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高一年级第二学期期末考试试卷
数 学
总分：150分 时量：120分钟
试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，时量120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共计8个小题，每小题5分，共计40分）
1．已知集合，则
A． B． C． D．
2.已知实数满足，且，则的最小值为
4 B. 8 C. D. 12
3.若复数z满足，则的虚部为
A． B． C． D．
4.如右图所示，在长方形中，设，又. 则
A. B． C. D．
5．《易经》是中国文化中的精髓，右图是易经八卦图(含乾 坤 巽 震 坎 离 艮 兑八卦)，每一卦由三根线组成( 表示一根阳线，表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦中阳线之和为4的概率
6.轴截面为正三角形的圆锥称为等边圆锥.已知一等边圆锥的母线长为，则该圆锥的内切球体积为
B. C. D.
7．某校为更好地支持学生个性发展，开设了学科拓展类、创新素质类、兴趣爱好类三种类型的校本课程，每位同学从中选择一门课程学习. 图①为该校6000名学生的选课情况的扇形图；图②为用分层抽样的方法抽取2%的学生对所选课程进行了满意率调查条形图。则下列说法错误的是（ ）
A．抽取的样本容量为120
B．该校学生中对兴趣爱好类课程满意的人数约为1050
C．若抽取的学生中对创新素质类课程满意的人数为36，则
D．该校学生中选择学科拓展类课程的人数为1500
8. 高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕仅以他的名字“高斯”命名的成果就多达110个，为数学家中之最．对于高斯函数，其中表示不超过的最大整数，如，，表示实数的非负纯小数，即，如，．若函数（，且）有且仅有 个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分。每小题有2个或2个以上正确答案，所选正确答案不完整的得2分，选错得0分）
9.下列说法不正确的是 ( )
A.
B. 是的充分不必要条件
C. 已知函数的零点为1
D. 若的定义域为，则的定义域为
10．下列四个命题中错误的是（ ）
A．若事件相互独立，则满足.
B．若事件两两独立，则.
C．若事件彼此互斥，则.
D．若事件满足，则是对立事件.
11．已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象的周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在区间上的最大值为2
D. 直线与图像所有交点的横坐标之和为
12．在锐角中，角，，所对边分别为，，，外接圆半径为，若，，则（ ）
A． B．
C．的最大值为3 D．的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，要求答案写成最简形式）
13.已知，若，则的值为 .
14.已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围是 .
15.在空间四边形中，,则直线所成角的余弦值为 .
如图，正方体的棱长为1，为的中点，为线段上的动点，过点，，的平面截该正方体所得的截面记为，若，则的面积取值范围是______．
四．解答题（本大题共计6小题，记70分）
(本小题满分10分）
（1）求值：；
（2）已知角的终边经过点，求的值．
参观馆舍数 频数
10 1
30 3
35 4
40 6
45 2
50 t
52 1
18.（本小题满分12分）常德市汉寿县新建的野生动物园，据统计在2022年的“五一”假期入园游客近16万人次，目前已建成的一期项目分为猛兽区、食草区、灵长类、大象馆、鳄鱼馆、鸟语林等52个馆舍，入园物种有150多种约3500头（羽）。现在汉寿县的野生动物园已成为省内外游客旅游的目的地。为了了解游客的参观体验的满意度，从游客中随机抽取若干游客进行评分（满分为100分），并统计他们参观馆舍个数情况，根据调查数据制成如下频率分布直方图和频数表，已知评分在的游客有11人.
(1)求频率分布直方图和频数分布表中未知量a，t的值；
(2)从频率分布直方图中求评分的下四分位数，从频数分布表中求参观馆舍数的80%分位数；
(3)规定评分不低于90分为“非常满意”，评分低于60分为“不满意”。现从评分为“非常满意”和“不满意”的游客中任意选取2人评为幸运游客，求评分为“非常满意”和“不满意”的游客恰各一人的概率．
19.(本小题满分12分）已知二次函数为实数）
（1）若的解集为，求不等式的解集；
（2）若对任意，恒成立，求的最小值；
.
20.（本小题满分12分）已知在四棱锥中，底面ABCD是矩形，且，，平面ABCD，E F分别是线段AB BC的中点.
(1)证明：；
(2)若PB与平面ABCD所成的角为45°，求与平面所成角的正弦值
(3)在线段PA上是否存在点G，使得平面PFD，若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由；
21.(本小题满分12分）已知定义域为R的函数是奇函数.
(1)求b的值；
(2)判断在定义域R上单调性并证明
(3)若对于任意，不等式恒成立，求k的范围.
22．（本小题满分12分）如图，设△ABC中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知AB＝1，，，点E，F分别为边AB，AC上的动点，线段EF交AD于点G，且△AEF的面积是△ABC面积的一半．
（1）求边BC的长度；
（2）当时，求线段AG的长．
2021级高一年级第二学期期末考试试卷
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A C B A B D C D AD BCD AC ACD
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．
13. 2 14. 15. 16.
三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
(1)； (2) （每小问5分）
18.（本小题满分12分）
解：（1）............................................................................................2分
（2）下四分位数：70 .....................................................................................4分
20×80%=16，从小到大第16、17个数分别是45,50.
则80%分位数是： ........................................................................6分
(3)“不满意”的游客有20×0.1=2人，设编号分别为A，B“非常满意”的游客有20×0.2=4人，设编号分别为a,b,c,d.................................................................8分
则基本事件的总数有：
AB、Aa、Ab、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd、ab、ac、ad、bc、bd共15种
事件M“非常满意”和“不满意”的游客恰各一人有：
Aa、Ab、Ac、Ad、Ba、Bb、Bc、Bd共8种.................................................................10分
故 ................................................................................................................12分
19.解：解：（1）依题意知，，且方程的两根为1,2
由根与系数间的关系得，即. .....................2分
故不等式
解得：.即原不等式的解集为 .................................6分
因为时，恒成立，
故得，即，即，
所以（当且仅当时等号成立） ..........................12分
（本小题满分12分）
(1) 证明：连接，则，
又，所以，所以；
又平面ABCD，所以；
因为，所以平面，所以 .........4分
(2) 因为平面，所以是与平面所成的角，且，.
取的中点，则，平面，
连接，则为与平面所成角
在直角三角形中，，所以，
又，所以，
所以 ......................9分
(3)过点作交于点，则平面，且有；
再过点作交于点，则平面且.所以平面平面，
所以平面，从而满足的点即为所求.......12分
21.（本小题满分12分）
（1）为上的奇函数，.
时，，此时
所以为奇函数时，b的值为1. .........................................................................3分
（2）是上的减函数.
证明：任取，且
，，
又 ，故
所以是上的减函数. ...................................................................................7分
（3），不等式恒成立，
在R上恒成立，又为奇函数，
为减函数
在R上恒成立
即 在R上恒成立，而.
所以k的取值范围为..........................................................................12分
22.（本小题满分12分）
解：（1）由，得因为，所以；
因为，过点D分别作DM//AC，DN//AB交AB，AC于点M，N，
所以，所以,
所以
因为, 所以BC=a=； ................................5分
（2） 设，
因为的面积是面积的一半，所以
所以，① ......................7分
由，得,
因为三点共线，所以，即， ................8分
所以=
又
所以
因为，所以，② ....................10分
由①②解得，
所以，此时点F与点C重合；
因为，
所以
所以；由得. .......................................12分
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