只给出磁感应强度大小,而未说明磁感应强度方向,
则应考虑因磁场方向不确定而导致的多解。如图所示,带正电的粒子以速度v垂直匀
强磁场进入,若B垂直纸面向里,其轨迹为a,若B垂直纸面向外,其轨迹为b
临界状态不唯一形成多解 带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可
能穿过去了,也可能转过180°后从入射面边界反向飞出,如图所示,于是形成了多解
运动的往复性形成多解 带电粒子在部分是电场,部分是磁场的空间运动时,运动往往具有往复性,从而形成多
解,如图所示
四、带电粒子在磁场中运动的多解问题
例10、如图所示,宽度为d的有界匀强磁场,磁感应强度为B,MM'和NN'是它的两条边界。现有质量为m、电荷量为q的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界NN'射出,则粒子入射速率v的最大值可能是多少
考向一　带电粒子电性不确定形成多解
答案 (2+ ) (q为正电荷)或(2- ) (q为负电荷)
解析　题目中只给出粒子“电荷量为q”,未说明是带哪种电荷,所以分
情况讨论。
若带电粒子带正电荷,轨迹是图中与NN'相切的 圆弧,则轨迹半径
R=
又d=R-R·sin 45°
解得v=
若带电粒子带负电荷,轨迹是图中与NN'相切的 圆弧,则轨迹半径
R'=
又d=R'+R' sin 45°
解得v'=
考向二　磁场方向不确定形成多解
例11.(多选)一质量为m、电荷量为q的负电荷在磁感应强度为B的匀强磁场中绕固定的正电荷做匀速圆周运动,若磁场方向垂直于它的运动平面,且作用在负电荷上的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷做圆周运动的角速度可能是 (　　 )
A. 　 B.
C. 　 D.
AC
答案 AC　依题中条件“磁场方向垂直于它的运动平面”,磁场方向
有两种可能,且这两种可能方向相反,在方向相反的两个匀强磁场中,由
左手定则可知负电荷所受洛伦兹力的方向也是相反的。当负电荷所受
的洛伦兹力方向与电场力方向相同时,根据牛顿第二定律可得4Bqv=m ，
得v= ,此种情况下,负电荷运动的角速度为ω= = ;当负电荷
所受的洛伦兹力方向与电场力方向相反时,有2Bqv'=m ,得v'= ,此
种情况下,负电荷运动的角速度为ω'= = 。综上可知,选项A、C正
确。
例12.(多选)长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,如图所示,磁感应强度为B,板间距离也为l,极板不带电。现有质量为m、电荷量为
q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水
平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是 (　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
考向三　临界状态不唯一形成多解
D.使粒子的速度v满足 AB
答案 AB　设带电粒子从极板右边缘射出时的最小速度为v1,从极板
左边缘射出时的最大速度为v2。若带电粒子刚好打在极板右边缘,则其
运动轨迹如图所示(轨迹半径为r1),有 = +l2,又有r1= ,解得v1=
;若粒子刚好打在极板左边缘,有r2= = ,解得v2= 。则带电粒
子不打在极板上时速度满足的条件是v> 或v< ,A、B正确。

考向四　运动的周期性形成多解
例13. 如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O'正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、带电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求:
(1)磁感应强度B0的大小。
(2)要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
答案　(1) 　(2) (n=1,2,3,…)
解析　(1)正离子射入磁场,洛伦兹力提供向心力
B0qv0=
做匀速圆周运动的周期T0=
由以上两式得磁感应强度B0=
(2)要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场,v0的方向应如图所示,两板之间正离子只运动一个周期即T0时,有R= ;当两板之间正离子运动n(n=1,2,3,…)个周期,即nT0(n=1,2,3,…)时,有R= (n=1,2,3,…)。

联立求解,得正离子的速度的可能值为
v0= = (n=1,2,3,…)。

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