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8.2一元线性回归模型及其应用
学习目标
1.了解随机误差、残差、残差图的概念．
2.会通过分析残差判断线性回归模型的拟合效果．
3.了解常见的非线性回归模型转化为线性回归模型的方法．．
二、自主学习
【自学指导】阅读课本105页--109页，思考什么是一元线性回归模型。（5分钟）
知识点一：两个变量的线性相关关系
1. 回归直线：
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。求出的回归直线方程简称回归方程。
用X表示父亲身高,Y表示儿子身高,e表示随机误差,假定随机误差e的均值为0,方差为与父亲身高无关的定值σ2，则它们之间的关系可以表示为, (1)
我们称(1)式为Y关于x的一元线性回归模型(simple linear regression model).
其中,Y称为因变量或响应变量,x称为自变量或解释变量;a和b为模型的未知参数,a称为截距参数,b称为斜率参数;e是Y与bx+a之间的随机误差,模型中的Y也是随机变量,其值虽然不能由变量x的值确定,但是却能表示为bx+a与e的和(叠加),前一部分由x所确定,后一部分是随机的,如果e=0,那么Y与x之间的关系就可用一元线性函数模型来描述.
2. 回归直线方程的求法
设与个观测点（）最接近的直线方程为，其中，是待定系数。则
，其中，。
相应的直线叫做回归直线，对两个变量所进行的上述统计分析叫做回归分析。
3. 回归直线几条结论：
（1）回归直线过样本的中心点。
（2）b>0时，y与x正相关，散点图呈上升趋势；b<0时，y与x负相关，散点图呈下降趋势。
（3）相关系数：
当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关。
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系。通常|r|大于0. 75时，认为两个变量有很强的线性相关性。
特别地：（1）只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义。否则，求出的回归直线方程毫无意义；（2）回归直线经过样本中心点。
4.决定系数R2刻画回归效果.
R2越大，表示残差平方和越小,即模型的拟合效果越好
R2越小，表示残差平方和越大，即模型拟合效果越差.
三、合作探究
探究一 求线性回归方程
【例1】某班5名学生的数学和物理成绩如下表：
学生 学科　　　　 A B C D E
数学成绩(x) 88 76 73 66 63
物理成绩(y) 78 65 71 64 61
(1)画出散点图；
(2)求物理成绩y对数学成绩x的回归直线方程；
(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩．
【练习1】以下是某地搜集到的新房屋的销售价格y和房屋的面积x的数据：
房屋面积/m2 115 110 80 135 105
销售价格/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据对应的散点图；
(2)求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；
(3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价格．
探究二 线性回归分析
【例2】为研究重量x(单位：克)对弹簧长度y(单位：厘米)的影响，对不同重量的6个物体进行测量，数据如下表所示：
x 5 10 15 20 25 30
y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8
(1)作出散点图并求线性回归方程；
(2)求出R2；
(3)进行残差分析．
【练习2】已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据：
x 14 16 18 20 22
y 12 10 7 5 3
求y对x的回归直线方程，并说明回归模型拟合效果的好坏．
【练习3】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发生违反保护条例的事件次数的分布列分别为：
ξ 0 1 2 3
P 0.3 0.3 0.2 0.2
η 0 1 2
P 0.1 0.5 0.4
试评定两个保护区的管理水平．
课堂练习
一、选择题
1．在下列各量之间，存在相关关系的是(　　)
①正方体的体积与棱长之间的关系；②一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；③人的身高与年龄之间的关系；④家庭的支出与收入之间的关系；⑤某户家庭用电量与电价之间的关系．
A．②③ B．③④ C．④⑤ D．②③④
2．若劳动生产率x(千元)与月工资y(元)之间的线性回归方程为＝50＋80x，则下列判断正确的是(　　)
A．劳动生产率为1 000元时，月工资为130元
B．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高80元
C．劳动生产率提高1 000元时，月工资平均提高130元
D．月工资为210元时，劳动生产率为2 000元
3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是(　　)
A.＝－10x＋200 B.＝10x＋200
C.＝－10x－200 D.＝10x－200
4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为＝0.85x－85.71，下列结论中不正确的是(　　)
A．y与x具有正的线性相关关系
B．回归直线过样本点的中心(，)
C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg　
D．若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 4 2 3 5
销售额y(万元) 49 26 39 54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(　　)
A．63.6万元 B．65.5万元
C．67.7万元 D．72.0万元
6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量做回归分析，分别得到散点图与残差平方和 (yi－i)2如下表
甲 乙 丙 丁
散点图
残差平方和 115 106 124 103
哪位同学的实验结果体现拟合A，B两变量关系的模型拟合精度高？(　　)
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
二、填空题
7．如果散点图的所有点都在一条直线上，则残差均为________，残差平方和为________，相关指数为________．
8．对具有线性相关关系的变量x和y，由测得的一组数据求得回归直线的斜率为6.5，且恒过(2，3)点，则这条回归直线的方程为________．
三、解答题
9．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5
工作年限x/年 3 5 6 7 9
推销金额y/万元 2 3 3 4 5
(1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
10．某个服装店经营某种服装，在某周内纯获利y(元)与该周每天销售这种服装件数x之间的一组数据如下表：
x 3 4 5 6 7 8 9
y 66 69 73 81 89 90 91
(1)求样本中心点；
(2)画出散点图；
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程．

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