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2023年江西省南昌市重点中学高考数学三模试卷（文科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 若复数为纯虚数，则( )
A. B. C. D.
3. 已知数列中，，，为其前项和，则( )
A. B. C. D.
4. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
5. 函数的部分图象大致为( )
A. B. C. D.
6. 函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若函数是偶函数，则( )
A. B. C. D.
7. 某同学口袋中共有个大小相同、质地均匀的小球其中个编号为，个编号为，现从中取出个小球，编号之和恰为的概率为( )
A. B. C. D.
8. 已知定义在上的奇函数满足当时，，则( )
A. B. C. D.
9. 如图，线段表示一信号塔，表示一斜坡，且、、三点在同一水平线上，点、、、、在同一平面内，斜坡的坡比为：，米某人站在坡顶处测得塔顶点的仰角为，站在坡底处测得塔顶点的仰角为人的身高忽略不计，则信号塔的高度为结果精确到米．( )
参考数据：，，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
10. 如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的体积是定值
D. 存在点，使得与所成的角为
11. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点作圆的切线交双曲线右支于点，若，又为双曲线的离心率，则的值为( )
A. B. C. D.
12. 已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 若变量，满足约束条件，则的最小值等于______．
14. 已知平面向量，，，，与夹角是，则 ______ ．
15. 已知点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于，两点，若，则点的横坐标为______．
16. 已知正四棱柱的每个顶点都在球的球面上，若球的表面积为，则该四棱柱的侧面积的最大值为______．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信、视频、图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人．为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性、女性用户各名，将男性、女性平均每天使用微信的时间单位：分成组：，，，，分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．
根据频率分布直方图估计女性平均每天使用微信的时间；
若每天玩微信超过的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，判断是否有的把握认为“微信控”与性别有关．
附表：
参考公式：，其中
18. 本小题分
已知数列满足，数列满足，且，．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
19. 本小题分
如图，三棱锥中，底面是边长为的正三角形，，底面，点，分别为，的中点．
求证：平面平面；
在线段上是否存在点，使得三棱锥体积为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由．
20. 本小题分
已知椭圆的短轴长为，一个焦点为．
Ⅰ求椭圆的方程和离心率；
Ⅱ设直线：与椭圆交于两点，，点在线段上，点关于点的对称点为当四边形的面积最大时，求的值．
21. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求在区间上的最大值；
设实数使得对恒成立，写出的最大整数值，并说明理由．
22. 本小题分
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．
写出直线和曲线的直角坐标方程；
已知点，若直线与曲线交于，两点，，中点为，求的值．
23. 本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若，使得恒成立，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，
则．
故选：．
根据已知条件，结合集合的包含关系，即可求解．
本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：为纯虚数，
则，解得．
故选：．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
，则是首项为，公比为的等比数列，
．
故选：．
由已知得到是首项为，公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式即可求解．
本题考查了数列的递推式和等比数列的求和公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：因为，，，
所以．
故选：．
利用中间值，可以比较三者的大小关系．
本题主要考查数值大小的比较，考查转化能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：，
定义域为，关于原点对称，
由，
所以为奇函数，排除；
当时，，，故，排除．
故选：．
判断函数的奇偶性和对称性，利用函数符号，结合排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数符号关系是解决本题的关键，是基础题．
6.【答案】
【解析】解：函数的图像向左平移个单位，得的图像，
又函数是偶函数，则有，，
解得，；
所以．
故选：．
根据图像平移得函数的解析式，由函数是偶函数，解出，可得．
本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：设编号之和恰为为事件，
基本事件总数为，
编号之和恰为的情况为个编号为的小球，一个编号为的小球，
所以事件包含的基本事件数为，
．
故选：．
利用古典概型的概率计算公式，求解即可．
本题主要考查古典概型的概率计算公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的性质，函数周期性的判断，体现了转化思想的应用，属于基础题．
由已知奇函数及进行转化可求函数的周期，然后结合奇函数性质可求，代入即可求解．
【解答】
解：定义在上的奇函数满足，
所以，
所以，
故函数的周期为，
因为当时，，
由奇函数性质，得，
所以，
所以当时，，
所以，，
则．
故选C．

9.【答案】
【解析】解：斜坡的坡比为：，米，
在中，米，
在中，，，
由正弦定理得，
即，
在中，
米．
故选：．
由题意得米，利用正弦定理可得，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于：正方体中，而为线段的中点，即为的中点，
所以，故BD，不可能平行，所以错；
对于：若为中点，则，而，故，
又面，面，则，故，
，，面，则面，
所以存在使得平面，所以对；
对于：由正方体性质知：，而面，故BC与面不平行，
所以在线段上运动时，到面的距离不一定相等，
故三棱锥的体积不是定值，所以错；
对于：构建如下图示空间直角坐标系，
则，，且，
所以，，设，，
则，
令，则，
当则；
当时，
当，则；
当，则；
所以不在上述范围内，所以错．
故选：．
本题考查线线平行的判断，线面垂直的判定定理，三棱锥的体积，线线角的求解，属中档题．
对由、即可判断；对若为中点，根据正方体、线面的性质及判定即可判断；对只需求证与面是否平行；对利用空间向量求直线夹角的范围即可判断．
11.【答案】
【解析】解：如图：，设，则，
，
若，则，，
在中，由正弦定理得，即，
，，，
由余弦定理得，
，，，
故选：．
运用双曲线的定义可得，设，则，，然后在三角形中由正、余弦定理列方程可解得离心率的平方．
本题考查双曲线的定义和性质，主要是双曲线的离心率的求法，考查圆的性质的运用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：依题意，函数的图象与直线有个交点，
当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；
当时，，则，故此时，取得最大值时对应的点为；
作函数图象如下：
由图象可知，直线与函数有两个交点，且；直线与函数有两个交点，且；
又过点作函数在上的切线切于点，作函数在上的切线切于点，则．
由图象可知，满足条件的实数的取值范围为．
故选：．
依题意，函数的图象与直线有个交点，作出函数图象，通过图象分析找到临界情况，即可得解．
本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．
【解答】
解：由约束条件，作出可行域如图，
由图可知，最优解为，
联立，解得
的最小值为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
．
故答案为：．
根据向量的数量积公式及向量的模的公式即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积运算，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：设直线：， ， ，
由联立得，，．
，，，，
又，由联立解得：，
，．
故答案为：．
设直线：，由直线的方程与抛物线方程联立求得、坐标之间的关系，结合，求出点的横坐标．
本题主要考查直线与抛物线之间的关系及向量的运算，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：设，，则，即有，
所以，当且仅当，即时，等号成立，
故该四棱柱的侧面积最大值为．
故答案为：．
设，，则，利用基本不等式即可表示出侧面积最值
本题考查球体表面积的计算，同时也考查了正四棱柱外接球问题以及正四棱柱侧面积最值的计算，涉及了利用基本不等式求最值，解题的关键就是要根据题意得出定值条件，考查计算能力，属于中档题．
17.【答案】解：由女性的频率分布直方图，可知女性用户平均每天使用微信的时间为．
由男性的频率分布直方图，可得，
解得，
由两个频率分布直方图，可得列联表如下：
微信控 非微信控 总计
男性
女性
总计
的观测值，
有的把握认为“微信控”与性别有关．
【解析】根据女性频率分布直方图的数据，结合平均数公式，即可求解．
由男性的频率分布直方图，可得，解得，由两个频率分布直方图，可得列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
本题主要考查了独立性检验的应用问题，也考查了平均数公式，属于基础题．
18.【答案】解：设数列的前项和为，则．
当时，；
当时，．
当时，
显然符合通项，
所以；
因为数列满足，
所以，
即为等差数列，
因为，，
所以公差，
则；
由知，
所以数列的前项和：．
【解析】直接利用数列的递推关系式的应用和关系式的变换的应用求出数列的通项公式；
利用的结论，进一步利用分组法的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法在求和中的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
19.【答案】证明：因为底面，底面所以，
又因为，
所以平面，
因为平面，所以平面平面 ．
解：过作，面，面面，
又面面，面，
，
，且，
，
为中点．
【解析】证明，结合，证明平面，然后说明平面平面 ．
过作，推出面，通过，求出，说明为中点．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，等体积法的应用，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．
20.【答案】解：Ⅰ由题可得，，解得，，
所以椭圆的方程为，
又一个焦点为，所以，
所以椭圆，的离心率为．
Ⅱ设椭圆的另一个焦点为，则直线过点，
由，得，
设，，则，
由题设，点为线段的中点，所以点和点到直线的距离相等，
所以四边形的面积为面积的倍，
又，
所以，
设，则，
所以，当且仅当，即时，四边形的面积取得最大值，
所以四边形的面积最大时，．
【解析】Ⅰ根据，，求椭圆方程和离心率；
Ⅱ首先直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示四边形的面积，并利用基本不等式求最值．
本题考查了椭圆的几何性质和标准方程以及椭圆中四边形面积的最值问题，属于中档题．
21.【答案】解：因为，
所以，则，
又，
所以曲线在点处的切线方程为．
令，
则，
当时，，在上单调递增．
因为，，
所以，使得．
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又，，
所以．
满足条件的的最大整数值为．
理由如下：
不等式恒成立等价于恒成立．
令，
当时，，所以恒成立．
当时，令，，，
与的情况如下：
所以，当趋近正无穷大时，，且无限趋近于，
所以的值域为
因为，
所以的最小值小于且大于．
所以的最大整数值为．
【解析】求出函数在处的导数，即切线斜率，求出，即可得出切线方程；
求出函数在区间上的单调性，求出最值即可；
将不等式等价转化为在上恒成立．构造函数，利用导数求出函数的单调性和最小值，进而得证．
本题主要考查了导数的几何意义、导数在不等式恒成立问题中的应用，考查转化思想、运算求解能力，属于难题．
22.【答案】解：因为直线，故，
即直线的直角坐标方程为．
因为曲线：，则曲线的直角坐标方程为，即．
根据转换为直线的参数方程为为参数，
将其代入曲线的直角坐标方程，
得．
设，对应的参数分别为，，则，，
所以对应的参数，
故．
【解析】直接利用转化关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
23.【答案】解：，
，
即为，
当时，，解得；
当时，，解得；
当时，，解得．
综上可得不等式的解集为；
，
即为，
由，
可得，
即有，
可得，
解得．
【解析】由题意可得，由绝对值的意义，对讨论，去绝对值，解不等式，求并集即可；
由题意可得，运用绝对值不等式的性质可得，解不等式可得所求范围．
本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题解法，考查分类讨论思想和转化思想，考查化简运算能力，属于中档题．
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