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山西省吕梁市三模（数学B卷及答案）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则的虚部为（ ）
A.3 B. C. D.
3.若双曲线的一条渐近线的方程为，则下列选项中不可能为双曲线的方程的是（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，，且，则实数（ ）
A.1或 B.或 C.1或 D.或
5.已知定义在上的函数满足，为奇函数，则（ ）
A.3 B.2 C.1 D.0
6.已知，则的近似值为（ ）
A. B. C. D.
7.在一节数学研究性学习的课堂上，老师要求大家利用超级画板研究空间几何体的体积，步骤如下：第一步，绘制一个三角形；第二步，将所绘制的三角形绕着三条边各自旋转一周得到三个空间几何体；第三步，测算三个空间几何体的体积.若小明同学绕着的三条边，，旋转一周所得到的空间几何体的体积分别为2，，4，则（ ）
A. B. C. D.
8.若，，，则，，的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知某校高二男生的身高（单位：cm）服从正态分布，且，则（ ）
A.该校高二男生身高的方差为4
B.该校高二男生的平均身高是175cm
C.该校高二男生中身高超过183cm的人数超过总数的3%
D.从该校高二男生中任选一人，身高超过180cm的概率与身高不超过170cm的概率相等
10.已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A.曲线在处的切线与直线垂直
B.在上单调递增
C.的极小值为
D.在上的最小值为
11.已知点是椭圆上的动点，点（且），则最小时，的值可能是（ ）
A. B. C. D.
12.已知函数，满足，，且在上单调，则的取值可能为（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若命题“，”为真命题，则实数的取值范围为______.（用区间表示）
14.已知直线被圆截得的线段长为，则______.
15.2023年9月第19届亚运会将在杭州举办，在杭州亚运会三馆（杭州奥体中心的体育馆、游泳馆和综合训练馆）对外免费开放预约期间，将含甲、乙在内的5位志愿者分配到这三馆负责接待工作，每个场馆至少分配1位志愿者，且甲、乙分配到同一个场馆，则甲分配到游泳馆的概率为______.
16.在平面四边形中，，，，现将沿着折起，得到三棱锥，若二面角的平面角为135°，则三棱锥的外接球表面积为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
18.（12分）数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大，下表为2018—2022年中国车载音乐市场规模（单位：十亿元），其中年份2018—2022对应的代码分别为1—5.
年份代码 1 2 3 4 5
车载音乐市场规模 2.8 3.9 7.3 12.0 17.0
（1）由上表数据知，可用指数函数模型拟合与的关系，请建立关于的回归方程（，的值精确到0.1）；
（2）综合考虑2023年及2024年的经济环境及疫情等因素，某预测公司根据上述数据求得关于的回归方程后，通过修正，把作为2023年与2024年这两年的年平均增长率，请根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年中国车载音乐市场规模.
参考数据：
1.94 33.82 1.7 1.6
其中，.
参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
19.（12分）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知的内角，，所对的边分别为，，，______
（1）求的值；
（2）若的面积为2，，求的周长.
注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
20.（12分）如图，在多面体中，平面，，为的中点.，.
（1）证明：平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值.
21.（12分）已知抛物线的焦点为，，分别为上两个不同的动点，为坐标原点，当为等边三角形时，.
（1）求的标准方程；
（2）抛物线在第一象限的部分是否存在点，使得点满足，且点到直线的距离为2？若存在，求出点的坐标及直线的方程；若不存在，请说明理由.
22.（12分）已知函数.
（1）讨论函数在上的零点个数；
（2）当且时，记，探究与1的大小关系，并说明理由.
参考答案：
1.【答案】B
【解析】由题得，，所以，故选B.
2.【答案】A
【解析】因为，所以的虚部为3，故选A.
3.【答案】B
【解析】由题易知双曲线的渐近线方程为，其他三个选项中的双曲线的渐近线方程均为，故选B.
4.【答案】D
【解析】由题得，因为，所以，解得或，故选D.
5.【答案】B
【解析】因为，所以，所以的周期为6，又为奇函数，所以，所以，令，得，所以.所以，故选B.
6.【答案】C
【解析】由得，所以
，故选C.
7.【答案】D
【解析】不妨设，，分别为，，，则，故，同理可得，，故，则，故选D.
8.【答案】C
【解析】令，则，当时，，故函数在上单调递减，故，即，即；令，则，当时，，故函数在上单调递增，故，即，故，则，故选C.
9.【答案】BD
【解析】在中，为平均数，B正确；正态曲线关于直线对称，D正确；为方差，A错误；从该校高二男生中任选一人，身高超过183cm的概率，C错误，故选BD.
10.【答案】BC
【解析】，故，故A错误；令，解得，故的单调递增区间为，而，故B正确；当时，，单调递减，当时，，单调递增，故的极小值为，故C正确；在上单调递减，最小值为，故D错误，故选BC.
11.【答案】BD
【解析】因为点在椭圆上，所以，，所以，若，当时，最小，若，当时，最小，故选BD.
12.【答案】AB
【解析】由，知的图象关于直线对称，又，即是的零点，则，，从而.根据在上单调，有，可得，所以，3，5.当时，由，得，又，所以，此时当时，，所以在上不单调，不符合题意；当时，由，得，又，所以，此时当时，，所以在上单调，符合题意；当时，由，得，又，所以，此时当时，，所以在上单调，符合题意.从而的可能取值为1，3，故选AB.
13.【答案】
【解析】因为，所以实数的取值范围为.
14.【答案】4
【解析】由题意可得圆的圆心，半径，则到直线的距离，因为直线被圆截得的线段长为，所以，解得.
15.【答案】
【解析】甲、乙分配到同一个场馆有以下两种情况：（1）场馆分组人数为1，1，3时，甲、乙必在3人组，则方法数为种；（2）场馆分组人数为2，2，1时，其中甲、乙在一组，则方法数为种，即甲、乙分配到同一个场馆的方法数为.若甲分配到游泳馆，则乙必然也在游泳馆，此时的方法数为，故所求的概率为.
16.【答案】
【解析】如图，取的中点，的中点，连接，.因为，所以，因为，，所以，所以.过点作平面，过点作平面，，因为点，分别是和的外心，所以点是三棱锥的外接球的球心.因为，所以，，，所以，，所以，，所以.则三棱锥的外接球的半径，所以外接球的表面积.
【评分细则】
1.第13小题中，若结果不用区间表示，则不给分；
2.第15小题中，若结果写成，而未约分，则不给分.
17.解：（1）当时，，解得；（2分）
当时，，（4分）
将代入也成立，综上所述，.（5分）
（2）依题意，，（8分）
故.（10分）
【评分细则】
1.第（1）问中，没有考虑的情况扣2分，求错，求对，也扣2分；没有综上所述扣1分；通过归纳的方法得到通项公式给2分；
2.第（2）问中，仅结果错误，但过程均正确扣2分；通过归纳的方法得到给2分.
18.解：（1）两边同时取自然对数得.
设，所以，（2分）
因为，，，所以.（4分）
把代入，得，（6分）
所以，即，（7分）
所以，即关于的回归方程为.（9分）
（2）由（1）知，（10分）
所以根据2022年中国车载音乐市场规模及修正后的年平均增长率预测2024年中国车载音乐市场规模为十亿元.（12分）
【评分细则】
所得数据非常接近可酌情给分.
19.解：（1）若选①，由已知得，（2分）
所以，由正弦定理得，
又，所以，所以，①（5分）
又，②联立①，②以及，解得.（6分）
若选②，由已知及正弦定理得，（2分）
所以，（3分）
所以，所以，
又，所以，所以，①（5分）
又，②联立①，②以及，解得.（6分）
（2）由的面积为2，得，所以.（7分）
由（1）可得，（8分）
由余弦定理得，（10分）
所以，所以，（11分）
所以的周长为.（12分）
【评分细则】
1.第（1）小题中，若选①，正弦定理写对了可得2分；若未注明“又，所以，”以及“，”不扣分；
2.第（1）小题中，若选②，未注明“又，所以，”以及“，”不扣分；
3.第（2）小题中，用其他方法解出，的值，结果正确步骤无误可给满分.
20.（1）证明：因为，为的中点，所以，
又平面，平面，所以，（1分）
又，，平面，所以平面，
又平面，所以.（3分）
由平面几何知识可知，，，
所以，所以，
又，，平面，所以平面.（5分）
（2）解：由题知，过作交于，
则平面，可得，，
以为坐标原点，向量，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，（7分）
则，，，所以，，
设平面的一个法向量为，由得
取，则，，所以.（9分）
由（1）知平面的一个法向量为，（10分）
设二面角的平面角为，易知为锐角，
则，
所以二面角的平面角的余弦值为.（12分）
【评分细则】
1.第（1）小题中，用其他方法（如向量法）证明，酌情给分；
2.第（2）小题中，平面的法向量不唯一，只要与平行即可得分；
3.第（2）小题中，若不用空间向量法求解，酌情给分，结果正确步骤无误则给满分.
21.解：（1）由对称性可知当为等边三角形时，，两点关于轴对称，
当为等边三角形时，的高为，
由题意知点在上，代入，得，解得，（3分）
所以的标准方程为.（4分）
（2）由（1）知，根据题意可知直线的斜率不为0，
设直线的方程为，，，，
联立得，
所以，即，且，，
所以，（7分）
由，得，
所以所以即，（8分）
又点在上，所以，即，①
所以，解得，
又点在第一象限，所以，所以.（9分）
又点到直线的距离，化简得，②（10分）
联立①②解得或（舍去）或（舍去）.
此时点，直线的方程为.（12分）
【评分细则】
1.第（1）小题中，求对了的高可给1分；
2.第（2）小题中，写出了韦达定理可给1分；
3.第（2）小题中，最后结果点和直线方程只写对一个扣1分；
4.第（2）小题中，答案倒数第2行解对了方程组，若未舍去或只舍弃一组不合题意的解扣1分.
22.解：（1）令，故，令，
则的图象与的交点个数即为的零点个数，
，则当时，，当时，，
故函数在上单调递减，在上单调递增；（2分）
而，，，作出函数在上的大致图象如下所示，（4分）
观察可知，当或时，函数无零点；当或时，函数有1个零点；当时，函数有2个零点.（6分）
（2）结论：.（7分）
下面给出证明：
依题意，，（8分）
令，，则，，（9分）
令，则，
当时，，单调递增；当，，单调递减；
所以，当且仅当时等号成立；
从而，所以在和上单调递减，（10分）
易知当时，；当时，，
所以，即，（11分）
又当且时，，所以，即.（12分）
【评分细则】
本题解法不唯一，其他解法正确可酌情给分.

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