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湖南省普通高等学校对口招生高考2023年数学第一次联考试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4}， UA＝{2，3}，则集合A＝（　　）
A．{1，2} B．{2，4} C．{1，4} D．{1，2，3，4}
2．（4分）“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（4分）下列既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）
A．y＝x2 B． C．y＝log2x D．y＝﹣x2
4．（4分）已知，且α∈（﹣π，0），则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
5．（4分）已知不等式|a﹣3x|＜1的解集为，则实数a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（4分）函数的值域是（　　）
A．（﹣4，+∞） B．[﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（﹣∞，﹣4]
7．（4分）已知向量，，且，则实数m＝（　　）
A． B． C． D．
8．（4分）已知a＝20.5，b＝0.52，c＝log20.5，则这三个数的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b
9．（4分）已知三条直线a，b，c和平面α，β，则下列命题正确的是（　　）
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c B．若α∥β，a α，b β，则a∥b
C．若α⊥β，a α，b β，则a⊥b D．若a∥b，b∥c，则a∥c
10．（4分）已知圆O：x2+y2＝25上到直线l：x+y＝a的距离等于2的点有3个，则实数a＝（　　）
A．±2 B． C．±4 D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）在一次国防知识竞赛中，参加竞赛的20名同学的成绩如表，则这20名同学的平均成绩是 　 　。
分数 85 88 90 95 98
人数 3 2 6 4 5
12．（4分）经过点M（2，﹣3），且与直线x﹣y+3＝0垂直的直线方程为 　 　。
13．（4分）如图所示，某钢制工件由一个圆柱和一个圆锥拼接而成.已知圆柱的底面直径为6cm，高为5cm.圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该工件的体积是 　 　 cm3。（圆周率π取3.14）
14．（4分）已知点P（﹣3，4）是角α终边上一点，则cos2α＝　 　。
15．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+1，则数列{an}的通项公式为an＝　 　。
三、解答题（本大题共5小题，其中第21，22小题为选做题.共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知函数f（x）＝log3（x﹣3）+1。
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和的值；
（Ⅱ）若f（a+1）+f（a﹣1）＝3，求a的值。
17．（10分）袋子中装有若干个大小均匀的红球和白球，已知从袋子中摸出一个红球的概率为.现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。
（Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；
（Ⅱ）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）。
18．（10分）在等差数列{an}中，已知a4+a5＝12，a10＝17。
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，则是否构成等比数列，请说明理由。
19．（10分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F（2，0），直线4x+y﹣7＝0与抛物线C交于M，N两点。
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）求△MNF的面积。
20．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点。
（Ⅰ）证明：EF∥平面A1B1C1D1；
（Ⅱ）证明：平面B1EF⊥平面BDD1。
选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号.
21．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且4sinA＝3sinC。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积。
22．某企业生产甲、乙两种产品需要A，B两种原料.已知生产每吨甲产品需要A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品需要A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲产品可获利润为6万元，销售每吨乙产品可获利润为4万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不得超过13吨，B原料不得超过18吨，则在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各为多少时获得的利润最大？并求最大利润。
2023年湖南省普通高等学校对口招生高考数学第一次联考试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（4分）设全集U＝{1，2，3，4}， UA＝{2，3}，则集合A＝（　　）
A．{1，2} B．{2，4} C．{1，4} D．{1，2，3，4}
【分析】根据集合的补集即可求解．
【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4}， UA＝{2，3}，
∴A＝{1，4}．
故选：C．
2．（4分）“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据x2﹣3x+2＞0可求出x＜1或x＞2，再根据充分必要条件即可求解．
【解答】解：∵x2﹣3x+2＞0，
∴x＜1或x＞2，
∴“x＜1”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．
故选：A．
3．（4分）下列既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递减的函数是（　　）
A．y＝x2 B． C．y＝log2x D．y＝﹣x2
【分析】根据偶函数的性质逐项判断求解即可。
【解答】解：∵y＝f（x）＝x2，
∴f（﹣x）＝x2，
∵f（x）＝f（﹣x），函数的定义域为R，
∴f（x）＝x2是定义域为R的偶函数，
∵f（x）＝x2的二次项系数为正，函数的对称轴为x＝0，
∴f（x）＝x2在区间（0，+∞）上单调递增，
∵y＝f（x）＝（）x，
∴f（﹣x）＝（）﹣x，
∵f（x）≠f（﹣x），
∴f（x）＝（）x不是偶函数，
∵y＝f（x）＝log2x的定义域不关于原点对称，
∴y＝f（x）＝log2x不是偶函数，
y＝f（x）＝﹣x2，
∴f（﹣x）＝﹣x2，
∵f（x）＝f（﹣x），函数的定义域为R，
∴f（x）＝﹣x2是定义域为R的偶函数，
∵f（x）＝﹣x2的二次项系数为负，函数的对称轴为x＝0，
∴f（x）＝﹣x2在区间（0，+∞）上单调递减，
故选：D。
4．（4分）已知，且α∈（﹣π，0），则cosα＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据，α∈（﹣π，0）以及三角函数的平方关系计算求解即可。
【解答】解：∵，且α∈（﹣π，0），
∴cosα＝±＝±，
故选：B。
5．（4分）已知不等式|a﹣3x|＜1的解集为，则实数a＝（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【分析】根据不等式|a﹣3x|＜1的解集为可知x＝1和x＝是|a﹣3x|＝1的根，从而求出a．
【解答】解：∵不等式|a﹣3x|＜1的解集为，
∴x＝1和x＝是|a﹣3x|＝1的根，
∴，
∴，
∴a＝2．
故选：D．
6．（4分）函数的值域是（　　）
A．（﹣4，+∞） B．[﹣4，+∞） C．（﹣∞，﹣4） D．（﹣∞，﹣4]
【分析】根据≥0即可求解．
【解答】解：∵≥0，
∴函数≥﹣4，
∴函数的值域是[﹣4，+∞）．
故选：B．
7．（4分）已知向量，，且，则实数m＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据题意可得﹣4+6m＝0，由此可得m的值.
【解答】解：因为向量，，且，
所以﹣4+6m＝0，解得.
故选：C。
8．（4分）已知a＝20.5，b＝0.52，c＝log20.5，则这三个数的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞a＞b
【分析】根据2＞1得到y＝2x在定义域内单调递增，y＝log2x定义域内单调递增即可求解。
【解答】解：∵2＞1，
∴y＝2x在定义域内单调递增，y＝log2x定义域内单调递增，
∴a＝20.5＞20＝1，c＝log20.5＜log21＝0，
∵b＝0.52＝0.25，a＝20.5＞20＝1，c＝log20.5＜log21＝0，
∴a＞b＞c，
故选：A。
9．（4分）已知三条直线a，b，c和平面α，β，则下列命题正确的是（　　）
A．若a⊥b，c⊥b，则a∥c B．若α∥β，a α，b β，则a∥b
C．若α⊥β，a α，b β，则a⊥b D．若a∥b，b∥c，则a∥c
【分析】根据空间中线线，线面，面面间的位置关系逐项分析判断即可.
【解答】解：对于A，若a⊥b，c⊥b，则a与c可以平行，可以相交，还可以异面，选项A错误；
对于B，若α∥β，a α，b β，则a与b可以平行，也可以异面，选项B错误；
对于C，若α⊥β，a α，b β，则a与c可以平行，可以相交，还可以异面，选项C错误；
对于D，由平行的传递性可知，若a∥b，b∥c，则a∥c，选项D正确.
故选：D。
10．（4分）已知圆O：x2+y2＝25上到直线l：x+y＝a的距离等于2的点有3个，则实数a＝（　　）
A．±2 B． C．±4 D．
【分析】分析可知圆心（0，0）到直线l的距离为3，由此可得a的值.
【解答】解：圆O：x2+y2＝25的圆心为（0，0），半径为5，
依题意，圆心（0，0）到直线l的距离为3，
则，解得.
故选：D。
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11．（4分）在一次国防知识竞赛中，参加竞赛的20名同学的成绩如表，则这20名同学的平均成绩是 　92.05　。
分数 85 88 90 95 98
人数 3 2 6 4 5
【分析】根据图表数据求得这20名同学的平均成绩是＝92.05即可。
【解答】解：根据图表可知这20名同学的平均成绩是＝92.05，
故答案为：92.05。
12．（4分）经过点M（2，﹣3），且与直线x﹣y+3＝0垂直的直线方程为 　x+y+1＝0　。
【分析】设与直线x﹣y+3＝0垂直的直线方程为x+y+C＝0，代入点M的坐标，求得C的值，即可得解.
【解答】解：根据题意，设与直线x﹣y+3＝0垂直的直线方程为x+y+C＝0，
又过点M（2，﹣3），
则2﹣3+C＝0，解得C＝1，
则所求直线方程为x+y+1＝0.
故答案为：x+y+1＝0.
13．（4分）如图所示，某钢制工件由一个圆柱和一个圆锥拼接而成.已知圆柱的底面直径为6cm，高为5cm.圆锥的母线与底面所成的角为45°，则该工件的体积是 　169.56　 cm3。（圆周率π取3.14）
【分析】根据题意可得圆锥的高，再由圆柱和圆锥的体积公式求解即可.
【解答】解：因为圆锥的母线与底面所成的角为45°，圆锥的底面半径为3cm，
所以圆锥的高为3cm，
则该工件的体积是.
故答案为：169.56.
14．（4分）已知点P（﹣3，4）是角α终边上一点，则cos2α＝　　。
【分析】根据点P（﹣3，4）是角α终边上一点可求出sinα和cosα，再根据cos2α＝cos2α﹣sin2α即可求解．
【解答】解：∵点P（﹣3，4）是角α终边上一点，
∴sinα＝＝，cosα＝＝﹣，
∴cos2α＝cos2α﹣sin2α＝﹣＝．
故答案为：．
15．（4分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an+1，则数列{an}的通项公式为an＝　﹣2n﹣1　。
【分析】根据Sn＝2an+1与an的关系即可求解．
【解答】解：∵Sn＝2an+1，
∴当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，
即a1＝﹣1；
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2an+1﹣（2an﹣1+1）＝2an﹣2an﹣1，
即an＝2an﹣1，
∴数列{an}是以﹣1为首项，2为公比的等比数列，
∴an＝﹣1×2n﹣1＝﹣2n﹣1．
故答案为：﹣2n﹣1．
三、解答题（本大题共5小题，其中第21，22小题为选做题.共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（10分）已知函数f（x）＝log3（x﹣3）+1。
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域和的值；
（Ⅱ）若f（a+1）+f（a﹣1）＝3，求a的值。
【分析】（Ⅰ）根据x﹣3＞0可求出函数的定义域，再将x＝代入函数即可求解；
（Ⅱ）根据f（a+1）+f（a﹣1）＝3可列方程求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵x﹣3＞0，
∴x＞3，
∴函数f（x）的定义域为（3，+∞），；
（Ⅱ）∵f（a+1）+f（a﹣1）＝log3（a﹣2）+log3（a﹣4）+2＝3，
∴log3（a﹣2）（a﹣4）＝log33，
∴（a﹣2）（a﹣4）＝3，
∴a2﹣6a+5＝0，
∴a＝5或a＝1（舍去）.
17．（10分）袋子中装有若干个大小均匀的红球和白球，已知从袋子中摸出一个红球的概率为.现从袋子中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止。
（Ⅰ）求恰好摸5次停止的概率；
（Ⅱ）记5次之内（含5次）摸到红球的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）。
【分析】（1）根据题意，最后一次一定是摸到的红球，则前4次恰有两次摸到红球，由此可得解；
（2）先得到随机变量ξ的分布列，再求其期望即可.
【解答】解：（1）依题意，最后一次一定是摸到的红球，则前4次恰有两次摸到红球，
故恰好摸5次停止的概率为；
（2）随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
则，，，.
因此，随机变量ξ的分布列为
ξ 0 1 2 3
P
ξ的数学期望是E（ξ）＝.
18．（10分）在等差数列{an}中，已知a4+a5＝12，a10＝17。
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{an}的前n项和为Sn，则是否构成等比数列，请说明理由。
【分析】（Ⅰ）根据a4+a5＝12，a10＝17可求出首项和公差，再根据等差数列的通项公式即可求解；
（Ⅱ）分别求出，再根据等比数列的定义即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵在等差数列{an}中，a4+a5＝12，a10＝17，
∴
∴a1＝﹣1，d＝2，
∴an＝﹣1+2（n﹣1）＝2n﹣3；
（Ⅱ），S6，S8成等比数列，理由如下：
∵Sn＝＝n（n﹣2）＝n2﹣2n，
∴S4＝16﹣8＝8，S6＝36﹣12＝24，S8＝64﹣16＝48，
∴，
∴，，
∴，S6，S8成等比数列．
19．（10分）已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F（2，0），直线4x+y﹣7＝0与抛物线C交于M，N两点。
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；
（Ⅱ）求△MNF的面积。
【分析】（Ⅰ）根据题意可得p＝4，由此可得抛物线方程；
（Ⅱ）联立直线与抛物线方程，利用弦长公式可得|MN|，再由点到直线的距离公式求得高，由此可得△MNF的面积.
【解答】解：（Ⅰ）依题意，，p＝4，
故抛物线C的标准方程为y2＝8x；
（Ⅱ）设点M（x1，y1），N（x2，y2），
把直线方程4x+y﹣7＝0即y＝﹣4x+7代入y2＝8x中，得16x2﹣64x+49＝0，
于是，，
则＝＝，
又因为点F（2，0）到直线MN：4x+y﹣7＝0的距离，
所以△MNF的面积.
20．（10分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点。
（Ⅰ）证明：EF∥平面A1B1C1D1；
（Ⅱ）证明：平面B1EF⊥平面BDD1。
【分析】（Ⅰ）先证明EF∥AC，AC∥A1C1，可得EF∥A1C1，再由线面平行的判定得证；
（Ⅱ）先证明BD⊥EF，DD1⊥EF，可得EF⊥平面BDD1，再由面面垂直的判定得证.
【解答】证明：（Ⅰ）在△ABC中，点E，F分别为AB，BC的中点，
所以EF∥AC，
又因为AC∥A1C1，
所以EF∥A1C1，
而EF 平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
因此，EF∥平面A1B1C1D1，
（Ⅱ）因为BD⊥AC，EF∥AC，
所以BD⊥EF.
又因为DD1⊥平面ABCD，EF 平面ABCD，
所以DD1⊥EF，
因为BD∩DD1＝D，BD 平面BDD1，DD1 平面BDD1，
所以EF⊥平面BDD1，
又因为EF 平面B1EF，
所以平面B1EF⊥平面BDD1.
选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号.
21．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，且4sinA＝3sinC。
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）求△ABC的面积。
【分析】（Ⅰ）根据4sinA＝3sinC可知4a＝3c，从而求出c，再根据余弦定理即可求解；
（Ⅱ）根据三角形的面积公式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）∵4sinA＝3sinC，
∴4a＝3c，
∵a＝6，
∴c＝8，
∴，
∵0°＜B＜180°，
∴B＝60°；
（Ⅱ）．
22．某企业生产甲、乙两种产品需要A，B两种原料.已知生产每吨甲产品需要A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品需要A原料1吨，B原料3吨；销售每吨甲产品可获利润为6万元，销售每吨乙产品可获利润为4万元。该企业在一个生产周期内消耗A原料不得超过13吨，B原料不得超过18吨，则在一个生产周期内该企业生产甲、乙两种产品各为多少时获得的利润最大？并求最大利润。
【分析】设在一个生产周期内该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，可获利润为Z万元，根据题意得到约束条件以及目标函数，作出可行域，再根据图形，即可得到答案.
【解答】解：设在一个生产周期内该企业生产甲产品x吨，乙产品y吨，可获利润为Z万元，
则，目标函数为Z＝6x+4y，
作可行域，如图所示，
，
作目标函数Z＝6x+4y的等值线，即6x+4y＝0，
将等值线向可行域平行移动到点A处，这时目标函数取得最大值，
解方程组，得点A的坐标为（3，4），
所以当x＝3，y＝4时，目标函数Z取得最大值6×3+4×4＝34.
答：在一个生产周期内，该企业生产甲产品3吨，乙产品4吨获得的利润最大，最大利润为34万元.
第14页（共14页）

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