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太原师院附中 师苑中学2022~2023 学年高一 5 月月考
数 学 试 题
(考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分)
一、单项选择题 (本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分)
1．2022 年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息 1.72 亿件．下面是 2021 年、
2022 年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中错 误的是
A．2022 年比 2021 年平均每月举报信息数量多
B．举报信息数量按月份比较，8 月平均最多
C．两年从 2 月到4 月举报信息数量都依次增多
D．2022 年比 2021 年举报信息数据的标准差大
2．如图， A'B'C' 是水平放置 ABC 的直观图，其中B'C' = C'A' = 1 ，A'B'//x' 轴，A'C' //y' 轴，则BC =
A ． B ．2 C ． D ．4
3．下列命题正确的为
①若 ABC 在平面 外，它的三条边所在的直线分别交 于 '、Q，R，则 '，Q，R 三点共线；
②若三条直线a，b、c 互相平行且分别交直线l 于 A、B、C 三点，则这四条直线共面；
③已知 a，b，c 为三条直线，若 a，b 异面，b，c 异面，则 a，c 异面；
④已知 a，b，c 为三条直线，若a 」c ，b 」c ，则a b .
A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．①②
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4．如图，已知圆锥的母线长为 2，底面半径为 ，一只蚂蚁从 A 点出发， 沿圆锥侧面爬行一周返回 A 点，则蚂蚁爬行的最短距离为
A ．1 B ． C. 2 D ．4
5.少年强则国强，少年智则国智．党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策 和行动计划，提高学生身体素质．为了加强对学生的营养健康监测，某校在 3000 名学生中， 抽查了 100 名学生的体重数据情况．根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则
下列结论正确的是
A ．样本的众数为 65 B ．样本的第 80 百分位数为 72.5
C ．样本的平均值为 67.5 D ．该校学生中低于65kg 的学生大约为 1000 人
6．如图所示的菱形 ABCD 中，AB = 2, 三BAD = 60 O, 对角线 AC, BD 交于点O ，将△ABD 沿BD 折到 A,BD 位置，使平面 A,BD」 平面BCD .以下命题:
① BD」 A,C ；②平面 A,OC」 平面BCD；
③平面 A,BC 」平面 A,CD ；④三棱锥A,一 BCD 体积为1. 其中正确命题序号为
A ．①②③ B ．②③ C ．③④ D ．①②④
7．由华裔建筑师贝聿铭设计的巴黎卢浮宫金字塔的形状可视为一个 正四棱锥 (底面是正方形，侧棱长都相等的四棱锥)，其侧面三角形 底边上的高与底面正方形边长的比值为 ，则以该四棱锥的高为 边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为
A ．2 B ． C ． D ．4
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8．《九章算术》是我国古代的一部数学名著，书中记载了一类名为“羡除”的五面体．如图 所示，在羡除 ABCDEF 中，底面 ABCD 为矩形， AB = 2AD = 2, △ADE 和△BCF 均为正三
角形，EF ∥平面 ABCD ，EF = 3 ，则该羡除的外接球的表面积为
A ． B ． C ． D ．
二、多项选择题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.全部 选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，优选等有选错的得 0 分.)
9．如图所示的圆锥的底面半径为 3，高为 4，且 AB＝BC，则
A ．三棱锥 S-ABC 的体积为 12 B ．该圆锥的体积为 12π
C ．该圆锥的表面积为 14π D ．该圆锥的母线长为 5
10．甲、乙两人 6 次模拟考试英语成绩 (不含听力) 的统计折线图如下图所示，下列说法中
正确的是
A．若甲、乙两组成绩的平均数分别为x1 , x2 ，则x1 x2
B．若甲、乙两组成绩的方差分别为s , s ，则s s
C． 甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数
D ． 甲成绩的极差大于乙成绩的极差
11．恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达59%以上为贫 困，50 ~ 59% 为温饱，40 ~ 50% 为小康，30 ~ 40% 为富裕，低于30% 为最富裕.国家统计局
2023 年 1 月 17 日发布了我国 2022 年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙 所示，下列说法正确的是
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A．2022 年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额
B．2022 年城镇居民收入增长率快于农村居民
C．从恩格尔系数看，可认为我国在 2022 年达到富裕
D．2022 年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%
12．如图，在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E，F 分别为棱 A1D1 , AA1 的中点，G 为
线段B1C 上一个则动点，
A．存在点 G，使直线B1C 」平面EFG
B．存在点 G，使平面EFG ∥平面BDC1
C．三棱锥 A1 EFG 的体积为定值
D．平面EFG 截正方体所得截面的最大面积为
三、填空题 (本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分)
13．如图，在三棱锥 D-ABC中， AC = BD ，且 AC」BD ，
E，F分别是棱 DC，AB的中点，则 EF和 AC所成的角等于__________.
14．对于不重合的两个平面α与 β ，给定下列条件：①存在平面γ ，使得
α 、 β都垂直于γ ；②存在平面γ ，使 α 、 β都平行于γ ；③ α 内有不共线的三点到β 的距 离相等；④存在异面直线 l，m，使得 l// α ，l// β ，m// α ，m// β..其中可以判断两个平 面 α与β平行的条件有___个．
15．周总理纪念馆是由正方体和正四棱锥组合体建筑设计，如图所示，若该组合体接于半径 R 的球 O (即所有顶点都在球上) ，记正四棱锥侧面'B1C1 与正方体底面 A1B1C1D1 所成二面角 为9 ，则tan9 = _________．
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16．已知一组样本数据x1 ，x2 ，…，xn (x1 < x2 < ... < xn ) ，现有一组新的数据 ， ，…，
(
n
一
1
n
，
n
1
，则与原样本数据相比，对于新的数据有以下四个判断：①平
均数不变；
)x + x x + x
2 2
②中位数不变；③极差变小；④方差变小，其中所有正确判断的序号是________．
四、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分)
17．(10 分)已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 的底面边长为 ，侧棱长为 2，D 在边BC 上，BD = 2DC ．
(1) 求该三棱柱的体积与表面积；
(2) 求三棱锥D 一 AB1C 的体积．
18．(12 分) 某市扶贫办为了打好精准脱贫攻坚战，在所辖区的 100 万户家庭中随机抽取 200 户家庭，对其 2020 年的家庭人均纯收入状况进行了调查，经统计，样本数据全部介于 45
至 70 (单位：百元) 之间．现将数据分成 5 组，并得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率直方图中a 的值；
(2)求这组样本数据的均值和中位数；
(3)若家庭的年人均纯收入低于 5000 元的家庭为“贫困户”，用样本的频率分布估计总体分 布，估计该区 100 万户家庭中“贫困户”的数量为多少．
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19．(12 分) 如图，在四棱锥'ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧面'AD ⊥ 底面 ABCD ，且 'A = 'D = a ，设 E，F分别为'C ， BD 的中点．
(1)求证： EF// 平面'AD ；
(2)求证：平面'AB ⊥平面'DC ；
(3)求直线EF 与平面ABCD 所成角的大小．
20．(12 分)已知四棱锥'ABCD 的底面ABCD 为矩形，AB = 2 ，AD = 4 ，'A 」平面 ABCD ， E 是BC 的中点.
(1)证明： DE」平面'AE ；
(2)若'D 与平面 ABCD 所成的角为 45° ，求二面角A 'D E 的正切值.
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21．(12分) 随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过 网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所 有电商中随机抽取了 100 个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服 务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数 x ，得到了如下的
频率分布表：
评价指数x [0, 20) [20, 40) [40, 60) [60, 80) [80, 100)
频数 10 10 20 40 20
(1)画出这 100 个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图； (2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值 (同一组 中的数据以该组区间的中点值为代表) . (精确到 0.1) 附： ~ 12.04 .
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22．(12 分) 如图，在三棱柱 ABC -A1B1C1 中，底面 ABC」平面 AA1B1B ， ABC 是正 三角形， D 是棱BC 上一点，且 CD = 3DB ， A1A = A1B .
(1)求证： B1C1 」A1D ；
(2)若 AB = 2 且二面角 A1 BC B1 的余弦值为 ，求点A 到侧面BB1C1C 的距离
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数学参考答案：
1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．D 7．B 8．D 9．ABD 10．AC 11．ACD 12．ACD
13． 14．2 15． 16．①③④
17．解：（1）该三棱柱的体积；...............3
该三棱柱的表面积．...............3
（2）因为，所以三棱锥的体积．............4
18．（1）由直方图可得，...............................................2
解得；.........................................................................................................................1
（2）由直方图可得样本均值为：
...................2
；.................................................................................................................................2
设中位数为x，则，................................................2
解得 ；.......................................................................................................................1
（3）由频率分布直方图可知，样本“贫困户"的频率为0.05，.........................................1
∴估计该区100万户家庭中“贫困户”的数量为(万户).................................1
19．
（1）取中点S，中点T，连接,
又E，F分别为，的中点，
则 ,........................................................................1
又，则，
则四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面.,............................................................2
（2）在△中，，，
由，可得，,.............................................................................................1
由面⊥面，面面，
，面，可得面，,.....................................................................2
又面，则，
又，，面，
则面，,..............................................................................................................................1
又面，
则平面⊥平面；,.............................................................................................................1
（3）连接，△中，，则，
又面⊥面，面面，面，
则面，则为点P到面的距离， ,............................................................1
又E为的中点，则点E到面的距离为，
又△中，，，，
则，，则点E到面的距离为，,......................................................1
设直线与平面所成角为，则，..................................................1
又，则
则直线与平面所成角的大小为,..............................................................................1
20、（1）由条件可知，，满足，
所以，..................................................................2
又因为平面，平面，所以，且，.................................................................1
所以平面；..................................................................2
（2）因为是与平面所成的角，所以，
，.............................................................................................................1
因为，，，所以平面，.....................1
取的中点，，垂足为点，连结，
因为，所以平面，所以，，
所以平面，所以，
即是二面角的平面角，..................................................................3
,
，，所以，
所以二面角的正切值为...................................................................2
21．由题中数据可得，
评价指数
频率 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2
频率/组距 0.005 0.005 0.01 0.02 0.01
所以，频率分布直方图如下，
....................................................................................4
（2）由题中数据可得，，.......2
方差为：
，..............................................................................4
所以标准差........................................................................................2
22．（1）取的中点，连接，
为等边三角形，；....................................................................................1
，为中点，，
，为中点，为中点，又为中点，
，；
平面平面，平面平面，平面，
平面，.................................................................................................................2
又平面，；
，平面，平面，...........................................1
平面，，又，...........................................1
（2）取中点，连接，
由三棱柱结构特征知：，又，，即四点共面，
由（1）知：平面，............................................................................................1
平面，，，
是二面角的平面角，，....................................................................................................................1
作，垂足为，
，，，平面，
平面，...........................................................................................2
设，则，
又，，
，，
，解得：，......1
又，，
即，解得：，
即点到侧面的距离为............................................................................2
答案第2页，共2页

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